Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

ĐỀ BÀI
 2 x + 1 1 − 2 x 16 x 2  16 x 3 − 4 x
−
− 2 ÷: 2
Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức A = 
1
−
2
x
1
+
2
x
4x − 1  4x − 4x + 1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.
Câu 2. (4,0 điểm):
x
x 2 + 10 x + 2015
a) Giải phương trình: 2
=

x + 9 x + 2015 x 2 + 8x + 2015

b) Tìm các số nguyên x, y sao cho: 3x2 + 4y2 = 6x +13
Câu 3. (3,0 điểm):
a) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
abc = n 2 -1

(Với n ∈ Z ; n >2).

2

cba = (n − 2)
x 2 − 2 x + 2015
b) Cho M =
với x > 0. Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
x2

nhỏ nhất đó.
Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC và không trùng
với A, K là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với đường
thẳng AB tại F cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D.
a) Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân.
b) Chứng minh: EK.EC = ED.EF
c) Xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I là điểm bất kì trên
cạnh BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I
và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: DE = BK.
Câu 6. (2,0 điểm): Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:
3
6

1+
≥
a + b + c ab + bc + ca
---------------------- Hết ----------------------

1


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

.

Câu

Câu 1.
(4,0 điểm)

Biểu
điểm

Nội dung
a) (1,0 điểm) :
 2 x + 1 1 − 2 x 16 x 2  16 x3 − 4 x
−

− 2 ÷: 2
Ta có A = 
 1− 2x 1+ 2x 4x − 1  4x − 4x + 1
 2x +1 1 − 2x
16 x 2
−
+

=
 1− 2x 1+ 2x ( 1− 2x) ( 1+ 2x )
1
ĐKXĐ: x ≠ ± ; x ≠ 0
2

 4 x(4 x 2 − 1)
:
÷
÷ (2 x − 1) 2


1,0đ

b) (1,5 điểm):
Với điều kiện ở câu a ta có:
 ( 2 x + 1) 2 − ( 1 − 2 x ) 2 + 16 x 2  4 x(2 x − 1)(2 x + 1)
÷:
A = 
÷
1− 2x ) ( 1 + 2x)
(2 x − 1) 2

(


8x
2x −1
16 x 2 + 8 x
4 x (2 x + 1)
:
=
= 1 − 2 x . 4 x(2 x + 1)
(1 − 2 x)(1 + 2 x)
2x −1

c) (1,5 điểm) :

−2
>0
2x +1
⇔ 2x +1 < 0
−1
2

Vậy x <

−1
2

a) (2,0 điểm):
x
x 2 + 10x + 2015

=
x 2 + 9x + 2015 x 2 + 8x + 2015
Đặt x 2 + 9x + 2015 = y (ĐK: y ≠ 0 )

Câu 2.
x y+x
⇔ xy − x 2 = y 2 + xy
(4,0 điểm) ⇒ =
y

1,5đ

0,5đ

A> 0 ⇔

⇔x<

−2
=
2x +1

y−x

⇔ x2 + y 2 = 0 ⇔ x2 = y 2 = 0
⇔ x = y = 0 không t/m điều kiện.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2

1,0đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

b) (2,0 điểm):
Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13
⇔ 3(x-1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 )
Vì VT ≥ 0 nên VP ≥ 0 suy ra (4 – y2 ) ≥ 0
Suy ra y ∈ { - 2 ;-1; 0; 1; 2}
Thay lần lượt các giá trị của y ta tìm được các cặp nghiệm sau:
(x,y) ∈ { (1;−2); (3,−1); (−1;−1); (1,2); (3;1); (−1;1);}
a) (1,5 điểm):
Ta có : abc = 100a + 10b + c = n2 - 1
= 100c + 10b + a = (n - 2)2
cba
⇒ 99(a - c) = n2 - 1 - n2 + 4n - 4 = 4n - 5
⇒ 4n - 5  99 ( do a - c là số nguyên)
Câu 3.
(3,0 điểm) Lại có : 100 ≤ n2 - 1 ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31
⇒ 39 ≤ 4n - 5 ≤ 119
Vì 4n - 5  99 nên 4n - 5 = 99  n = 26 ⇒ abc = 675

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ

b) (1,5 điểm):
2014
x 2 − 2 x + 2015
x 2 − 2 x + 2015 2014
M=
=
+
2015
2015
x2
x2
2
2014
x − 2 x + 2015 2014
⇔M=(
)+
2
2015
2015
x
2

2
2014
x − 2 x.2015 + 2015
⇔M =
+
2
2015
2015 x
( x − 2015) 2 2014 2014
⇔ x =2015.
≥
+
2015 2015
2015 x 2
2014
⇔ x =2015.
Vậy giá trị nhỏ nhất M =
2015

0,25đ

1,0đ

⇔M =

Câu 4
(5,0 điểm)

a) (1,5 điểm):
3

0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

Vì tam giác AFE vuông tại F và K là trung điểm của AE,
nên FK = KA
suy ra tam giác AFK đều và FK song song với BC.
Suy ra tứ giác BCKF là hình thang cân.
b) (1,5 điểm):
Chứng minh được tam giác EKF đồng dạng với tam giác EDC
⇒

