MÔ PHỎNG MONTE CARLO TRONG NGHIÊN cứu sự CHUYỂN PHA của các vật LIỆU từ TÍNH KÍCH THƯỚC NANO (tt)

MÔ PHỎNG MONTE CARLO TRONG NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA
CÁC VẬT LIỆU TỪ TÍNH KÍCH THƯỚC NANO
Hoàng Danh Tài
Trường Đại học Quảng Bình
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu cơ sở và cấu trúc của phương pháp mô phỏng
Monte Carlo. Áp dụng vào nghiên cứu mạng lập phương, hệ spin Ising với tương tác gần nhất J1 và kế
tiếp gần nhất J2, chúng tôi chỉ ra rằng trạng thái cơ bản của hệ phụ thuộc vào tỉ số J 2 / J1 . Khi

J 2 / J1  0.25 , ở nhiệt độ thấp, hệ có trạng thái cơ bản rất đặc biệt với bậc suy biến là 6, ở đó các spin
định hướng giống nhau nằm dọc theo từng trục. Bằng mô phỏng Monte Carlo, chúng tôi đã tính được các
đại lượng nhiệt động như năng lượng, từ hóa, nhiệt dung riêng và độ từ cảm. Sự chuyển pha được xác
định ở điểm bất thường của các đại lượng này. Bản chất của sự chuyển pha cũng đã được nghiên cứu
bằng phương pháp tần suất năng lượng, kết quả cho thấy đây là sự chuyển pha loại I.
Từ khóa: Mô phỏng Monte Carlo; Chuyển pha; Mô hình spin Ising cổ điển; Từ tính.

1. MỞ ĐẦU
Chuyển pha là một trong những hiện tượng quan trọng trong khoa học vật liệu đậm đặc.
Nhờ sự phát triển vượt bậc của Vật lí thống kê từ những năm 1930, đến nay chúng ta đã có thể
hiểu một cách sâu sắc hơn về hiện tượng này. Trong chuyển pha bậc một, khi kích thước của hệ
đủ lớn, đồ thị theo nhiệt độ của năng lượng và từ hóa gián đoạn ở điểm chuyển pha, giá trị của
nhiệt dung riêng và độ từ cảm tại đó bằng vô cùng. Trong chuyển pha bậc hai, đồ thị năng lượng
và từ hóa theo nhiệt độ xuất hiện một điểm uốn tại điểm chuyển pha, tương ứng với điểm cực đại
trên đồ thị của nhiệt dung riêng và độ từ cảm. [3]
Cho đến nay, có hai phương pháp chính được sử dụng để nghiên cứu hiện tượng chuyển
pha là phương pháp nhóm bất thường (renormalization group method) và phương pháp mô
phỏng Monte Carlo (Monte Carlo simulation method). Phương pháp sử dụng nhóm bất thường
đã được sử dụng rộng rãi từ những năm 1970. [9] Ở đây chúng tôi giới thiệu phương pháp mô
phỏng Monte Carlo - một phương pháp mô phỏng trên máy tính sử dụng các thuật toán, chương
trình. Phương pháp này được bắt đầu đưa vào từ những năm 1950, nhưng chỉ mới khoảng 10
năm trở lại đây, nhờ sự phát triển mạnh của khoa học máy tính, nó đã trở nên phổ biến và cần
thiết trong nghiên cứu đặc tính của vật liệu.

Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm
cả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Sự phát triển nhanh của khoa học công nghệ, con người nghiên
cứu các hệ vật liệu ngày một phức tạp hơn, có tính ứng dụng cao hơn. Khi đó các phương pháp
lý thuyết sẽ gặp nhiều khó khăn, bởi lẽ ở đó thường dùng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng
số có thể kiểm chứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các
kết quả định lượng của mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu
thực nghiệm. Ngoài ra, mô phỏng được xem như là bước “số hóa thực nghiệm”, nó được tiến


hành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lần
thực nghiệm.
Trong phần 2, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về cơ sở của phương pháp mô phỏng Monte
Carlo và cấu trúc của nó. Các kết quả được trình bày ở phần 3 như là một thí dụ minh họa cho
việc sử dụng phương pháp này trong nghiên cứu. Các kết luận sẽ được nêu ra ở phần 4 của bài
báo.
2. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO

2.1. Cơ sở của phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Để đơn giản cho việc minh họa, ta xét một hệ spin. Dĩ nhiên điều này không làm mất đi
tính tổng quát của nó.
Trong vật lý thống kê, giá trị trung bình của một đại lượng A được tính theo công thức:
1
E( N)
A
(1)
 A(N).e
Z(T) N
Trong đó Z(T) là hàm phân bố hạt ở nhiệt độ T, E(N) là năng lượng của hệ và A(N) là giá
trị của A ở trạng thái vi mô N.
Theo nguyên tắc, chúng ta phải tính tổng đối với tất cả các trạng thái vi mô có thể có.

