Hướng dẫn làm bài tập trắc địa trắc địa đại cương

PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. GÓC ĐỊNH HƯỚNG
1.1. Bài toán về góc định hướng
X

A

αBC

B
0

αBA

β
C

Y

Hình 1.1. Mối liên hệ góc định hướng và góc bằng

- Biết αBA và αBC ta tính được góc β = αBC - αBA.
- Biết αBA và β ta tính được góc định hướng αBC = αBA + β.
1.2. Áp dụng bài toán góc định hướng
Trong thực tế, thông thường ta không đo được góc định hướng mà chỉ đo được
góc bằng β, do đó, để xác định góc định hướng của một đường thẳng ta phải dựa vào
góc định hướng của một cạnh đã biết trước.
1.2.1. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β trái
A
βC
βB

D
C
B
Hình 1.2. Góc β trái
Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay trái, khi đó:
αBC = αAB + βB - 1800
αCD = αBC + βC - 1800
(1.1)
1.2.2. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β phải
A
C
B
D
βC
βB
Hình 1.3. Góc β phải
Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay phải, khi đó:
αBC = αAB - βB + 1800
αCD = αBC - βC + 1800
(1.2)
1.2. BÀI TOÁN THUẬN NGHỊCH TRẮC ĐỊA
1.2.1. Bài toán thuận
Bài toán: Biết tọa độ điểm đầu A(xA; yA), chiều dài và góc định hướng SAB và αAB.
Tìm tọa độ điểm B?
Giải
XB = XA + ∆XAB = XA + SABcosαAB
YB = YA + ∆YAB = YA + SABsinαAB
(1.3)
1.2.2. Bài toán nghịch
Bài toán: Biết tọa độ 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tìm chiều dài SAB và góc định

hướng cạnh αAB?
Giải
1


(1.4)

* Chiều dài AB:
SAB = (X B - X A ) 2 + (YB - YA ) 2
* Góc định hướng αAB
- Tính góc hai phương:

rAB = arctan

∆YAB
Y -Y
= arctan B A
∆X AB
XB - XA

(1.5)
- Tính góc định hướng: Xét dấu ∆XAB và ∆YAB để suy ra αAB theo bảng 1.1:
Bảng 1.1. Mối liên hệ giữa góc định hướng và góc hai phương
+
+
Dấu ∆xAB
+
+
Dấu ∆yAB
Kết quả

αAB = rAB
αAB = 1800 - rAB αAB = 1800 + rAB
αAB = 3600 - rAB
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
- Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB > 0: αAB = 900
- Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB < 0: αAB = 2700
- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB > 0: αAB = 0
- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB < 0: αAB = 1800
2. BẢN ĐỒ ĐỊA HÌNH
2.1. Tỷ lệ bản đồ
1/M = Chiều dài trên bản đồ/Chiều dài thực.
1/M2 = Diện tích trên bản đồ/Diện tích thực.
M là mẫu số tỷ lệ bản đồ. M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ càng nhỏ.
- Bản đồ tỷ lệ lớn: 1:500; 1:1000; 1:2000; 1:5000.
- Bản đồ tỷ lệ trung: 1:10000; 1:25000; 1:50000.
- Bản đồ tỷ lệ nhỏ: 1:100000; 1:200000; 1:500000; 1:1000000
2.2. Nội suy độ cao trên bản đồ địa hình
A

M

M'

B

C

Hình 2.1. Nội suy độ cao điểm M từ 3 điểm A, B và C
AM'
× (H C - H A )

AC
BM
HM = HB +
× (H M' - H B )
BM'

H M' = H A +

(2.1)

2.3. Xác định độ dốc giữa hai điểm A và B trên bản đồ
H -H
Độ dốc: i = tanα = B A ×100%
Sbñ × M

2.4. Tính tọa độ đa giác dựa vào tọa độ các đỉnh
1 n
1 n
F = ∑ x i (yi+1 - yi-1 ) = ∑ yi (x i-1 - x i+1 )
2 i=1
2 i=1
trong đó, i = 1, 2, … n là kí hiệu các đỉnh đa giác.
3. LÝ THUYẾT SAI SỐ
3.1. Định nghĩa sai số
3.1.1. Sai số thực
Sai số thực là hiệu giữa giá trị đo và giá trị thực:

A

B

α

(2.2)

(2.3)

2


∆i = xi - X
(3.1)
3.1.2. Sai số xác suất nhất
Sai số xác suất nhất là hiệu giữa giá trị đo và giá trị xác suất nhất:
V i = xi - X 0
(3.2)
3.1.3. Giá trị xác suất nhất

Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo cùng độ chính xác là trị trung bình cộng
của các giá trị đo:

X0 =

x1 + x 2 + ... + x n
n

(3.3)

Trong đó, xi là giá trị đo thứ i.
Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo không cùng độ chính xác là trị trung bình

trọng số của các giá trị đo:
n

∑x P
X0 =

i i

i=1
n

=

∑P

i

i=1

x1P1 + x 2 P2 + ... + x n Pn
P1 + P2 + ... + Pn

(3.4)

Trong đó, Pi là trọng số của đại lượng đo thứ i.
Lưu ý: Các trị đo đo cùng độ chính xác là các trị đo khi ta sử dụng cùng một dụng cụ
đo, cùng một phương pháp đo và cùng một điều kiện đo. Thiếu một trong các điều kiện
này là các kết quả đo không cùng độ chính xác.
3.2. Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo trực tiếp cùng độ chính
xác

3.2.1. Sai số trung phương một lần đo (SSTP)
a/ Công thức của Gauss
n

m=

∑∆
i=1

2
i

(3.5)

n

b/ Công thức của Bessel
n

m=

∑V
i=1

2
i

(3.6)

n -1

3.2.2. Sai số giới hạn ∆gh
Sai số giới hạn là sai số lớn nhất của các sai số giá trị đo.
3.2.3. Sai số trung phương tương đối 1/T
1 Sai soá trung phöông
=
T
Giaù trò ño

(3.7)

Lưu ý: Để đánh giá độ chính xác đo góc ta sử dụng SSTP, còn để đánh độ chính xác
của kết quả đo dài ta sử dụng sai số trung phương tương đối.
3.3. Đánh giá độ chính xác của hàm số
Xét hàm F = f(x,y,…,u)
2

2

2

 ∂f 
 ∂f 
 ∂f 
m F =   mx2 +   my2 + ... +   mu2
 ∂x 
 ∂y 
 ∂u 

(3.8)

Trong đó mx, my,…, mu lần lược là SSTP của các đại lượng x, y,…,u.
3.4. Trị trung bình cộng và sai số trung phương của nó

3


M = mX =

m

(3.9)

n

0

Trong đó:

M - SSTP trị trung bình cộng
m - SSTP một lần đo (SSTP của các kết quả đo)
n - Số lần đo
3.5. Đánh giá độ chính xác của các kết quả đo không cùng độ chính xác
3.5.1. Trọng số của kết quả đo
Pi =

C
mi2

(3.10)

Ttrong đó:

Pi - Là trọng số đại lượng đo thứ i
mi - Là SSTP đại lượng đo thứ i
C - Là hằng số (tùy chọn)
Với C đã được chọn, sai số trung phương của kết quả đo có trọng số bằng 1 được
gọi là sai số trung phương trọng số đơn vị, ký hiệu µ.
Nghĩa là : P =

µ2
C
2
⇒
µ
=
C
⇒
P
=
=1
i
mi2
µ2

(3.11)

Do đó, thay vì chọn C ta có thể chọn µ.
3.5.2. Công thức đánh giá độ chính xác của kết quả đo không cùng độ chinh xác
a/ Sai số trung phương đơn vị trọng số µ

* Công thức Gauss
(3.12)
µ - SSTP trọng số đơn vị
n
2
∆i - Sai số thực đại lượng thứ i
∆ i Pi
∑
i=1
Pi - Trọng số đại lượng thứ i
µ=
n
n - số lần đo
* Công thưc Bessel
(3.13)
µ - SSTP trọng số đơn vị
n
2
V
V
P
i - sai số xác suất nhất đại lượng thứ i
∑
i i
i=1
Pi - Trọng số đại lượng thứ i
µ=
n -1
n - số lần đo
Lưu ý: Công thưc tính ∆i và Vi xem mục 3.1.

b/ Sai số trung phương kết quả đo thứ i
mi =

µ

(3.14)

Pi

c/ Sai số trung phương của trị trung bình trọng số X0
Trị trung bình trọng số X0 có trọng số là:
(3.15)

PX = P1 + P2 + ... + Pn
0

Sai số trung phương trị trung bình trọng số X0 là:
M=

µ
PX

=
0

µ

(3.16)

n

∑P
i=1

i

4. ĐO GÓC BẰNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐO ĐƠN GIẢN
A
a1 a2

O

b1 b
2

B

4


Một lần đo gồm 2 nửa lần đo.
* Nửa lần đo thuận (bàn độ đứng bên trái người đo)
- Ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a1.
- Quay máy cùng chiều kim đồng hồ, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b1.
Góc bằng của nửa lần đo thuận là:
β1 = b1 - a1 (nếu b1 < a1 thì β1 = b1 – a1 + 3600)
*Nửa lần đo đảo (bàn độ đứng bên trái người đo)
Đảo kính qua thiên đỉnh.
- Ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b2.
- Quay máy ngược chiều kim đồng hhồ, ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a2.

Góc bằng của nửa lần đo đảo là:
β2 = b2 - a2 (nếu b2 < a2 thì β2 = b2 – a2 + 3600)
* Điều kiện
β1 − β 2 ≤ 2t (t là độ chính xác đo góc của máy)
Nếu điều kiện thỏa thì: β = 1/2(β1 + β2)
Nếu điều kiện không thỏa thì phải đo lại
5. ĐO DÀI BẰNG MÁY KINH VĨ QUANG HỌC

12

n

11

A
S

B

Hình 5.1. Đo dài bằng máy kinh vĩ quang học
Giả sử ta đo chiều dài AB (khoảng cách ngang giữa A và B) như sau:
- Đặt máy kinh vĩ tại A, dựng mia tại B.
- Ngắm mia đọc số chỉ trên “t” và chỉ dưới “d”.
- Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V.
Công thức tính chiều dài đo được:
S = Kncos2V
(5.1)
Trong đó:
+ K là hệ số đo dài (K = 100)
+ n là khoảng cách chắn trên mia giữa chỉ trên và chỉ dưới (n = t - d).

+ V là góc đứng.
Lưu ý: Trường hợp tia ngắm nằm ngang thì V = 0, khi đó cosV = 1 nên S = Kn

5


6. ĐO CAO
6.1. Đo cao hình học từ giữa
Mia

Mia

a

b
B

hAB

A

Hình 6.1. Đo cao hình học
Giả sử ta đo chênh cao hAB như sau:
- Đặt máy thủy chuẩn giữa A và B.
- Lần lượt đọc số (chỉ giữa) mia dựng tại A và B, ví dụ là a và b.
- Chênh cao đo được là: hAB = a - b
Lưu ý: Đo cao bằng phương pháp hình học ta có thể đặt máy thủy chuẩn bất kỳ vị trí
nào. Tuy nhiên, ta nên đặt máy sao cho khoảng cách từ máy đến A và từ máy đến B
gần bằng nhau để tăng độ chính xác của kết quả đo, vì khi đó sẽ loại trừ được các sai
số do tia ngắm không nằm ngang và ảnh hưởng độ cong của trái đất.

6.2. Đo cao lượng giác
6.2.1. Đo cao lượng giác bằng máy kinh vĩ quang học

B
A

hAB

Hình 6.2. Đo cao lượng giác
Giả sử ta đo chênh cao giữa 2 điểm A và B.
- Đặt máy kinh vĩ tại A và dựng mia tại B.
- Đo chiều cao máy: “i” (khoảng cách từ điểm đặt máy đến trục phụ máy).
- Ngắm mia và đọc sô: chỉ trên “t”, chỉ giữa “g” và chỉ dưới “d”.
- Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V.
Công thưc tính chênh cao đo được là:
hAB = StanV + i - g
(6.1)
hAB = 1/2.Knsin2V + i - g
(6.2)
6.2.2. Đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử
Công thức: hAB = StanV + i - g
(6.3)
Trong đó:
+ S là khoảng cách ngang AB (máy tự đo).
+ V là góc đứng (máy tự đo).
+ i là chiều cao máy (số phải nhập).
+ g là chiều cao gương (số phải nhập).

