Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2017 2018 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh làm bài (trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi; không làm
bài vào đề thi.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1. Cho phương trình x 2 + mx + 4 = 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có
nghiệm kép là
A. { 4; −4} .

B. { 4} .

C. { −4} .

D. { 16} .

Câu 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y = 5 − x và
y = 5 + x bằng
A. 70o.
B. 30o.
C. 90o.
D. 45o.
3

Câu 3. Cho x =

10 + 6 3

(

) . Giá trị của biểu thức ( x

3 −1

6+2 5 − 5

3

− 4x − 2)

2018

bằng

D. 1.
A. −22018.
B. 22018.
C. 0.
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; −1) và B (−2018;1). Đường trung trực của
đoạn thẳng AB có phương trình là
x
x
.

.
A. y = −
B. y =
C. y = 2018 x.
D. y = −2018 x.
2018
2018
Câu 5. Cho biểu thức P = 2 x − 8x − 4 − 2 x + 8x − 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?
1
A. P = −2 với mọi x ≥ .
B. P = −2 với mọi x ≥ 1 .
2
1
C. P = −2 2 x − 1 với mọi x ≤ 1.
D. P = −2 2 x − 1 với mọi ≤ x ≤ 1.
2
Câu 6. Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết rằng M cách đều trục
tung, trục hoành và đường thẳng y = 2 − x. Hoành độ của điểm M bằng
1
A. 2 + 2.
B. 2 − 2.
C. .
D. 2.
2
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M ( 2018; 2018 ) đến đường thẳng
y = x − 2 bằng
A. 2.

C. 4.
D. 1.

2

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  m;m - 10 ÷. Khi m thay đổi thì khẳng định nào
3

dưới đây đúng ?
A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố định.
B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định.
C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định.
D. Điểm A thuộc đường thẳng y = x − 10.
B.

2.

Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm. Kẻ đường cao AH , gọi I , K lần
lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC. Độ dài của đoạn thẳng KI bằng
A. 1, 4 cm.
B. 2 2 cm.
C. 1, 45 cm.
D. 2 cm.
Trang 1/3


Câu 10. Cho AB là một dây cung của đường tròn ( O; 1 cm ) và ·AOB = 150o. Độ dài của đoạn thẳng
AB bằng
A. 2 cm  .

B.

2 + 3 cm.

C. 1 + 5 cm.

D.

2 − 3 cm.

Câu 11. Cho hai đường tròn ( I ; 3 ) và ( O; 6 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai tia vuông
góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng
A. 6.
B. 12.
C. 18.
D. 20.
x
,
y
ABCD
1.
Câu 12. Cho hình thoi
có cạnh bằng Gọi
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của
1
1
tam giác ABC và tam giác ABD. Giá trị của biểu thức 2 + 2 bằng
x
y
1
3
A. 4.
B. 2.

C.
D. .
.
4
2
Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) đường kính AC và dây cung BD = R 2.
Gọi x, y, z , t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA. Giá trị của biểu thức xy + zt  
bằng
2 2
2 2
D.
R .
R .
2
4
Câu 14. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; 2 cm) và nội tiếp đường tròn ( O;6 cm ) . Tổng
khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng
A. 8 cm.
B. 12 cm.
C. 16 cm.
D. 32 cm.
Câu 15. Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15, 20 thì bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác đó bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6 .
Câu 16. Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ
hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để
rào. Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn (tham

khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng
rau an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
A. 400 m 2 .
B. 450 m 2 .
C. 225 m 2 .
D. 550 m 2 .

A. 2 2 R 2 .

B.

2R2.

C.

B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
2
2
a) Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đôi một khác nhau và khác không. Tính giá trị
2
của biểu thức c ( a + b ) .
b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 91 và b 2 = ca.
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình x 2 + 2 x − x 2 + 2 x + 2 = 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về
một phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là
118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A
đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất
mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến

đơn vị mét).
Câu 3 (4,0 điểm).
Trang 2/3


Cho đường tròn ( O ) và điểm A nằm ngoài ( O ) . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với ( O )
( B, C là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt ( O ) tại D và E ( AD < AE ). Tiếp tuyến

của ( O ) tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N .
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M , E , N , I cùng thuộc
một đường tròn ( T ) .
b) Chứng minh rằng hai đường tròn ( O ) và ( T ) tiếp xúc nhau.
c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4 (1,5 điểm).
3b − c 3c − a 
 3a − b
+ 2
+ 2
≤ 9 với a, b, c là độ dài ba cạnh của
Chứng minh rằng ( a + b + c )  2
 a + ab b + bc c + ca 
một tam giác.
----------------- HẾT ------------------

