Chuyên đề tích phân ôn thi THPT quốc gia phần 2

THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Chuyên đề

TÍCH PHÂN (Phần 2)
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

Để chứng minh

b

�f(x)dx � 0 (hoặc �f(x)dx � 0) ta chứng minh
a

f(x) � 0 (hoặc f(x) � 0 ) với

a

" x �[ a; b ] .
1

Ví dụ 14. Chứng minh

� 13

x6 dx � 0 .

0

Giải
1
6

x [ 0; 1] : x
Với "Σ�-��-�

3

1

6

1

x

0

�1
3

x6dx

0.

0

2. Dạng 2
b

Để chứng minh

b

�f(x)dx � �g(x)dx ta chứng minh f(x) � g(x) với " x �[ a; b ] .
a

a

Ví dụ 15. Chứng minh

p
2

p
2

dx

�1 + sin

10

0

x �
0;
Với "Σ�‫�ޣ‬
�

�

dx
.
��
11
x
1
+
sin
x
0
Giải

p�
:0
2�
�

‫>ޣ‬+�+�
1 sin10 x

sin11 x

1

Vậy

sin x

p
2

sin11 x

sin10 x
1
.
1 + sin11 x

p
2

10

0

0

1
1 + sin10 x

0

dx

�1 + sin

1

dx
.
��
11
x
1
+
sin
x
0

3. Dạng 3
b

f(x)dx � B ta thực hiện các bước sau
Để chứng minh A � �
a

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m � f(x) � M .
b

f(x)dx � M(b - a) = B .
Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) � �
a

1

Ví dụ 16. Chứng minh 2 � � 4 + x2 dx � 5 .
0

Với "Σ+�‫ޣ‬+�
x [ 0; 1] : 4

4

Giải
x2 5

2

4

1

Vậy 2 � � 4 + x2 dx � 5 .
0

1

x2

5.


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
3p
4

Ví dụ 17. Chứng minh

p
dx
p
��
� .
2
4
2
p 3 - 2sin x
4

Giải
p 3p � 2
�
x �;
Với "Σ�‫�ޣ‬
�:
4 4� 2
�
�‫�ޣ‬-‫ޣ‬
1 3
�

2sin2 x

(

)

sin x

1
2

2

1
sin2 x 1
2
1
1
3 - 2sin2 x

1

3p
4

(

)

1 3p p
dx
3p p
��
�1
.
2
2 4
4

4
4
p 3 - 2sin x
4
3p
4

Vậy

p
dx
p
��
� .
2
4
2
p 3 - 2sin x
4

p
3

Ví dụ 18. Chứng minh

3
cotx
1
��
dx � .

12
x
3
p
4

Giải
�
cotx
p p�
, x �� ; �ta có
Xét hàm số f(x) =
�
x
4 3�
�
�
-x
- cotx
2
�
p p�
f / (x) = sin x 2
> 0 " x �� ; �
�
4 3�
x
�
�
p

p
p p�
�
�"�‫ޣ‬
ff
(x) f
x �; �
3
4
�
4 3�
�
3 cotx
4
p p�
�"�‫ޣ‬
x �; �
�
p
x
p
4 3�
�
�

( )

( )

p

3

�

�
3�
p p�
cotx
4�
p p�
�
- �
��
dx � �
- �
�
.
�
�
�
�
�3 4 �
�3 4 �
�
p �
x
p
p
4
p

3

Vậy

3
cotx
1
��
dx � .
12
x
3
p
4

4. Dạng 4 (tham khảo)
b

f(x)dx � B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Để chứng minh A � �
a

f(x) �g(x) " x �[ a; b]
�
�
�
�
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho �b
�
�

�g(x)dx = B
�
�a
2

b

‫ޣ‬
�f(x)dx
a

B.