EK EF
=
⇒ EK ×EC = ED ×EF
ED EC

0,5đ
0,5đ
0,5đ

1,0đ
0,5đ

c) (2,0 điểm):
Chứng minh hai tam giác EKD và EFC đồng dạng
KD KE
=

CF EF
2
AE
AE 
3 AE

2
2
2
2
Mà KE =
; EF + AF = AE ⇒ EF +  ÷ = AE 2 ⇒ EF =
2
2
 2 
⇒

⇒

KD AE 3 AE
1
1
=
:
=
⇒ KD =
×CF
CF
2
2

3
3

Do đó KD nhỏ nhất khi và chỉ khi CF nhỏ nhất hay F là hình chiếu
của C trên AB. Khi đó E trùng với C.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

A
E
G
K

Câu 5.
(2,0 điểm)

D

B

C
I

M

Từ M kẻ MG//IE ta có :

MG DE
=
AG AE

Vì IK//AC nên

BK AB
=
(1)
IK
AC
MG AB
=
Ta lại có MG//AB ⇒
GC AC

0,5đ

mặt khác ta lại có :AG =GC (do M là trung điểm BC và MG//AB)
DE MG MG AB (2)
⇒
=
=
=

0,5đ

AE

AG

GC

AC
BK DE
=
Từ (1) và (2) suy ra
,
IK
AE

mà KI = AE (do AKIE là hình bình hành) nên BK = DE
Vậy BK = DE (đpcm)
1
a

1
b

0,5đ
0,5đ

0.25đ

1
c

Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 .
Câu 6.

0.25đ
4


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

(2,0 điểm)

3

6

BĐT cần chứng minh tương đương với 1 + xy + yz + zx ≥ x + y + z
Ta có:
x + y ≥ 2 xy, y + z ≥ 2 yz , z + x ≥ 2 zx ⇒ x + y + z ≥ xy + yz + zx
3
9
2
⇒ ( x + y + z ) ≥ 3 ( xy + yz + zx ) ⇒
≥
xy + yz + zx ( x + y + z ) 2
2

2

2

2

2

2

3
9
⇒ 1+
≥ 1+
2
xy + yz + zx
( x + y + z)

2

2

0.25đ
0.25đ

(*)

2



3
9
6
≥
( **)
Mặt khác 1 −

÷ ≥ 0 hay 1 +
2
( x + y + z) x + y + z
 x+ y+z
3
6
Từ (*) và (**) suy ra 1 + xy + yz + zx ≥ x + y + z
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1 hay a = b = c = 1 ⇒ (Đpcm)

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ----------------------

5

0.25đ

2

0.25đ
0.25đ
0.25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 02

ĐỀ BÀI
Câu 1. (4,0 điểm):

 x2
6
1  
10 − x 2



+
+
:
x
−
2
+
Cho biểu thức: A =  3
 
x+2
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  
a) Rút gọn biểu thức A.





b) Tính giá trị của biểu thức A với giá trị của x thoả mãn |x+1| = |- 1|.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 2. (4,0 điểm):

x +1
x −1
4
−
=
2
a) Giải phương trình: x + x + 1 x − x + 1 x x 4 + x 2 + 1
(
)
2

b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2
Câu 3. (3,0 điểm):
a) Chứng minh rằng nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m 2 + m = 5n 2 + n
thì: (m - n) và (5m + 5n + 1 ) đều là số chính phương.
b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: 12a − b 4 = 12b − c 4 = 12c − a 4 = 2015 .
670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b
+
+
Tính giá trị của biểu thức: P =
a
b
c
Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh
AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D,
cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: Góc EAD = góc ECB.
b) Cho góc BMC = 1200 và SAED = 36cm2. Tính SEBC?

c) Kẻ DH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH
và DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B
và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ
đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng
MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 6. (2,0 điểm): Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 .. . a 8 thoã mãn đồng thời 2 điều kiện
sau:

(

a1a 2a 3 = a 7a 8

)

2

(

)

3

và a 4a 5 a 6a 7 a 8 = a 7 a 8 .

---------------------- Hết ----------------------

6

“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu

ĐỀ SỐ: 02
Biểu
điểm

Nội dung
a) (2,0 điểm):
ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± 2
Rút gọn đúng A =

0,5đ
1,5đ

1
2−x

Câu 1.
(4,0
điểm) b) (1, 0 điểm):
|x+1 | = | - 1| ⇔ x = -2 hoặc x = 0
Với x = 0 hoặc x = -2 thì không thoả mãn ĐKXĐ nên A không có
giá trị
c) (1,0 điểm):
Vì x nguyên nên để A có giá trị nguyên thì

2 - x ∈{1;−1} ⇒x ∈{1;3}

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

a) (2,0 điểm):
2

2





2
2
Câu 2. Ta có: x + x + 1 =  x + 2 ÷ + 4 > 0 ; x − x + 1 =  x − 2 ÷ + 4 > 0
2
(4,0
 2 1 3
4
2
điểm) x + x + 1 =  x + ÷ + > 0 nên p.trình xác định với mọi x ≠ 0
1

