Khai thác, mở rộng một vài bài tập ở sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với chương trình hình học lớp 7

PHềNG GIO DC & O TO NAM N

---------- *** ----------

Sáng kiến kinh nghiệm
"Khai thác, mở rộng một vài bài tập ở
sách giáo khoa để
bồi dỡng học sinh khá giỏi" đối với chơng
trình hình học lớp 7


MỤC LỤC

Trang
A

Đặt vấn đề

03

B

Nội dung

03- 12

C

Kết luận

13 - 14

D

Tài liệu tham khảo

15


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết sách giáo khoa Toán THCS hiện hành đã triển khai
thực hiện trên toàn quốc cho lớp 6 trừ năm học 2002 – 2003 sau bốn năm đã triển
khai thực hiện cho toàn bộ bậc THCS. Sách trình bày ở mức độ kiến thức cho mọi
vùng, miền trên cả nước. Từ lý thuyết đến hệ thống bài tập được lựa chọn. Tất cả
giáo viên dạy Toán ở bậc THCS đều hiểu rõ điều này. Tuy nhiên, sử dụng sách giáo
khoa và hệ thống bài tập của sách cho phù hợp với đối tượng học sinh là điều cần
quan tâm số một. Đặc biệt đối với học sinh các trường chuyên, lớp chọn thì phải
quan tâm và đầu tư nhiều hơn, mạnh hơn.
Bởi vì: Đối với đói tượng học sinh khá, giỏi giáo viên cần phải khai thác
thêm, các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa như là: Mở rộng bài toán - Chuyển
hoá thành bài toán mới bằng cách lật ngược vấn đề, xem xét và nhìn bài toán g tự
ở những góc độ khác, nảy sinh bài toán mới, ý tưởng mới ,… từ bài toán đó.
Tôi xin mạnh dạn nêu ra một vài ví dụ về một vài bài toán trong sách giáo
khoa Toán 7 thuộc phần “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác” mà
người giáo viên có thể mở rộng bài toán đó để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Hay
nói cách khác từ một bài toán cơ bản, giáo viên có thể mở rộng thêm một số câu
nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm nhiều kỹ năng khác nhau và củng cố thêm
được nhiều kiến thức có liên quan, đồng thời phát huy được, tính tích cực hoạt
động ở học sinh, phát huy được tính tò mò, tìm kiến thức mới trong giờ có giáo
viên cũng như giờ tự học bài ở sách giáo khoa. Sau đây tôi xin được trình bày vài
suy nghĩ của mình xung quanh việc “Khai thác mở rộng một vài bài tập ở sách

giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi” đối với chương trình hình học lớp 7.
B- NỘI DUNG:
I- Kiến thức trọng tâm:
+ Khái niệm đường trung tuyến của tam giác.
+ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
+ Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông,
đường trung bình của tam giác.
+ Đường thẳng đi qua một đỉnh và trọng tâm của tam giác thì đường thẳng
đó đi qua trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy.
+ Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và trung điểm một cạnh thì
đường thẳng đó đi qua đỉnh đối diện với cạnh ấy.


+ Trong tam giác cân hai đường trung tuyến ứng với các cạnh bên thì bằng nhau.
+ Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tham giác đó là
tam giác cân.
II- Một số bài tập cần đưa ra:
Ví dụ 1: Xét bài tập 25 - SGK Toán 7 - Tập II - Trang 67.
Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính
khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm của tam giác ABC.
* Để giải bài toán này các em học sinh khá giỏi cần chứng minh định lý:
Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền.
Chứng minh định lý (Hình 1)
A

B

M

C

D

Hình 1
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Ta có  MAC =  MDB (c.g.c) � AC = BD
� � BD // AC Mà BAC
�  900 � DBA
�  900
Và �
ACB  DBC


Xét  ABC và  BAD có
�  DBA
�  900
BAC
�  ABC =  BAD (c.g.c)

AC = BD (chứng minh trên)
AB cạnh chung

Do đó BC = AD (2 cạnh tương ứng)
Mặt khác AM =

1
1
AD � AM = BC (đ.p.c.m)
2

2

Lời giải ví dụ 1 (Hình 2):
A

G

B

M

C

Hình

2
Gọi G là trung tâm của  ABC; AM là đường trung tuyến
� AG =

2
1
AM (1) mà AM = BC
3
2

(2)

(theo định lý vừa xây dựng ở trên)

Ta có  ABC vuông ở A; AB = 3cm; AC = 4cm � BC = 5cm (3)

(theo định lý pitago)
2 1
3 2

Từ (1); (2) và (3) � AG = . .5 

5
(cm) (Điều cần tìm)
3

Xét ví dụ 2: Bài 30 - SGK Toán 7 - Tập II - Trang 67
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm D sao cho G là
trung điểm của AD.
a) So sánh các cạnh của tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam
giác ABC.
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGD với các cạnh của tam
giác ABC.


