van dung cao tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 23 trang )
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
VẬN DỤNG CAO TÍCH PHÂN
Bài toán 1: Bài toán yêu cầu tìm hàm số
Dạng 1: Giả thiết cho f ( ( x)) g ( x) trong đó ( x), g ( x) là những hàm số thực
đã biết.drfzc
Phương pháp giải:
+ Một số trường hợp đặt t ( x) khi đó ta giải được x (t ) . Thế ngược lại vào
phương trình ta được f (t ) g ((t )) , khi đó ta có hàm số f ( x) g (( x))
+ Trong một số trường hợp cần sử dụng các phép biến đổi thích hợp để đưa về
dạng f ( ( x)) h( ( x)) . Khi đó hàm số cần tìm sẽ có hạng f ( x) h( x)
Dạng 2: Giả thiết cho a( x) f (u( x)) b( x) f (v( x)) w( x)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ u( x) v(t ) để thu thêm một phương trình nữa đó là
a '( x) f (u( x)) b '( x) f (v( x)) w'( x) và từ đó giải hệ phương trình ta tìm được
f (u( x)), f (v( x))
Bài 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục với x 1 thỏa mãn f (
x 1
) x 3, x 1 . Khi đó
x 1
e 1
giá trị của
f ( x)dx là
2
A. 4e-2
Khi đó ta đặt t
B. e+2
C. 4e-1
x 1
1 t
tx t x 1 x(t 1) 1 t x
x 1
t 1
Thay vào giả thiết ta được f (t )
1 t
4t 2
4x 2
3
f ( x)
t 1
t 1
x 1
Đáp án A
Ngoài ra để tìm hàm số f(x) ta có thể sử dụng casio như sau
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
D. e+3
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
+ Dựa vào kết quả r X=100 tức là ta cần tìm giá trị của x để f (
ta đưa về việc giải phương trình
x 1
) f (100) khi đó
x 1
x 1
100 0 ta có nghiệm và nhớ vào A, và tính
x 1
vế phải
Như vậy ta có f (100)
Bài 2.
398 400 2
4x 2
f ( x)
99 100 1
x 1
1
x
Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f ( x ) x3
1
, x 0 . Tính giá trị của
x3
3
f ( x)dx
2
32
A.
7
B.
35
4
C.
15
7
D.
33
4
Tự luận làm tương tự bài 1, ở đây ta hướng tới việc sử dụng casio
Khi đó ta được 99 | 97 | 00 x3 3x f ( x) x3 3x và
Đáp án B
Bài 3.
Cho hàm số f(x) liên tục trên
và số thực a. Biết rằng
a
x [0, a], f ( x) 0, f ( x) f (a x) 1 . Tính
dx
1 f ( x)
0
A. a
B.
a
2
C.
a
3
D.
2a
3
Chọn a bất kỳ, ở đây chọn a=1 khi đó ta có f ( x). f (1 x) 1 khi đó có thể chọn
hàm hằng, tức là f(x)=1 khi đó giá trị tích phân là
a
. Đáp án B
2
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên R thỏa mãn
Bài 4.
f x 4 x 3 2 x 1 với mọi x thuộc R .Tính tích phân
5
8
f x dx
2
A. 10
B. 6
C. 5
D. 2
Nhân 2 vế với đạo hàm của x5 4 x 3 ta được
f ( x5 4 x 3)(5x4 4) (5x4 4)(2x 1)
Tích phân 2 vế ta được
1
f (x
1
5
1
4 x 3)(5 x 4)dx (2 x 1)(5 x 4)dx 10
4
1
Bài 5.