3

1

3

2 4
x +1
x −1
4
Phương trình x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = x x 4 + x 2 + 1

0,5đ



⇔
⇔

( x + 1) ( x 2 − x + 1) − ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x3

(x
+1− ( x
2

)

+ x +1 x − x +1

3

−1

x + x +1
4

)(

2

)=

2

(

=

0,5đ

)

4
x x + x2 + 1

(

0,5đ
0,25đ

)

4

4
2
4
⇔ 4
=
2
2
4
x + x + 1 x x + x2 + 1
x x + x +1

(

4

)

(

)

⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)

0,25đ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
b) (2,0 điểm):
Với x = 1 ta có: 0y = 3 (phương trình vô nghiệm).

3
x2 + 2
Xét x ≠ 1 ta có : y =
=x+1+
x −1
x −1
Vì x, y ∈ Z nên x – 1 là ước của 3. Ta có các trường hợp sau:
⇒ y = 6 (thỏa mãn)
• x–1=1 ⇔x=2
• x – 1 = -1 ⇔ x = 0 ⇒ y = -2 (thỏa mãn)
7

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”
⇒ y = 6 (thỏa mãn)
• x– 1 = 3 ⇔ x = 4
• x – 1 = -3 ⇔ x = -2 ⇒ y = -2 (thỏa mãn)
Vậy (x, y) ∈ {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)}

a) (1,5 điểm):
Ta có 4m 2 + m = 5n 2 + n
⇔ 5( m 2 − n 2 ) + m − n = m 2 ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m 2 (*)
Câu 3. Gọi d là ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1)

(3,0
điểm) ⇒ (m - n)  d và (5m + 5n + 1)  d

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

(m - n)  d ⇒ 5m - 5n  d ⇒ (5m + 5n + 1) + (5m - 5n)  d
0,5đ

⇒ 10m + 1 d

Mặt khác từ (*) ta có: m 2 Md 2 ⇒ m d. Mà 10m + 1 d nên 1 d
0,5đ

⇒ d = 1 (Vì d là số tự nhiên)

Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
b) (1,5 điểm):
12a − b 4 = 2015 12a = 2015 + b 4 a > 0



4
4
Vì 12b − c = 2015 ⇔ 12b = 2015 + c ⇒ b > 0
12c − a 4 = 2015 12c = 2015 + a 4

c > 0



- Giả sử a < b ⇔ 12a < 12b ⇔ 12a – 12b < 0 mà 12a – 12b = b4
– c4
⇒ b4 – c4 < 0 ⇔ b4 < c4 ⇔ b < c ( vì b ; c > 0 ) (1)
⇔ 12b < 12c ⇔ 12b - 12c < 0
Lại có: 12b – 12c = c4 – a4
⇒ c4 – a4 < 0 ⇔ c4 < a4 ⇔ c < a ( vì c; a > 0 ) (2)
Từ (1) và (2) ta có: b < c < a ⇒ Trái với giả sử
- Giả sử a > b. Chứng minh tương tự như trên ta được
b > c > a ⇒ Trái với giả sử
Vậy a = b ⇒ 12a – 12b = 0 ⇒ b4 – c4 = 0 ⇒ b = c ( vì b; c > 0)
⇒ a=b=c
670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b
⇒ P=
+
+
a
b
c
672a 672b 672c
+
+
= 672 + 672 + 672 = 2016
=
a
b
c

8

0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”
E

D
A

Câu 4
(5,0
điểm)

M
Q

B

P

I

C

H

a) (2,0 điểm):
- Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (g-g)
EB ED
=
⇒ EA.EB = ED.EC
- Từ đó suy ra
EC EA
- Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (c-g-c)
- Suy ra góc EAD = góc ECB

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

b) (1,5 điểm):
- Từ góc BMC = 120o ⇒ góc AMB = 60o ⇒ góc ABM = 30o
- Xét

∆ EDB vuông tại D có góc B= 30 o

⇒ ED =

1
EB ⇒

2

ED 1
=
EB 2
2

S
 ED 
- Lý luận cho EAD = 
÷ từ đó
S ECB  EB 

⇒ SECB = 144 cm2

c) (1,5 điểm):
- Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD
⇒ PQ // BD
- Mặt khác: BD ⊥ CD (Giả thiết)
- Suy ra:
PQ ⊥ DC ⇒ Q là trực tâm của tam giác DPC
Hay CQ ⊥ PD

9

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

Câu 5.
(2,0
điểm)

Dựng hình bình hành ABEC, gọi F là giao của DN và AE.
BM BD
=
Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC ⇒
AB BC
BD AN
=
DN // AB ⇒
BC AC
AN FN
=
NF // CE ⇒
AC EC
BM FN
=
Từ đó suy ra:
(1)
AB EC
Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN. Theo gt BM // FN nên
BMNF là hình bình hành, do đó MN = BF. Vậy MN nhỏ nhất khi
BF nhỏ nhất.

