Nghiên cứu sự chuyển pha của chất hạt nhân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN VĂN LỰC

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA CHẤT HẠT
NHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012


MỤC LỤC
Trang bìa
Bảng các chữ viết tắt
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT................... 7
1.1 Tác dụng hiệu dụng CJT ............................................................................. 7
1.2 Khai triển chu tuyến (loop) của tác dụng hiệu dụng CJT ......................... 10
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt............................................................... 10
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt: .............................................................. 11
1.3 Thế hiệu dụng ............................................................................................ 13
1.4 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn ..................................................... 16
1.4.1 Thế hiệu dụng nhiệt độ hữu hạn ............................................................. 16
1.4.2 Hàm Green nhiệt độ ............................................................................... 19
Chƣơng 2: MÔ HÌNH TƢƠNG TÁC BỐN NUCLEON CỦA CHẤT
HẠT NHÂN ................................................................................................... 25
2.1 Thế hiệu dụng của mô hình bốn Nucleon ................................................. 26

2.2 Mật độ năng lượng của chất hạt nhân ....................................................... 31
2.3 Các kết quả tính số .................................................................................... 35
2.4 Các kết quả và nhận xét ............................................................................ 40
Chƣơng 3: SỰ CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN
TÍNH ............................................................................................................... 42
3.1 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn ..................................................... 42
3.2 Kết quả ở nhiệt độ hữu hạn ....................................................................... 49
3.2.1 Giới hạn nhiệt độ cao ............................................................................. 49
3.2.2 Giới hạn nhiệt độ thấp ........................................................................... 50


KẾT LUẬN .................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 54


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CJT

Cornwall - Jackw - Tomboulis

QED

Điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamisc)

QCD

Sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamisc)

NJL

Nambu - Jona - Lasinoio

SD

Schwinger - Salpeter

1PI

Bất khả quy một hạt (One - Particle irreducible)

2PI

Bất khả quy hai hạt (Two - Particle irreducible)

HF

Hartree - Fock

NG

Nambu - Goldstone

RHIC

Phòng thí nghiệm về va đập các ion nặng tương đối tính

(Relativistic Heavy Ion Collider)
LHC
Collider)

Phòng thí nghiệm về va đạp Hardron lớn (Large Hardron


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm khoa Vật lí, các thầy giáo,
cô giáo trong Khoa và tổ Vật lí lý thuyết - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn GV: Nguyễn Thị Thắm đã quan
tâm, đông viên và trực tiếp hướng dẫn tận tình tôi trong suốt quá trình thực
hiện đề tài nghiên cứu.
Mặc dù đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện khóa luận và đây
cũng là lần đầu làm quen với công tác nhiên cứu khoa học nên không thể
tránh khỏi một số thiếu sót. Bởi vậy, tôi kính mong nhận được sự đóng góp ý
kiến quý báu từ các quý thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận của tôi được
đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Trần Văn Lực


LỜI CAM ĐOAN
Để đảm bảo tính trung thực của đề tài, tôi xin cam kết như sau:
1. Đề tài của tôi không sao chép từ bất cứa đề tài nào có sẵn.
2.Kết quả thu được trong đề tài có kết hợp với nghiên cứu, khảo sát thực tiễn,
đảm bảo chính xác và trung thực.

MỞ ĐẦU
Để mô tả các quá trình của tự nhiên bằng lý thuyết trường lượng tử, thì
phương pháp tỏ ra hữu hiệu cho việc giải các phương trình động lực học
chính là khai triển nhiễu loạn. Phương pháp này đã rất thành công trong điện
động lực học lượng tử (QED), sắc động lực học lượng tử (QCD) ở năng lượng
cao và một số bài toán cụ thể khác. Nhưng nhiều hiện tượng vật lí quan trọng
lại không thể lý giải được bằng lý thuyết nhiễu loạn, chẳng hạn như sự vi
phạm đối xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha...vv. Điều đó
đòi hỏi phải có những phương pháp gần đúng mới không dựa vào khai triển
nhiễu loạn. Phương pháp tác dụng hiệu dụng chính là một trong những
phương pháp như vậy.
Ý tưởng về việc sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng cho lý thuyết
trường lượng tử lần đầu tiên được đề cập bởi H.Euler, W.Heisenberg và
J.Schwinger (44). Sau đó G.Jona-Lasinio (51) đưa ra tác dụng hiệu dụng []
dưới dạng như hiện nay chúng ta quen thuộc. Năm 1962 J. Goldstone, A.
Salam và S. Weinberge [38] đã áp dụng tác dụng hiệu dụng để nghiên cứu sự
phá vỡ đối xứng tự phát. Đây là một trong những phương pháp không nhiễu
loạn đã chứng tỏ tính ưu việt khi tiếp cận các vấn đề trên [38], [42], [50], [91],
nhất là khi khảo sát những hiện tượng tập thể mà các phương pháp lý thuyết
nhiễu loạn thông thường không thể ứng dụng được.
Tiếp tục theo hướng này, vào năm 1974, J. M. Cornw [,G] all, R.
Jackiw và E. Tomboulis (CJT) đã mở ra tác dụng hiệu dụng từ [] thành
cho các toán tử đa hợp (composite) ở nhiệt độ không [29]. Tác dụng hiệu
dụng CJT [,G] không chỉ phụ thuộc vào (x) là giá trị trung bình của
trường lượng tử (x) mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G(x, y) là giá trị
trung bình T-tích của hai toán tử trường:

1

G(x, y)  0 T(x)(y) 0
Hai kết quả quan trọng thu được từ hình thức luận tác dụng hiệu dụng
CJT là: Thứ nhất, nó đưa việc giải quyết vấn đề vật lý về bài toán biến phân.
Thứ hai, nó cho phép khảo sát sự phá vỡ đối xứng động lực một cách tường
minh và nhất quán. Trong trường hợp này, trạng thái cơ bản của hệ vật lý phải
thỏa mãn hai phương trình:
[,G]
0
(x)

(1)

[,G]
0
G(x, y)

(2)

Phương trình (1) xác định sự biến đổi  của còn (2) là phương trình
Schwinger-Dyson (SD) cho hàm truyền G [32], [79], [80]. Kết quả này đặc
biệt có lợi cho việc nghiên cứu sư vi phạm phá vỡ đối xứng, vì ngay cả khi
việc phương trình (2) vẫn xuất hiện nghiệm đối xứng. Từ đây, đạo hàm bậc
hai của [,G] theo G dẫn đến phương trình Bethe-Salpeter (BS) mô tả tổng
các trạng thái liên kết tương đối tính. Chẳng hạn, trong vật lý hadron, phương
trình này mô tả meson như trạng thái liên kết của cặp hạt quark - phản quark.
Hơn nữa, khai triển chu tuyến (loop) của tác dụng hiệu dụng CJT [,G] sẽ
bao gồm tổng các các giản đồ với một số bậc loop. Vì vậy mà điều ta quan
tâm chính là [,G] tới một bậc loop xác định và tìm các điều kiện dừng (1)
và (2) ứng với sự triệt tiêu nguồn ngoài. Khi hệ (1) và (2) cho nghiệm (x)
khoác 0 thì có nghĩa là xuất hiện sự phá vỡ đối xứng. Điều kiện này nói lên

rằng, cơ chế phá vỡ đối xứng đã tự động sinh ra ngay trong hình thức luận
CJT. Ngoài ra, khi khai triển tác dụng hiệu CJT quanh nghiệm dừng, các hiện
tượng vật lý ở trạng thái cơ bản cũng xuất hiện tự nhiên trong các nghiệm
không nhiễu loạn tương ứng với sự phá vỡ đối xứng [9], [27], [41].

2


Năm 1974 L. Dolan và R. Jackiw [30] mở rộng phương pháp tác dụng
hiệu dụng cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn và chỉ ra rằng: trong một
lớp lý thuyết trường được khảo sát, đối xứng sẽ được phục hồi ở nhiệt độ trên
nhiệt độ tới hạn. Gần đây G. Amelino-Camelia và So-Young Pi [5], [2] đã áp
dụng tác dụng hiệu dụng CJT cho nhiệt độ hữu hạn trong lý thuyết  4 và
nhận thây rằng thay cho việc lấy tổng của một tập hợp vô hạn các giản đồ hoa
cúc (daisy) và đa hoa cúc (supedaisy) ta chỉ cần lấy tổng của các giản đồ
''bong bóng đúp" (double bubble) bằng cách sử dụng hàm truyền cây. Các kết
quả nghiên cứu cũng cho thấy rằng  4 hình thức luận CJT ở nhiệt độ hữu hạn
còn dẫn đến những kết quả đáng tin cậy hơn so với các cách tiếp cận gần
đúng khác [19], [72].
Dựa vào tác dụng hiệu dụng CJT có thể rút ra nhiều thông tin về hệ
được xét bởi vì tác dụng có một ý nghĩa vật lí rõ ràng: Nó xác định giá trị
trung bình của Hamiltonian trong trạng thái chuẩn hóa. Trong trường hợp
bất biến tịnh tiến, thế hiệu dụng xác định giá trị mật độ năng lượng của hệ
vật lí [26]. Chính vì vậy,những năm gần đây phương pháp tác dụng hiệu
dụng CJT cho các toán tử composite đã phát triển mạnh, nó trở thành một
công cụ tính toán hữu ích và có triển vọng trong lý thuyết trường lượng tử
[3], [5], [8], [10], [15], [22], [31], [34], [35], [40], [46], [49], [57], [63], [64],
[67], [69], [81], [85]. Phương pháp tác dụng hiệu dụng đã giải quyết được
nhiều vấn đề trong sắc động lực học lượng tử như đối xứng chiral, sự phá vỡ
đối xứng động lực, các hiệu ứng tập thể và nhiều vấn đề khác trong vật lý

hạt cơ bản, lý thuyết siêu dẫn, lý thuyết hấp dẫn lượng tử, lý thuyết siêu đối
xứng .v.v. Nhưng đặc biệt là nghiên cứu các quá trình với hằng số liên kết
lớn hơn một.
Mặc dù đến nay đã có nhiều phương pháp không nhiễu loạn được đề
xuất để giải quyết các bài toán phi tuyến của vật lí, nhưng chưa có phương