8
4
Cho hàm số f(x) liên tục trên
f (t )dt 10 Đáp án A
2
và thỏa mãn
3
2
f ( x) f ( x) 2 2cos2x , , I
f ( x)dx
có giá trị là
3
2
A. 6
B. -6
Cách 1. Từ f ( x) f ( x) 2 2cos2x
C. 4
3
2
I
3
2
f ( x)dx
3
2
3
2
D. -4
( f ( x) f ( x))dx 12
3
2
f ( x)dx bằng cách đặt x=-t khi đó ta được I=6
3
2
Cách 2. Đặt t=-x khi đó ta được
f (t ) f (t ) 2 2cos 2t f ( x) f ( x) 2 2cos 2 x như vậy f(x) là hàm số chẵn
và ta có thể chọn đại diện như sau
f ( x) acos(x) 2acosx= 2 2 cos 2 x a
f ( x)
2 2 cos 2 x
2 cos x
2 2 cos 2 x
I 6
2
CasiO Trực tiếp
Chia khoảng nhỏ để tính
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Vinacal Trực tiếp
Chia khoảng để tính:
Tự luận:
3
2
3
2
2 2 cos 2 xdx
2 32 cos xdx
2
Bài 6.
2
2
3
2
3
2
2.2 cos 2 xdx 2
cos xdx
3
2
2
3
2
3
2
cos x dx
cos xdx 2 2 2 2 12.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
và thỏa mãn
2
f ( x)
1
dx
f ( x) 2 f ( ) 3x, x 0 khi đó tính I
x
x
1
2
3
A.
2
9
B.
2
C.
1
2
D.
4
3
Cách 1:
1
x
1
t
1
t
Ta đặt t x f ( ) 2 f (t )
3
, khi đó ta được hệ phương trình
t
1
f ( x) 2 f ( ) 3x(1)
2
x
(1) 2(2) f ( x) x
như vậy
x
2 f ( x) f ( 1 ) 3 (2)
x
x
Đáp án A
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Nhận xét: Đối với dạng này luôn đưa về hệ phương trình trên
Cách 2:
Đặt t
1
x
dt
1
2
t
2; x
x
1
dx
x2
2
3
1
Và f 2 f (t )
t
t
1
f
1
t
I 2 dt
2
1 2
.t
t
3
I
2
2
1
2
t 2dx
2
1
2
dt
. Đổi cận
t2
1
.
2
t
dx
1
f
t dt
t
3
2 f (t )
2
t
21 t dt
1
3
f
(
x
)
f ( x) dx
x
2x
2
1
2
2
1
2
3
dx I
2x2
3
2 f ( x)
I
x
dx
t
2
2
1
2
3
f ( x)
2
2x
21 x dx
1
3
dx .
2
2
x
Chọn đáp án A
Bài 7.
1
1
) x 1 , x 0, x 1 .
1 x
x
Giả sử f(x) là hàm số thỏa mãn f ( x) f (
4
Khi đó xf ( x)dx có giá trị là
2
A. 4
Đặt t
f(
B. 2
C. 6
D. 3
1
t 1
khi đó ta được
t tx 1 x
1 x
t
t 1
t 1
t
t 2 3t 1
) f (t )
1
, như vậy ta có hệ phương trình
t
t
t 1
t (t 1)
1
1
f ( x) f (
) x 1
1 x
x
1
x 1
1
f(
) f (
) x
2
1 x
x
x 1
f ( x) f ( x 1) x 3x 1
x
x( x 1)
Đặt t
1
t 1
1
t
1
khi đó ta được
t tx 1 x
1 1
1 x
t
x
t 1 t 1
f (t ) f (
1
t 1
1
)
t 1 t , kết hợp ta được hệ phương trình
t 1
t
t
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
1
1
f ( x) f (1 x ) x 1 x
1
f ( x) 1
x 1
f ( x) f ( 1 ) 1 x 1
1 x
x
Như vậy , đáp án B
Bài 8.
Cho hàm số f(x) có f’(x) liên tục trên [0;1], và thỏa mãn
1
f ( x 1) 2 f ( x) x 6 x 3 . Tính I
3
2
0
3
A.
2
3
B.
2
C.
f '( x) f ( x) ln 2
dx
2x
3
4
D.
