Tim so hang tong quat cua day so

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

I- Đặt vấn đề
1) Cơ sở lý luận:

B

ài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi
công thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinh

THPT nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Liên quan
đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa đề
cập đến, tuy nhiên có rất ít cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở
lý thuyết để dẫn đến phơng pháp giải mà chỉ đa ra một
công thức, một quy trình giải một cách áp đặt, thiếu tự
nhiên. Có thể vì trong phạm vi cuốn sách đó các tác giả
không tiện đề cập đến hoặc việc chứng minh các công
thức đó không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông. Do
không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả
đó học sinh thờng thắc mắc tại sao lại có đợc nh vậy?
hay Sao lại có kết quả đó?...; Cũng chính vì không có
đủ cơ sơ lý thuyết nên các em rất khó nhớ công thức,
không tìm đợc mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây
dựng đợc một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để
giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hởng đến khả năng
tìm tòi sáng tạo toán của học sinh một yếu tố rất quan
trọng đối với ngời làm toán. Việc nắm vững bản chất của
dãy số và các kiến thức về dãy số sẽ giúp học sinh phát triển
t duy hàm, tạo nền cho việc học tốt môn giải tích phổ
thông. Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đa

ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới
và đẹp về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những
kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số tôi đã tích
2


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

luỹ, tìm tòi để đa ra một hệ thống các bài toán cùng với
quy trình giải các bài toán đó. Xuất phát từ một bài toán
đơn giản, bằng các hoạt động toán toán học, giáo viên đã
giúp học sinh khái quát hóa các bài toán và đ a ra phơng
pháp giải các bài toán mới, qua đó giúp rèn luyện, phát triển
t duy giải toán cho học sinh.
II- Giải quyết vấn đề
A- Kiến thức áp dụng

1- Dãy số:
1.1) Định nghĩa:
Là một hàm số xác định trên M = 1 , 2 , 3, ..., m - dãy số hữu
hạn, (hoặc xác định trên N * - dãy số vô hạn)
Kí hiệu:

(u n ) hoặc nếu không sợ nhầm lẫn ta kí hiệu dãy

số u là u n
Dãy số thờng đợc viết dới dạng khai triển:
u 1 , u 2 , ..., u n , ...
u 1 : gọi là số hạng đầu hay số hạng thứ nhất

u 2 : gọi là số hạng thứ hai
...
u n : gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của
dãy số u
1.2) Cách cho dãy số:
Ngời ta thờng cho dãy số dới các dạng sau:
- Cho số hạng tổng quát u n của dãy số bằng công thức.
- Cho bằng phơng pháp truy hồi
- Cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng của dãy

3


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

2- Cấp số cộng
2.1) Định nghĩa:
Là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn:
un+1 = un + d

( n N * )

d là số thực không đổi gọi là công sai
2.2) Tính chất:
- Số hạng tổng quát của cấp số cộng:
un = u1 + (n1)d
- Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
S=u1+ u2+ u3+...+ un =

n
2u1 n 1 d =
2

3- Cấp số nhân
3.1) Định nghĩa:
Là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn:
un+1 = un .q

( n N * )

q là số không đổi gọi là công bội
3.2) Tính chất:
- Số hạng tổng quát:
un = u1 .qn-1
4


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

- Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
S=u1+ u2+ u3+...+ un = u1.

qn 1
,
q 1

(Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)
B- Nội dung

Chúng ta bắt đầu từ bài toán đơn giản đợc trình bày ở nhiều
sách bài tập nh sau:
Bài

toán

u1 1

u n 1 u n 2

1:

Cho

dãy

số

(un)

xác

định

nh

sau :

n N *

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Nhận xét: Việc giải quyết bài toán trên không có gì khó khăn.
HS có thể giải theo
2 cách nh sau :
Cách 1: (Tạm gọi là phơng pháp quy nạp)
Từ giả thiết ta có : u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2
u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2
...
Dự đoán un = 1+(n-1).2
Ta dễ dàng chứng minh kết qủa đó bằng phơng pháp
quy nạp toán học.

