Chuyên đề Tích phân ôn tập thi THPT quốc gia

THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Chuyên đề

TÍCH PHÂN (Phần 1)
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
1

dx x  C

1  ax  b   1
 ax  b  dx 
 C  1
a  1
dx
1
 ln ax  b  C  x 0 
ax  b a
1
e ax b dx  e ax b  C
a
1
cos ax  b  dx  sin  ax  b   C
a
1

sin  ax  b  dx  cos ax  b   C
a
1
1
dx  tan  ax  b   C
2
a
cos  ax  b 
1
1
dx  cot ax  b   C
2
a
sin  ax  b 












sin xdx  cos x  C
1
cos x dx tan x  C






2

1
2

x





ax
a dx 
 C  0  a 1
ln a
cos xdx sin x  C
x

sin

du u  C

d  ax  b  a  ax  b  C

x  1

x  dx 
 C  1
 1
dx
ln x  C  x 0
x
e x dx e x  C



dx  cot x  C

Nguyên hàm của những
hàm số hợp
u  1
u  du 
 C  1
 1
du
ln u  C  u 0
u
e u du e u  C





au
 C  0  a 1
ln a

cos udu sin u  C
a u dx 



sin udu  cos u  C
1
cos u du tan u  C
2

1

sin

2

u

du  cot u  C

I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
b

Để tính tích phân

�f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
/

a

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx .
Bước 2. Đổi cận: x = a � t = u(a) = a, x = b � t = u(b) = b .
b

Bước 3.

b

�f[u(x)]u (x)dx = �f(t)dt .
/

a

a

e2

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

dx

�x ln x .
e

Giải

dx
x

2
x = e � t = 1, x = e � t = 2
Đặt t = ln x � dt =
2

�I =

dt

�t

= ln t

2
1

1

Vậy I = ln2 .
1

= ln2 .


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
p
4

Ví dụ 8. Tính tích phân I =

cosx

�(sin x + cosx)

3

dx .

0

Hướng dẫn:
p
4

I =

p
4

cosx

�(sin x + cosx)

3

1

�(tan x + 1)

dx =

3

0

.

0

dx . Đặt t = tan x + 1
cos2 x

3
ĐS: I = .
8
3

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

dx
2x + 3 .

�(1 + x)
1
2

Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
ĐS: I = ln .

2
1

Ví dụ 10. Tính tích phân I =

3- x

� 1 + xdx .
0

Hướng dẫn:
3

3- x
t2dt
Đặt t =
; đặt t = tan u L
� L 8� 2
2
1+ x
(t
+
1
)
1
p
ĐS: I = - 3 + 2.
3
Chú ý:
1

3- x
dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.
Phân tích I = �
1+ x
0
2. Đổi biến số dạng 1
b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

f ( x)dx
�

ta thực hiện các bước sau:

a

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x  a � t   , x  b � t   .
Bước 3.

b



f ( x )dx 
�

f [u (t )]u / (t )dt  �
g (t )dt .

�

a







Ví dụ 1. Tính tích phân I =

1
2

1

� 10

2

x

dx .

Giải
p p
�
- ; �
� dx = costdt

Đặt x = sin t, t ��
� 2 2�
�
1
p
x = 0 � t = 0, x = � t =
2
6
p
6

�I =

cost
dt =
�
2
1
sin
t
0

p
6

cost
dt =
�
cost
0

2

p
6

p

�dt = t 06 =
0

p
p.
- 0=
6
6


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Vậy I =

p
.
6

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I =

� 4-

x2 dx .

0

Hướng dẫn:
Đặt x = 2sin t
ĐS: I = p .
1

Ví dụ 3. Tính tích phân I =

dx

�1 + x

2

.

0

Giải
� p p�
2
- ; �
�
Đặt x = tan t, t ��
�
�� dx = (tan x + 1)dt
� 2 2�

�
p
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
4
p
4

�I =

tan t + 1
dt =
2
t
p
Vậy I = .
4
2

�1 + tan
0

3- 1

Ví dụ 4. Tính tích phân I =

�x

2

0

p
4

0

dx
.
+ 2x + 2

Hướng dẫn:
3- 1

dx
I = � 2
=
x + 2x + 2
0

3- 1

dx

�1 + (x + 1)

2

.