6

7. LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA
7.1. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp
β2
β1

A

S12

2

S23

βn-1
β3

n-1

Sn-1,n βn

3

B =1

D

C=n

Hình 7.1. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp

Số liệu gốc: Tọa độ 4 điểm A, B, C và D.
Số liệu đo: Các góc βi và các cạnh Si,i+1.
B1. Tính sai số khép góc:
n

fβ = (α AB + ∑ βi - n.1800 ) - α CD
i=1

Trong đó αAB, αCD được tính từ tọa độ các điểm A, B, C và D đã biết trước, n là số góc
đo trong đường chuyền.
Lưu ý:
n

n

+ Nếu (α AB + ∑ βi - n.1800 ) <0 thì fβ = (α AB + ∑ βi - n.1800 ) - α CD + 3600
i=1
n

i=1

0

n

+ Nếu (α AB + ∑ β i - n.1800 ) > 360 thì f β = (α AB + ∑ β i - n.1800 ) - α CD - 3600
i=1

i=1

Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: fβ ≤ fβgh = ±60'' n . Nếu sai
số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng.
B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng
n
f
Vβi = - β
Lưu ý: ∑ Vβi = -f β
n
i=1
B3. Hiệu chỉnh góc bằng
β i' = βi + Vβi

Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi’ là góc bằng sau hiệu chỉnh.
B4. Tính góc định hướng các cạnh
αi,i+1 = αi-1,n + βi' -1800
i = (1, n)

αCD = αn-1,n + βn' - 1800
Kiểm tra:
B5. Tính số gia tọa độ
∆X i,i+1 = Si,i+1 *cosαi,i+1

∆Yi,i+1 = Si,i+1 *sinα i,i+1

B6. Tính sai số khép tọa độ
n-1

n-1

i=1

i=1

f x = ∑ ∆Χ i,i+1 - (X C - X B ) ; f y = ∑ ∆Yi,i+1 - (YC - YB )
Sai số tuyệt đối đường chuyền
f S = f X2 + fY2
Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn
fS
1
≤
đối khu vực bằng phẳng
n-1
2000
∑ Si,i+1
i=1

7


fS

≤

n-1

∑S

1
đối khu vực bằng phẳng
1000

i,i+1

i=1

B7. Tính số hiệu chỉnh số gia tọa độ
f
V∆Xi,i+1 = - n-1 x ×Si,i+1 ;
∑ Si,i+1

V∆Yi,i+1 = -

fy

∑S

i,i+1

i=1

i=1
n-1

Lưu ý:

×Si,i+1

n-1

n-1

∑ V∆Xi,i+1 = -f x ;

∑V

1

∆Yi,i+1

1

B8. Hiệu chỉnh số gia tọa độ
'
∆Yi,i+1
= ∆Yi,i+1 + V∆Yi,i+1 ;

= -f y

'
∆X i,i+1
= ∆X i,i+1 + V∆Xi,i+1

B9. Tính tọa độ các điểm
'
'
X i+1 = X i + ∆X i,i+1
;
Yi+1 = Yi + ∆Yi,i+1
Kiểm tra:
'

X C = X n-1 + ∆X 'n-1,n ; YC = Yn-1 + ∆Yn-1,n
7.2. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín
α12

S12

Sn,1

n

i = ( 1,n - 1 )

2
S23

β2

A=1

i = ( 1,n - 1 )

β1

β3

3
S34

βn
β5

5

β4

S45

4

Hình 7.2. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ khép kín
Số liệu gốc: Tọa độ điểm A(XA, YA) và α12.
Số liệu đo: βi và Si,i+1
B1. Tính sai số khép góc
n

f β = ∑ βi - (n - 2)1800
i=1

Trong đó n là số góc đo trong đường chuyền.
Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: fβ ≤ fβgh = ±60'' n . Nếu sai
số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng.
B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng
n
f
Vβi = - β
Lưu ý: ∑ Vβi = -f β
n
i=1
B3. Hiệu chỉnh góc bằng
β i' = βi + Vβi

Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi’ là góc bằng sau hiệu chỉnh.
B4. Tính góc định hướng các cạnh
αi,i+1 = αi-1,n - βi' +1800
i = (1, n)
Kiểm tra:

α12 = α n, 1 - β1' +1800

8


B5. Tính số gia tọa độ
∆X i,i+1 = Si,i+1 *cosαi,i+1

∆Yi,i+1 = Si,i+1 *sinα i,i+1

B6. Tính sai số khép tọa độ
n-1

f X = ∑ ∆Χ i,i+1 ;

n-1

f Y = ∑ ∆Yi,i+1

i=1

i=1

Sai số tuyệt đối đường chuyền

f X = f X2 + f Y2
Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn
fS
1
đối khu vực bằng phẳng
≤
n-1
2000
∑ Si,i+1
i=1

fS

≤

n-1

∑S

1
đối khu vực bằng phẳng
1000

i,i+1

i=1

B8. Tính số hiệu chỉnh số gia tọa độ
Số hiệu chỉnh số gia tọa độ tỉ lệ thuận với chiều dài cạnh
f

f
V∆Xi,i+1 = - n-1 x ×Si,i+1 ; V∆Yi,i+1 = - n-1 y ×Si,i+1
∑ Si,i+1
∑ Si,i+1
i=1

i=1

n-1

Lưu ý:

n-1

∑V
1

∆Xi,i+1

= -f X ;

∑V
1

∆Yi,i+1

= -f Y

h/ Hiệu chỉnh số gia tọa độ
'

∆Yi,i+1
= ∆Yi,i+1 + V∆Yi,i+1 ;

'
∆X i,i+1
= ∆X i,i+1 + V∆Xi,i+1

i/ Tính tọa độ các điểm
'
X i+1 = X i + ∆X i,i+1
;

'
Yi+1 = Yi + ∆Yi,i+1
'
n1

i = ( 1,n - 1 )
i = ( 1,n - 1 )

'
n1

Kiểm tra:
X 1 = X n + ∆X ;
Y1 = Yn + ∆Y
7.3. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo
A

hn

h2
h1
n -1
B
1
2
l1
l2
ln
Hình 7.3. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo

Trong đó:
+ A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn.
+ hi là chênh cao từng đoạn đo.
+ li là chiều dài từng đoạn đo.
B1. Tính sai số khép độ cao:
fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA)
B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:
f hgh = ±50 L (mm)
Trong đó: L = l1 + l2 + …+ln và tính bằng đơn vị Km.
Điều kiện: f h < f hgh , nếu không thỏa thì đo lại.

9


B3. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:
f
Vhi = - h × li
L
B4. Hiệu chỉnh chênh cao:

h i ' = h i + Vhi
B5. Tính độ cao các điểm:
H i = H i-1 + h i '
7.4. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo
A

hn
h2
h1
n -1
1
2
n1
n2
nn
Hình 7.4. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo

B

Trong đó:
+ A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn.
+ hi là chênh cao từng đoạn đo.
+ ni số trạm đo từng đoạn đo.
B1. Tính sai số khép độ cao:
fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA)
B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:
f hgh = ±10 N (mm)
Trong đó: N = n1 + n2 + …+nn.
Điều kiện: f h < f hgh , nếu không thỏa thì đo lại.
B3. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:

f
Vhi = - h × n i
N
B4. Hiệu chỉnh chênh cao:
h i ' = h i + Vhi
B5. Tính độ cao các điểm:
H i = H i−1 + hi '
8. BỐ TRÍ CÔNG TRÌNH
8.1. Bố trí điểm mặt bằng
8.1.1. Nội dung
Ngoài thực địa đã có 2 điểm khống chế mặt bằng A và B biết tọa độ A(XA; YA),
B(XB; YB). Yêu cầu trí điểm M có tọa độ thiết kế là M(XM; YM).
8.1.2. Bố trí bằng phương pháp tọa độ cực
A