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 3/3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
A
C
B
C
B,D
A,B
Câu
9
10
11
12

13
14
D
B
C
A
C
A

7
B
15
A

8
A
16
B

B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

2
2
a) Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đôi một khác nhau và khác không.
Câu 1 Tính giá trị của biểu thức c 2 ( a + b ) .
3,0 điểm b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 91 và 2
b = ca.

2
2

Ta có a ( b + c ) = b ( c + a ) ⇔

a
b
a −b
1
=
=
=− .
bc + ab ab + ca c ( b − a )
c

Điểm

0,25

2
Suy ra ab + bc + ca = 0 ⇔ bc = −a ( b + c ) ⇔ −abc = a ( b + c ) = 2018.(1)
a)
1.5 điểm ab + bc + ca = 0 ⇔ ab = −c ( a + b ) ⇔ −abc = c 2 ( a + b ) .(2)

0,5
0,5

Từ (1) và (2) ta được c ( a + b ) = 2018.
2

0,25

2

Đặt b = qa; c = q a ( q > 1) thì ta được a ( 1 + q + q ) = 91 = 13.7.
Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được
a = 1
a = 1
⇔
⇒ a = 1; b = 9; c = 81.

2
1 + q + q = 91  q = 9
a = 7
a = 7
⇔
⇒ a = 7; b = 21; c = 63.

2
1 + q + q = 13  q = 3
b)
 a = 13
 a = 13
1,5 điểm 
⇔
⇒ a = 13; b = 26; c = 52.

2
q
=
2
1
+
q

+
q
=
7


x
Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q = ( x ≥ 3; y ≥ 2 ) .
y

2

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

2
2
2
2
2
2
Khi đó a ( 1 + q + q ) = 91 ⇔ a ( x + xy + y ) = 91y ( x + xy + y ≥ 19 )

ax 2
a

∈ ¥ ⇒ 2 ∈ ¥ ⇒ a = ty 2 ⇒ x 2 + xy + y 2 = 91 ⇒ x = 6; y = 5.
2
y
y
và a = 25; b = 30; c = 36.
Vậy có 8 bộ số ( a; b; c ) thỏa mãn ( 1;9;81) , ( 81;9;1) , ( 7; 21; 63 ) , ( 63; 21; 7 ) ;...

Ta có c =

0,25

a) Giải phương trình x 2 + 2 x − x 2 + 2 x + 2 = 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng
Câu 2.
cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m (tham khảo hình vẽ dưới đây).
3,5 điểm
Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà
người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).

Trang 4/3


a)
1.5 điểm

x 2 + 2 x − x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x + 2 ) − x 2 + 2 x + 2 − 2 = 0.

0,25

 x 2 + 2 x + 2 = −1( L)

⇔
 x 2 + 2 x + 2 = 2

0,25

⇔ x2 + 2 x + 2 = 4 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0
 x = −1 − 3
⇔
.
 x = −1 + 3

0,25
0,25

0,25

0,25

b)
2,0 điểm

Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông. Đặt CE = x ( 0 < x < 492 )
Ta có CD = 6152 − ( 487 − 118 ) = 492.

0,25

Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE + EB

0,25

2

= x 2 + 1182 +

( 492 − x )

2

+ 4872

Ta có với mọi a, b, c, d thì

a 2 + b2 + c2 + d 2 ≥

Thật vậy ( 1) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2

⇔

(a

2

(a

2

( a + c)

2

+(b+d)

2

+ b2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ( a + c ) + ( b + d )
2

0,25

(1).
2

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd (2)

Nếu ac + bd < 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac + bd ≥ 0 bình phương hai vế ta được