5


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Cách 2:(Tạm gọi là phơng pháp đơn giản từng số hạng)
Từ giả thiết ta có : un+1 un = 2

n N*

Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp
số cộng với u1=1,
công sai d=2 suy ra :
Vậy :

un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2

un = 1+(n1).2

Việc định hớng để học sinh tìm ra các cách giải trên là không
khó. Tuy nhiên từ cách giải trên giáo viên có thể đặt ra cho học
sinh một vấn đề mới : "Liệu có thể thể đề xuất bài toán tổng
quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"
(Thực chất, các bài toán tổng quát sẽ nêu sau đây đều đợc giải
quyết triệt để nhờ lý thuyết về phơng trình sai phân
tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh THPT (trừ các
lớp chuyên) thì các kiến thức đó là quá tầm. Hơn nữa, nh ở
trên đã nói: Trong phạm vi đề tài này tác giả không hy vọng
tìm ra một kết quả mới về toán học mà chỉ đa ra các hoạt
động toán học nhằm phát triển t duy cho học sinh bằng cách
giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán
đó bằng các kiến thức phổ thông)
Từ cách đặt vấn đề của GV, học sinh có thể đa ra bài toán nh
sau :
Bài toán 1.1:

6


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định
nh sau :
u1 a

u n 1 u n b

n N *

Bài toán này có khái quát hơn Bài toán 1 nhng ta thấy nó
cha có gì đặc sắc, cách giải bài toán này không có gì mới
và khác với việc giải bài toán trên
Giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo
hai hớng:
Hớng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu
ta thay hệ số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có
gì thay đổi.
Hớng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao?
Từ đó ta có bài toán mới:
Bài toán 2
Cho dãy số (un) xác định nh sau :
u1 a
n N * , k 1

u n 1 k .u n b
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
(Chú ý rằng: nếu k= 1 thì bài toán trên trở thành bài toán
1.1 đã xét)
Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán
này đòi hỏi sự t duy và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế
giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới này một số học sinh suy
7

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

nghĩ và giải đợc theo cách 1 (phơng pháp quy nạp) nhng các
em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có
thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ?
Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un un-1)
Đến đây nhiều học sinh có thể cha nhìn nhận ra vấn đề, giáo
viên có thể gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn = (un+1 - un) thì
ta có điều gì ?" - (vn) lập thành một cấp số nhân với công bội
k, từ đó ta có cách giải quyết Bài toán 2 nh sau :
Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un un-1)
Đặt vn = un+1 - un n N* lúc đó : vn+1 = k.vn , n N*
suy ra dãy (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v1
= (k-1)a + b
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì :
vn = v1.kn-1
Mặt khác ta có :
un = (un - un-1 ) + (un-1 un-2) + (un-2 un-3) + + (u2
u1) + u1
=
=

vn-1 +

vn-2

+

k n 1 1

v1
+ u1
k1

vn-3

+ + v1 + u1

(áp dụng công thức tính

tổng n-1 số hạng đầu của cấp số nhân (vn), ở đây k 1)

Vậy ta

k n 1 1
un = ((k-1)a + b)
+a
k1

8

có:


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Hay: un =a.kn-1 + b
k n1 1
k 1

Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn,
nếu linh hoạt biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết đợc
một cách dễ dàng. Ví dụ sau cho thấy rõ điều đó.
u1 1; u2 1

Ví dụ: Cho dãy số (un) thỏa mãn:
với n N , n 1
u

2
u

u

1
n 1
n
n 1
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đó?
Hớng dẫn giải
Theo giả thiết ta có: (un+1 un) = (un un-1) +1
Đặt vn = (un+1 un) thì ta có vn+1 - vn =1 nên dãy (vn) lập thành
cấp số cộng có:
v1 = u2 u1 =0 và công sai d = 1, do đó:
Sn-1 = v1 + v2 + ... + vn-1 = (n 1)

v1 vn 1
(n 1)(2v1 n 2)
(n 1)(n 2)
=

=
2
2
2

Mặt khác ta có:
un = (un un-1) + (un-1 un-2) + ... + (u2 u1) + u1
= vn-1 + vn-1 + ... + v1 + u1 = Sn-1 + u1 =
Vậy un =

(n 1)( n 2)
n 2 3n
+1=
2
2

n(n 3)
2

Bài toán 3: (Đợc đề xuất theo hớng 2)
Cho dãy số (un) xác định nh sau:
u1 a

n N * , k N * Trong đó f(n) là một biểu thức

un 1 k .un f (n)


phụ thuộc n.