βA

B

SAM
M
Hình 8.1. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp tọa độ cực
a/ Tính số liệu bố trí:
- Bán kính cực SAM: SAM = (X M - X A ) 2 + (YM - YA ) 2
- Góc cực βA:
+ Tính αAB và αAM (xem bài toán nghịch trắc địa)

10

+ βA = αAM - αAB (nếu αAM < αAB thì βA = αAM - αAB + 3600).
b/ Bố trí:
- Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang là a (thường đưa số
đọc này về “0”);
- Quay máy để có số đọc trên bàn độ ngang a + βA, trên hướng này từ A ta bố trí
một đoạn thẳng SAM ta sẽ có được điểm M cần bố trí.
8.1.3. Bố trí bằng phương pháp giao hội góc
A
B
β
B
βA
M
Hình 8.2. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội góc
a/ Tính số liệu bố trí
Các góc cực βA và βB:
+ Tính αAB, αAM, αBM, αBA (xem bài toán nghịch trắc địa)
+ βA = αAM - αAB;
+ βB = αBA - αBM
b/ Bố trí
Sử dụng hai máy kinh vĩ, một máy đặt tại A, lấy hướng về B và một máy đặt tại B
lấy hướng về A; lần lượt quay các góc βA và βB. Giao của hai hướng này là điểm M
cần bố trí.
8.1.4. Bố trí bằng phương pháp giao hội cạnh
B

A
SAM

SBM

M
Hình 8.3. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội cạnh
a/ Tính số liệu bố trí
Các bán kính cực SAM và SBM:
+ SAM = (X M - X A ) 2 + (YM - YA ) 2
+ SBM = (X M - X B )2 + (YM - YB )2
b/ Bố trí
Sử dụng hai thước thép, lần lượt tại A và B quay hai đoạn thẳng bằng SAM và SBM,
giao của chúng là điểm M cần bố trí.
8.2. Bố trí đường cong tròn
8.2.1. Bố trí các điểm chính của đường cong tròn
Các điểm chính của đường cong tròn gồm:
- Điểm tiếp đầu (Đ): Điểm bắt đầu vào đường cong
- Điểm tiếp cuối (C): Điểm kết thúc đường cong
- Điểm giữa (G): Điểm chính giữa đường cong
Yếu tố biết trước:
- Góc ngoặt θ được đo ngoài thực địa ở giai đoạn cắm tuyến
- Bán kính đường cong tròn R được chọn tùy theo cấp đường thiết kế và điều kiện
địa hình.
a/ Tính số liệu bố trí
* Chiều dài tiếp tuyến

11


T = Rtan(θ/2)
* Chiều dài phân giác

B = GN = ON - R =

N

R
-R
cos(θ / 2)

T

θ
T

β/2 b

G

TÐ

TC

* Góc phân giác
β/2 = (1800 – θ)/2
b/ Bố trí
R
Đặt máy tại đỉnh góc ngoặt N, ngắm về hướng
θ/2 θ/2
chứa tiếp đầu TĐ, trên hướng đó bố trí đoạn thẳng
bằng T ta được tiếp đầu TĐ. Lấy hướng NTĐ Làm
chuẩn, quay một góc β/2, trên hướng đó bố trí đoạn
thẳng bằng B ta được điểm giữa G; tiếp tục quay

O
máy một góc β/2, trên hướng này bố trí đoạn thẳng
bằng T ta được điểm tiếp cuối TC.
8.2.2. Bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn bằng phương pháp tọa độ vuông
góc
Ba điểm chính chỉ xác định vị trí tổng quát của đường cong tròn, để xác định
chính xác hơn ta cần phải bố trí thêm các điểm chi tiết trên đường cong. Khoảng cách
k giữa các điểm chi tiết (theo đường cong) phụ thuộc vào bán kính cong tròn R:
+k=5m
khi R ≤ 100 m
+ k = 10m khi 100 < R ≤ 500 m
+ k = 20m khi R > 500 m
Có nhiều phương pháp bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn, dưới đây sẽ
trình bày 3 phương pháp hay sử dụng nhất.
8.2.2.1. Phương pháp tọa độ vuông góc
Phương pháp này lấy phương TĐN là trục X, phương TĐO làm trục Y, gốc tọa độ
tại TĐ.
a/ Tính số liệu bố trí
Tọa độ các điểm P1, P2,… được tính theo các công thức sau:
X1 = Rsinφ
Y1= R – Rcosφ = R(1- cosφ) =  Rsin 2
X2 = Rsin2φ
Y2 =  R sin 2

2ϕ
2

…………………
Xn = Rsin(nφ)
nφ

Yn =  Rsin
2

X

φ
2

P2

X2
P1

k

k

X1

2

0

P3

X3

k

3ϕ

2ϕ

TÐ

ϕ
180 k
O
Y
Y
Y
trong đó, φ =
1
2
3
πR
b/ Bố trí
Đặt máy kinh vĩ tại TĐ, ngắm về điểm đỉnh N, trên hướng này bố trí các đoạn
thẳng X1, X2, … , sau đó lần lượt chuyển máy đến các điểm X1, X2, … mở các hướng
vuông góc với TĐN, tương ứng bố trí các đoạn thẳng Y1, Y2, … ta được các điểm P1,
P2… cần bố trí.

12

Y


PHẦN 2. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1:
Tọa độ vuông góc Gauss - Kruger của điểm A là XA = 3451 km; YA = 19.325 km.
Hỏi:

a/ Điểm A thuộc bán cầu nào và thuộc múi chiếu thứ bao nhiêu? Vì sao?
b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, kinh tuyến Đông và kinh tuyến trục của múi chiếu
chứa điểm A là bao nhiêu?
c/ Điểm A nằm bên phải hay bên trái của kinh tuyến trục và cách kinh tuyến trục và
xích đạo bao nhiêu?
Giải:
a/ Điểm A nằm ở bán cầu Bắc vì XA > 0 và thuộc múi chiếu thứ 18.
b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, Đông và kinh tuyên trục múi chiếu chứa điểm A (múi
chiếu thứ 18) là:
λTây = 60n - 60 = 60.19 - 60 = 1080
λĐông = 60n = 60.19 = 1140
λtrục = 60n -30 = 60.19 - 30 = 1110
c/ Điểm A nằm bên trái của kinh tuyến trục vì XA < 500 km (trục 0X cách kinh tuyến
trục 500 km về phía Tây). Điểm A cách kinh tuyến trục 500 - 325 = 17 5km và cách
xích đạo 3451 km (bằng XA).
Bài 2:
Tìm múi chiếu chứa điểm M, biết độ kinh của điểm M là 95030’?
Giải:
0
95 30'
Ta có:
= 15,95 ⇒ Điểm M thuộc múi chiếu 16 (15 < 15,96 < 16).
6
Bài 3:
Cho sơ đồ như hình vẽ:
β1
β3
A

