VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Sưu tầm: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương.
FB:

/>CASIO TRẮC NGHIỆM

/>
HỌC CASIO FREE TẠI:

/>
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT

/>
Phương pháp chung:
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC)Gọi S  t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y

1

 x  1 x  2 

2

, y  0 , x  0 , x  t (t  0) . Tìm lim S  t  .

t 

1
A.  ln 2  .
2

1
B. ln 2  .
2

C.

1
 ln 2 .
2

1
D. ln 2  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
*Tìm a, b, c sao cho

1

 x  1 x  2 

2



a
bx  c

x  1 ( x  2)2

 1  a  x  2    bx  c  x  1  1  ax2  4ax  4a  bx2  bx  cx  c
2

a  b  0
a  1


 1   a  b  x   4a  b  c  x  4a  c  4a  b  c  0  b  1 .
 4a  c  1
c  3


2

*Vì trên  0;t  , y 

1

 x  1 x  2 

2

 0 nên ta có:


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
t 
t 

1
1
x3 
d
x




dx
Diện tích hình phẳng: S  t    
2
2





x

1
x


1
x

2
x

2





0
0


t
 1

1
1
1 
 x 1
 



dx   ln

2



x

1
x

2
x

2
x20



x

2


0

t

 ln

t 1
1
1


 ln 2  .
t2 t2
2

1
 t 1 
 t 1 
*Vì lim 
 1  lim ln 
 0 và lim
0


t  t  2
t  t  2
t 


t 2

1
1
1
 t 1
Nên lim S  t   lim  ln

 ln 2    ln 2  .
t 
t 
2

2
 t2 t2

Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.
t 

1
 dx
Diện tích hình phẳng: S  t    
2


0   x  1 x  2  

Cho t  100 ta bấm máy 

100


0



1

 dx  0,193
  x  1 x  2 2 



Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B.


Câu 2:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích phân

1
dx
1

tan
x
0

I 



sin x
 
dx với    0;  , khẳng định sai là
cosx  sin x
 4
0

J 



cos x
dx .
cos
x

sin
x
0

A. I  

B. I  J  ln sin   cos .

C. I  ln 1  tan  .

D. I  J   .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta có

1
1
cos 


nên A đúng.
sin

1  tan  1 

cos   sin 
cos 

và


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
d  cos x  sin x 
cos x  sin x
I J 
dx  
 ln cos x  sin x
cos x  sin x
cos x  sin x
0
0






 ln cos   sin  B

0

đúng


I  J   dx  x 0   D đúng.

0

Câu 3:

x

  4t

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x  

3

 8t  dt . Gọi m, M lần

1

lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên đoạn  0;6 . Tính
M  m.
A. 18

B. 12

C. 16

D. 9

Hướng dẫn giải
f  x 

x

  4t
1

3

 8t  dt   t 4  4t 2 

x
1

 x 2  4 x  3 , với x  0 .

f   x   2 x  4; f   x   0  x  2  1;6 .
f  0   3; f  2   1; f  6   15 . Suy ra M  15, m  1 . Suy ra M  m  16 .
Đáp án: C.
Câu 4:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử

 x 1  x 

2017

1  x 
dx 
a

a, b là các số nguyên dương. Tính 2a  b bằng:
A. 2017 .

B. 2018 .
C. 2019 .

a

1  x 

b

b

 C với

D. 2020 .

Hướng dẫn giải
Ta có:

 x 1  x 

2017

dx    x  1  11  x 

2017

Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 .
Chọn D.



dx   1  x 

2017

 1  x 

2018



1  x 
dx  

2018

2018

1  x 


2019

2019

C


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Câu 5:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số
1
1
và F  0    ln 4 .
e 3
3
3
3F  x   ln  x  3  2 là:
f  x 

Tập

x

A. S  2 .

nghiệm

B. S  2; 2 .

S

của

C. S  1; 2 .

phương

trình

D. S  2;1 .

Hướng dẫn giải
Ta có: F  x   

dx
1 
ex 
1
x

1


 dx  x  ln  e  3  C .
x
x

e 3 3  e 3
3









1
1
Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 .
3
3

Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2
Chọn A.
Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn

 2; 6

3

và thỏa mãn



6

6

3

3

f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  5 . Hãy tìm mệnh đề

2

KHÔNG đúng.
3

6

B.  [3 f ( x)  4]dx  5

A.  [3g ( x)  f ( x)]dx  8
3

2

ln e6

ln e6

C.