0,25
0,25

(2) trở thành ( ad − bc ) ≥ 0. Dấu đẳng thức sảy ra khi ad = bc.
2

( x + 492 − x ) + ( 487 + 118 ) =
487 x = 118 ( 492 − x ) ⇔ x ≈ 96m

Áp dụng (1) thì AE + EB ≥

2

2

0,25

608089 ≈ 779,8m

0,25

Dấu đẳng thức xảy ra khi
Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m

0,25

Câu 3
Cho đường tròn ( O ) và điểm A nằm ngoài ( O ) . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC
4,0 điểm
với ( O ) ( B, C là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt ( O ) tại D và
E ( AD < AE ). Tiếp tuyến của ( O ) tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại
các điểm M và N .
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, chứng minh rằng bốn điểm
M , E , N , I cùng thuộc một đường tròn ( T ) .
b) Chứng minh rằng hai đường tròn ( O ) và ( T ) tiếp xúc nhau.
c) Chứng minh rằng IT luôn đi qua một điểm cố định.

Trang 5/3


a)
1,5 điểm

0,25

·
Ta có ·ABO + ACO
= 180o nên tứ giác ABON nội tiếp
Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ( ABOC ) . Suy ra ∆DMA đồng dạng
∆DNJ
Suy ra DM .DN = DA.DJ
1
Mà DA = 2 DI ; DJ = DE.
2
Nên DM .DN = DI .DE ⇒ ∆DMI đồng dạng ∆DEN
Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm.
b)
Dễ thấy khi MN ⊥ OA thì ( O ) và ( T ) tiếp xúc nhau tại E.
1,5 điểm
Khi MN không vuông góc OA. Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của
( O ) tại E.

c)
1,0 điểm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Ta có O, J , K thẳng hàng

Trong tam giác OEK : KJ .KO = KE 2 (1) ( Định lý hình chiếu)

0,25
0,25

Trên đường tròn ( ABOC ) ta có KJ .KO = KN .KM (2).

0,25

Từ (1) và (2) suy ra KE 2 = KN .KM nên KE tiếp xúc ( T )
·
·
·
Ta có OED
= ODE
= TIE

0,25
0,25

Nên IT POD. Gọi W = OA ∩ IT .
Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm)
Khi MN ⊥ OA thì W ∈ IT.
3b − c 3c − a 
 3a − b
+ 2
+ 2
≤ 9 với a, b, c là độ dài ba
Chứng minh rằng ( a + b + c )  2
 a + ab b + bc c + ca 

cạnh của một tam giác.

0,25
0,25
0,25

Giả sử a + b + c = t và đặt a = tx; b = ty; c = tz ⇒ x + y + z = 1.
 t ( 3x − y )
t ( 3y − z )
t ( 3z − x ) 
≤9
+ 2 2
+ 2 2
Ta chứng minh t ( x + y + z )  2 2
 t ( x + xy ) t ( y + yz ) t ( z + zx ) 
3 x − y 3 y − z 3z − x
⇔ 2
+
+
≤ 9.
x + xy y 2 + yz z 2 + zx

0,25

0,25

Trang 6/3


Câu 4

1,5 điểm

⇔

4x − ( x + y ) 4 y − ( y + z ) 4z − ( z + x )
4
1
4
1
4
1
+
+
≤9⇔
− +
− +
− ≤9
x( x + y)
y ( y + z)
z ( z + x)
1− z x 1− x y 1− y z

5x −1 5 y −1 5 y − 1
⇔
+
+
≤9
x − x2 y − y 2 z − z 2
 1
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b > c ⇒ x, y, z ∈  0; ÷.

 2
Ta có:
5x −1
2
 1
≤ 18 x − 3 ⇔ ( 3x − 1) ( 2 x − 1) ≤ 0 đúng ∀x ∈  0; ÷
2
x−x
 2
5y −1
2
1
≤ 18 y − 3 ⇔ ( 3 y − 1) ( 2 y − 1) ≤ 0 đúng ∀y ∈  0; ÷
2
y− y
 2
5z −1
2
 1
≤ 18 z − 3 ⇔ ( 3 z − 1) ( 2 z − 1) ≤ 0 đúng ∀z ∈  0; ÷
2
z−z
 2
5x − 1 5 y − 1 5 y − 1
5x − 1 5 y − 1 5 y − 1
+
+
≤ 18 ( x + y + z ) − 9 ⇔
+
+

≤9
Suy ra ⇔
2
2
2
x−x
y−y
z−z
x − x2 y − y 2 z − z 2
------- Hết-------

0,25

0,25

0,25

0,25

Trang 7/3