Do B là điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn nhất khi F là
chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE.
Từ đó điểm D được xác định như sau: Từ B hạ BF ⊥ AE, dựng
đường thẳng qua F song song với AB cắt BC tại D.
Ta có: a1a 2 a 3 = ( a 7 a 8 ) (1)
2

(

và a 4a 5a 6a 7 a 8 = a 7 a 8

)

3

(2)

0,5đ

0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

Từ (1) và (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31

Câu 6.
(2) => (a7 a8 )3 = a4 a5 a6 00 + a7 a8  (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00
(2,0

điểm)  ( a7 a8 - 1). a7 a8 .( a7 a8 + 1) = 4.25. a4 a5 a6
Nhưng  ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp,
trong đó có 1 số chia hết cho 25, nhưng số đó nhỏ hơn 50 (vì tích
48.49.50 = 117600 > a4 a5 a6 00 ). Suy ra có 1 số là 25.
Nên chỉ có có 3 khả năng:
+ a7 a8 + 1 = 25 => a7 a8 = 24 => a1a 2 .. . a 8 là số 57613824
+ a7 a8 = 25 => a1a 2 .. . a 8 là số 62515625
+ a7 a8 - 1 = 25 => a7 a8 = 26 => Không thỏa mãn.
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ---------------------10

0,5đ
0,5đ

0,5đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 03

ĐỀ BÀI

2
x4 − x
2 x 2 + x 2 ( x − 1)

Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: P = 2
−
+
.
x + x +1
x
x −1

a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
c. Chứng minh Q =

x
< 1 với x thoả mãn ĐKXĐ.
P

Câu 2: (4.0 điểm)
a. Tìm số dư trong phép chia đa thức ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 101 cho đa
thức x 2 + 5x + 15
b. Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 2017. Tính giá trị của M biết xy = 1 và x + y
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: (4.0 điểm)
a. Giải phương trình sau:

(x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12

x. y.z = 1

1 1 1
b. Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:  + + < x + y + z

 x y z

Chứng minh rằng: có đúng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1
Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao
cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O.
Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M
và N.
a. Chứng minh rằng

1
1
2
+
=
.
AB CD MN

b. Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 3
+ 3
≤
3
3

3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

---------------------- Hết ----------------------

11


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 03

.
Nội dung

Bài
a. DKXD : x ≠ 0,

Điểm

x ≠1

2
x4 − x
2 x 2 + x 2 ( x − 1) ⇒

−
+
.
x2 + x + 1
x
x −1
x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) x ( 2 x + 1) 2 ( x − 1) ( x + 1)
P=
−
+
.
x2 + x + 1
x
x −1
⇒ P = x ( x − 1) − ( 2 x + 1) + 2 ( x + 1)

P=

⇒ P = x 2 − x + 1 Vậy P = x 2 − x + 1 với x ≠ 0,

1,5

x ≠1

2

1 3 3

b.
Do P = x − x + 1 =  x − ÷ + ≥ với mọi x ≠ 0, x ≠ 1

2 4 4

1
Dấu “=” xảy ra khi x = thoả mãn ĐKXĐ
2
1
3
Tại x = thì P =
2
4
3
1
Vậy P đạt GTNN bằng khi x =
4
2
2
2x
2x
2 ( x − 1)
2
Q
=
=
c.Ta có
= 2− 2
≤ 2 (Do
P x2 − x + 1
x − x +1
2

Câu
1
4đ

2

1 3 3

P = x 2 − x + 1 =  x − ÷ + ≥ > 0 với mọi x)
2 4 4

Do x ≠ 1 nên không xẩy ra dấu “ =” . Vậy 2Q < 2 ⇔ Q < 1

Câu
2
4đ

a) Ta có: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +101 = (x2+5x+4)( x2+5x+6)+101
= (x2+5x+15-11)( x2+5x+15-9)+101
= (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+101+99
= (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+ 200
Do đó đa thức (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 101 chia cho đa thức x2+5x+15
dư 200.

1,25

1,25

0.5
0.5

0.5
0.5

b) Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y +2017 = 2(x + y)2 -(x + y) - xy
+2017

0.25

Ta có (x - y)2 ≥ 0 ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy

0.5

Mà xy = 1 nên (x + y)2 ≥ 4 ⇒ x + y ≥ 2 nên Min x + y = 2.
Khi x + y = 2 ta có x + y = 2 hoặc x + y = -2
+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2022
+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2026
12

0.5
0.5
0.25


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

Vậy M = 2022 hoặc M = 2026
a) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
⇔ 2x3 + 10x = 12 ⇔ x3 + 5x – 6 = 0 ⇔ (x3 – 1) + (5x – 5)

=0

0.5
0.25

⇔ (x – 1)(x2 + x + 6) = 0
x = 1
x - 1 = 0

2
⇔  2
⇔ 
⇔ x =1
1  23
x
+
x
+
6
=
0
x
+
+
=
0

÷

2
4

1.0

2

1
23
(Vì  x + ÷ + = 0 VN)
2
4


Câu
3
4đ

0.25đ

Vậy x = 1

b) Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1
1

1

1

1

1

1

x

y

z

= (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( x + y + z ) = (x + y + z) - ( + + ) > 0
1