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
�
h(x) �f(x) " x �[ a; b]
�
�
�
‫ޣ‬A
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho �b
�
h(x)dx
=
A
�
�
�
�a

Ví dụ 19. Chứng minh

b

�f(x)dx .
a

2
2

2
dx
p
��
� .
2007
2
4
1- x
0
Giải
2�
:0
�
2 �
�

�
x �
0;

Với "Σ��
�
�

1
�‫�ޣ‬-�-‫ޣ‬
1 x2
2

x2007

1
2
2

1

x2007

1
1 - x2007

1

2
2

1
2

x2

1
1 - x2

2
2

dx
dx .
�
x2007
1 - x2
0
0
0
Đặt x = sin t � dx = costdt
2
p
x = 0 � t = 0, x =
�t=
2
4

�‫�ޣ‬
dx

� 1-

2

2

�

dx

� 10

Vậy

p
4

costdt
p.
=
=
�
cost
4
x2
0
2
2

2
dx
p
��
� .

2007
2
4
1- x
0

1

3+1
xdx
2+1
�� 2
�
Ví dụ 20. Chứng minh
.
4
2
x +2- 1
0
Giải
Với " x �[ 0; 1] : 2 - 1 � x2 + 2 - 1 � 3 - 1
x
x
x
�‫ޣ‬
2
3- 1
2- 1
x +2- 1
1

xdx
�‫�ޣ‬
3- 1
0
Vậy

1

�
0
1

xdx
2
x +2- 1

1

xdx

� 20

.
1

3+1
xdx
2+1
�� 2

�
.
4
2
x +2- 1
0

Chuyên đề

TÍCH PHÂN (Phần 3)
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong

3


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
b

y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S =

�f(x) dx .
a

Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

�f(x) dx .
a

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox.
Giải
Do ln x � 0 " x �[ 1; e] nên
e

S=

e

�ln x dx = �ln xdx = x ( ln x 1

1)

e
1

= 1.

1

Vậy S = 1 (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0

1
3
y
–
0
+
0
1

S=-

3

�( - x

2

0

+ 4x - 3) dx + �
( - x2 + 4x - 3) dx
1

1

3

�x
�
� x3

�
8
2
�
�
=- �
+
2x
+
3x
+
+ 2x2 + 3x �
= .
�
�
�
�
�
�
� 3
�0 � 3
�1
3
8
Vậy S = (đvdt).
3
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3

b

y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S =

�f(x) -

g(x) dx .

a

Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

�f(x) -

g(x) dx .

a

2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y = f(x), y = g(x) là S =

�f(x) -

g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

a

phương trình f(x) = g(x) ( a �a > b � b ) .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] .

4


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
b

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

�f(x) -

g(x) dx .

a

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 ,
x = 0, x = 2.
Giải
3
h(x)
=

(x
+
11x
6)
- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
Đặt
h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0
1
2
h(x)
–
0
+ 0
1

S=-

2

�( x

3

0

- 6x + 11x - 6) dx + �
( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx
2

1

1

2

�x
� �x
� 5
11x
11x2
3
�
=- �
- 2x3 +
- 6x �
+
2x
+
- 6x �
�
�
�
�
�
� = 2.
�4
�0 �4
�

2
2
1
5
Vậy S = (đvdt).
2
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 .
Giải
3
Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 .
Bảng xét dấu
x 1
2
3
h(x) 0
+
0
–
0
4

2

4

2

S=

3

�( x

3

�( x

- 6x + 11x - 6) dx 2

3

1

- 6x2 + 11x - 6) dx

2

2

�x
�
11x
3
�
=�
�
�4 - 2x + 2 - 6x �
��
1

4

3

�x
�
11x2
1
3
�
2x
+
- 6x �
= .
�
�4
�
�
�2
2
2
1
Vậy S = (đvdt).
2

2

4

Chú ý:

Nếu trong đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công
b

thức

�f(x) a

b

g(x) dx =

�[ f(x) -

g(x) ] dx .

a

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3, y = 4x .
Giải
3
Ta có x = 4x � x = - 2 �x = 0 �x = 2
0

� S=

2

�( x

3

- 4x ) dx +

- 2

�( x

3

- 4x ) dx

0

0

2

�x4
�x4
�
2�
�
� - 2x2 �
= �
2x
+
�
�
�
� = 8.