B

β2

D

β4

C
F

β5

E
G

αAB = 334025’10”
β1 = 220037’20”
β2 = 110043’10”
β3 = 235028’40”
β4 = 72054’50”
β5 = 61014’30”
Tìm các góc định hướng αBC, αBC, αCD, αDE, αEF, αFG?
Giải:

Biết:

αBC = αAB + β1 - 1800 = 334025’10” + 220037’20” - 1800
= 375002’30” - 3600 = 15002’30”

13

αCD = αBC + β2 - 1800 = 15002’30” + 110043’10” - 1800
= -54014’20” + 3600 = 305045’40”
0
αDE = αCD + β3 - 180 = 305045’40” + 235028’40” - 1800 = 351014’20”
αEF = αDE - β4 + 1800 = 351014’20” - 72054’50” + 1800 = 244009’10”
αFG = αEF + β5 - 1800 = 244009’10”+ 61014’30” - 1800
= -20026’00” + 3600 = 339034’00”
Bài 4:
Tìm tọa độ điểm B, biết A(XA = 456,789m; YA = 654,321m), SAB = 78,532m và
αBA = 137020’15”?
Giải:
αBA = 137020’15” ⇒ αAB = 137020’15” +1800 = 317020’15”
XB = XA + SABcosαAB = 456,789 + 78,532*cos(317020’15”) = 514,538 (m)
YB = YA + SABsinαAB = 654,321 + 78,532*sin(317020’15”) = 601,102 (m)
Bài 5:
Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết:
A(XA = 456,789m; YA = 654,321m)
B(XB = 345,678m; YB = 789,123m)
B
SBC
SBC = 123,456m
0
β = 120 46’35”
β
Tìm tọa độ điểm C?
A

C

Giải:
* Tính góc định hướng cạnh AB:

rAB = arctan

YB - YA
789,123 - 654, 321
= arctan
= 50030'10"
XB - XA
345, 678 - 456, 789

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = 1800 - rAB = 1800 - 50030’10” = 129029’50”
* Tính góc định hướng cạnh BC:
αBC = αAB - β + 1800 = 129029’50” - 120046’35” + 1800 = 188043’15”
* Tính tọa độ điểm C:
XC = XB + SBCcosαBC = 345,678 + 123,456*cos(188043’15”) = 223,649 (m)
YC = YB + SBCsinαBC = 789,123 + 123,456*sin(188043’15”) = 770,405 (m)
Bài 6:
Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết:
C
A(XA = 357,834m; YA = 465,302m)
B(XB = 225,118m; YB = 383,670m)
β1 = 50032’30”
β2 = 65018’20”
β1
β2
Tìm tọa độ điểm C?
B

A

Giải:
* Tính chiều dài AB:

SAB = (X B - X A ) 2 + (YB - YA ) 2 = (225,118 - 357,834) 2 + (383, 670 - 465,302)2 = 155,812 m

14


* Tính βC:
βC = 1800 - β1 - β2 = 1800 - 50032’30” - 65018’20” = 64009’10”
* Tính chiều dài AC:
Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác:
SBC
S
= AB ⇒
sin β1 sin βC
SBC =

SAB
155,812
×sinβ1 =
×sin50032'30" = 133, 673(m)
sinβ C
sin640 09'10"

* Tính góc định hướng AB và BC:

rAB = arctan

YB - YA
383, 670 - 465,302
= arctan
= 310 35'43"
XB - XA
346, 678 - 456, 789

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 1800 + rAB = 1800 + 31035’43” = 211035’43”
αBC = αAB + β2 - 1800 = 211035’43” + 65018’20” - 1800 = 96054’03”
* Tính tọa độ điểm C:
XC = XB + SBCcosαBC = 225,118 + 133,673*cos(96054’03”) = 209,057 (m)
YC = YB + SBCsinαBC = 383,670 + 133,673*sin(96054’03”) = 516,375 (m)
Bài 7:
Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ
lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?
Giải:
Chiều dài thực của đoạn thẳng là:
Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m
Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là:
SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm)
Hay ta có thể giải:
16cm ×

5000
= 40 cm.
2000

Bài 8:
Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là 24cm2. Nếu biểu thị khu đất này trên

bản đồ tỷ lệ 1:5000 thì diện tích của nó là bao nhiêu?
Giải:
Diện tích thực của khu đất là:
Fth = FBĐ1* M 12 = 24cm2*(2000)2 = 96000000cm2 = 9600m2
Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là:
FBĐ2 = Fth/ M 22 = 96000000/(5000)2 = 3,84 (cm2)
Hay ta có thể giải:
2

 2000 
2
24cm × 
 = 3,84 cm .
5000


2

Bài 9:
Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ
lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?
Giải:
15


Chiều dài thực của đoạn thẳng là:
Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m
Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là:
SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm)
Hay ta có thể giải:

16cm ×

5000
= 40 cm.
2000

Bài 10:
Diện tích của khu đất là 1,5km2. Diện tích này sẽ bằng bao nhiêu cm2 trên bản đồ
tỷ lệ 1:5000?
Giải:
Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000:
Fbđ = Sth/M2 = 1,5km2/(5000)2 = 150000000000cm2/(5000)2 = 600cm2.
Bài 11:
Diện tích của khu đất là 350m2, khi thể hiện trên bản đồ là 14cm2. Tìm tỷ lệ của
bản đồ?
Giải:
Mẫu số tỷ lệ bản đồ là:
M=

Sth
3500000
= 500
=
Sbñ
14

Tỷ lệ bản đồ này là 1:500
Bài 12:
Trên bản bồ tỷ lệ 1:500, độ cao hai điểm A và B là HA = 12,53m và HB = 16,34m;
khoảng cách AB là 25mm. Tìm độ dốc AB?

