Tài liệu de thi chuyen toan vao lop 10 cac tinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2007-2008
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp
chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2007
Bài 1: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
3xy = 2 x+y
5xy = 6 y+z
4xz = 3 x+z







.
Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B,
mỗi đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường
B là số lẻ. Tính số cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C
là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt
đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:

a. AC
2
= CM.CD
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc
định.
c. Gọi R
1
, R
2
theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam
giác ADM và BDM. Chứng minh R
1
+ R
2
không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với
O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi
qua A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn
a b c
+ + = 3
b c a
. Chứng
minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên.
Đề chính thức
-------------------------------------------------- Hết
---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP

10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp
chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x
2
+
2
x -
2
= 0 (1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái
dấu.
2. Gọi x
1
là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng:
1
4 2
1 1 1



x + 1
= 2
x + x + 1 - x
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:

( )
2 2
a x + y + x + y = b
y - x = b





1. Giải hệ khi a = 1, b=2.
2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình: (x
2
- 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x
4

thoả mãn:
1 2 3 4
1 1 1 1
+ + + = - 4
x x x x
.

Câu 4: (4,0 điểm)
Đề chính thức
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân
đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của
tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC
và HC cắt nhau tại J.
1. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
2. Chứng minmh rằng: KH.KA
≤
2
BC
4
3. Tính tỉ số
2 2 2
2 2 2
IM + IJ + IN
IA + IB + IH
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
4
+ y
4
– 7 = xy(3 - 2xy). Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
-------------------------------------------------- Hết
---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009

MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp
chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức M =
1 1
+
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
,
biết rằng:
a 7
=
x + y x + z
và
( )
( ) ( )
2
49 13
=
z - y 2x + y + z
x + z
Câu 2: (2,0 điểm)
Đề chính thức
Cho các số thực a, b, c thoả mãn
a + b + c > 0
ab + bc + ca > 0
abc > 0






.
Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính
góc MCN.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E
di động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a
2
. Các đường thẳng AE
và BD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x
2
+ y
2
+ 6 chia hết cho
xy. Tìm thương của phép chia x
2
+ y
2
+ 6 cho xy.
-------------------------------------------------- Hết
---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp
chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho T =
2
2
2x + 4 1 1
- -
1 - x
1 + x 1 - x
.
1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.
2. Tìm giá trị lớn nhất của T.
Câu 2: (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2x - xy = 1
4x + 4xy - y = 7





.
2. Giải phương trình:
( )

1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z
2
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x
2
– (3 + 2a)x + 40 – a = 0
có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:
a 0
b 0
19a + 6b + 9c = 12





≤
≥
.
Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có
nghiệm
x
2
– 2(a + 1)x + a
2
+ 6abc + 1 = 0
x
2
– 2(b + 1)x + b

2
+ 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O
đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên
cung BC không chứa điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường
thẳng AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Đề chính thức
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn.
Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z 2x + 2y + 2z
+ + >
a b c a + b + c
.
-------------------------------------------------- Hết
---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp
chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)

1. Cho số x (
x R ; x > 0∈
) thoả mãn điều kiện :
2
2
1
x + = 7
x
. Tính giá
trị các biểu thức : A =
3
3
1
x +
x
và B =
5
5
1
x +
x
.
2. Giải hệ phương trình:
1 1
+ 2 - 2
y
x
1 1
+ 2 - 2
x

y







=
=
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả
mãn điều kiện:
1 2
0 x x 2≤ ≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2
2a - 3ab + b
Q =
2a - ab + ac
.

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z
2
.
Đề chính thức
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 cũng là số
nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một
đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD
tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng
minh rằng: CK
⊥
BN.
2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA =
2
. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các
tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 45
0
có cạnh Ox cắt đoạn
thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh
rằng
2 2 - 2 DE < 1≤

.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd , trong đó ad – bc = 1.
Chứng minh rằng: P
≥

3
.
-------------------------------------------------- Hết
---------------------------------------------------
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lam
Sơn Thanh Hoá
================================================
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2002-2003
THI MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03 tháng 07 năm 2002
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

THANH HOÁ NĂM HỌC: 2003-2004
MÔN: THI TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27 tháng 6 năm 2003
Bài 1. (2 điểm)
Cho
2
x + x x - x - x

x + x
A =
a, Hãy rút gọn biểu thức A
b, Tìm x thoả mãn
A = x - 2 + 1
.
Bài 2. (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0. (1)
a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x + x = 2m
.
b, Tìm m để P =
1 2

2 2
1 2
xx + x + x
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE
vuông góc với BC. Gọi D
1
E
1
và D
2
E
2
là hình chiếu vuông góc của DE trên
AB và AC.
1. Chứng minh BE
1
= E
2
C = AD
1
; D
1
E
1
= AC và D
2
E
2

= AB.
2. Các tứ giác AD
1
DD
2
; AE
1
EE
2
nội tiếp trong một đường tròn và
D1D
2
vuông góc với E
1
E
2
.
Bài 4. (2 điểm)
Cho hình chopSABC có SA
⊥
AB; SA
⊥
AC; BA
⊥
BC; BA = BC;
AC =
a 2
; SA = 2a.
a, Chứng minh BC
⊥

mp(SAB)
b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho các số thực a
1
; a
2
; ….; a
2003
thoả mãn: a
1
+ a
2
+ …+ a
2003
= 1.
Chứng minh:
2 2 2
1 2 2003
1
a + a + ... + a
2003
≥
.
Đề chính thức
--------------------------------------------- Hết
------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP
10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------
Bài 1. (2 điểm)
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình: 2x
2
+ 2mx + m
2
– 2 = 0.
1. Với giá trị nào của m thì:
1 2
1 2
1 1
+ + x + x = 1
x x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
2 2 1 2
2x x + x + x - 4
.
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x
2
+ 3x + 2)(x
2

+ 7x + 12) = 120.
Bài 3. (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x y + y x = 6
x y + y x = 20





.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường
tròn (E) tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường
thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.
1. Chứng minh CD song song với AB.
2. Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M). Chứng
minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không
đổi.
Đề chính thức