3


pháp nào có hệ thống và nhất quán hơn phương pháp tác dụng hiệu dung CJT.
Điểm nổi bật của phương pháp này là: nó vừa cho hai kết quả quan trọng là
cặp phương trình dừng cho nghiệm vật lí của hệ và khai triển loop của tác
dụng hiệu dụng CJT (những kết quả rất có ích cho sự nghiên cứ sự vi phạm
đối xứng ), vừa chỉ cho chúng ta thấy ý nghĩa của tác dụng hiệu dụng: đó là
năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản. Tuy đã được quan tâm phát triển và
thu được nhiều thành công, phương pháp tác dụng hiệu dụng vẫn còn hàng
loạt vấn đề phải giải quyết về mặt kỹ thuật, đặc biệt là việc tái chuẩn hóa và
xây dựng những gần đúng với độ tin cậy cao.
Vì những lý do trên, tôi thực hiện đề tài này với mục đích tiếp tục phát
triển phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT, đồng thời vận dụng nó vào nghiên
cứu một số vấn đề của lý thuyết hạt nhân, lý thuyết hạt cơ bản và hiện tượng
tới hạn mà chưa giải quyết được bằng các phương pháp khác trong đó tập
trung vào vấn đề phá vỡ và phục hồi đối xứng ở một số mô hình vật lý đang
được quan tâm. Trong đề tài này tôi đặt ra cho mình phải giải quyết những
nhiệm vụ cụ thể sau:
Đề xuất một số mô hình mới của chất hạt nhân, sử dụng phương pháp
tác dụng hiệu dụng CJT để tính các thông số của nó ở trạng thái bão hòa của
hạt nhân và so sánh kết quả với các mô hình khác.Tìm biểu thức tổng quát
cho mật độ năng lượng của chất quark trong mô hình Nambu-Jona-Lasinio
(NJL) mở rộng. Tiến hành tính số ở gần đúng Hatree-Fock (H-F), từ đó rút ra

những kết luận về sự phục hồi đối xứng chiral và tính bão hòa của vật
chất.Nghiên cứu sự chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính. Cụ thể là xây
dựng một sơ đồ tái chuẩn hóa thích hợp cho tác dụng hiệu dụng trong gần
đúng loop, xác định nhiệt độ tới hạn, là nhiệt độ mà tại đó xảy ra sự phục hồi
đối xứng và khảo sát các hiệu ứng loop bậc cao để có kết luận chung về bản
chất chuyển pha trong mô hình.

4


Thực hiện đề tài này sẽ có ý nghĩa thời sự về phương diện khoa học.
Trước hết đề tài sẽ góp phần hoàn thiện một trong những phương pháp không
nhiễu loạn đang có nhiều triển vọng trong vật lí hạt, đồng thời giải quyết một
số vấn đề còn tồn tại trong việc nghiên cứu hiện tượng tới hạn, vật lí hạt cơ
bản và vật lí hạt nhân như: tái chuẩn hóa thế hiệu dụng, bản chất của sự
chuyển pha, tính bền của vật chất…Hơn nữa, hiện nay việc nghiên cứu các
quá trình chuyển pha vào thời kỳ đầu của vũ trụ sau vụ nổ lớn, các hiện tượng
liện quan đến cấu trúc của vật chất, sự phá vỡ và phục hồi đối xứng ở nhiệt độ
cao…đang là những vấn đề thời sự trong vật lí. Vì vậy hoàn thành nhưng
nhiệm vụ của đề tài đề ra sẽ là một đóng góp đáng kể vào việc giải quyết các
vấn đề hiện tại của khoa học cơ bản và nâng cao năng lực khoa học.
CẤU TRÚC KHÓA LUẬN
Khóa luận có tiêu đề là:
"NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA CHẤT HẠT NHÂN"
Căn cứ vào các kết quả đạt được, khóa luận bao gồm có 2 chương:
Chương 1 giới thiệu một cách tổng quan về phương pháp tác dụng hiệu dụng
CJT. Chương 2 dành cho áp dụng phương pháp này vào vật lí hạt nhân.
Chƣơng 1. PHƢƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT
Chương này giới thiệu tổng quan về phương pháp tác dụng CornwallJackiw-Tomboulis (CJT), trong đó có nhấn mạnh đến những nội dung liên
quan đến đề tài. Định nghĩ của [,G] được diễn ra trong mục "Tác dụng