1

1.0

1

( Do x.y.z = 1 và x + y + z > x + y + z )
Vì (x-1)(y-1)(z-1) > 0 nên 2 trong 3 số x -1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba số
x-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp cả ba số đều dương xảy ra thì x, y, z >1 Suy ra x.y.z >1
Mâu thuẫn GT x.y.z =1. Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là

1.0

có đúng 1 trong ba số dương.
Do đó có đúng 1 trong ba số x, y , z là số lớn hơn 1.
Câu
4

2đ

A
F
E
M

I

B

H

C

G

Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ.
Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AH
Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2
= AI2 + IM2 + MG2 ≥ AI2 + IH2 . Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)
Lại do AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2
13

0.5
0.5


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

= AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI. IH
Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI. IH lớn nhất
AH
Mà AI + IH = AH không đổi nên AI. IH lớn nhất khi AI = IH =
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH.
A

0.5
0.5

B

N

M
O

C

D

OM DM
OM AM
=
=
(1), xét ∆ADC có

(2)
AB
AD
DC
AD
1
1
AM + DM AD
+
=
=1
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1
Chứng minh tương tự ON. ( +
AB CD
1
1
1
1
2
)=2 ⇒
+
=
Từ đó có (OM + ON). ( +

AB CD
AB CD MN
S AOB OB S BOC OB
S
S
=
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
b) S
,
OD S DOC OD
S AOD S DOC
AOD

a) Xét ∆ABD có
Câu
5
4đ

Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng.
Chứng minh được S AOD = S BOC ⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2
Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2016.2017
Do đó SABCD = SAOB + S AOD + S BOC +SCOD
= 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172
= 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đv diện tích)

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5

1.0

(a + b)(a 2 + b 2 )
≥ ab( a + b) ⇔ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b)
Ta có : a + b ≥ 2ab ⇒
2
2

2

⇔ a 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b) + abc ⇔

Câu
6
2đ

Tương tự:

abc
abc
c
≤
=
(1)
3
a + b + abc ab(a + b) + abc a + b + c

0.5

3

abc
a
≤
(2)
3
b + c + abc a + b + c
3

abc
b
≤
(3)
3
c + a + abc a + b + c
3

0.5

Cộng vế với vế các BĐT (1); (2); (3) suy ra
abc
abc
abc
a +b+c
+ 3 3
+ 3
≤

=1
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c
3

Suy ra

1
1
1
1
+ 3
+ 3
≤
3
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc

(đfcm)

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
14

1.0


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

---------------------- Hết ----------------------

15


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 04

ĐỀ BÀI
 1

5 − x  1− 2x

2

+
−
: 2
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức A = 
2 ÷
 1− x x +1 1 − x  x −1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 0.
Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình :

a)

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x
+
+
+
= 10.
25
23
21
19

b) x6 – 7x3 – 8 = 0
Bài 3: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:



7

( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  3x − ÷
4


b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương.
Bài 4: (2,5 điểm)
x

y

a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y + x ≥ 2 (với x và y cùng dấu)
 x y
x2 y 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + 2 − 3  + ÷+ 5
y
x
 y x

(với x ≠ 0, y ≠ 0 )

Bài 5 (7,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một
đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
·
·
a) Chứng minh: EAD
= ECB
2
·
b) Cho BMC
= 1200 và S AED = 36cm . Tính SEBC?
c) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và
DH. Chứng minh CQ ⊥ PD .
d) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
Bài 6: (2,0 điểm) Đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn
f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1)+ f(5).
---------------------- Hết ----------------------

16


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ý
Bài
1
a)
ĐKXĐ: x ≠ ± 1
1+ x + 2 − 2x − 5 + x 1 − 2x
(2,5đ) 1,5 đ
: 2
A=
2
1− x
2 x −1
2
=
= 2 .
x −1 1− 2x 1− 2x

ĐỀ SỐ: 04

.
Nội dung

Điểm
0,25đ
0,5đ

x −1

0,75đ

2

1
b)
A > 0 ⇔ 1 – 2x > 0 ⇔ x <
2
1,0 đ

0,5 đ

Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x <
2
(3 đ)

a)
1,5đ

b)
1,5đ

1
.