1
2
Ta có
1
I
0
1
f '( x)
f ( x)
dx ln 2 x dx
x
2
2
0
u f ( x) du f '( x)dx
f ( x)
J x dx,
dx
1
2
0
v 2 x
v 2 x ln 2
1
f ( x) 1
1
f '( x)
J x
dx
2 ln 2 0 ln 2 0 2 x
1
1
I
0
f '( x)
f ( x) 1
f '( x)
f ( x) 1 f (1)
f (1) 2 f (0)
dx x
x dx x
f (0)
x
2
2 0 0 2
2 0
2
2
1
x 0
f ( x 1) 2 f ( x) x3 6 x 2 3
f (1) 2 f (0) 3 I
3
2
Bài toán 2: Bài toán liên quan đến đạo hàm
Ta có chú ý sau:
p ( x ) dx
Giả thiết bài toán cho y ' p( x) y q( x) y v( x)e
khi đó ta thế ngược lại ta
tìm được hàm số
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Cho hàm số f x xác định trên R \ -1,1 thỏa mãn f x
'
Bài 9.
1
rằng f 3 f 3 0 và f
2
1
.Biết
x 1
2
1
f 0 .Tính f 2 f 0 f 4 .
2
1
1
C. (2ln 3 3ln 5)
D. (ln 3 ln 5)
2
2
1
1
B. (ln 3 ln 5)
(2ln 3 ln 5)
2
2
1
dx
1
x 1
'
f x 2
f ( x) 2
ln |
| C khi đó ta có
x 1
x 1 2
x 1
A.
1 x 1
2 ln x 1 C , x 1, x 1
f ( x)
1 ln 1 x C , 1 x 1
2 x 1
Theo giả thiết
1
1
1
1 3
f (3) f (3) 0 (ln ln 2) C 0 C 0 f ( 2) ln 3, f (4) ln
2
2
2
2 5
1
1
1
1
f ( ) f ( ) 0 (ln 3 ln ) C 0 C 0 f (0) 0
2
2
2
3
1
1 3 1
f (2) f (0) f (4) ln 3 ln (2 ln 3 ln 5)
2
2 5 2
Ta có thể sử dụng casio như sau từ
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Như vậy ta có f ( ) f ( ) A, f ( ) f ( ) 0 f ( )
1
2
Như vậy
0
1
2
1
2
A
1
A
f ( )
2
2
2
1
1
A
f ( ) f (0) f (0) f ( ) f (0) 0
2
2 0
2 0
Ta lại có
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Giải thích chỗ này A+B tức là f (4) f (3) f (2) f (3) f (4) f (3) Đáp án A.
Bài 10.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
1
1
1
f (1) 0, ( f '( x)) dx 7, x f ( x)dx , I f ( x)dx có giá trị là
3
0
0
0
7
7
A.
B.
C. 1
5
4
2
2
D. 4
Nhắc lại bất đẳng thức Holder trong tích phân
Giả sử
1 1
1 và f ( x), g ( x) là hàm số liên tục trên [a,b]. Khi đó ta có
p q
b
b
| f ( x) g ( x) | dx ( | f ( x) |
a
a
p
1
p
b
1
q q
) ( | g ( x) | )
a
Dấu = của bất đẳng thức xảy ra khi tồn tại hai số thực m,n không đồng thời bằng
không sao cho | f ( x) | p k | g ( x) |q , x [a, b],k
Đặc biệt khi p=q=2 tức là ta có
b
b
b
( | f ( x) g ( x) | dx) | f ( x) | | g ( x) |2
2
a
2
a
a
Dấu = xảy ra khi f ( x) kg ( x), x [a, b],k
Áp dụng ta có
Để ý giả thiết bài toán xuất hiện f '2 ( x) như vậy giả thiết còn lại cũng phải xuất
hiện f '( x) như vậy từ
1
x
2
f ( x)dx
0
u f ( x) du f '( x)dx
x3
v
3
1
1 1 x3
1 x3
f (1) 0
f ( x)
f '( x)dx
x 3 f '( x)dx 1
0 0 3
3 3
0
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được
1
1
1
0
0
0
1 x3 f '( x)dx 1 ( x 3 ) 2 dx f '( x) 2 dx
1
1
f '( x) 2 dx
7 0
1
f '( x) 2 dx 7
0
Khi đó dấu = xảy ra khi
1
f '( x) kx3 kx 6 1 k 7 f ( x)
0
1
Như vậy (
0
7 x4
7
7
7
c, f (1) 0 c f ( x) x 4
4
4
4
4
7 x 4 7
7
)dx
4
4
5
Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0,1 thỏa mãn
Bài 11.