9


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
+ Với bài toán mới này học sinh sẽ gặp khó khăn. Lúc này giáo
viên cần có các hoạt động để giúp học sinh t duy, tìm tòi cách
giải.
- Đặc biệt hóa Bài toán 3 với k =1, Hãy giải bài toán sau:
Bài toán 3a: Cho dãy số (un) xác định nh sau:
u1 a

n N *

un 1 un f (n)


Trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc
n.
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Với bài toán này học sinh dễ tìm ra hớng giải quyết nh sau:
un = (un - un-1 ) + (un-1 un-2) + (un-2 un-3) + + (u2 u1) + u1
= f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) + a Trong đó f(n-1) + f(n-2) + ...
+ f(1) biết đợc
Ví

dụ

u 1

1

1
un 1 un ( ) n


2

1:

Cho

dãy

số

(un)

xác

định

nh

sau:

n *

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Giải:
Ta có: un = (un - un-1 ) + (un-1 un-2) + (un-2 un-3) + + (u2 u1) +
u1
=(1/2)n-1 + (1/2)n-2 + ... + 1/2 + 1
=

1 (1/ 2) n
= 2 2(1/2)n
1 1/ 2

10


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Vậy: un = 2 2(1/2)n
Trở lại với Bài toán 3, giáo viên đặt vấn đề: "Có thể giải nh
Bài toán 3a
Giáo viên tiếp tục gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 kun =
f(n), từ đó hãy biểu diễn un tơng tự nh cách làm ở trên"
Ta có:
un = (un - kun-1 ) +k (un-1 kun-2) +k2 (un-2 kun-3) + +kn-2 (u2
ku1) +kn-1 u1
= f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1.
(Tổng này tính đợc tùy theo k và f(n) của bài toán cho)
Ví

dụ

2:

Cho

dãy

số

(un)

xác

định

nh

sau:

u1 2

n N *

u

2
u

n
n

n 1

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Giải:
áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta đợc
un = (un - 2un-1 ) +2 (un-1 2un-2) +22 (un-2 2un-3) + +2n-2 (u2
2u1) +2n-1 u1
= (n-1) + 2.(n-2) + 22(n-3) + ... +2n-2(1) + 2n-1. 2
= n(20 + 21 + ...+ 2n-2) (1.20 + 2.21 + 3.22+...+(n-1).2n-2)
+ 2n
= 2n+1 n 1.
Đáp số:

.

un= 2n+1 n 1.

Đến đây giáo viên đặt vấn đề:

11


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

- Liệu ta có thể phát triển bài toán trên ở mức độ tổng
quát hơn và tìm ra cách giải bài toán mới đó?
- ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu thức chứa
un-1 thì sao ? Cụ thể hơn, nếu hệ thức truy hồi ở bài toán 2 đợc cho bởi dạng :
u1 a , u 2 b

u n 1 pu n qu n 1

n N * , n 1

Thì việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này sẽ đợc giải
quyết nh thế nào?
Ví dụ: Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau:
u1 2 , u 2 6,
n N , n 2

u n 1 6u n 2u n 1
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó
(Bài ra ở sách nâng cao ĐS> 11, NXBGD năm 1993 của Phan Huy
Khải)

Với bài này, Sách giáo khoa đã trình bày bài giải nh sau:
Trớc hết ta xét phơng trình: x2-px+q = 0 (*) . Giả sử x1,
x2 là hai nghiệm của phơng trình trên. Theo định lý Vi-et ta
có:
x1 + x2 = p ;
Đặt

x1.x2 = q

Sn = x1n + x22 dễ thấy : Sn+1 = p.Sn q.Sn-1

12

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

áp dụng cho bài toán trên với p = 6 ; q = 2 ta có phơng trình
x2 - 6x + 2 = 0 Phơng trình này có hai nghiệm là x1 = 3 11 ,
x2 =

3 11

Chú ý rằng: x10 + x20 = 2 ;

x11 + x21 = 6

Vậy un = Sn = ( 3

n

11 )

+ (3

n

11 )

Bài toán đã đợc giải quyết. Tuy nhiên khi tham khảo cách giải
này học sinh sẽ thắc mắc: Tại sao lại có phơng trình (*) ?,
Nếu (*) vô nghiệm thì sao?, .ở bài toán trên chúng ta thấy
rất may là phơng trình x2-px+q = 0 có nghiệm và hơn nữa:
2 = u1 = x10 + x20

Từ đó ta đặt ra câu hỏi: Nếu ta thay 2 bởi một số thực bất
kỳ thì bài toán trên có giải quyết đợc không? Chẳng hạn bài
toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci
(Dãy số Fibonaci là dãy un đợc cho bởi công thức:
u1 u 2 1
n N , n 2

u

u

u
n 1
n
n 1

)