�
�
�4
�- 2
�4
�
0
Vậy S = 8 (đvdt).
5


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 4 x + 3 và trục hoành.
Giải
Ta có x2 - 4 x + 3 = 0 � t2 - 4t + 3 = 0, t = x � 0
t =1
x = �1
�
�x = 1
�
�
�
��
�
�
�
�x = 3
�
t=3
x = �3

�
�
�
3

3

�x

2

� S=

- 3

- 4 x + 3 dx = 2�x2 - 4x + 3 dx
0

3
�1
�
2
�
= 2 ��
( x - 4x + 3) dx + �
( x2 - 4x + 3) dx �
�
�0
�
1

1
3
3
3
�
� 16
�x
�
�x
�
2
�
�
�
�
= 2�
- 2x2 + 3x �
+
2x
+
3x
�
�
�
�
�
� �= 3 .
�
�
�

�
�
3
3
0
1
�
�
16
Vậy S =
(đvdt).
3
2
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 - 4x + 3 = x + 3
�x + 3 � 0
�
x=0
�
� 2
x - 4x + 3 = x + 3 � �
��
.
��
�
�
x=5
�

�
�
�
��
x2 - 4x + 3 = - x - 3
��
Bảng xét dấu
x
0
1
3
5
2
+ 0 – 0 +
x - 4x + 3
1

3

�( x

2

� S=

0

5

- 5x ) dx + �

( - x + 3x - 6) dx + �
( x2 - 5x ) dx
2

1

1

3

3

5

�x
�
�
�x
5x �
-x
3x
5x2 �
109
�
�
�
�
�
= �
+

+
6x
+
=
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�3
�1 �3
2 �0 � 3
2
2 �3
6
109
Vậy S =
(đvdt).
6
2
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 - 1 = x + 5 � t2 - 1 = t + 5, t = x � 0
t = x �0

�
�
�t = x � 0
�2
�
�
t
1
=
t
+
5
��
�
� x = �3
��
�
�
�
t
=
3
�
�
�
�
t2 - 1 = - t - 5
��
�
3

2

3

2

3

� S=

3

3

�x

2

- 1-

(

- 3

x + 5) dx = 2�x2 - 1 0

Bảng xét dấu
x
x - 1

2

0

1
0

–
6

3
+

(

x + 5) dx


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
1

� S=2

3

�( - x

2

0

- x - 4) dx + �
( x2 - x - 6) dx
1

1

3

�
�
�x
�
-x
x
x2
73
�
� =2�
4x
+
- 6x �
=
.
�
�
�
�
�
�

�3
�0 �3
�1
2
2
3
73
Vậy S =
(đvdt).
3
3

2

3

Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) � 0" x �[ a;b ] , y = 0 ,
b

x = a và x = b (a > b) quay quanh trục Ox là V = p�
f 2(x)dx .
a

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 + y2 = R 2 quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 = R 2 � x = �R .

Phương trình (C) : x2 + y2 = R 2 � y2 = R 2 - x2
R

R

� V = p�
( R - x ) dx = 2p�
( R 2 - x2 ) dx
2

2

- R

0

R

�2
x �
4pR 3
�
= 2p �
R
x
=
.
�
�
�

�
3�
3
0
4pR 3
Vậy V =
(đvtt).
3
3

2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) � 0" y �[ c;d ] , x = 0 ,
d

y = c và y = d (c > d) quay quanh trục Oy là V = p g2(y)dy .
�
c

x
y
+ 2 = 1 quay quanh Oy.
2
a
b
Giải
y2
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 � y = �b .
b
x2
y2

a2y2
Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 � x2 = a2 a
b
b2
b
b
�2 a2y2 �
�2 a2y2 �
�
�
�
�
� V = p�
a
dy
=
2
p
a dy
�
2 �
2 �
�
�
�
�
�
�
�
�

b
b
- b
0

Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) :

2

2

R

�2
a2y3 �
4pa2b
�
= 2p �
a
y
=
.
�
�
�
�
3
3b2 �
0
4pa2b

Vậy V =
(đvtt).
3
3. Trường hợp 3.
7


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và
x = b (a > b, f(x) � 0,g(x) � 0 " x �[ a; b ]) quay quanh trục Ox là
b