 [2f ( x)  1]dx  16

D.

2

 [4 f ( x)  2 g ( x)]dx  16
3

Hướng dẫn giải

3



6

6

3

2

f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10

2
6

6

6

3

3

3

Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15  7  8 nên A đúng
3

3

3

2

2

2

 [3 f ( x)  4]dx  3 f( x)dx  4 dx  9  4  5 nên B đúng
ln e6


2

6

6

6

2

2

2

[2f ( x)  1]dx   [2f ( x)  1]dx  2  f( x)dx  1 dx  20  4  16 nên C đúng

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
ln e6



6

6

6

3

3

3

[4f ( x)  2 g ( x)]dx   [4f ( x)  2 g ( x)]dx  4  f( x)dx  2  g ( x)dx  28 10  18

3

Nên D sai
Chọn đáp án D
Câu 7:

(NGUYỄN
KHUYẾN
TPHCM)
Giả

sử
2x
3
2
3
2
2x
 e (2 x  5x  2 x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C . Khi đó a  b  c  d bằng
A. -2

B. 3

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có  e2 x (2 x3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C nên

 (ax

3

 bx 2  cx  d )e2 x  C  '  (3ax 2  2bx  c)e2 x  2e 2 x (ax3  bx 2  cx  d )
  2ax3  (3a  2b) x 2  (2b  2c) x  c  2d  e 2 x
 (2 x3  5 x 2  2 x  4)e 2 x

 2a  2
a  1

3a  2b  5
b  1



Do đó 
. Vậy a  b  c  d  3 .
2b  2c  2
c  2
c  2d  4
d  3
5

Câu 8:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết

 f ( x)dx  15

. Tính giá trị của

1
2

P   [f (5  3x )  7]dx
0

A. P  15

B. P  37

C. P  27
Hướng dẫn giải

D. P  19


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
t  5  3x  dx  

dt
3

Để tỉnh P ta đặt x  0  t  5
x  2  t  1

nên

5
5
5

dt
1
1
P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t ) dt  7  dt 
3
3 1
3  1
5

1

1

1
1
 .15  .7.(6)  19
3
3

chọn đáp án D
Câu 9:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn
 
f '    2 và  adx  3 . Tính tổng a  b bằng:
2
a
b

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x
 
f '    2  2a  2  a  1
2
b

b

a

1

 adx   dx  3  b  1  3  b  4
Vậy a  b  1  4  5.
ln 2

Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng:



  x  2e
0

1 
1 a
5
 dx  ln 2  b ln 2  c ln .
1 
2

3

x

Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S  a  b  c bằng:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
ln 2
ln 2
ln 2
1 
1

0  x  2e x  1  dx  0 xdx  0 2e x  1 dx .

D. 5 .


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
ln 2

Tính


0

x2

xdx 
2

ln 2

Tính

 2e
0

1
x

1

ln 2

0

ln 2 2

2

dx

dt
. Đổi cận : x  ln 2  t  5, x  0  t  3 .
t 1
ln 2
5

5
5
1
dt
5
 1 1
0 2ex  1 dx  3 t t 1  3  t 1  t dt   ln t  1  ln t  3  ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln 3
.
ln 2
1 
1 2
5

0  x  2ex  1  dx  2 ln 2  ln 2  ln 3  a  2, b  1, c  1

Đặt t  2e x  1  dt  2e x dx  dx 

Vậy a  b  c  4 .
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số
1 2
 x  4 x  3 và hai tiếp tuyến của  C  xuất phát từ M  3; 2 là
2
8
5
13
11
A. .
B. .
C. .
D. .