0

Đặt x + 1 = tan t
p
ĐS: I = .
12
2

Ví dụ 5. Tính tích phân I =
ĐS: I =

p
.
2

dx

� 40

3- 1

Ví dụ 6. Tính tích phân I =
p
ĐS: I = .
12
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác

�x

2

0

x2

.

dx
.
+ 2x + 2

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

�cos

2

x sin3 xdx .

0

Hướng dẫn:
Đặt t = cosx
2
ĐS: I = .
15
3

p

�dt = 4 .


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

�cos

5

xdx .

0

Hướng dẫn:
Đặt t = sin x
8
ĐS: I = .
15
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =

p
2

�cos

4

x sin2 xdx .

0

Giải
p
2

I =

�cos

4

p
2

x sin2 xdx =

0

p
2

p

2

1
1
1
cos2 x sin2 2xdx =
(1 - cos4x)dx + �
cos2x sin2 2xdx
�
4�
16
4
0
0
0

p

p

p

2
2
2
�x
1
sin3 2x �
p
1

1
2
�
� .
=
sin
4x
+
=
=
(1
cos4x)dx
+
sin
2xd(sin2x)
�
�
�
�
�
�
16 64
24 �0
32
16 0
8 0
p
Vậy I =
.
32

Ví dụ 14. Tính tích phân I =

p
2

dx

�cosx + sin x + 1 .
0

Hướng dẫn:
x
.
2
ĐS: I = ln2 .
Đặt t = tan

Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan

3.2. Dạng liên kết

p

Ví dụ 15. Tính tích phân I =

a
2t
1 t2
2t

; cos a 
; tan a 
.
: sin a 
2
2
1 t
1  t2
1 t2

xdx

�sin x + 1 .
0

Giải
x
=
p
t � dx = - dt
Đặt
x = 0 � t = p, x = p � t = 0
0

(p - t)dt
� I =- �
=
sin(p - t) + 1
p
p

p

�( sin t + 1 p

0

)

t
dt
sin t + 1

p

dt
p
dt
= p�
- I �I= �
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
p

p
dt
= �
t
t

2 0
sin + cos
2
2

(

)

2

�t p �
p
d�
- �
�
p
p
�
p
dt
� p
�
�t p �
�
p
2 4�
= �
�
�

.
= tan � - �
4 0 cos2 t - p = � �
� =p
�
�
�
�
2 0
t
p
2
2
4
0
2 4
cos2 �
- �
�
�
�
�
�
�
2 4
Vậy I = p .

(

)

Tổng quát:
4


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
p

p

p
xf(sin x)dx = �
f(sin x)dx .
�
2
0
0
Ví dụ 16. Tính tích phân I =

�sin

2007

p
2

Mặt khác I + J =

(

p
2

�dx =
0

Tổng quát:

sin2007 x
dx .
2007
2007
�
sin
x
+
cos
x
0

Giải
p
Đặt x = - t � dx = - dt
2
p
p
x = 0� t = , x = � t = 0
2
2
p

p
sin2007
- t
2
2
cos2007 t
dx
=
p
p
�sin2007 t + cos2007 t dx = J (1).
- t + cos2007
- t
0
2
2

(

0

� I =-

p
2

)

)

(

)

p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2

p
2

sin x
dx =
n
n
�
sin
x
+
cos
x
0
n

Ví dụ 17. Tính tích phân I =

p
6

p

2

cosn x
p
dx = , n �Z+ .
n
n
�
sin
x
+
cos
x
4
0

sin x
dx và J =
�
sin
x
+
3cosx
0
2

p
6

cos2 x

dx .
�
sin
x
+
3cosx
0

Giải
I - 3J = 1 p
6

3 (1).

p
6

1
dx
�
2 0 sin x + p
3cosx
0
3
p
1
Đặt t = x + � dt = dx  I + J = ln 3 (2).
3
4
3

1- 3
1
1- 3
Từ (1) và (2) I = ln 3 +
.
, J = ln 3 16
4
16
4
1
ln(1 + x)
dx .
Ví dụ 18. Tính tích phân I = �
2
1
+
x
0
I +J =

dx

�sin x +

dx =

(

)

Giải
Đặt x = tan t � dx = (1 + tan2 t)dt
p
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
4
p
4