Tổng quát hơn ta đề xuất bài toán sau :
Bài toán 4:

Cho dãy số (un) xác định nh sau:
u1 a , u 2 b,
n N , n 2

u

pu

qu

n 1
n
n 1

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?
(Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của cả Bài toán 1, 2 và
Bài toán 3. )

13


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Bây giờ GV định hớng để HS tìm cách giải bài toán này. Giáo
viên có thể định hớng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo
hớng giải Bài toán 3, muốn vậy ta cần tìm 2 số và sao
cho: un+1 - un = (un - un-1)
Do un+1 = pun qun-1 nên ta

có :
p
(**)

. q
(ta luôn có thể giả thiết rằng 0, vì nếu = 0 thì q = 0,
bài toán trên trở thành Bài toán 2 đã xét)
vn = un+1 - un ta có vn = .vn-1 do đó dãy số (vn) lập

Đặt

thành cấp số nhân với công bội là và

v1 = u 2 u 1 = b

a
và vn = n-1v1 hay un+1 - un = n-1(u2 u1)
(1)
Cũng từ un+1 - un = (un - un-1) un+1 - un = (un - un)

1

Nên tơng tự trên ta cũng có un+1 - un = n-1(u2 u1)

(2)

TH1: Nếu thì lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có
( - )un = n-1(u2 u1) - n-1(u2 u1)
un

u2 u1 n1 u1 u2 n1





TH2: Nếu = (ứng với trờng hợp phơng trình đặc trng có
nghiệm kép)
ta có:
un = (un - un-1 ) + (un-1 un-2) + 2(un-2 un-3) + + n-2 (u2

u1) +

14


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

+ n-1u1
= vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + + n-2v1 + n-1u1
=

n-2v1 + n-3v1 + 2 n-4v1 + + n-2v1 + n-1u1

= ( n-2 + n-2 + + n-2)v1 + n-1u1
(n-1) số hạng
= (n 1) n-2 (b a ) + n-1u1 = (n 1) n-2 (b a ) + n-1.a
= (n 1)b. n-1 + (n 2)a. n-1
Nh vậy ta đã hớng dẫn HS tìm đợc kết quả sau:
u1 a , u 2 b,
n N , n 2
Số hạng tổng quát của dãy số (un)
u

pu

qu
n 1
n
n 1

xác định bởi

là:

un

u2 u1 n1 u1 u2 n1

(nếu )



un = (n 1)b. n-1 + (n 2)a. n-1 (nếu = )
với , đợc xác định

p

bởi:


.


q


Bài toán đã đợc giải quyết.
Trở lại với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci :
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức :
u1 u 2 1

n N , n 2

u

u

u
n 1
n
n 1
15

)


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó ?
Giải :
áp ụng kết quả trên với

a=b=1;

p = 1 ; q = -1

1

Ta cần tìm các số , thoả mãn:
. 1

Giải ra đợc:

Suy ra : un =

=

1 5
2

1

;



1 5
2

1 5
1 5
n 1
n 1
1



1

5

1

5
2
2




5
5 2
2

n
n

1
1 5
1 5




2
2
5

Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là :
n
n

1
1 5
1 5

un =



2
2
5






Nh vậy, với cách làm trên ta đã hớng dẫn học sinh tự xây
dựng các bài toán mới và quy trình giải các bài toán đó một
cách tự nhiên, không phải sử dụng đến các kiến thức vợt chơng
trình nh lý thuyết về phơng trình sai phân tuyến tính,
phơng trình đặc trng hay phơng trình hàm sinh... .
Điều đó ngoài việc giúp học sinh nhớ và giải đợc toán mà điều
quan trọng hơn là đã giúp học sinh tự học, tự sáng tạo một

phẩm chất quý của ngời làm toán.
16


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Thực tế có nhiều sách nâng cao đã đa ra các bài toán thuộc
dạng trên, theo dõi các đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua cũng
thấy có một số bài toán tơng tự.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng và bài tập đề xuất
Ví dụ 1:
u 1; u2 2

1
Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với n N , n 1
1
u

(
u

u
)
n 1
n
n 1

2
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số.
(Nhận xét, Dạng của bài toán này giống Ví dụ 1, tuy nhiên bản
chất của dãy số là khác)
Hớng dẫn giải.
Ví dụ này có dạng của Bài toán 4 đã xét với a =1; b = 2; p = q

1




2
= 1/2 nhng ở đây ta có hệ:
vô nghiệm. Do vậy ta
1

.