hiệu dụng CJT". Khai triển chuỗi cho tác dụng hiệu dụng được trình bày
trong mục "Khai triển chu tuyến (loop) của tác dụng hiệu dụng CJT".
Mục "Thế hiệu dụng CJT" nêu ý nghĩa vật lí của tác dụng hiệu dụng và thế
hiệu dụng như là năng lượng và mật độ năng lượng. Những quy tắc Feymann
cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn và hình thức luận tác dụng hiệu dụng
tương ứng được giới thiệu trong "Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn".
Chƣơng 2. MÔ HÌNH TƢƠNG TÁC BỐN NUCLEON CỦA CHẤT HẠT
NHÂN

5


Một mô hình mới về chất hạt nhân, trong đó các nucleon là thành phần
cơ bản, được giới thiệu trong chương này: "Mô hình tƣơng tác bốn nucleon
của chất hạt nhân". Việc áp dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để
tính thế hiệu dụng và năng lượng riêng được thực hiện trong mục "Thế hiệu
dụng của mô hình bốn Nucleon". Mục "Mật độ năng lƣợng của chất hạt
nhân'' trình bày phương pháp xác định phần mật độ của thế hiệu dụng, từ đó
tìm biểu thức cho mật độ năng lượng của chất hạt nhân. Các kết quả tính toán
trong gần đúng Hatree-Fock và việc so sánh giữa các mô hình được thể hiện
trong mục "Các kết quả tính số". Kết luận của chương 2 được cho trong
"Các kết quả và nhận xét".
Chƣơng 3: SỰ CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN
TÍNH
Dựa trên nhưng nghiên cứu ở chuong 1 và chương 2 chúng tôi tiếp tục
đi nghiên cứu sự chuyển pha của chất hạt nhân trong mô hình sigma tuyến
tính. Các kết quả được đưa ra ở mục “Các kết quả ở nhiệt độ thấp” và “Các
kết quả ở nhiệt độ cao”

6

Chƣơng 1
PHƢƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT
Trong chương này sẽ xem xét một cách tổng quan về tác dụng hiệu
dụng Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT) ở nhiệt độ không và nhiệt độ hữu
hạn. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt
độ không cùng với khai triển chu tuyến (loop) của nó, tiếp đố đề cập tới thế
hiệu dụng và cuối cùng là các hình thức luận thời gian thực và hình thức luận
thời gian ảo để thu được tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn. Để đơn
giản cho việc lập luận, các kết quả được đưa ra đề dựa trên việc xét trương vô
hướng, tuy nhiên có thể dễ dàng mở rộng cho các trường khác.
1.1 Tác dụng hiệu dụng CJT
Gọi £[  ] là mật độ Lagrangian của hệ các trường đặc trưng bằng các
toán tử  , 1    N . Mọi đặc trưng đông lực của hệ trường đều được xác
định từ biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của
nguồn ngoài J mà nó được biểu diễn bằng phiếm hàm sinh 1

Z[J]  Oout Oin   Dei(S[].J)  eiW[J]

(1.1)

ở đây S[  ] là tác dụng của hệ, Z[J] là phiếm hàm sinh của các hàm Green
toàn phần còn W[J] là phiếm hàm sinh của các hàm Green liên thông, và để
cho gọn ta đã dùng ký hiệu "tích chấm":

.J    (x)J  (x)d 4x

(1.2)

Từ đây, bằng cách đưa vào "trường cổ điển"  (x) là giá trị trung bình
của trường lượng tử  (x) :

W[J]
  (x)   (x)
J 

(1.3)

7


thì tác dụng hiệu dụng thông thường [] sẽ nhận được bằng phép biến đổi
Legendre loại I:

[]  W[J]  .J

(1.4)

Cũng như (1.2), ở đây:

.J    (x)J  (x)d 4x

(1.5)

Đạo phiếm hàm của [] theo biến tự nhiên  sẽ cho hệ thức liên
hợp Legendre:

[]
 J  (x)

 (x)

(1.6)

Biến đổi Legendre loại I nói trên tạo ra các đỉnh bất khả quy một hạt
(1PI). Để đi đến biến đổi Legendre loại II, là biến đổi tạo các đỉnh khả quy hai
hạt (2PI), ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:

Z[J,K]  N  De

1


i S[  ].J  .K. 
2



 eiW[J,K]

(1.7)

trong đó K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính chất Compposite của trường, N
là thừa số chuẩn hóa, tích chấm được thực hiện theo mọi chỉ số nội tại và các
biến không-thời gian, còn tích phân phiếm hàm được lấy trên toàn bộ các cấu
hình trường của hệ.
Phiếm hàm Z[J,K] nói trên sinh ra các hàm Green toàn phần bao gồm tất
cả các giản đồ liên kết và không liên kết, còn phiếm hàm W[J,K] chỉ sinh ra
các hàm Green liên thông bao gồm các giản đồ liên kết, không tính đến sự
khác nhau do giao hoán các đỉnh.