2

0,5đ

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x
+
+
+
= 10.
25
23
21
19
 148 − x   169 − x
  186 − x
  199 − x

⇔
− 1 + 
− 2 + 
− 3 + 
− 4 = 0
 25
  23
  21
  19

1
1
1

 1
⇔ (123 − x )  +
+ + =0
 25 23 21 19 
1
1
1
 1
+ + ≠0
⇔ 123 − x = 0 V×  +
 25 23 21 19 
⇔ x = 123 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 123

Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 ⇔ (x3 + 1)(x3 – 8) = 0
⇔ (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)

1
3
Do x2 – x + 1 = (x – )2 + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với
2
4

mọi x, nên (*) ⇔ (x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ x ∈{- 1; 2}

3
(3 đ)

a)
1,0đ

(6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)(3x -

2,0đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

7
7
77
= - 21 + = −
4
4
4

1,0 đ


n + 24 = k
∈N )
2 ( h ; k

n
−
65
=
h

2

Ta có: 

⇔ k2 − 24 = h2 + 65
⇔ ( k − h )( k + h ) = 89 = 1.89
k + h = 89 k = 45
⇔
⇒
( v× k+h > k -h )
k
−
h
=
1

h = 44

Vậy:
4
a
(2,5đ) 1,0đ

0,75đ

7
)
4

= 12x2 – 18x + 14x - 21 - 12x2 + 7x – 3x +
b)

0,75đ

n = 452 – 24 = 2001

vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó

17

x y
+ ≥ 2 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy
y x

1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

⇔ (x − y)2 ≥ 0 bất đẳng thức này luôn đúng, suy ra bđt ban đầu đúng
(đpcm)

b
1,5đ

0,5 đ

x y
x2 y2 2

+
=
t
⇒ 2 + 2 =t −2
Đặt
y x
y x
Biểu thức đã cho trở thành P = t2 – 3t + 3
P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t ≥ 2.
⇒ t − 2 ≥ 0 ; t − 1> 0 ⇒ ( t − 2) ( t − 1) ≥ 0 ⇒ P ≥ 1. (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 ⇔ x = y
- Nếu x; y trái dấu thì

x
y
< 0 và < 0
y
x

0,75đ

⇒ t < 0 ⇒ t – 1 < 0 và t – 2 < 0

⇒ ( t − 2) ( t − 1) > 0 ⇒ P > 1

(2)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x ≠ 0 ; y ≠ 0 thì luôn có P ≥ 1. Đẳng 0,75đ
thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
Pmin= 1 (khi x = y)

5
(7đ)

a)
2,0đ

* - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (gg)
EB ED
=
⇒ EA.EB = ED.EC
- Từ đó suy ra
EC EA

1,0 đ

E

D
A
M
Q

B

P

I

C

H

*- Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (cgc)
·
·
- Suy ra EAD
= ECB
b 1,5 - Từ BMC
·
= 120o ⇒ ·AMB = 60o ⇒ ·ABM = 30o
điểm
- Xét

µ = 30o
∆ EDB vuông tại D có B
18

⇒ ED =

1,0 đ
0,5 đ

1
EB ⇒ 0,5 đ
2


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ED 1
=
EB 2
2

S
 ED 
- Lý luận cho EAD = 
÷ từ đó
S ECB  EB 

⇒ SECB = 144 cm2

c)
- Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD
⇒ PQ // BD
1,5
điểm Chứng minh PQ ⊥ DC ⇒ Q là trực tâm của tam giác DPC
⇒ CQ ⊥ PD
d)
Kẻ MI ⊥ BC ( I ∈ BC )
2,0
- Chứng minh ∆ BMI đồng dạng với ∆ BCD (gg)
điểm ⇒ BM = BI ⇒
BM . BD = BI . BC
(1)
BC

6
2,0đ

0,75
đ
0,75đ
1,0 đ

BD

- Chứng minh ∆ CMI đồng dạng với ∆ CBA (gg)
⇒

0,5 đ

CM CI
=
⇒ CM.CA = CI.BC
CB CA

0,5 đ

(2)

Từ (1) và (2) ta có: BM . BD +CM.CA =BI .BC + CI.BC
⇒ BM . BD + CM.CA = ( BI+CI).BC= BC2 không đổi

0,5 đ

Xét đa thức: Q(x) = f(x) -2x2 -3
Ta có: Q(1) = f(1) - 5 = 0 ⇒ Q(x) M(x-1)
Q(2) = f(2) - 11 = 0 ⇒ Q(x) M(x-2) (Theo định lí Bơzu)

Q(3) = f(3) - 21 = 0 ⇒ Q(x) M(x-3)
Vì f(x) bậc 4 và có hệ số cao nhất =1 nên Q(x) cũng có bậc 4 và
hệ số cao nhất =1 ⇒ Q(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-a)
⇒ f(x) = (x-1))x-2)(x-3)(x-a) +2x2 +3
⇒ f(-1) = 24(1+a) +5
và f(5) = 24(5-a)+53
⇒ f(-1) +f(5) = 24(1+a) +5 + 24(5-a)+53 = 202
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ----------------------

1.0đ

19

1,0đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 05

ĐỀ BÀI
Bài 1: (4,0 điểm)
a)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1 4
x + 16
4

b) x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1
Bài 2 : (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau

1
1
2
=4
2 + y +
y2
x
7
x 2 + 2x + 1
x 2 + 2x + 2
b) 2
+ 2
=
6
x + 2x + 2
x + 2x + 3

a) x2 +

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 4xy – 4y + 4y2 – 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của B =