f x
1
' 2
0
e2 1
và f 1 0 .Tính
dx x 1 e f x dx
4
0
1
x
A. e-2
1
f x dx
0
B. e+1
C. 2e-2
1
1
e2 1
2
. (1)
Ta có f ' x dx x 1 e x f x dx
0
0
4
Với
e2 1
0 x 1 e f x dx xe f x 0 0 xe f ' x dx 4
1
x
1
x
1
x
D. e-1
e2 1
0 xe f ' x dx 4 . (2)
1
x
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
2
e2 1
4
1
0
xe x f ' x dx
2
1
0
xe x dx.
2
2
f ' x dx
0
1
Từ (1) và (3) suy ra dấu ”=” phải xẩy ra f ' x k.xe x
e2 1
k 1
Thay vào (2) ta có k xe dx
0
4
f ' x xe x f x x 1 e x C mà ta có
1
x 2
f 1 0 C 0 f x x 1 e x
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
2
0 f ' x dx
1
e2 1
. (3)
4
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
1
0
1
f x dx x 1 e xdx e 2.
0
Chọn đáp án B.
Bài 12.
Cho hàm số f x liên tục và thỏa mãn
1
f x dx 9 Tính tích phân
5
2
I f 1 3x 9 dx
0
A. 20
B. 21
3
2
C. 15
D. -9
2
21
dx 21 Đáp án B
2
0
Chọn f ( x) I
Bài 13. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm và liên tục trên khoảng
(0; ); f ( x) 0 với mọi x thuộc khoảng (0; ) và thỏa mãn
1
f '( x) (2 x 1) f 2 ( x); f (1) . Giá trị nhỏ nhất của f ( x) trên đoạn 1; 2
2
là:
1
1
A. .
B. .
C. 1.
D. 0.
6
2
Nguyên tắc là ta sẽ đưa về dạng
Ta có f '( x) (2 x 1) f 2 ( x)
u'
u
k
k
du hoặc u ' u du
f '( x)
2x 1
f 2 ( x)
f '( x)
dx 2 x 1 dx
2
( x)
f
1
f (1)
1
1
1
2
x 2 x C f ( x) 2
C 0 f ( x) 2
f ( x)
x xC
x x
1
min f ( x) f (1) .
[1;2]
2
Chọn đáp án A.
Bài 14.
Cho hàm số f ( x) liên tục và f ( x) 0 trên 0; thỏa mãn
f '( x)
A. f (7)
8
9
512
.
B. f (7)
9
x 1 f ( x) và f (1) . Tính f (7).
216
.
9
C. f (7)
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
1
.
9
D. f (7)
16
.
9
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Giải:
Ta có f '( x) ( x 1) f ( x)
f '( x)
f ( x)
f '( x)
x1
f ( x)
dx
2
1
2 f ( x)
( x 1)3 C f ( x)
( x 1)3 C
3
3
f (1)
x 1dx
2
8
1
512
C 0 f ( x) ( x 1)3 f (7)
9
9
9
Chọn đáp án B.
Cho hàm số y f ( x) liên tục và không âm trên
Bài 15.
thỏa mãn
f ( x). f '( x) 2x f 2 ( x) 1 và f (0) 0. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f ( x) trên đoạn [1;3] Biết
rằng giá trị của biểu thức P 2 M m có dạng a 11
(a, b,c
). Tính giá trị của biểu thức S a b c.
b 3
A. S
D. S
B. S
4.