Lời giải ví dụ 2 (Hình 3):
A

N

E
G
Q
B

M

C

F
D

Hình 3
a) Gọi M; N; E thứ tự là trung điểm của BC; AC và AB � AM; BN và CE
là ba đường trung tuyến của  ABC mà G là trung tâm, suy ra:BG =
AG =

2
BN (1)
3

2
2
AM mà AG = GD nên GD = AM (2)
3
3

Và GM =

1
1
1
AM nên GM = AG = GD do đó MG = MD
3
2
2

Xét  MDB và  MGC có
MG = MD, MB = MC

�  MDB =  MGC (c.g.c)

�  CMG
�
(đđ)
BMD

Do đó BD = GC mà GC =

2
2
CE nên BD = CE (3)
3
3

Từ (1); (2) và (3) � Ba cạnh BG; BD và GD của tam giác BDG tương ứng
bằng

2
các đường trung tuyến BN; CE và AM của tam giác ABC.
3

b) Goi F, Q thứ tự là trung điểm của BD và BG
Ta có BM; GF và DQ là các đường trung tuyến của  BDG, suy ra:
BM =

1
BC
2

(4)

và QG = QB = GN =

1
BN
3


Xét  GQD và  GNA có
�  GQD =  GNA (c.g.c)

GD = GA và GQ = GN
�  NGA
�
QGD
(đ đ)

Do đó DG = AN mà AN =

1
1
AC � DG = AC
2
2

(5)

Ta có:  MDB =  MGC (chứng minh trên)
�
�
�  GBD
�
� GCM
� CG // BD hay CE // BD � EGB
(so le trong)
 DBM

Ta có: EG =
Và BF =

1
GC vì G là trọng tâm của  ABC
2

1
1
BD mà BD = GC � BF = GC nên EG = BF
2
2

Xét  BGE và  GBF có
�  BGE =  GBF (c.g.c)

GE = BF; BG chung
�  GBF

�
(chứng minh trên)
EGB

Do đó GF = BE =

1
AB
2

(6)

Từ (4); (5) và (6) � các đường trung tuyến BM; DQ và GF của tam giác
BDG trình tự bằng một nửa BC, AC và AB là các cạnh của tam giác ABC
Như vậy chúng ta đã giải quyết xong bài 30, bây giờ các em chú ý vào 
DAB có G là trung điểm của DA và F là trung điểm của DB và chúng ta đã chứng
minh được GF =

1
AB và GF // AB. Đây là một định lý mở rộng cùng với định lý:
2

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ
hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại (HS tự chứng minh). Hai định lý này trình
bày ở sách giáo khoa Toán 8 thì các em được một số câu bổ sung sau đây:
Câu thứ nhất: Chứng minh G là trọng tâm của  MNE
Câu thứ hai: Chứng minh đường thẳng đi qua đỉnh C và trung điểm của AM
thì đi qua điểm I của AB và AI =

1

AB.
3

Câu thứ ba: Đảo của câu thứ hai. Chứng minh đường thẳng đi qua điểm I và
C thì đi qua trung điểm của AM.


Câu thứ tư: Chứng minh rằng một trong ba đường trung tuyến của  ABC
nhỏ hơn tổng hai đường còn lại.
Câu thứ năm: Trên tia AB lấy điểm B’ sao cho B là trung điểm của EB’. Trên
tia MC lấy điểm C’ sao cho C là trung điểm của MC’. Gọi A’ là giao điểm của EC’
với AC. Chứng minh N, E, A’ thẳng hàng
Câu thứ sáu: Chứng minh: BN + CE >

3
. BC
2

Câu thứ bảy: Cho AB < AC. Chứng minh: CE > BN
Câu thứ tám: Cho AM = 12 cm, BN = 9 cm, CF = 15 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Câu thứ chín: G là trọng tâm của  ABC có cạnh BC cố định. Chứng minh
đường thẳng AG luôn đi qua một điểm cố định khi đỉnh A thay đổi.
Câu thứ mười: Cho điểm O thay đổi trong  ABC lấy điểm O’ sao cho M là
trung điểm của OO’. Gọi M’ là trung điểm của AO’. Chứng minh OM’ luôn đi qua
một điểm cố định.
Lời giải câu bổ sung thứ nhất (Hình 4):
A

K

E

N
G

S

Hình 4

C

B
M

Gọi K là giao điểm của AM với EN
Xét  ABC có E là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC
� EN // BC