4x + 3
x2 +1

Bài 4: (2,0 điểm)
Giải bất phương trình: x + 1 − 2

≥ 3

Bài 5 : (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có góc DAC = góc DBC = 90o. Gọi E là giao điểm của AD và BC;
O là giao điểm của AC và BD
a, Chứng minh AB . DO = DC . OA ; AB . EC = CD . EA
b, Kẻ DH vuông góc với AB ; kẻ CK vuông góc với AB . Chứng minh AH = BK
Bài 6 : (2,0 điểm)
Cho x , y , z ≥ 0 ; x + 5y = 21 ; 2x + 3z = 51
Tìm giá trị lớn nhất của A = (x + y + z)2
---------------------- Hết ----------------------

20


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài

1
1
a , ( 2đ): x4 + 16
4
(4đ)

ĐỀ SỐ: 05

.
Nội dung

1
2
1 2
= ( x +4 )2 – (2x)2
2
1 2
1
= ( x +2x + 4)( x 2 -2x +4)
2
2

1,0đ

= ( x 2 )2 + 4x2 +16 – 4x2

0,5đ
0,5đ

b ,(2đ ) : x4 + 6x3 +11x2 +6x + 1

= x4 +2x2 (3x +1) + ( 9x2 +6x +1 )
= x4 +2x2 ( 3x + 1) + ( 3x +1 )2
= ( x2 + 3x + 1 )2

1,0đ
0,5đ
0,5đ

1
1
2
a) (2đ): x2 + 2 + y2 + y 2 = 4 ĐKXĐ: x ≠ 0 , y ≠ 0
(4đ
x
)
1
1 2
⇔(x) + ( y - y )2 = 0
x
1
1 2
⇔(x) = 0 và ( y - y )2 = 0
x
⇒ x2 = 1 và y2 = 1

NPT: là x = 1 , y = 1; x = -1 , y = 1 ; x = 1 , y = -1 hoặc x = - 1 , y = -1
b,(2đ):
2

Điểm

7
x 2 + 2x + 1
x 2 + 2x + 2
+
= (Đ K X Đ: x ∈ R)
2
2
6
x + 2x + 2
x + 2x + 3

Đặt x +2x + 2 = t ( với t > 0 )

t −1
t
7
+
= ( ĐK t ≠ 0 , t ≠ -1 )
t
t +1
6
2
(t − 1)(t + 1)
t
7
⇔
+
=
t (t + 1)

t (t + 1)
6
2
⇔ 5t – 7t – 6 = 0
3
⇔ ( 5t +3 ) ( t – 2 ) = 0 ⇔ t = (loại ) Hoặc t = 2 (T/M)
5
Với t = 2 ⇔ x2 +2x + 2 = 2 ⇔ x( x + 2 ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = - 2

Phương trình trở thành

Vậy x = 0 hoặc x = - 2 là nghiệm của phương trình
3 a , (2đ) A = 2x2 + 4xy – 4y +4y2 – 1
(4đ) = x2 + 4xy + 4y2 – 2( x + 2y ) + x2 + 2x – 1
= (x + 2y) 2 – 2( x + 2y ) + 1 + (x2 + 2x +1 ) – 3
= ( x + 2y - 1 )2 + ( x + 1 )2 – 3
Do ( x +2y - 1 )2 ≥ 0 , ( x + 1 )2 ≥ 0 Với mọi x , y
21

0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

Nên A = ( x + 2y - 1 )2 + ( x + 1 )2 – 3 ≥ - 3 Với mọi x , y
Vậy giá trị nhỏ nhất A = -3 ⇔ x = - 1 , y = 1

4x + 3
x2 +1
2
4x + 4 − 4x 2 + 4x − 1
=
x2 +1
4( x 2 + 1) − (4 x 2 − 4 x + 1)
=
x2 +1
(2 x − 1) 2
=4- 2
x +1
(2 x − 1) 2
(2 x − 1) 2
≤
0
≤ 4 với mọi x

Do - 2
với mọi x.Nên B = 4 - 2
x +1
x +1
1
Vậy giá trị lớn nhất B = 4 ⇔ x=
2
x + 1 − 2 ≥ 3 (1)

0,5đ
0,25đ

b, (2đ) B =

4
(2đ
- Nếu x + 1 ≥ 2 (*) thì (1) trở thành x + 1 ≥ 5
)
Khi x ≥ - 1 (**) ta có x +1 ≥ 5 ⇔ x ≥ 4
(TM ĐK * và ** )
Khi x < - 1 (***) ta có – x – 1 ≥ 5 ⇔ x ≤ - 6
(TMĐK * và ***)
- Nếu x + 1 < 2 thì (1) trở thành - x + 1 +2 ≥ 3 ⇔ - x + 1 ≥ 1 ( vô lý)
Vậy nghiệm bất phương trình là x ≥ 4 hoặc x ≤ - 6
5
E
(4đ)

H

0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

A
N

B
K

O

D

C

M

a, (2đ) Xét tam giác AOD và tam giác BOC có
góc DAO = góc CBO = 90o (gt);
góc AOD = góc BOC (đ/đ)
nên tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC
⇒