B
Giải:
Độ dốc AB là:
α
A
H -H
16,34 -12, 53
i AB = tanα = B A ×100% =
×100% = +30,5%
Sbñ × M

0, 025×500

Bài 13:
Diện tích khu đất hình vuông là 225m2. Tìm chu vi của khu đất này trên bản đồ tỷ
1:500?
Giải:
Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500:
Fbđ = Fth/M2 = 2250000cm2/(500)2 = 9cm2
Chu vi của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500:
P = 4 9 = 12cm.
Bài 14:
Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,34m và HB = 17,02m. Biết khoảng cao đều của
bản đồ là 0,5m. Hỏi có bao nhiêu đường đồng mức cái và bao nhiêu đường đồng mức
con đi qua giữa 2 điểm A và B?
Giải:
Khoảng cao đều h = 0,5m, nên các đường đồng mức cái sẽ là bội số của 5h =
2,5m. Vậy đường đồng mức cái đi qua giữa A và B có 3 đường là: 17,5m, 20m và

16

22,5m.
Các đường đồng mức con sẽ là bội số của h = 0,5m (trừ các đường đồng mức cái)
gồm có 8 đường là: 18m; 18,5m; 19m; 19,5m; 20,5m; 21m; 21,5m; 22m.
Bài 15:
Có 5 đường đồng mức đi qua giữa 2 điểm A và B. Biết khoảng cao đều của bản
đồ là 2m. Hỏi chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là bao nhiêu?
Giải:
Chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là:
hmin = (5 - 1)*h = (5 - 1)*2 = 8 (m).
Bài 16:
Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,01m và HB = 25,32m. Biết các khoảng cách AM
= 5cm, MB = 7cm, AB = 12cm. Tìm độ cao điểm M được nội suy từ 2 điểm A và B?
Giải:
HM = HA + x

HM = HA +

AM
(H - H A )
AB B

H M = 22, 01+

5
(25, 32 - 22, 01) = 23,39 (m)
12

x

A

M

B

Bài 17:
Tính diện tích tứ giác ABCD, biết tọa độ A(XA = 79,71m; YA = 58,76m), B(XB =
104,36m; YB = 82,43m), C(XC = 90,82m; YC = 142,32m), D(XD = 65,56m; YD =
95,38m)?
Giải:
2F = XA(YB - YD) + XB(YC - YA) +XC(YD - YB) +XD(YA - YC)
= 79,71(82,43 - 95,38) + 104,36(142,32 - 58,76) +90,82(95,38 - 82,43) +
65,56(58,76 - 142,32) = 1693,00 (m2).
Bài 18:
Đo góc β 6 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 50014’30”; 50014’50”;
0
50 15’20”; 50015’10”; 50014’40”; 50015’50”. Biết giá trị thực của β là 50015’00”. Yêu
cầu:
a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên?
b/ Tìm sai số trung phương (SSTP) một lần đo các kết quả trên?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?
Giải:
a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung
bình cộng của các kết quả đo trên:
X0 =

50014'30" + 50014'50" + 50015'20" + 50015'10" + 50014'40" + 50015'50"

= 50015’03”
6

b/SSTP một lần đo các kết quả trên
Các sai số thực:
∆1 = x1 - X = 50014’30” - 50015’00” = -30”
∆2 = x2 - X = 50014’50” - 50015’00” = -10”
∆3 = x3 - X = 50015’20” - 50015’00” = +20”
17


∆4 = x4 - X = 50015’10” - 50015’00” = +10”
∆5 = x5 - X = 50014’40” - 50015’00” = -20”
∆6 = x6 - X = 50015’50” - 50015’00” = +50”
Sử dụng công thức Gauss tính SSTP:
n

m=

∑∆
i=1

2
i

n

(-30) 2 + (-10) 2 + (+20) 2 + (+10) 2 + (-20)2 + (+50)2
= 27,1”
6

=

c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên
M=

m
n

=

27,1"
6

= 11,1”

Bài 19:
Đo đoạn thẳng AB 7 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 210,33m;
210,43m; 210,35m; 210,36m; 210,37m; 210,48m; 210,34m. Yêu cầu:
a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên?
b/ Tìm SSTP và SSTP tương đối một lần đo các kết quả trên?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?
Giải:
a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung
bình cộng của các kết quả đo trên:
X0 =

210, 33 + 210, 43 + 210,35 + 210,36 + 210,37 + 210, 48 + 210,34
= 210,38 (m)

7

b/SSTP một lần đo các kết quả trên
Các sai số xác suất nhất:
V1 = x1 - X0 = 210,33 - 210,38 = -5 (cm)
V2 = x2 - X0 = 210,43 - 210,38 = +5 (cm)
V3 = x3 - X0 = 210,35 - 210,38 = -3 (cm)
V4 = x4 - X0 = 210,36 - 210,38 = -2 (cm)
V5 = x5 - X0 = 210,37 - 210,38 = -1 (cm)
V6 = x6 - X0 = 210,48 - 210,38 = +10 (cm)
V7 = x7 - X0 = 210,34 - 210,38 = -4 (cm)
Sử dụng công thức Bessel tính SSTP:
n

m=

∑V

2
i

i=1

n -1

=

(-5)2 + (+5)2 + (-3) 2 + (-2) 2 + (-1)2 + (+10)2 + (-4) 2
= 5,5 (cm)
7 -1

SSTP tương đối một lần đo:
1 m
5, 5
1
=
=
=
T X 0 21038 3841

c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên
M=

m
n

=

5,5
7

= 2,1 (cm)

18


Bài 20:
Tổ 1 đo đoạn thẳng AB 5 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 20,54m;
20,56m; 20,52m; 50,58m; 50,57m. Tổ 2 đo đoạn thẳng CD 5 lần, cùng độ chính xác,
các kết quả như sau: 300,74m; 300,70m; 300,79m; 300,68m; 300,65m. Hỏi tổ nào đo

tốt hơn?
Giải:
Tương tự cách tính bài 19, ta tính được:
- SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng AB:
m1 = 2,4 (cm) và

1
1
=
T1 839

- SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng CD:
m1 = 5,5 (cm) và
Ta thấy

1
1
=
T2 5513

1
1
< ⇒ Tổ 2 đo tốt hơn (chính xác hơn).
T2 T1

Bài 21:
Đo đoạn thẳng AB 16 lần, cùng độ chính xác. Biết rằng SSTP một lần đo là
24mm. Tìm SSTP trị xác suất nhất?
Giải:
Áp dụng công thức 3.9, ta có:

M=

m
n

24

=

16

= 6 (mm)

Bài 22:
SSTP trị trung bình cộng của 9 lần đo là ±24mm. Biết rằng các kết quả đo cùng
độ chính xác. Tìm SSTP một lần đo?
Giải:
Từ công thức tính SSTP trị trung bình cộng (3.9), ta có:
M=

m
n

⇒

m = M n = 24 9 = 72 (mm)

Bài 23:
Sử dụng máy đo có SSTP đo góc là ±30”, đo góc A và B của tam giác ABC. Tìm
SSTP xác định góc C và SSTP đo tổng 3 góc của tam giác ABC?