Với việc đưa vào trường cổ điển  (x) là giá trị trung bình của trường
lượng tử  (x) và hàm truyền Gαβ xác định bởi các hệ thức:

[J,K]
  (x)   (x)
J  (x)
W[J,K] 1
1
  (x) (y)  [ (x) (y)  G  (x, y)]
K  (x, y) 2
2

8

(1.8)


ta sẽ nhận được phiếm hàm sinh chỉ bao gồm các giản đồ bất khả quy hai hạt
cho những hàm đỉnh riêng liên kết bằng biến đổi Legendre loại II:

1
1
[,G]=W[J,K]  .J  .K.  Tr[GK]
2
2

(1.9)

Phương trình (1.8) có thể coi là phép đổi biến số từ {J (x),K (x, y)}
sang các biến số tự nhiên { (x),G (x, y)} của phép biến đổi Legendre loại II.

Cũng như (1.5), các tích chấm được định nghĩa:

.J    (x)J  (x)d 4 x
.K.    (x)K  (x, y) (y)d 4 xd 4 y

(1.10)

và:

Tr[Gk]   G  (x, y)K  (x, y)d 4 xd 4 y

(1.11)

Phiếm hàm [,G] còn được gọi là tác dụng hiệu dụng CJT.
Các đạo phiếm hàm của [,G] theo các "biến tự nhiên" (,G) sẽ cho hệ
phương trình:
[,G]
  J  K.


(1.12)

[,G]
1
 K
G
2

(1.13)

Trạng thái vật lý của hệ, tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài, sẽ
được xác định bởi phương trình khe (gap) đối với trường  :

[,G]
0
 JK 0

(1.14)

và phương trình Schwinger-Dyson (SD) cho hàm truyền G:

[,G]
0
G J K 0

(1.15)

9


Do đó, tác dụng hiệu dụng CJT rất có lợi cho việc nghiên cứu sự vi
phạm đối xứng, vì ngay cả khi (1.14) cho nghiệm đối xứng   0 , thì (1.15)
vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng.
1.2 Khai triển chu tuyến (loop) của tác dụng hiệu dụng CJT
Trong mục này ta xét xem các khai triển bất khả quy một hạt và hai hạt
của tác dụng CJT. Điều này rất cần thiết cho các tính toán tác dụng hiệu dụng
trong những trường hợp cụ thể về sau.
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt
Xét phiếm hàm:

e

i[ ]

e

i(W[J].J)

  De

i{S[ ](  ).

 (  )
}


(1.16)

với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.16).
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển S[] dưới dạng:

1
S[]  .iG 01.  Sint []
2

(1.17)

thì với   0 phương trình (1.16) trở thành:

ei[0]   De

1
[ ]
i{ .iG 01 .Sint [ ].
}
2
  0

(1.18)

Từ đây ta hãy tìm một phiếm hàm 1[,G] thỏa mãn phương trình như
(1.18) và trở nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số
hạng tương tác và hàm truyền, tức là:
~
~ [ ]
1 ~ 1 ~
}
~ i{  .iG 0 . Sint [  , ] .
2
  0

ei1[]   D e

(1.19)

Tiến hành phép đổi biến:
~



(1.20)

và khai triển S[] quanh  :
~

~

S[]=S[  ]=S[]   .

~
~
S[] 1 ~ 1
  .iG 0 ().  Sint [ , ]

2

10

(1.21)


trong đó iG 01 () được định nghĩa:

2S
2Sint ()
1
iG ()  2  iG 0 

2
1

0

(1.22)

thì (1.19) trở thành:
~

e

i{1 [ ]S[ ]}

  De

i{S[ ]-  .(

1 [ ] S[ ]

)}



(1.23)

So sánh (1.23) và (1.16) ta nhận được khai triển bất khả quy một hạt
của tác dụng hiệu dụng thông thường:

[]  S[]  1[]

(1.24)

trong đó 1[] là tổng các giản đồ chân không bất khả quy một hạt ứng với
tác dụng hiệu dụng tương tác Sint [, ] và hàm truyền G01 () .
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt:
Xuất phát từ phiếm hàm:
i[,G]

e

1
1


i W[J,K].J  .K. Tr[G,K]
2
2



e
e

e

iTr[G

1
 Tr[GK]
2

[,G]

]
G

 De

 De

1


i S[]( ).(J K. )  ( ).K.( ) 
2





[,0]
[,G]
i S[]( ).
( ).
.( ) 

G



(1.25)

với các ràng buộc (1.12) và (1.13).