Điều này là không thể thực hiện được đối với các hệ có số spin lớn. Để khắc phục vấn đề này,
trong vật lý mô phỏng, người ta chọn các trạng thái vi mô có xác suất lớn, sau đó tính giá trị của
đại lượng cần tìm ở các trạng thái vi mô này rồi lấy giá trị trung bình. Bằng cách nào để chọn
được các trạng thái có xác suất lớn?
Điều này sẽ thực hiện được bằng cách sau: Thay vì lựa chọn một cách bất kỳ những trạng
thái vi mô, ta có thể tạo ra một tập các trạng thái (còn gọi là chuỗi Markov) trong đó trạng thái
thứ M được tạo ra từ trạng thái N trước đó bằng cách chỉ thay đổi giá trị của spin thứ i từ S i1
bằng Si2 (còn lại giá trị của các spin khác vẫn không thay đổi) với một xác suất dịch chuyển
w(N  M) .
Do vậy ta có:
P(N).w(N  M)  P(M).w(M  N)

trong đó: P(N) 

(2)

1
1
.eE( N) và P(M) 
.e E(M)
Z(T)
Z(T)

Suy ra:

w(N  M)
 eE
w(M  N)

trong đó

E  E(sk )  E(si )

(3)

Mặt khác ta biết: w(N  M)  1  w(M  N)
Kết hợp (3) và (4) ta được: w(N  M) 

e E
1  e E

(4)
(5)


1 khi E < 0
Từ đó nhận được kết quả: w(N  M)   E
khi E  0
e

(6)

Lưu ý rằng trạng thái M chỉ khác với trạng thái N ở chỗ giá trị của spin thứ i. Điều đó có
nghĩa là hiệu năng lượng E hệ ở hai trạng thái này chính là hiệu năng lượng của spin thứ i
đang xét ở hai trạng thái.
Như vậy nếu năng lượng của spin thứ i khi nó có giá trị Si2 bé hơn năng lượng của nó khi
nó có giá trị Si1 thì nó sẽ định hướng lại, để chuyển từ giá trị Si1 đến Si2. Ngược lại, xác suất dịch
chuyển sẽ là eE . Đây chính là cơ sở của phương pháp mô phỏng Monte Carlo.

2.2. Cấu trúc của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Có thể khái quát các bước chính của phương pháp này như sau:
Bước 1: Gán cho mỗi spin một giá trị Si bất kỳ.
Bước 2: Đối với mỗi spin i:
+ Tính năng lượng Ei1 của nó.
+ Thay đổi giá trị spin i (cho nó quay theo hướng khác) và tính năng lượng Ei2 của nó ở trạng
thái này.
+ Nếu Ei2 < Ei1 thì giá trị mới đó được chấp nhận, spin theo hướng mới.
+ Nếu Ei2  Ei1 thì giá trị mới đó chỉ được chấp nhận với một xác suất e(Ei 2 Ei1 )
Bước 3: Tiến hành lại bước 2 cho tất cả các spin. Khi này ta gọi là đã thực hiện xong một bước
Monte Carlo.
Bước 4: Tiến hành n1 bước Monte Carlo để đưa hệ về trạng thái cân bằng.
Bước 5: Thực hiện n2 bước Monte Carlo, mỗi lần thực hiện như vậy tính giá trị A(t) của đại
lượng vật lí cần tìm.
1 n1  n 2
Bước 6: Tính giá trị trung bình của đại lượng A theo công thức: A 
 A(t)
n 2 t  n1 1
Cần lưu ý rằng, giá trị của n1 và n2 phải đủ lớn để đảm bảo kết quả được chính xác.
3. SỰ CHUYỂN PHA CỦA VẬT LIỆU TỪ CÓ CẤU TRÚC LẬP PHƯƠNG VỚI HỆ
SPIN ISING
Chúng tôi xét một màng mỏng với bề dày gồm Nz lớp spin nguyên tử nằm dọc theo trục
z. Mỗi lớp gồm Nx.Ny spin nguyên tử. Điều kiện liên tục tuần hoàn được sử dụng đối với mặt
phẳng xy, không sử dụng đối với phương z.
Mạng cơ bản có cấu trúc lập phương được chỉ ra ở hình 1.