Giải:
Theo đề bài, ta có: mA = mB = ±30”
Mặt khác, ta có công thức tính góc C:
C = 1800 - A - B.
Áp dụng công thức tính SSTP của hàm (công thức 3.8) ta có:
2

2

 ∂C  2  ∂C  2
mC = 
 mA + 
 mB =
 ∂A 
 ∂B 

mC =

( -1)

2

( -1)

2

2

m A2 + ( -1) m B2

2

302 + ( -1) 30 2 = 30" 2 = 42,4”

Tổng 3 góc trong một tam giác:

19


T = A + B + C. Áp dụng công thức 3.8:
2

2

2

 ∂T  2  ∂T  2  ∂T  2
2
2
2
2
2
2
mT = 
 mA + 
 mB + 
 m C = 1 m A +1 m B +1 m C
∂
A
∂

B
∂
C







mT = 302 + 302 + 2.30 2 = 60”

Bài 24:
Tìm SSTP đo một góc của lục giác? Biết rằng SSTP của tổng các góc trong lục
giác này là ±60” và các góc này được đo cùng điều kiện.
Giải:
Tổng các góc trong lục giác:
T = β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6. Áp dụng công thức 3.8:
m T = m12 + m 22 + m 32 + m 24 + m52 + m 62

Vì các góc đo cùng điều kiện nên m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m. Suy ra:
mT = m 6 = 60” Þ m =

mT
6

=

60"
6

= 24,5”

Bài 25:
Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/1000; góc A
được đo với SSTP 40”. Các kết quả đo như sau: AB = c = 50,34m; AC = b = 65,23m
và A = 46015’00”. Tìm SSTP và SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?
Giải:
Ta có:
mb 1
1
b
= 65mm
= =
⇒ mb =
b
T 1000
1000
mc 1
1
c
= 50mm
= =
⇒ mc =
c
T 1000
1000

Diện tích:
F = 1/2bcSinA. Áp dụng công thức 3.8:

2

2

2

 ∂F 
 ∂F 
 ∂F  m 2A 1
m F =   m b2 +   m c2 + 
 2 =
2
 ∂b 
 ∂c 
 ∂A  ρ

mF =

1
2

(

)

2

(

( csinA )

)

2

2

2

m 2b + ( bsinA ) mc2 + ( bc )

50,34sin46015'00" 0, 052 + 65, 23sin46015'00" 0, 0652 + ( 65, 23.50,34 )

mF = 1,809 (m2)

2

2

m 2A
ρ2

402
2062652

Bài 26:
Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/2000; góc A =
0
30 và mA = 40”. Tìm SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?
Giải:

Diện tích: F = 1/2bcSinA
2

2

2

 ∂F 
 ∂F 
 ∂F  m 2A
m F =   m 2b +   mc2 + 
 2
 ∂b 
 ∂c 
 ∂A  ρ

20


1
mF =
2

( csinA )

2

m + ( bsinA ) m + ( bc )
m 2b

mF
2m F
=
=
F
bcsinA

2

2
b

b2

+

mc2
c2

2

+

2
c

2

m 2A
ρ2

m A2
ρ 2sin 2 A

2

mF
 1   1 
402
1
=2 
+
+
=
 

2
2
0
F
1240
 2000   2000  206265 sin 30

Bài 27:
Đo chiều dài các cạnh hình vuông với SSTP tương đối là 1/2000. Tìm SSTP
tương đối đo chu vi hình vuông đó?.
Giải:
Chu vi hình vuông:
P=a+b+c+d
⇒ m 2P = ma2 + m 2b + mc2 + md2

Mặt khác:
ma m b mc md 1
=
=
=
=
a
b
c
d
T

Vì a = b = c = d = x nên ma = mb = mc = md = mx =
⇒ m 2P =

⇒

x
T

m 2P
4x 2
4x 2
4x 2
1
⇒
=
=
= 2

2
2
2 2
2
2
T
P
TP
T (4x)
4T

mP
1
1
1
=
=
=
P
T 4 2000 4 4000

Bài 28:
Cho biết S = 135,340m và mS = ±5mm; α = 215035’20” và mα = ±50”. Tìm SSTP
số gia tọa độ ∆X và ∆Y?
Giải:
Ta có: ∆X = Scosα, suy ra:
m ∆X =

( cosα )

m ∆X =

(

2

2
S

m + (-Ssinα)

)

2

mα2
ρ2

2

cos215035'20" 0, 0052 + (-135,34sin215035'20") 2

502
= 0,020 (m)
2062652

Ta có: ∆Y = Ssinα, suy ra:
m ∆Y =

( sinα )

m∆Y =

(

2

mS2 + (Scosα) 2

)

2

mα2
ρ2

sin215035'20" 0, 0052 + (135,34cos215035'20") 2

502
= 0,027 (m)
2062652

Bài 29:
Đo 1 cạnh của hình vuông 5 lần cùng độ chính xác được các kết quả: 50,11m;
50,12m; 50,08m; 50,09m; 30,10m. Tính SSTP tương đối của chu vi và diện tích hình
21


vuông?

Giải:
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác nên trị xác suất nhất:
500,11+ 50,12 + 50,08 + 50, 09 + 50,10
= 50,10 (m)
5

X0 =

Các sai số xác suất nhất:
V1 = x1 - X0 = 50,11 - 50,10 = +1 (cm)
V2 = x2 - X0 = 50,12 - 50,10 = +2 (cm)
V3 = x3 - X0 = 50,08 - 50,10 = -2 (cm)
V4 = x4 - X0 = 50,09 - 50,10 = -1 (cm)
V5 = x5 - X0 = 50,10 - 50,10 = +0 (cm)
Sử dụng công thức Bessel tính SSTP một lần đo:
n

∑V

m=

2
i

i=1

n -1

=

(+1) 2 + (+2) 2 + (-2)2 + (-1) 2 + (+0) 2
= 1,6 (cm)
5 -1

Sai số trung phương trị xác suất nhất:
m

M=

n

=

1, 6
5

= 0,7 (cm)

Vậy, ta có: chiều dài cạnh hình vuông a = 50,10m với ma = ±0,7cm
Chu vi hình vuông:
P = 4a Þ m P = 42 m a2 = 4m a

Þ

m P 4m a m a
0, 7
1
=
=
=

=
P
4a
a
5010 7157

Diện tích hình vuông:
F = a2

Þ

Þ m F = (2a)2 m a2 = 2a.m a

m F 2a.ma 2ma 2.0, 7
1
=
=
=
=
2
F
a
5010 3579
a

Bài 30:
Trong tam giác ABC, góc A được đo 5 lần, góc B đo 6 lần, góc C đo 7 lần và các
lần đo cùng điều kiện. Tìm trọng số của các góc A, B và C?
Giải:
Gọi µ là SSTP một lần đo góc. Áp dụng công thức (3.9), ta có SSTP các góc A, B

và C:
mA =

µ
5

;

mB =

µ
6

;

mC =

µ
7

Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:
PA =

µ2
µ2
=
=5;
m 2A µ 2
5

PB =

µ2
µ2
=
=6;
m 2B µ 2
6

PC =

µ2
µ2
=
=7
m C2 µ 2
7

22


Bài 31:
Góc β được đo 6 lần không cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:
STT
β
SSTP
0
1
123 20’55”
15”