C. S
7.
6.
c
5.
Giải:
f (x).f '(x)
2 x f 2 (x) 1
Ta có f (x).f '(x)
2x
2
f (x).f '(x)
f 2 (x) 1
f (x) 1
f 2 (x) 1
x2
C
f 2 (x) 1
1
f (x)
(x 2
(x 2 C) 2
dx
(x 2 C) 2
f (x)
2xdx
1
Ta lại có
f (0)
S
0
a
C
b
c
6 1 0
1) 2
1
M
f (3)
m
f (1)
3 11
2M
m
6 11
3
3
7.
Chọn đáp án B.
Bài 16.
Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng (0;
x
f '( x)
f (1)
A. P
x 1 f ( x)
3
. Biết f ( x) 0 với mọi x 0; đồng thời f (0) 1 và
a b 2 , với a, b . Tính P
66.
) đồng thời
B. P
69.
a.b?
C. P
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
69.
D. P
66.
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Giải:
x
(x 1)f (x)
Ta có f '(x)
2 3
f (x)
3
Ta lại có
f(0)
1
2
x 1(x
3
C
3
x
x 1
f '(x) f (x)
2)
C
f (1)
2
f (x)
3
2
3
3
x 1(x
(
2
x
dx
x 1
f '(x) f (x)dx
3) 2
2)
3
C
2
3
11 6 2
P
a.b
66
Chọn đáp án D.
Bài 17.
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
f x 0 và f x . f ' x 3x5 6x2 . Biết f 0 2. Giá trị của f 2 2 là:
A. 96.
B. 100.
C. 50.
D. 69.
Giải:
Ta có
f x . f ' x 3x 6 x
5
f x
2
f 2 x x6
f x f ' x dx 3x 6x dx
2x 3 C
2
2
5
f 0 2
x6 4x3 2C
C 2 f x
2
x6 4x3 4 f 2 2 100
Chọn đáp án B.
Bài 18.
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng
biến trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn đẳng thức
x 2x. f x f ' x , x 1; 4 . Biết rằng f 1
2
4
1
A.
3
, giá trị của
2
f x dx là:
1186
.
45
B.
1174
.
45
C.
1122
.
45
D.
1201
.
45
Giải:
Ta có x 2x. f ( x) f '( x) f '( x)
2
2 f '( x)
2 1 2 f ( x)
x
2
2 f '( x)
1 2 f ( x)
x 1 2 f ( x)
dx
xdx
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
1 2 f ( x)
2 3
x C
3
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
2
2
2 3
2 3 4
x
C
1
x 1
3
3
f (1)
4
3
3
2
f ( x)
C f ( x)
2
3
2
4
1186
I f( x)dx
.
1
45
Chọn đáp án A.
3x 4 x 2 1 2
1
. f x và f 1 .
2
3
x
1 b
Cho biết giá trị của tổng f 1 f 2 f 3 ... f 2017 1
2 a
b
với là phân số tối giản. Tính a b
a
A. 4070307.
B. 4070308.
C. 4066273.
D. 40662241.
Bài 19.
Cho hàm số f ( x) 0, biết f '( x)
Giải:
Ta có
f ' x
3x 4 x 2 1 2
3x 4 x 2 1
.
f
x
x2
f 2 x
x2
f '( x)
f ' x
dx
f 2 x
3x 4 x 2 1
dx
x2
1
1
1
x3 x C f x
1
f x
x
3
x x C
x
Ta lại có f 1
f x
x
1
C 0 f x
3
x
2
x 1 x x 1
2
1
x3 x
1
x
x
x x2 1
4
1
1
1
2
2
2 x x 1 x x 1
1
1
1
2
2 x x 1 x 1 2 x 1 1
f 1 f 2 f 3 ... f 2017
1
1
1
1
1
1
2
2
2017 2017 1 2 4070307
.