�I =

p
4

ln(1 + tan t)
( 1 + tan2 t ) dt = �ln(1 + tan t)dt .
2
t
0
p
Đặt t = - u � dt = - du
4
p
p
t = 0� u = , t = � u = 0
4
4

�1 + tan
0

5


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
p
4

�I =

0

�ln(1 + tan t)dt = 0

�
�p
�
�
�
�
�
�
ln
1
+
tan
u
du
�
�
��

�
�
�
�
�
4
�
�
p
4

p
4

� 1 - tan u �
�
= �ln �
1+
du =
�
�
�
� 1 + tan u �
�
0

p
4

p

4

0

0

p
4

� 2
�
�
�
ln
du
�
�
��
�
�
�
1
+
tan
u
0
p

�ln2du - �ln ( 1 + tan u ) du = 4 ln2 -

=

Vậy I =
p
4

Ví dụ 19. Tính tích phân I =

I.

p
ln2 .
8

cosx
dx .
x
+1

�2007

-

p
4

Hướng dẫn:
Đặt x = - t
ĐS: I =

2
.
2

Tổng quát:

Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì
a
a
f(x)
f(x)dx .
�ax + 1dx = �
- a
0

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx .
p
2

Tính tích phân I =

�f(x)dx .
-

p
2

Đặt J =

Giải

�f(- x)dx , x = - t � dx = - dt
-

p
2

p
p
p
p
� t= , x= � t=2
2
2
2

x=p
2

�I =

p
2

�f(- t)dt = J

p
2

� 3I = J + 2I =

p
2

�[ f(- x) + 2f(x) ] dx
-

p
2

=

p
2

p
2

�cosxdx = 2�cosxdx = 2.
-

p
2

0

Vậy I =
3.3. Các kết quả cần nhớ
6

2
.
3


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
a

i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

�f(x)dx = 0 .
- a

a

a

�f(x)dx = 2�f(x)dx .

ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

- a

0

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
(n - 1)!!
�
�
, ne�

un le�
�
�
n
n
n!!
.
�cos xdx = �sin xdx = �
�
(n - 1)!! p
�
0
0
. , ne�
un cha�
n
�
�
� n!!
2
p
2

p
2

Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5;
6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 .

Ví dụ 21.

Ví dụ 22.

p
2

�cos

11

xdx =

10!!
2.4.6.8.10
256 .
=
=
11!! 1.3.5.7.9.11 693

�sin

10

xdx =

9!! p
1.3.5.7.9 p
63p .
. =

. =
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512

0
p
2

0

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
/
/
/
/
( uv ) / = u v + uv � ( uv ) / dx = u vdx + uv dx
b

� d ( uv ) = vdu + udv �

b

�d(uv) = �vdu + �udv
a

b

� uv

b
a

=

a

b

a
b

b

�vdu + �udv � �udv = uv
a

b

a

a

b
a

-

�vdu .
a

Công thức:
b

�udv = uv

b
b
a

-

a

�vdu (1).
a

Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b

b

�f(x)g (x)dx = f(x)g(x)
/

b
a

-

a

�f (x)g(x)dx (2).
/

a

2. Phương pháp giải toán
b

Giả sử cần tính tích phân

�f(x)g(x)dx ta thực hiện
a

Cách 1.
Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
b
/

du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

�vdu phải tính được.
a

Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
7

THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
b

i/ Nếu gặp

b

�P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e

ax

a
b

ii/ Nếu gặp

b

a

.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) .

a

�P(x) ln xdx thì đặt u = ln x .
a

Cách 2.
b

Viết lại tích phân

b

�f(x)g(x)dx = �f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).
/

a

a

1

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

�xe dx .
x

0

Giải
u
=
x
du = dx
�
�
�
�
Đặt �

(chọn C = 0)
�dv = ex dx
�
x
�
�
�
�v = e
1

1

�xe dx = xe

x 1
0

x

�

0
e

Ví dụ 2. Tính tích phân I =

-

�e dx = (x x

1)ex

1
0

= 1.

0

�x ln xdx .
1

Giải

dx
�
du =
�
u = ln x
�
�
x
��
Đặt �
�
�
2
�dv = xdx
�
x

�
�
v=
�
�
2
e
e
e
2
x
1
e2 + 1
� �x ln xdx =
ln x - �xdx =
.
2
21
4
1
1
Ví dụ 3. Tính tích phân I =

p
2

�e

x

sin xdx .