0,5đ

AO BO
=
DO CO

- Tam giác AOB và DOC có

AO BO
=
và góc AOB = góc DOC (đ/đ)
DO CO

Nên tam giác AOB đồng dạng với tam giác DOC
22

0,25đ
0,25đ
0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”
⇒

AB AO
⇒ AB . DO = DC . OA
=
DC DO

- Xét tam giác EAC và tam giác EBD có góc EDB = góc ECA

( do tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC ); góc E chung
⇒ tam giác EAC đồng dạng với tam giác EBD
EA EB
⇒
=
EC ED
EA EB
=
, góc E chung
EC ED
AB EA
=
Nên Tam giác EAB và tam giác ECD đồng dạng ⇒
DC EC
⇒ AB.EC = DC.EA

0,25đ
0,25đ
0,25đ

Tam giác EAB và tam giác ECD có

0,5đ

b , (2đ) Gọi M là trung điểm DC; N là trung điểm AB
Hai tam giác vuông DAC và DBC có AM, BM là trung tuyến
Nên AM = BM =

1
DC

2

Tam giác cân AMB có MN là đường trung tuyến nên MN là đường cao

⇒ MN vuông góc với AB

-Hình thang HKCD có MN // DH // CK ( cùng vuông góc với AB ), M là
trung điểm DC nên MN là đường trung bình hình thang HKCD
⇒ N là trung điểm HK ⇒ NH = NK ⇒ AH = BK
6
Do x , y , z ≥ 0 . Nên (x + y + z)2 lớn nhất ⇒ x + y + z lớn nhất
(2đ) Từ x + 5y = 21 ; 2x + 3z = 51 (1) ⇒ 3(x + y + z ) + 2y = 72
Nên 3( x + y + z) lớn nhất ⇔ 2y nhỏ nhất
do y ≥ 0 nên 2y nhỏ nhất khi 2y = 0 ⇔ y = 0
⇒ 3(x + z) = 72 ⇔ x + z = 24 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ x = 21 , z = 3 ⇒ x + y + x = 24
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 242 = 576 . Khi x = 21 , y = 0 , z = 3
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ----------------------

23

0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,5đ
0,25đ


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 06

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm).


1 

1

x+1

+
a) Rút gọn biểu thức: A =  2
÷: 2
 x − x x − 1 x − 2x + 1

b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3 + ax + b chia hết cho đa thức
x2 + x − 6

Câu 2: (4,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
a)

15x
12
4
=
+
+1
x + 3x − 4 x + 4 x − 1
2

b) x( x − 2) ( x − 1) ( x + 1) = 24
Câu 3: (4,0 điểm).

a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức: A =
b) Cho biểu thức M =

1 1 1
+ + = 0.
x y z

yz
xz
xy
+ 2
+ 2

.
x + 2yz y + 2xz z + 2xy
2

x2 − 2x + 2012
x2

với x > 0

Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4: (6,0 điểm).
Hình thang ABCD(AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O
và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N.
a. Chứng minh rằng: OM=ON.
b. Chứng minh rằng:

1
1
2
+
=
.
AB CD MN

c. Biết: SAOB= 20112 (đơn vị diện tích); SCOD= 20122 . Tính SABCD ?
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho a , b là các số dương thỏa mãn: a3 + b3 = a5 + b5 .
Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 1+ ab
---------------------- Hết ----------------------

24


“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
.
CÂU
NỘI DUNG
a) (2,0đ) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 1
Rút gọn A:
1 
x+1
 1
A = 2
+
: 2
÷
 x − x x − 1 x − 2x + 1

1
1  x+1
A =
+
:
 x( x − 1) x − 1÷
÷ ( x − 1) 2




ĐỀ SỐ: 06

ĐIỂM
0,5 đ

0,5 đ

1+ x ( x − 1)
A=
.
x( x − 1) x + 1

2

1
4,0đ

A=

2
4,0đ

0,5 đ

x −1
x

0,5 đ

b) (2,0đ)
f(x) chia hết cho x2 + x − 6 ⇒ f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)
⇒ f(- 3) = 0 ⇔ −3a + b = 27 (1)
Tương tự ta có f(2) = 0 ⇔ 2a + b = −8 (2)
Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35 ⇔ a = −7
Thay a = - 7 vào (1) tìm được b = 6
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: x ≠ −4 ; x ≠ 1
15x
12
4
=
+
+1
x + 3x − 4 x + 4 x − 1
15x
12
4
⇔
=
+
+1
( x + 4) (x − 1) x + 4 x − 1

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25đ

2

0,25đ

⇔ 15x = 12( x − 1) + 4( x + 4) + x2 + 3x − 4

0,5 đ

⇔ x2 + 4x = 0

0,25đ

x = 0
⇔ x( x + 4) = 0 ⇔ 
x = −4

0,5 đ

x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4 (không thỏa mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
x( x − 2) ( x − 1) ( x + 1) = 24

b) (2,0đ)

0,25 đ

⇔ x( x − 1) ( x − 2) ( x + 1) = 24

(

)(

)

⇔ x2 − x x2 − x − 2 = 24

0,5 đ

Đặt x − x = t . Phương trình trở thành:
2

25