Chọn đáp án B.
Bài 20.
2
2
Cho hàm số lẻ f x liên tục trên đoạn 2; 2 thỏa mãn
x ln 1 e f x dx 2. Tích phân I
2
2
xf x dx bằng:
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
A. 8.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
Giải:
Đặt J
2
2
x ln 1 e f x dx 2.
Đặt t x dt dx. Đổi cận: x 2 t 2; x 2 t 2.
J
2
2
t ln 1 e
f t
dt
J x ln 1 e f x dx
2
2
2
2
2
2
t ln 1 e
f t
2
1 e f t
1 e f x
dt 2 t ln f t dt 2 x ln f x d
e
e
2
xf x dx I 2 J 4.
J
I
Chọn đáp án B.
Bài 21.
Biết tích phân
2017 sin x
2017
cos
x
I 2 ln
dx a ln 2018 b ln 2017 c với a, b, c là
2017
0
2017 sin x
các số nguyên. Giá trị của a b c là:
A. 0.
B. 4.
C. 2019.
D. 5.
Giải:
Đã giải bằng casio ở đây:
/>
I
2
0
2017 cos x 2017 sin x
ln
dx
2017
2017
sin
x
x dt dx. Đổi cận x 0 t ; x t 0.
2
2
2
2017 sin t 2017 cos t
2017 sin t 2017 cos t
0
2
I ln
dt 0 ln
2017
2017
2017
cos
t
2
2017 cos t
Đặt t
dt
2017 cos x
2017
sin
x
I 2 ln
dx (Tích phân thì không phụ thuộc vào biến)
2017
0
2017 cos x
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
2017 cos x 2017 sin x
2017 sin x 2017 cos x
2
2 I ln
dx 0 ln
2017
2017
2017
sin
x
2017 cos x
2017 cos x 2017 sin x 2017 sin x 2017 cos x
2
ln
.
dx
2017
2017
0
2017
sin
x
2017
cos
x
2
0
2
0
2
0
ln 2017 cos x
sin x
. 2017 sin x
sin x.ln 2017 cos x dx
2
0
cos x
dx
dx
cos x.ln 2017 sin x dx
2
0
ln 2017 cos x d 2017 cos x
2 2018 ln 2018 2017 ln 2017 1
2
0
ln 2017 sin x d 2017 sin x
I 2018ln2018 2017 ln2017 1.
Chọn đáp án A.
3
(2 x
Giả sử I
Bài 22.
a ln 2 2
4)(x 1) dx
0
. Giá trị của a b c là:
A. 4.
B. 4.
bln 2
ln 2
2
C. 5.
c
, với a, b, c thuộc
D. 7.
Giải:
Bảng xét dấu
x
0
1
4
x 1
2x
1
I
(2
0
0
2
x
2
4)(x 1)dx
3
(2
1
0
3
x
(2 x
4)(x 1)dx
4)(x 1)dx
2
du dx
u x 1
Đặt
2x
x
dv
2
4
4x
v
ln 2
2x
2x
2 x 4 x 1 dx x 1
4x
4 x dx
ln 2
ln 2
2x
2x
1
2x
2
2
2 4 x 1 dx x 1
4x 2 2x
x 1
2x 4x
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
x
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
1
2x
1
2
I
x 1
2x 4x
ln 2
ln 2
0
1
2x
2
2
ln 2 x 1 ln 2 2 x 4 x 1
x
1
2
3
2
x 1
2x 4x
ln 2
ln 2
2
2ln 2 2 9ln 2 3
I
a b c 4.
ln 2 2
Chọn đáp án B.
Có tất cả bao nhiêu số thực dương a
Bài 23.
a
cos 2 x
dx
x
2018
1
a
I
A. 641.
2018 thỏa mãn
1
2
B. 643.
C. 1284.
D. 1282.
Giải:
Đặt t x dt dx. Đổi cận x a t a; x a t a.