V = p�f 2(x) - g2(x) dx .
a

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y2 = x quay quanh
Ox.
Giải
x=0
�x � 0
�
�
�
Hoành độ giao điểm �
.
�4
�
�
x =1
�x = x

�
1

1

� V = p�x - x dx = p
4

0

(

�( x

4

- x ) dx

0

)

1 5 1 2 1
3p
x - x
=
.
5
2
10

0
3p
Vậy V =
(đvtt).
10

=p

4. Trường hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và
y = d (c > d, f(y) � 0,g(y) � 0 " y �[ c; d ]) quay quanh trục Oy là
d

V = p�f 2(y) - g2(y) dy .
c

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y2 + 5 , x = 3 - y
quay quanh Oy.
Giải
y=- 1
�
2
�
y
+
5
=
3
y
�

Tung độ giao điểm
.
�
y=2
�
2
2

� V = p�( - y2 + 5) - ( 3 - y ) 2 dy
- 1

2

=p

�( y

4

- 11y2 + 6y + 16) dy

- 1

2

�y5 11y3
�
153p
=p�
+ 3y2 + 16y �

� =
.
�
�
�
�5
�- 1
3
5
Vậy V =

153p
(đvtt).
5

VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1

 1  x  10 dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S  1  1 C101  1 C102  ...  1 C1010
1. Tính I= �
2
3
11
0
1

2. Tính: I  x  1  x 

�

19

dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

0

S

1 0 1 1 1 2
1 18 1 19
C19  C19  C19  ... 
C19  C19 .
2
3
4
20
21
8


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
1
2

1
3

3. Chứng minh rằng: 1  Cn1  Cn2  ... 

1

2 n 1  1
Cnn 
n 1
n 1

BÀI TẬP TÍCH PHÂN (TỰ GIẢI)
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=

sin x  cos x
� �
, biết rằng F � 4 � ln 2
sin x  cos x
� �

2. Tính các tích phân sau:
e2

2

2 x  5 - 7x
dx
x

1

2

B= �x 2 -1 dx

A= �

2 ln 2 dx
C= �
x

0

-2

3. Tính các tích phân sau:

3

e

A= �
e

3 cos x

2 3

ln 4 x
B= � dx
x
1

sin xdx

0

*

C=

�x
5

2

x
dx
D =�
x -1
1 1

dx

*

x 4
2

4. Tính các tích phân sau:

4

e

sin(ln x)

dx
I= �
x
1


6


2

ln 5

dx
L= �x
x
3
ln 3 e  2e

C=


2

lg xdx
K= �

M= �

1

2

dx
N= �2
1 x -9

sin 2 xdx

cos 2 x  4 sin 2 x

0

sin 2 x
dx
2
x)2

�
(1  cos
0

5. Tính các tích phân sau:
1
dx
A= � 2
4- x
0

4

3

dx
B= �
2
x
3
3
3

ln 2

1- e x
dx
�
x
0 1 e

D=

10

dx
2
sin x cot x

J= �

2

C= �16 - x dx
0

2
dx
x 1

E= �2
2

6. Tính các tích phân sau:
e
ln x
A= � dx
x
1



2

2

ln x
C = �2 dx
1 x

x sin x
dx
B =�

1

cos 2 x
0
*

e

*

1

x2  1
F  � 4 dx
1 1  x

2

3x 4  2 x
E= � 3 dx
x
1

cos(ln x) dx
D =�
*

1

*

7. Tính:


4



A= �
cos xdx
2

0

e

ln x  1
dx
x

F= �
1

2

1

xe x dx
C= �

B= �
cos xdx
3

0

0
2

4

x 1  2 x 2 dx
G= �

x 1  2 xdx
H= �

0

0

4

e

D= �
1

2

x

dx

x
dx
x 1

I= �
1

2

x

x ln xdx
E= �
1

1

x
dx
2
0 1 x

J= �

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. x=1; x=e; y=0 và y=

1  ln x
x

b. y=2x; y=3x và x=0

3

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= .
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
9


THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
a) Trục Ox.
b) Trục Oy.

10