0

Giải
�du = cosxdx
�u = sin x
�
�
Đặt �
�
�
x
x
�
�
�dv = e dx
�v = e

p
2

�I=

�e

x

0

p
2

�J =

x

sin xdx = e sin x

p
2
0

p
2

-

�e

x

p
2

cosxdx = e - J .

0

u = cosx

�du = - sin xdx
�
�
�
�
Đặt �dv = ex dx
�
�
�v = ex
�
�

�e

x

cosxdx = ex cosx

0

p
2
0

p
2

+�
ex sin xdx = - 1 + I
0

p

p
2

e2 + 1.
� I = e - (- 1 + I) � I =
2
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
8


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

p2
4

xdx .

�cos
0

Hướng dẫn:
Đặt t =

p

2

x L � I = 2�t costdt = L = p - 2.
0

e

Ví dụ 8. Tính tích phân I =

�sin(ln x)dx .
1

ĐS: I =

(sin1 - cos1)e + 1
.
2

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

Giả sử cần tính tích phân I =

�f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
a

x
f(x)
b

Bước 2. Tính I =

+
x1

x1
0

x2
0

-

+

x2

b

b

�f(x) dx = �f(x)dx - �f(x)dx + �f(x)dx .
a

a

x1

x2

2

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

�x

2

- 3x + 2 dx .

- 3

Giải

Bảng xét dấu

x
x - 3x + 2
2

- 3
+

1

I =

1
0

�( x

- 3x + 2) dx -

- 3

�( x

2

p
2

� 5-

- 3x + 2) dx =

1

Vậy I =

p
ĐS: I = 2 3 - 2 - .
6
2. Dạng 2

2
0

2
2

Ví dụ 10. Tính tích phân I =

-

59
.
2

4cos2 x - 4sin xdx .

0

b

Giả sử cần tính tích phân I =

�[ f(x)

� g(x) ] dx , ta thực hiện

a

Cách 1.

9

59
.
2


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
b

Tách I =

b

�[ f(x)

b

�f(x) dx � �g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

� g(x) ] dx =

a

a

a

Cách 2.

Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

�( x

Ví dụ 11. Tính tích phân I =

- x - 1 ) dx .

- 1

Giải
Cách 1.
2

I =

2

�

( x -

x - 1 ) dx =

- 1
0

=-

2

�x dx - 1

2

2 0

x
2

=-

+

- 1

0
2 2

x
2

1 dx

�(x -

1)dx

- 1
2

1

�xdx + �xdx + �(x - 1

�x -

0

1)dx -

- 1

1

1

2

�x2
�
+�
- x�
�
�
� �2
�
- 1

�x2
�
�
- x�
�
�
� = 0.
�2
�
1

Cách 2.
Bảng xét dấu
x
x
x–1

–1

0
0

–
–

–

0

I =

1

0

+

2
+
+

1

�( - x + x - 1

2

( x + x - 1) dx + �
( x - x + 1) dx
1) dx + �
0

=- x

0
- 1

1

1

+ ( x - x ) 0 + x = 0.
Vậy I = 0 .
2

2
1

3. Dạng 3
b

Để tính các tích phân I =

b

�max { f(x),

g(x) } dx và J =

a

�min { f(x),

g(x) } dx , ta thực hiện các

a

bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2.
+ Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) .
+ Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x) } = f(x) .
4

Ví dụ 12. Tính tích phân I =

�max { x

2

+ 1, 4x - 2} dx .

0

Giải
2
( 4x - 2) = x2 - 4x + 3 .
h(x)
=
x
+
1
(
)
Đặt
Bảng xét dấu
x
h(x)

0
+

1

I =

3
0

–

3

�( x

2

0

1
0

4
+
4

( 4x - 2) dx + �
+ 1) dx + �
( x2 + 1) dx =

1

3

10

80
.
3


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Vậy I =

80
.
3

2

Ví dụ 13. Tính tích phân I =

�min { 3 ,
x

4 - x } dx .

0

Giải

x
Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4.
x

Bảng xét dấu
x
h(x)
1

I =

0
–

1
0

2

+
1

2

�
3
x2 �
2
5
�

+�
4x
=
+ .
�
�
�
ln 3 0 �
2 �1
ln 3 2
x

�3x dx + �( 4 - x ) dx =
0

2

1

Vậy I =

2
5
+ .
ln 3 2

11