I
a
a
cos 2t
dt
2018 t 1
cos 2 x
2I
dx
a 2018 x 1
a
I
2018t.cos 2t
a 2018t 1 dt
a
2018 x.cos 2 x
a 2018x 1 dx
a
2018 x.cos 2 x
a 2018x 1 dx
a
1
2018 x
a cos 2x 2018x 1 2018x 1 dx
a
1 a
1
sin 2a 1
cos
2
xdx
sin(2
a
)
sin(
2
a
)
sin 2a 1
2 a
4
2
2
1
k 2018 k 642,0993
4
4
Có tất cả 643 giá trị của a thỏa mãn ycbt.
0a
Chọn đáp án B.
Bài 24.
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho đường cong có phương
2
trình x y 1 1 quay quanh trục hoành là:
2
2
A. V 2 .
2
B. V 4 .
2
C. V 8 .
V 12 .
2
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
D.
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Giải:
2
2
Ta có x y 1 1 y 1 1 x 1 x 1 .
2
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
1
V 1 1 x 2
1
2
1 1 x2
2
dx 4 1 1 x 2 dx 22 .
1
Chọn đáp án A.
Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( P) của hàm số
Bài 25.
6x x2 và trục hoành. Hai đường thẳng y
y
(9 m)3
ba phần có diện tích bằng nhau. Tính P
A. P 405.
B. P 324.
n chia ( H ) thành
m, y
(9 n)3
C. P 412.
D. P 81.
Giải:
Ta có diện tích của hình ( H ) là:
6
S
x 2 dx
6x
36 (dvdt )
0
Gọi S1 , S2 là các phần diện tích giới hạn như
hình vẽ
Giải các phương trình
6 x x2
6x x2
m
3
0
x
2
9 n
(9
3
3
n)x
3
(9
x
3
9
n
(9 m)3
(9
3
(x
9
m
3
9
m
(9 n)3
3)2 dx
3
9
n
12
(9
n)3
81
3)2 dx
m) ( x
9 m
3)3 3
3
9 n
9 m
m)dx
9 m
m)x
4
3
n
2
3
9 n
3
(6 x
n) ( x
9
9 m
S2
(9
3)3 3
3
x
9 n
n)dx
(x
0
9 m
3
(6 x
3
P
3
9 n
S1
S1
x
n
4
3
3
9
m
405
Chọn đáp án A.
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
24
(9
m)3
324
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Cho khối cầu tâm O bán kính R. Mặt phẳng ( P) cách O một
Bài 26.
R
chi khối cầu thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần nhỏ, V2
2
V
là thể tích phần lớn. Tỉ số 1 là:
V2
khoảng
5
.
27
A.
B.
5
.
19
C.
5
.
24
D.
5
.
32
Giải:
Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao x là:
V
R
S( x)dx
R h
V1
R
R
2
S( x)dx
R
R
2
rx2 dx R R2 x 2 dx
R
2
R
x3
2
3 R3
R x
R
R 3
3
2
V2
5
R3 R3
R3 .
24 24
2
V
4 3
5
9
5
R
R3 R3 1
.
3
24
8
V2
27
Chọn đáp án A.
[ĐTH Lần 1] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1
Bài 27.
thỏa mãn f 1 1,
I
A.
1
0
9
và
5
2
0 f ' x dx ,
1
f x dx
1
0
2
. Tính tích phân
5
f x dx
3
.
5
B.
1
.
4
C.
3
.
4
D.
1
.
5
Giải:
Ta có
f ' x
1
0
2
dx
9
(1).
5
f x dx
2
đặt x t t 2 x dx 2tdt. Đổi cận
0
5
x 0 t 0; x 1 t 1.
Với
1
2
5
1
2
tf
t
dt
tf
t
dt
0
0
5
1
1
1
1
x2
xf
x
dx
f
x
0
0
5
2
1
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
1
0
x2
1
f ' x dx
2
5
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
1
0
x2 f ' x dx
9
25
Ta có
1
0
3
(2).
