Chương V. §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giáo sinh: Đinh Thị Thúy


2

KIỂM TRA KIẾN THỨC VỀ GiỚI HẠN
2

x 4
a / lim
x 2
x 2

Tính:

( x  2)( x  2)
lim
x 2
( x  2)
lim( x  2)
x 2

4

b/ lim
x 3

x 3
x 3
x 3

x 3
Ta có : lim
 lim
x 3 x  3
x 3 x  3
 lim 1 1
x 3

x 3

 ( x  3)
lim
 lim
x 3 x  3
x 3
x 3
 lim ( 1)  1
x 3

Suy ra

lim
x 3

x 3
x 3

không tồn tại

3

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4. VI PHÂN
5. ĐẠO HÀM CẤP HAI


4

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán: Từ vị trí O ( ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả
một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động
O
của viên bi.(bỏ qua sức cản của không khí)
s  t0 

s(t)- s(t0 )
vtb 
t - t0

s(t)  s(t0 )
v(t0 )  lim
t�t0
t  t0
(Hữu hạn)

( tại t0 )

M0

( tại t )

M

s t

y

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểmt 0


5

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản nhất và quan trọng nhất của
giải tích toán học. Nó xuất hiện do nhu cầu giải quyết những bài
toán thực tế như: Cơ học, điện học, quang học, hình học, hóa
học, ... Sự xuất hiện khái niệm đạo hàm như sau:

Vận tốc tức thời

Cường độ dòng
điện tức thời

Tốc độ phản ứng
hóa học tức thời

s (t )  s (t0 )
Q(t )  Q(t0 )
C (t )  C (t0 )
v(t0 )  lim
C (t0 ) lim
I (t0 )  lim
t �t0
t t
t
�
t
t  t0
t  t0
t  t0
0

Đạo hàm

f ( x )  f ( x0 )
lim
x � x0
x  x0

0


7

I.

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và x0 �(a; b)
f ( x)  f ( x0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
khi x dần đến x0
x  x0
gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm
Ta có:

x0, kí hiệu là: f '( x0 )

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x � x0
x  x0


8

I.

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x � x0
x  x0

2
f
(
x
)

x
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số
tại điểm x0 2

Đạo hàm của hàm số

2

f ( x)  x tại điểm x0 2

là:

f ( x)  f (2)
x2  4
f '(2)  lim
 lim
 lim  x  2   4
x �2

x �2 x  2
x �2
x2


9

I.

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1.

Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2.

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

f '( x0 )  lim

x � x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

Chú ý: (SGK)

x  x  x0 là số gia của đối số tại x0
y  f  x0  x   f  x0 . là số gia tương ứng của hàm số

y
Ta có:
f '( x0 )  lim
x  0 x


10

I.

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1.

Bài tốn dẫn đến khái niệm đạo hàm

2.

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

3.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

x  x  x

Bước 1: Giả sử 0
đối số tại
yx0, ftính
x  x

0

y
Bước 2: Lập tỉ
sốx
Bước 3: Tính

y
lim
x  0 x

  f  x0 .

f '( x0 )  lim

x � x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

là số gia của


11

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

1
tại x0  5

a / f ( x) 
x2

Giải

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại

x0  5 .Ta có:

1
1
x
y  f (5  x)  f(5) 
 
5  x  2 3 3(3  x)

y
x
1
1
lim
 lim
 lim

x �0 x
x �0 x.3.( x  3)
x �0 3( x  3)
9
Vậy

1
f '(5) 
9


12

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số
3

b / f ( x)  x  1
Giải

tại

x0 0

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 0 .Ta có:

f (0  x) 3 0  x  1 3 x  1
f (0) 3 0  1  1
Suy ra y  f (0  x)  f (0) 3 x  1  1
3
y
x  1  1
x
lim
 lim
 lim
2

x  0 x
x  0
x  0
3
x

x x  1  3 x  1  1


1
1
1
 lim
 .
2
x  0 3
Vậy, f ' (0) 
x  1  3 x  1  1 3









3

13

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

c / f ( x) 3 x  1

1
d / f ( x) 
x
2

e / f ( x)  x  x

tại

tại

tại

x0 1

x0 3
x0 1

Tổ 1 giải câu c, tổ 2 và 3 giải câu d, tổ 4 giải câu e.

C


14

Ghi nhớ

f ( x)  f ( x0 )
1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: f '( x0 )  xlim
� x0
x  x0

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

x sử
 x  x0
Bước 1: Giả
của đối
 x .
y số
f  x tại
 xx 0, ftính
f '( x0 )  lim

f ( x)  f ( x0 )0
x  x0

0

y
lim
x  0 x
Bước 2: Tìm
x � x0

BÀI TẬP VỀ NHÀ : 2 trang 156

là số gia


Bài tập liên môn:
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga.
Quãng đường s(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của
2
thời gian t(phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s  t
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t , t0 ]
với t0  3 và t = 2; t = 2,5
Giải:

s (t )  s (t0 ) t 2  t02
vtb 

 t  t0
t  t0
t  t0
t0  3; t  2 � vtb  5
t0  3; t  2,5 � vtb  5,5