Xét  ABM có E là trung điểm của AB và EN // BC
� K là trung điểm của AM do đó tam giác ABM có EK =

1
BM.
2


1
MC mà BM = MC do đó KE = KN nên K là trung điểm
2
của EN � MK là đường trung tuyến của  MNE.

Tương tự KN =

Gọi S là giao điểm của BN và EM. Chứng minh tương tự được NS là trung
tuyến của  MNE, mặt khác MK và NS cắt nhau tại G (vì AM và BN cắt nhau tại G)
� G là trọng tâm của  MNE (đ.p.c.m).
Lời giải câu bổ sung thứ 2 (Hình 5):
A

I
K
J

B

C
M

Hình 5
Gọi J là trung điểm của IB mà M là trung điểm của BC
� trong  BCI có MJ // IC hay IK // JM

Xét  AJM có K là trung điểm của AM và IK // JM
� I là trung điểm của AJ � IA = IJ mà IJ = JB nên AI =

1
AB
3

Lời giải câu bổ sung thứ 3:

Gọi J là trung điểm của IB mà M là trung điểm của BC � trong  BIC có MJ //
IC hay IK //JM. Mặt khác AI =

1
1
AB � AI = IJ = JB = AB nên  AJM có I là trung
3
3

điểm của AJ và IK // JM � K là trung điểm của AM, hay CI đi qua trung điểm của AM.


Lời giải câu bổ sung thứ 4
(Hình 6):

A

N

E
G

P
B

Hình 6

C
M

Gọi P là trung điểm của GC � PG =

1
1
GC = CE
2
3

(7)

mà GM =

1
AM
3

(8)

Xét  CBG có M là trung điểm của BC; P là trung điểm của CG
� MP =

1
1
BG = BN
2
3

(9)

Xét  MGP có MP + PG > GM

Từ (7); (8); (9) và (10) �

(10)

1
1
1
BN + CE > AM � AM < BN + CE
3
3
3

Tương tự ta chứng minh được BN < AM + CE và CE < AM + BN
Lời giải câu bổ sung thứ 5 (Hình 7):
A

E
A'

B

C
M

B'

Hình 7

C'

Xét  BAC có E là trung điểm của AB và M là trung điểm của BC
� EM // AC hay CA’ // EM

Xét  C’EM có C là trung điểm của MC’ và CA’ // EM
� A’ là trung điểm của C’E � B’A’ là đường trung tuyến của  B’C’E (11)

Mặt khác C’B là đường trung tuyến của  B’C’E
� M là trọng tâm của  B’C’E

có C’M =

2
C’B
3

(12)

Từ (11) và (12) � B’; M; A’ thẳng hàng (đ.p.c.m)
Lời giải câu bổ sung thứ 6 (Hình 8):
A

E

N
G

B

C

Hình 8
Xét  ABC có các đường trung tuyến BN và CE; G là trọng tâm suy ra:
BG =

2
2
BN và CG = CE
3
3

Xét  GBC có BG + CG > BC.
Do đó:

2
2
BN + CE > BC
3
3

� BN + CE >

3
BC (đ.p.c.m)
2

Lời giải câu bổ sung thứ 7 (Hình 9):


A

E

N
G

Hình 9
B

C
M

Định lý bổ
sung: Nếu hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau, cặp cạnh thứ 3 không
bằng nhau cạnh nào đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn: (HS tự chứng
minh định lý này)
� �
�  GMB
�
Xét  ABC có AB < AC � �
ACB  �
ABC � AMC
AMB hay GMC

Xét  GBM và  GMC có
� BG < GC (theo định lý trên)

BM = CM; GM cạnh chung
�  GMC
�

GMB
�

3
3
BG  CG � BN  CE (đ.p.c.m)
2
2

Lời giải câu bổ sung thứ 8 (Hình 10):
A

N

E
G

10

6

4

B

M
10

C

4
D

Hình 10


Do G là trọng tâm của  ABC suy ra: BG =
CG =
AG =

2
2
BN = . 9 = 6 (cm)
3
3

2
2
CE = . 15 = 10 (cm) � GD = 8 cm
3
3
2
2
1
1
AM = . 12 = 8 (cm) � GD = 8 cm Và GM = AM = . 12 = 4 (cm)
3
3
3
3

Xét  GBD có GB = 6 cm, GD = 8 cm và DB = 10 cm
�  GBD vuông tại G (theo định lý pitago đảo)