0
10”
2
123 20’22”
0
3
123 20’47”
20”
0
4
123 20’50”
15”
0
10”
5
123 20’30”
0
6
123 20’40”
5”
Tìm trị đo xác suất nhất và SSTP của nó?
Giải:
Gọi µ là SSTP của góc đo lần 3. Ta có: µ = 20”. Khi đó, trọng số của các lần đo là
(áp dụng công thức 3.11) :
µ 2 20 2
P1 = 2 = 2 = 1,78
m1 15
P2 =

µ 2 202

=
= 4,00
m 22 102

P3 =

µ 2 202
=
= 1,00
m32 202

P4 =

µ 2 202
=
= 1,78
m 24 152

P5 =

µ 2 20 2
=
= 4,00
m 52 102

P6 =

µ 2 202
= 2 = 16,00
m62

5

Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)
X0 =

∑Px
∑P
i

i

=

i

1, 78.1230 20'45" + 4, 00.1230 20'34" + ... +16, 00.1230 20'40"
1, 78 + 4, 00 +1, 00 +1, 78 + 4, 00 +16, 00

0

X0 = 123 20’38”
Các sai số xác suất nhất:
V1 = x1 - X0 = 123020’55” - 123020’40” = +17”
V2 = x2 - X0 = 123020’22” - 123020’40” = -16”
V3 = x3 - X0 = 123020’47” - 123020’40” = +9”
V4 = x4 - X0 = 123020’50” - 123020’40” = +12”
V5 = x5 - X0 = 123020’30” - 123020’40” = -8”
V6 = x6 - X0 = 123020’40” - 123020’40” = +2
Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):
n

∑V P
µ=

i=1

2
i i

n -1

=

(+17) 2 .1, 78 + (-16) 2 .4 + (+9) 2 .1+ (+12)2 .1, 78 + (-8) 2 .4 + (+2) 2 .16
6 -1

23


µ = 21”
SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.17):
µ

M=

µ

=

PX

=

n

∑P

0

i=1

21"
1, 78 + 4, 00 +1, 00 +1, 78 + 4, 00 +16, 00

= 3,9”

i

Bài 32:
Đoạn thẳng S được đo 100 lần cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:
STT
S (m)
Số lần đo
1
250,45
10
2
250,55
50
3

250,40
40
Yêu cầu:
a/ Tìm trị đo xác suất nhất?
b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất?
Giải:
Gọi µ là SSTP của một lần đo. Sai số trung phương kết quả đo thứ 1, 2 và 3 (áp
dụng công thức 3.9) là:
m1 =

µ
10

;

m2 =

µ
50

;

m3 =

µ
40

Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:
P1 =

µ2 µ2
=
= 10 ;
m12 µ 2
10

P2 =

µ2 µ2
µ2
µ2
;
=
=
50
P
=
=
= 40
3
m 22 µ 2
m32 µ 2
50
40

a/ Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)
X0 =

∑Px

∑P
i

i

=

i

10.250, 45 + 50.250, 55 + 40.250, 40
= 250,48 (m)
10 + 50 + 40

0

X0 = 123 20’38”
Các sai số xác suất nhất:
V1 = x1 - X0 = 250,45 - 250,48 = -3 (cm)
V2 = x2 - X0 = 250,55 - 250,48 = +7 (cm)
V3 = x3 - X0 = 250,40 - 250,48 = -8 (cm)
Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):
n

∑V P
µ=

i=1

2
i i

n -1

=

(-3) 2 .10 + (+7) 2 .50 + (-8) 2 .40
= 51 (cm)
3 -1

b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất: m1
SSTP kết quả đo thứ nhất (áp dụng công thức 3.13):
m1 =

µ
P1

=

51
10

= 16 (cm)

24


c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.13):
M=

µ

=

n

∑P
µ
PX

10 + 50 + 40

= 5,1 (cm)

i

i=1

M=

51

=

µ

=

n

∑P

0

21"
1, 78 + 4, 00 +1, 00 +1, 78 + 4, 00 +16, 00

= 3,9”

i

i=1

Bài 33:
Đo góc AOB bằng phương pháp đo đơn giản. Đặt máy kinh vĩ tại O, lần lượt
ngắm A và B, đọc số trên bàn độ ngang: a1 = 129047’15”; b1 = 215011’35”. Đảo kính,
lần lượt ngắm B và A đọc số trên bàn độ ngang:b2 = 35012’10”; a2 = 309047’20”. Yêu
cầu:
a/ Tính góc bằng của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo?
b/ Cho biết SSTP mỗi lần ngắm mục tiêu và đọc số là ±20” (bỏ qua các nguồn sai số
khác), tính SSTP của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo?
Giải:
a/ Góc bằng β
- Góc bằng của nửa lần đo thuận kính:
β1 = b1 - a1 = 215011’35” - 129047’15” = 85024’20”
- Góc bằng của nửa lần đo đảo kính:
β2 = b2 - a2 = 35012’10” - 309047’20” = -274035’10” + 3600 = 85024’50”
- Góc bằng của nửa lần đo thuận kính:
β = 1/2.(β1 - β1) = 1/2.(85024’20” - 85024’50”) = 85024’35”
b/ SSTP đo góc bằng β
Theo đề bài ta có: ma1 = ma2 = mb1 = mb2 = ±20”

- SSTP nửa lần đo thuận kính:
Ta có: β1 = b1 - a1
2
2
mβ1 = 12 m b1
+ (-1) 2 m a1
= 12 202 + (-1) 2 202 = 20" 2 = 28,3”

- SSTP nửa lần đo đảo kính :
Tương tự như nửa lần đo thuận: mβ2 = 28,3”
- SSTP một lần đo :
1
2

1
2

Ta có: β = β1 + β 2
2

2

2

1
1
1
mβ =   mβ21 +   mβ22 =   20" 2
2
2

2

(

)

2

2

1
+   20" 2
2

(

)

2

= 20”

Bài 34:
Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia
gồm chỉ trên t = 1857mm, chỉ dưới d = 1035mm; góc đứng V = 3015’20”. Biết rằng
SSTP đọc số trên mia ±1mm, mV = ±60” và mK = 0,2 (bỏ qua các sai số khác). Yêu
cầu:
a/ Tính chiều dài AB?

25