2

không thể dùng kết quả của Bài toán 4 để giải. Lúc này GV cần
có các định hớng để học sinh tìm tòi cách giải theo hớng giải
quyết Bài toán 2.
Từ giả thiết ta có: 2un+1 = un + un-1 2(un+1 un) = ( un un-1)
1
2

Đặt vn = (un+1 un) ta có 2vn = vn-1 hay vn vn 1 do đó dãy (vn)
lập thành cấp số nhân với v1 = 1, công bội q =

số hạng đầu của dãy số (vn) là:
17

1
và tổng n-1
2


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Sn-1 = v1 + v2 + ... + vn-1

= v1

n1
3 1
q n 1 1
1

=


2
q 1
2

Mặt khác ta có: un = (un un-1) + (un-1 un-2) + ... + (u2 u1) + u1
= vn-1 + vn-1 + ... + v1 + u1
3 1

1
=
2
2

n1

= Sn-1 + u1
3 1
1
=
2
2

n1

Vậy ta có: un



+ 1




+ 1


Ví dụ 2:
u1 2; u2 3

Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với
un 1 3un 2un 1

n N , n 1
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Hớng dẫn giải:
Ví dụ này có dạng của Bài toán 4 đã xét với a =2; b = 3; p
= 3, q = 2 .
3
2



do đó ta có
. 2

1

và ta có

un

u2 u1 n1 u1 u2 n1

= 3 1.2 (2) n1 2.2 3 (1)n 1 = (2)n-1 + 1


2 1

2 1

Đáp số: (un) = (2)n-1 + 1
Ví dụ 3:

18


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

u1 2; u2 5

Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với
un 1 5un 6un 1

n N , n 1
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Hớng dẫn giải:
Giải tơng tự trên với a =2; b = 5; p = 6, q = -2 . và ta có
5
3



do đó ta có

. 6

2

un

u2 u1 n1 u1 u2 n1
5 2.2 n1 3.2 5 n 1

=
(3)
(2) = (3)n-1 +


32
32

(2)n-1
Đáp số: (un) = (3)n-1 + (2)n-1
Ví dụ 4:

u1 1


Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với
un 1 3un 8un2 1

n N *
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Hớng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có: un+1 3un =

2
8un2 1 (un+1 3un)2 = 8un 1

un21 un2 6un .un 1 1 (1)

Do đó ta cũng có

un2 un21 6un 1.un 1

(2)

Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta đợc: un21 un21 6un (un 1 un 1 ) un+1 +
un-1 = 6un

19


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

(vì un 1 3un 9un 1 3 8un 1 1 un 1 suy ra un+1 - un-1 >0)
Do đó bài toán đã cho trở thành:
u1 1; u2 6

Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với n N , n 1
u

6

u

u
n 1
n
n 1
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?

3 8


áp dụng kết quả của Bài toán 4 ta có:

3 8

un

nên

u2 u1 n1 u1 u2 n1

=



6 (3 8)
(3 8) 6
(3 8) n1
(3 8) n1
2 8

2 8
(3 8) n (3 8) n
=
=

2 8
2 8
(3 8) n (3 8) n
2 8
(3 8) n (3 8) n
Đáp số: un
2 8
Ví dụ 5:

3
u1

3

Cho dãy số xác định nh sau:
un 2 3

un 1

1 ( 3 2)un


Tìm u2010.
Hớng dẫn giải:

20

với n N , n 1


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "



6 2 3 , viết lại biểu thức u
ta có tan
n+1 dới dạng sau:

12
2 3
1 cos
6

un tan
12 (1)
un 1
đặt un tan thì từ (1) suy ra :

1 un tan
12

un 1 tan( ) (2)
12
3

Vì u1
nên từ (2) theo nguyên lý quy nạp suy ra
tan
3
6


(n 1)
un tan( (n 1) ) tan
6
12
12
1 cos

Vậy: u2010

3
5
tan
2009

5
5
12
tan(
) tan( 167 ) tan( ) 3
6
12
6

12
6 12
3
5
1
.tan
3
12

(3)


1
5

6

Do tan cot

12
12
1 cos
1
6
1 cos

Thay (4) vào (3) ta đợc u2010

3
2 2 3 1 2 3 (4)

3
2 3 2 3
2
(2 3)