J2

J

Hình 1. Cấu trúc mạng lập phương với tương tác J 1 giữa

Hamiltonian được tính:
H  J1  SiS j  J 2  SiSm
(i, j)

(7)

(i, m)

Trong đó Si là spin Ising ở vị trí i, tổng  được tính đối với tất cả các spin Si và các
(i, j)

spin Sj lân cận gần nhất của nó với hệ số tương tác J1, trong khi đó tổng  được tính đối với
(i, m)

tất cả các spin Si và các spin Sm kế tiếp spin gần nhất với hệ số tương tác J2.
Ở đây chúng tôi xét các tương tác spin là phản sắt từ, do vậy chúng tôi đặt J1   J và

J 2  J (trong đó J là tương tác sắt từ J > 0).
Lấy hệ số tương tác giữa các spin lân cận gần nhất J1 làm đơn vị, có nghĩa là J1  J  1
. Khi đó năng lượng được tính theo đơn vị của J. Nhiệt độ tính theo đơn vị J/kB.
Bằng phương pháp giảm dần năng lượng của hệ (steepest descent method), chúng tôi
nhận thấy rằng hình dạng của các spin ở trạng thái cơ bản của hệ phụ thuộc vào tỷ số   J 2 / J1 .
Đối với trường hợp   J 2 / J1  0, 25 , trạng thái cơ bản của hệ như sau:
Dạng 1: Các spin định hướng như hình 2.

trục Ox

Hình 2. Một trong sáu dạng định hướng của các spin ở trạng thái cơ bản khi

. Các spin

nằm trên cùng một trục song song với Ox định hướng giống nhau, các spin liền kề dọc theo Oy và Oz
định hướng khác nhau.

Dạng 2: Các spin định hướng như hình 3.

trục Oy


Hình 3. Một trong sáu dạng định hướng của các spin ở trạng thái cơ bản khi

J 2  0, 25 J1 . Các spin

nằm trên cùng một trục song song với Oy định hướng giống nhau, các spin liền kề dọc theo Ox và Oz
định hướng khác nhau.

Dạng 3: Các spin định hướng như hình 4.

trục Oz

Hình 4. Một trong sáu dạng định hướng của các spin ở trạng thái cơ bản khi

J 2  0, 25 J1 . Các spin

nằm trên cùng một trục song song với Oz định hướng giống nhau, các spin liền kề dọc theo Ox và Oy
định hướng khác nhau.

Ngoài ra còn có 3 dạng khác tương ứng với 3 dạng trên trong đó các spin định hướng

hoàn toàn ngược lại. Như vậy, tất cả có 6 dạng định hướng của spin ở trạng thái cơ bản, có nghĩa
là năng lượng của hệ bị suy biến với bậc suy biến bằng 6. Với sự suy biến này, trật tự pha sẽ
thiếu sự ổn định, do vậy chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu đặc điểm của sự chuyển pha của nó.
Tại mỗi giá trị nhiệt độ T, để đưa hệ về trạng thái cân bằng, ban đầu chúng tôi thực hiện
10 bước Monte Carlo. Sau đó chúng tôi thực hiện 105 bước Monte Carlo để tính giá trị trung
bình của các đại lượng như: năng lượng E, từ hóa M, nhiệt dung riêng CV, độ cảm từ  tại nhiệt
6

độ đó. Từ đó chúng tôi thu được đồ thị của các đại lượng này theo nhiệt độ như hình 5:

E

M

C


Từ kết quả trên, ta suy ra có một quá trình chuyển pha rất mạnh tại nhiệt độ Tc = 1,320.
Để hiểu sâu hơn bản chất của sự chuyển pha, chúng tôi đã tính tần suất năng lượng ở nhiệt độ
chuyển pha Tc, kết quả thu được được chỉ ra ở hình 6.

P(E)

Hình dạng của tần suất năng lượng có hai đỉnh nói lên rằng đây là sự chuyển pha loại I,
có sự tồn tại đồng
thời
giữa
tự từnăng
và không
trật

tự từ
độ chuyển pha.
Hình
6. Đồ
thị trật
tần suất
lượng tại
nhiệt
độởTcnhiệt
= 1.320
Các kết quả này phù hợp với các kết quả thực nghiệm đã được tìm ra bởi Juan Du và
cộng sự đối với hợp chất phản sắt từ  Mn1 x Fex 3.25 Ge [5], cũng như kết quả nghiên cứu của
McGuire và cộng sự đối với bán dẫn phản sắt từ LaFeAsO [8], của Chandra và cộng sự đối với
màng mỏng Cd1-xMnxTe [2].
4. KẾT LUẬN
Với sự phát triển của dòng máy tính tốc độ cao, bức tranh của nền vật lý hiện đại đã thay
đổi, ở đó một phương pháp thứ ba được xuất hiện bên cạnh phương pháp lý thuyết và phương
pháp thực nghiệm: Phương pháp mô phỏng bằng máy tính. Nhờ có nhiều ưu điểm, các phương
pháp mô phỏng nói chung và mô phỏng Monte Carlo nói riêng ngày càng được sử dụng rộng rãi