Bằng cách biểu diễn tác dụng cổ điển S[] theo (1.17) thì, với   0
phương trình (1.25) sẽ có dạng:

e

i[0,G]

e

iTr[G

[0,G]
]
G

  De

 [ ]
[0,G] 
 1
i  .iG 01 .Sint [ ]-. 
.
. 
  0
G
 2


(1.26)

Thêm một hằng số

 De

1
 .G 01 .
2

e

ln(DetG 01 )



1
2

e

1
 Tr[ ln G 01 ]
2

11

(1.27)


và viết lại tác dụng hiệu dụng, ta có:

e

1


i [0,G]i. Tr[ ln G 01 ]
2





1

 [ ]
 [ 0,G ] 

i   .iG 01 .  Sint [ ] . 
 .
. 
  0
G
2




 [0,G]  De
iTr G.
G 



1
i  .iG 01 . 

 De 2

e

(1.28)

Cũng giống như khai triển bất khả quy một hạt, ta cần tìm phiếm hàm

2[,G] thỏa mãn phương trình giống (1.28) và trở nên đồng nhất với nó khi
làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức là:

e

i


i  2 [,G] Tr[ ln G 01 ]
2



e

  [,G] 
iTr G 2

G 


 De

~
~
~ 
~  [0,G] ~ 
[ ]
 1 ~

i   .iG 01 [ ]. Sint [ , ] . 2 
 . 2
. 
2


G
 0



 De

~
1~
i  .iG 01 . 
2

(1.29)

Viết lại phương trình (1.29) đồng thời sử dụng khai triển tác dụng cổ
điển quanh giá trị  theo (1.21) sẽ có:
e

i


i  2 [,G]S[ ] Tr[ ln GG 01 ]
2



e

  [,G] 
iTr G 2
G 


  De

~  

[ ] S[ ]  ~  i 1
i 1  2 [ ,G] ~  
i S[ ] . 2 K 
.  
  . G 0 (  )  G 



2
1
G

 
 


(1.30)

So sánh (1.30) và (1.25) ta thu được khai triển bất khả quy hai hạt của
tác dụng hiệu dụng CJT2:

i
[,G]=S[]  Tr[ln GG 01  GG 01 ()  1]   2[,G]
2

(1.31)

ở đây 2[,G] bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai
hạt. Phương trình (1.29) là một phương trình vi-tích phân của phiếm hàm sinh

 2 và nó tạo ra các giản đồ chân không với một hàm truyền và tác dụng đã
được thay đổi.
Bằng cách lấy đạo phiếm hàm theo G của tác dụng hiệu dụng (1.31) và
tính đến (1.13), sẽ thu được:

G 1  G01 ()  iK  [,G]

12

(1.32)


trong đó:

[,G]  2i

 2 [,G]
G

(1.33)

Phương trình (1.32) chính là phương trình Schwinger-Dyson (SD) của hàm
truyền G và

[,G] là năng lượng riêng.

1.3 Thế hiệu dụng
Trường hợp đặc biệt quan trọng khi đối số (x) cảu tác dụng thông
thường [(x)] là bất tịnh tiến, (x)==const . Khi đó có thể viết:

[]  V()  d 4 x  V()

(1.34)

và thế hiệu dụng CJT V(,G) được định nghĩa bởi:

[,G]const  V(,G)  d 4x

(1.35)

ở đây  d 4 x   là thể tích đủ lớn nhưng hữu hạn của không-thời gian và chỉ
còn là hàm của hiệu x  y .
Do đó, có thể dễ dàng nhận được chuỗi khai triển của thế hiệu dụng
V(,G) trừ (1.31):

i d 4p
V(,G)  U()  
Tr ln G(p)G 01 (p)  G(p)G 01( ,p)  1 
4
2 (2)
 V2 (,G)

(1.36)

trong đó U() là thế cổ điển, V2 (,G) là tổng của tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt của lý thuyết với các đỉnh được cho bởi

Sint (; ) và hàm truyền G(p) . Các đỉnh vẫn phụ thuộc vào  , nhưng bây giờ
chỉ còn là một tham số hằng số.
Điều kiện dừng trong trường hợp này trở thành:
V(,G)
0


(1.37)

13


V(,G)
0
G

(1.38)

trong đó V(,G) là một hàm của và là một phiếm hàm của G .
Về mặt vật lí, tác dụng hiệu dụng [,G] và thế hiệu dụng V(,G) có
ý nghĩa như năng lượng và mật độ năng lượng của hệ. Để thấy rõ điều này,
giả sử chúng ta bật nguồn J(x) và K(x, y) tăng đều từ 0 tại t   tới các giá
tri hữ hạn J 0 (x) và K0 (x, y) , và duy trì ở các giá trị đó một khoảng thời gian
T , sau đó cá nguồn giảm dần tới 0 tại t   . Hiệu ứng nhiễu loạn này thể

hiện biến đổi chân không tới một trạng thái có một năng lượng xác định
E[J 0, K 0 ] (hàm của J 0 (x) và K0 (x, y) ), trong khoảng thời gian T , rồi sau đó lại

trở về chân không. Mặc dù chân không "0-" có cùng trạng thái vật lí như chân
không "0+", vector trạng thái của chúng vẫn khác nhau một thừa số pha

exp(iE  J 0 ,K 0 T) được tích lũy thừa trong thời gian T:


0 0

J,K

 eiE[J0 ,K0 ]T

(1.39)

So sánh với phương trình (1.7) sẽ nhận được:

W[J,K]  E[J 0 ,K0 ]T

(1.40)

Giả thiết rằng chúng ta tìm được trạng thái  làm cho giá trị trung bình của
năng lượng:
H



  H

(1.41)

đạt cực tiểu với điều kiện chuẩn hóa    1 . Tương ứng, trường lượng tử

 và tích hai trường lượng tử  có giá trị trung bình  và   G không
phụ thuộc thời gian:

   

(1.42)

     G

(1.43)

14


1
Khi bật nguồn J 0 và K 0 , Hamiltonian H  J 0 .  .K. có một trị riêng
2
E[J 0, K 0 ] :

1


H

J
.



.K.

0

   E[J 0,K 0 ]
2

(1.44)

Gọi J  và K  là các dòng mà ứng với nó  có một giá trị trung bình  ở

trạng thái  . Đặt J0  J và K0  K vào các phương trình (1.44) và lấy tích
vô hướng với  , năng lượng cực tiểu của trạng thái mà ở đó trường  có giá
trị trung bình  sẽ có dạng:

H



1
1
 E[J  ,K  ]  J  .  .K   Tr[KG]
2
2

(1.45)

Lưu ý tới phương trình (1.40) phương trình này dẫn đến

H





1
1
1


W[J

,K
]

J
.



.K

Tr[K G]





T
2
2


1
  [,G]
T

(1.46)

Như vậy nếu trường (x) có một giá trị không đổi  trong một thể tích
không-thời gian đủ lớn là 4  3T , thì chúng ta có thể biểu diễn tác dụng
hiệu dụng thông qua thế hiệu dụng V(,G) dưới dạng:

[,G]  3TV(,G)

(1.47)

Trong trường hợp này (1.46) sẽ xác định mật độ năng lượng:

[,G]  3TV(,G)

(1.48)

Ta thấy V(,G) chính là giá trị trung bình của mật độ năng lượng ứng
với tất cả các trạng thái có giá trị trung bình là  .Khi vắng mặt các nguồn
ngoài, trạng thái chân không sẽ ứng với thế V(,G) không chỉ dừng do (1.46)

15


mà còn có giá trị cực tiểu. Trong trường hợp này phương trình có ý nghĩa
quan trọng trong sự phá vỡ đối xứng tự phát:

dV
 0,
d 

dV
0
dG G G

(1.49)

sẽ ứng với trường có giá trị trung bình 0 (x) 0   và tại đó G  G  . Nếu
V(,G) có vài cực tiểu địa phương, thì chỉ có một cực tiểu tuyệt đối là tương

ứng với trạng thái cơ bản của lý thuyết.
1.4 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn
Hình thức luận CJT được trình bày trên đây là ở nhiệt độ không. Nó
được sử dụng trong lý thuyết trường thông thường để mô tả các địa lượng
quan sát được trong không-thời gian trống. Tuy nhiên, khi mà nhiệt độ rất cao
và môi trường đã có một lượng vật chất và mật độ bức xạ đáng kể thì lý
thuyết trường ở nhiệt độ không không còn áp dụng được. Vì vậy, cần phải có
lý thuyết trường tổng quát hơn, gần với nhiệt động lực học, trong đó trạng thái
nền là một bể nhiệt. Đó là lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn và nó rất hữu
ích cho việc nghiên cứu các hiện tượng xảy ra ở thời kỳ đầu tiên của vũ trụ
sau vụ nổ lớn: sự chuyển pha, vũ trụ giãn nở... Các bài báo [30], [39], các bài
tổng quan [20], [73] và cuốn sách [52] đã đề cập đến nhiều vấn đề nghiên cứu
khác nhau của lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn. trong phần này chúng tôi
sẽ điểm lại một cách vắn tắt các hình thức luận chủ yếu đang được sử dụng để
phục vụ cho những ứng dụng ở các chương sau.
1.4.1 Thế hiệu dụng nhiệt độ hữu hạn
Xét hệ động lực được đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích
bảo toàn QA (khi đó các toán tử H và QA giao hoán với nhau). Trạng thái
cân bằng nhiệt động của hệ trong một thể tích V đủ lớn sẽ được mô tả bằng
toán tử mật độ chính tắc lớn:



  exp()exp    AQA  H 
 A


(1.50)