Do đó  GBM vuông tại G � BM = GB 2  GM 2
Hay BM = 62  42  52 (cm) � BC = 2 52  4 13 (cm) �14, 4 (cm)
Lời giải câu bổ sung thứ 9:
Đường thẳng đi qua đỉnh A và trọng tâm G của  ABC thì đi qua trung điểm
M của BC mà BC cố định � điểm M cố định. Vậy đỉnh A thay đổi, cạnh BC cố
định thì đường thẳng AG luôn đi qua điểm M cố định là trung điểm của BC.
Lời giải câu bổ sung thứ 10 (Hình 11):
A

N
O
M'

G
B

C
M

O'

Hình 11
Ta có AM là đường trung tuyến của  ABC. G là trọng tâm của  ABC mà
AM cũng là đường trung tuyến của tam giác AOO’ => G là trọng của tam giác
AOO’
OM’ là trung tuyến  AOO’ (vì M’ là trung điểm của AO’) � OM’ luôn đi

qua điểm G cố định (đ.p.c.m)


C- KẾT LUẬN:
I- Quá trình thí nghiệm kết quả:
Qua quá trình giảng dạy và làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi, càng
nghiên cứu tôi càng thấy: Hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa người giáo viên có
thể khai thác, mở rộng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi, đặc biệt là một số bài tập
hình học thuộc phần “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác”. Vì vậy
trong thời lượng nhất định khoảng 8 đến 10 tiết tôi đã cung cấp cho học sinh cách
khai thác, mở rộng một số bài tập ở sách giáo khoa , qua đó học sinh nắm chắc
được bài tập ở sách giáo khoa, tự tìm tòi, nhìn nhận bài toán theo ý tưởng và góc
độ mới … mở rộng, phát triển,… để giải quyết bài nâng cao hơn từ bài đã làm,
chính vì thế một số em tự trả lời “Học hình học như thế này thì chúng em say mê,
hứng thú và không sợ làm bài tập hình như trước nữa”.
+ Phần bài tập dành cho học sinh đại trà “Bài tập sách giáo khoa” thì 100%
học sinh khối 7 của trường tôi đều nắm chắc và biết cách trình bày lời giải chặt
chẽ, vẽ hình trực quan.
+ Phần bài tập dành cho học sinh khá và học sinh giỏi khi bồi dưỡng ở khối
7 có 85% hiểu bài, nhớ lâu.
Ngoài ra bản thân tôi có thể khai thác thêm nhiều bài và thật nhiều bài ở sách
giáo khoa các khối lớp bậc THCS để bồi dưỡng cho học sinh giỏi của khối đó.
II- Bài học kinh nghiệm:
Trên đây tôi chỉ mới đưa ra một số bài tập: Mở rộng, khai thác các bài đó.
Thưa các đồng nghiệp: Toán học rất đa dạng và phong phú, khai thác và phát triển
các bài toán từ các bài cơ bản sách giáo khoa để phục vụ cho công tác giảng dạy và
bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng ta sẽ khám phá ra nhiều điều thú vị ở các bài tập,
thì dạy toán đỡ đơn điệu, làm cho học sinh say mê, hứng thú hơn. Vì vậy mỗi
chuyên đề toán học chúng ta nên dạy theo từng dạng, đi từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp sẽ kích thích sự tò mò, lòng say mê và giúp cho các em học sinh rèn

luyện được khả năng tư duy, lôgíc, sáng tạo qua mỗi bài tập, giúp cho việc Dạy Học của chúng ta đạt kết quả cao hơn.
Vì trình độ và năng lực của bản thân có hạn, với chút kinh nghiệm ít ỏi như
trên, tôi xin được trao đổi với các đồng nghiệp, bên cạnh đó thời gian có hạn nên
đề tài này còn nhiều thiếu sót, mong nhận được sự góp ý chân thành của các đồng
chí, đồng nghiệp.
Xin cảm ơn !
Tháng 03 năm 2010


D- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1- Sách giáo khoa Toán 7 - Tập II
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên)
Trần Đình Châu - Trần Phương Thảo - Trần Kiều
2- Sách bài tập Toán 7 - Tập II
Tôn Thân (Chủ biên) - Vũ Hữu Bình
Trần Đình Châu - Trần Kiều
3- Nâng cao và phát triển Toán 7 - Tập II
Vũ Hữu Bình
4. Bồi dưỡng Toán 7 - Tập II
Đỗ Đức Thái


PHềNG GIO DC & O TO NAM N

---------- *** ----------

Sáng kiến kinh nghiệm
" Khai thác, mở rộng một vài bài tập
ở SGK để bồi dỡng
học sinh khá giỏi "đối với chơng

trình hình học lớp 7

Họ và tên
: Nguyễn Viết Quân
Môn
: Toán Tổ KHTN
Trờng
: THCS Đặng Chánh Kỷ
Năm thực hiện :
2010
Số điện thoại :
0984419581