nhiều hơn trong nghiên cứu, trong đó chúng đặc biệt có thế mạnh trong nghiên cứu đặc điểm và
bản chất của hiện tượng chuyển pha trong các vật liệu từ tính.
Sử dụng mô phỏng Monte Carlo, chúng tôi đã nghiên cứu hệ spin Ising trong mạng lập
phương có Hamiltonian được tính như công thức (7). Chúng tôi nhận thấy rằng trạng thái cơ bản
của hệ phụ thuộc vào tỷ số J 2 / J1 . Khi J 2 / J1  0, 25 , trạng thái cơ bản của hệ có dạng đặc biệt
như được chỉ ra ở hình 2, hình 3 và hình 4 với bậc suy biến bằng 6. Hệ có một sự chuyển pha
loại I. Với mục đích giới thiệu chung về phương pháp, những kết quả này như là một thí dụ minh
họa, ở đây chúng tôi không đi sâu vào phân tích kết quả thu được. Hiệu ứng về kích thước, bề
mặt, vai trò của các tham số,… sẽ được chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và trình bày trong một bài

báo khác.
Cũng bằng phương pháp này, chúng tôi đã tìm được đặc điểm của điện trở spin đối với hệ
spin frustrated [5] và đặc điểm của quá trình hồi phục lại hình dạng ban đầu của mạng lưới spin
trong các màng mỏng sắt từ và phản sắt từ [6]. Đây chính là những kết quả nghiên cứu của chúng
tôi trong thời gian gần đây.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] K. Binder (1991), The Monte Carlo Method in Condensed Matter Physics, Vol. 71, Springer-Verlag.
[2] S. Chandra, L. K. Malhotra, S. Dhara, A. C. Rastogi (1996), Low-temperature dynamic susceptibility of thin Cd1xMnxTe films, Phys. Rev. B 54.
[3] H. T. Diep (2003), Physique de la matière condensée, Dunod, Paris
[4] J. Du, D. Li, Y. B. Li, N. K. Sun, J. Li and Z. D. Zhang (2007), Abnormal magnetoresistance in

ε -  Mn1- x Fex 3.25 Ge antiferromagnets, Phys. Rev. B 76
[5] Danh-Tai Hoang, Yann Magnin, H. T. Diep (2011), Spin resistivity in the frustrated J1-J2 model, Modern Physics
Lettes B, Vol. 25, Nos. 12&13.
[6] Yann Magnin, Danh-Tai Hoang, H. T. Diep (2011), Spin transport in magnetically ordered systems: effect of the
lattice relaxation time, Modern Physics Lettes B, Vol. 25, Nos. 12&13.
[7] M. A. McGuire, A. D. Christianson, A. S. Sefat, B. C. Sales, M. D. Lumsden, R. Jin, E. A. Payzant, D. Mandrus,
Y. Luan, V. Keppens, V. Varadarajan, J. W. Brill, R. P. Hermann, M. T. Sougrati, F. Grandjean and G. J. Long
(2008), Phase transitions in LaFeAsO: Structural, magnetic, elastic, and transport properties, heat capacity and
Mössbauer spectra, Phys. Rev. B 78.
[8] D. P. Landau, K. Binder (2000), A guide to Monte Carlo simulations in Statistical Physics, Cambridge
University Press, Cambridge.
[9] P. Papon, J. Leblond, P.Meijer (1999), Physique des transitions de phases, Dunod, Paris.

MONTE CARLO SIMULATION IN THE STUDY PHASE TRANSITIONS OF
MAGNETIC NANO-MATERIALS
Hoang Danh Tai
Quang Binh University

Abstract: We present in this paper the principles and structure of Monte Carlo simulation
method. Used to study in a simple cubic lattice with Ising spin, nearest and next-nearest neighbor
antiferromagnetic interactions, J1 and J2 indicated, we show that the ground state depends on the ratio

J 2 / J1 . For J 2 / J1  0.25 , the ground state is very particular with a 6-fold degeneracy, the system is
shown to retain only the collinear spin configuration at low temperatures. By extensive standard Monte
Carlo simulation, we have calculated the different thermodynamic quantities such as energy,
magnetization, specific heat and susceptibility. The phase transition is indicated by the anomalies of these
quantities. The nature of phase transition is also studied by histogram technique, results obtained is a
strong first-order transition.
Keywords: Monte Carlo Simulation; Phase Transition; Classical Ising Spin Model; Magnetism.