16





trong đó   ln Tr exp    AQA  H   được gọi là hàm Massieu (biến
 A


đổi legendre của entropi), A  A và  

1
là các thừa số Lagrange, T là
T

nhiệt độ và A là thế hóa.
Dựa vào (1.50) ta sẽ xác định được trung bình chính tắc lớn của một
toán tử F bất kỳ:

F  Tr[F]

(1.51)

Do ý nghĩa thống kê của toán tử mật độ  , cần phải có:

1 1

(1.52)

Dưới đây ta sẽ luôn coi thế hóa bằng không, vì trong trường hợp cần
thiết có thể dễ dàng bổ xung nó.
Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trị trung bình chính tắc lớn của T-tích
của các toán tử trường, tức là:

G(x1,x 2 ,...x n )  Tc(x1 )(x 2 )...(x n )

(1.53)

ở đây tích phân theo thời gian được thác triển giải tích lên toàn bộ mặt phẳng
phức và T-tích (được biểu diễn bằng toán tử Tc ) có nghĩa là các toán tử
trường được sắp xếp có trật tự dọc theo đường C trong mặt phẳng t phức.
Cũng tương tự như lý thuyết trường ở nhiệt độ không, ở đây cũng có
thể áp dụng hình thức luận phiếm hàm. Phiếm hàm sinh Z [J,K] cho các ham
Green toàn phần sẽ là:

Z [J,K]  Tc exp{i  d 4 xJ(x)(x) 
c

i 4 4
d xd y(x)K(x, y)(y)}
2 c

trong đó ta cho rằng Z đã được chuẩn hóa sao cho:
Z [0,0]  1  1

17

(1.54)


và tích phân dọc theo t được coi như lấy theo đường C trong mặt phẳng
phức.
Còn phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên thông sẽ là:
iW[J,K]  ln Z[J,K]

(1.55)

Phiếm hàm sinh cho các hàm Green bất khả quy hai hạt (2PI)  [,G]
nhận được bằng biến đổi Legendre loại II:

[,G]  W[J,K]   d 4 xJ(x)(x) 
c

1 4 4
d xd y(x)K(x, y)(y) 
2 c

1
  d 4 xd 4 yG(x, y)K(x, y)
2c

(1.56)

trong đó:

W[J,K] 1

1
 (x)(y)  [(x)(y)  G(x, y)]
K(x, y) 2
2

(1.57)

W[J,K]
 (x)  (x)
J(x)

(1.58)

Ta cần chú ý ở đây là các trung bình đều theo nghĩa trung bình chính
tắc lớn (1.51).
Trạng thái cơ bản ứng với sự triệt tiêu của các nguồn ngoài sẽ thỏa
mãn:

[,G]
0
 J K 0

(1.59)

[,G]
0
G J K 0

(1.60)

Hệ phương trình này cho các giá trị khác không của trường và hàm
truyền, do đó xác định sự vi phạm đối xứng.
Ta nhận xét là khi K  0 thì tác dụng hiệu dụng cho toán tử Composite
 [,G] sẽ trở về tác dụng hiệu dụng thông thường, tức là:

18




 [,G 0 ]



K 0

  [] hoặc

[,G]
0
G 0 J K 0

(1.61)

Cũng như ở nhiệt dộ không, khai triển 2 loop của tác dụng hiệu dụng
 [,G] có dạng:

i
[,G]  S[]  Tr[ln GG 01  GG 01 ()  1]  2[,G]
2

(1.62)

Trong trường hợp bất tịnh tiến (x)  c -không đổi, thì hàm Green chỉ
phụ thuộc hiệu x  y tức là G(x, y)  G(x  y) . Khi đó ta sẽ biểu diễn được

[c ,G] qua thế hiệu dụng Veff (c ,G) :
[c ,G]=-Veff (c ,G)  d 4 x

(1.63)

và thu được hệ phương trình xác định sự vi phạm đối xứng:

Veff (c ,G)
0
c

(1.64)

Veff (c ,G)
0
G

(1.65)

Tương ứng với (1.62), khai triển 2 loop của thế hiệu dụng Veff (c ,G)
trong biểu diễn xung lượng có dạng:
i d 4p
V (c ,G)  U(c )  
Tr[ln GG 01 (p)  G(p)G 01 (c ,p)  1] 

4
2 (2)

e ff

(1.66)

 V2 (c ,p)

1.4.2 Hàm Green nhiệt độ
Trong mục này, ta sẽ xem xét các hàm Green nhiệt độ của trường vô
hướng và trường Fermion là cơ sở để xây dựng các quy tắc Feymann cho lý
thuyết trường nhiệt độ.
Hàm Green hai điểm của trường vô hướng theo định nghĩa (1.53) có thể
viết:

G(x  y)  c (x 0  y0 )G  (x  y)  c (y0  x 0 )G  (x  y)
19

(1.67)