5
x2 f ' x dx
2
1
0
x 4dx.
2
f ' x dx
0
1
f ' x
1
0
2
dx
9
(3).
5
(1),(3) Dấu “=” phải xẩy ra f ' x kx2
3
k 3 f ' x 3x 2 f x x 3 C.
0
5
1
1
Mà f 1 1 C 0 f x dx .
0
4
1
Thay vào (2) ta có: k x 4dx
(Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên
Bài 28.
tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và
1
1
1
2
5 f ' x f x
dx
2
0 f ' x f x dx. Tính tích phân
0
25
f x
1
0
3
dx.
25
.
33
A.
B.
5
.
4
C.
1
.
2
D.
53
.
50
Giải:
1
1
1
2
Ta có 5 f ' x f x
dx
2
f ' x f x dx
0
0
25
5
0
2
1
2
f ' x f x
5
5
1
5
0
1
2
1
f ' x f x dx 0
5
Mà ta có
0
1
1
f ' x f x dx 2 f ' x f x dx
0
2
1
f ' x f x 0
5
2
0
1
f ' x f x dx 0
5
0
1
f ' x f x dx 0
5
1
1
2
2
1
f ' x f x dx 0
5
Dấu “=” xẩy ra
f ' x f x
1
1
2
f ' x f x
5
25
f ' x f x
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
2
dx
1
25 dx
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
3
f x
1
xC
3
25
f 0 1 C
1
3
3
f x
x1
3
25
3
0 f x dx
1
1
0
53
3
.
x 1 dx
50
25
Chọn đáp án D.
Bài 29.
Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1
đồng thời thỏa mãn các điều kiện f ' 0 1 và f ' x f " x . Đặt
T f 1 f 0 , khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. 2 T 1.
B. 1 T 0.
C. 0 T 1. D. 1 T 2.
Giải:
Ta có f ' x f " x
f " x
2
f ' x
2
1
f " x
f ' x
2
dx dx
1
1
x C f ' x
f ' x
xC
Mà f ' 0 1 C 1 f ' x
1
x1
Theo định nghĩa tích phân :
T f 1 f 0
Bài 30.
1
0
f ' x dx
1
0
1
1
dx ln x 1 ln 2.
0
x1
Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0; 2 và
thỏa mãn 6
2
0
2
f ' x f x dx 2 f ' x f 2 x dx 9. Biết f 1
0
trị của tích phân I
A. I
3
.
2
f x
2
0
3
B. I .
2
3
3
3
. Giá
4
dx là:
C. I 3
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
4
.
3
D. I
3
4
.
3
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Giải:
6
2
2
2
0
0
f ' x f x dx 2 f ' x f 2 x dx 9 3
0
3
3
f ' x f x dx
0
2
0
2
3
f ' x f x dx 0
2
2
3
f ' x f x 0, x 0; 2
2
0
2
2
3
f ' x f x dx 0
2
2
0
3
f ' x f x dx 0
2
2
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi
f ' x f x
3
9
f ' x f 2 x
2
4
f 3 x 9x
9
f x f ' x dx dx
C f x
4
3
4
2
f 1
0
f ' x f 2 x dx
2
0
2
2
9
f ' x f 2 x dx
0
4
2
2
3
f ' x f x dx f ' x f x 3 f ' x f x dx
0
2
2
Mà
f ' x f x dx
3
3
C 2 f x
4
3
9
3 x
4
2
f x
2
0
3
3
9x
3
C
4
dx
3
.
2
Đăng kí tài liệu casio tại đây
/>z0S7qgsdCWKcQgAmL64afQ/viewform
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
2
0
9
dx
4
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
Chuyên đề : Vận dụng cao tích phân- Hà Toàn- Thanh Phong (face: Ngu toàn diện)
Gr: Thủ thuật casio khối A- Thủ thuật caiso khối A 2018