Ví dụ 6:
1

a1 2


Cho dãy số a n xác định nh sau: a 1 a a 2 1
n
n 1 2 n
4 n

Với mọi n tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh dãy số a n hội tụ và tìm
giới hạn của dãy số đó.
Hớng dẫn giải:
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng a n
Thật vậy:
21

1

cot n 1 (1) n 1,2,3,...
n
2
2

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "
1
2

Với n 1 ta có: a1 cot


vậy (1) đúng với n 1 .
4

Giả sử (1) đúng với số tự nhiên bất kì n k 1 nghĩa là:
ak

1

cot k 1
k
2
2

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n k 1 .Từ giả thiết quy
nạp và công thức xác định dãy có:
1
1
a k 1 a k a k2 k
2
4

a k 1


1 1
k
2 2




1
cot
k 1
1

2
sin k 1

2




a k 1 1 cot tức là (1) đúng với

2 K 1
2 k 2

n k 1 và (1) đợc chứng minh .Ta có:


n 1
1


2 2
lim a n lim n cot n 1 lim cos n 1 lim 2
.

2
2
2
sin n 1
2
2
Vậy dãy a n hội tụ và lim a n .



Ví dụ 7:
u1 3; u2 17

Cho dãy số (un) xác định nh sau:
với
un 1 6un un1

n N , n 1
Chứng minh rằng với mọi n N * ta luôn có un2 1 chia hết cho 2 và

thơng là số chính phơng
Hớng dẫn giải

22


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

áp dụng kết quả Bài toán 4 đã xét ở trên với a =3; b = 17; p =

6
3 8



do đó ta có
. 1

3 8

6, q = 1 . và ta có
un

u2 u1 n1 u1 u2 n1




=

=

17 (3 8)3
(3 8)3 17
(3 8) n1
(3 8)n 1
2 8
2 8
83 8
3 8 8
(3 8) n1
(3 8) n1
2 8
2 8

n
n
1
3 8 3 8
Vậy un




2

3 8 3 8 4
Mặt khác ta có:
=

3 8 3 8







n




1 2
1 3 8
Do đó: (un 1)
2
2



2

n


n

n

n

2

2

3 8


2


n

áp dụng công thức nhị thức Newton ta có: (3 8) n = M N 2 , ở
đây M, N là các số nguyên dơng. Từ đó suy ra (un2 1) N 2 suy ra
điều phải chứng minh.
bài tập đề xuất
Bài 1: (Trích ở sách bài tập ĐS & GT 11 năm 2000)

23


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Cho dãy số (un) xác định nh sau :
u1 2

u n 1 2un 1

n N *

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Bài 2:

Cho dãy số (un) xác định nh sau :
u1 1 , u2 2,
n N , n 2

u

5
u

6
u
n
n 1
n 1

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Bài 3: (Đề thi HSG tỉnh năm 1999)
Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau:
u a , u 2 b,

1
n N , n 2

1
un 1 (un un 1 )


2

Hãy tìm:

limun

Bài 4: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan
Huy Khải)
u1 1


Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau:
3
3
un 1 (1 )un 2

n
n


n N *

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số
nguyên
24

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Bài 5: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan
Huy Khải)
Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau:
u1 7; u2 50


un 1 4un 5un 1 1975


n N , n 1

Chứng minh u1996 chia hết cho 1997
Bài 6: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan
Huy Khải)
u0 3; u1 17

un 6un 1 un 2


Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau:

n N , n 1

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì un2 1 chia
hết cho 2 và thơng là số chính phơng

Bài 7: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức :
un+1 = aun + b, (n 1)
a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua u1 và a, b và n ?
b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số
(Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán)

Bài 8: (Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán)
Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức :
un-2 = a1un+1 + a2un , (n 1) trong đó a , a2 là hai số dơng
cho trớc.

25


Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t duy cho học sinh qua bài toán : "Tìm số
hạng tổng quát của dãy số "

Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua a1 , a2, u1 , u2
và n ?
Bài 9: Cho dãy số u1, u2, , un, đợc xác định nh sau :
u1= 2,

un = nun-1 + 1 , (n 2)

Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số trên là :
1 1 1
1
u n n!e , (n 1) (Số e =1 ... ... )
1! 2! 3!
n!

(Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán)

Bài 10: Cho dãy số (un) xác định nh sau:
u1 1; u2 3

với n N ; n 1

un 1 (n 2)u n (n 1)u n 1


Tìm tất cả các giá trị của n để un là số chính phơng
(Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán)

26