3
3
3
3
y

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có y 

1
 2x  4  x  2 .
2

Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, y0 

1 2
 x0  4 x0  3 và y  x0   x0  2 .
2

Phương trình của tiếp tuyến của  C  tại điểm có tọa độ  x0 ; y0  là
y   x0  2  x  x0  

1 2
 x0  4 x0  3
2

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M  3; 2  nên
2   x0  2  3  x0  

Diện tích hình phẳng cần tìm

 x0  1  y   x  1
1 2
x0  4 x0  3  

2
 x0  5  y  3x  11


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
S



3

1

1 2

 2  x  4 x  3    x  1 dx 



5

3

8

1 2

 2  x  4 x  3   3x  11  dx  3


4

Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân

x

 1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực
0

. Tính 16a  8b
A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn A
u  x
 du  dx


Đặt 

. Ta có

dx
1
dv  1  cos 2 x
v  2 tan x





1
1 
 1
 1 1  1
1
1
I  x tan x 4   4 tan xdx   ln cos x 4   ln
  ln 2  a  , b  
2
2 0
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0

Do đó, 16a  8b  4 .

1

Câu 13: (LẠNG

GIANG

SỐ

1)

Giả

sử

 f  x  dx  3

5

 f  z  dz  9 .

và

0
3

5

1

3

 f  t  dt   f t dt

0

bằng

A. 12.

B. 5.

C. 6.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

Ta có

1

f  x  dx  3   f  t  dt  3 ;


0

0

5

5



5

f  z  dz  9   f  t  dt  9

0

0

1

3

5

3

5

0

1

3

1

3

9   f  t  dt   f  t  d t   f  t  d t   f  t  d t  3   f  t  d t   f  t  d t
0
3

5

1

3

  f  t  dt   f  t  dt  6.

Tổng


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
ln 2



Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân

0

A. 1.

e2 x1  1
a
dx  e  . Tính tích a.b .
x
e
b

B. 2.

C. 6.

D. 12.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
ln 2


0

e2 x 1  1
dx 
ex

 e

x 1

ln 2
0

 e x

ln 2



e x 1dx 

0

ln 2



ln 2



e x dx 

0

ln 2
0

e x 1d  x  1 

0

ln 2

 e d x
x

0

1
1 
  2e  e     1  e   a  1, b  2  ab  2 .
2
2 

3



Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết



3 2
dx 

 c  d 3 với
a
b
1  x 6  x3
sin x

3

3

a, b, c, d là các số nguyên. Tính a  b  c  d .
A. a  b  c  d  28 . B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 .
a  b  c  d  22 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

I





3

3





sin x
1 x  x
6

3

dx 





3





1  x 6  x3 sin x
1  x6  x6



 
3

dx 



3



1  x 6  x 3 sin xdx .

3




 x   3  t  3
Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận 
.
x    t   

3
3


I





3







3

1  t 6  t 3 sin  t  dt    


3



Suy ra 2 I 

3

  2 x



3

sin x  dx  I 



 x

3

1  t 6  t 3 sin tdt   


3

3



3





3

sin xdx .

3

3

x

(+)

 sin x

3x 2

(–)

 cos x


3





1  x 6  x 3 sin xdx


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
6x

(+)

 sin x

6

(–)

 cos x

0

 sin x


3 2
 2  6 3

27
3
3
Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .
I    x3 sin x  3x 2 cos x  6 x sin x  6sin x  3 

3





Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn
4

a
sin x
2
0 1  3cos x dx  3 .

A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt t  1  3cos x  t 2  1  3cos x  2tdt  3sin xdx.
Đổi cận: + Với x  0  t  2
+ Với x  a  t  1  3 cos a  A.
Khi đó
a


0

2

2

sin x
2
2
2
2
dx   dt  t   2  A   A  1  1  3cos a  1  cos a  0
3
3 A 3
3
1  3cos x
A

a


2

 k  k 

 . Do

Bình luận: Khi cho a 


2

1
3 k  0

  
a   ; 2     k  2    k   
.
4 2
4
2 k  1
4

  thì tích phân không xác định vì mẫu thức không

xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận a 


.

2

Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
y  2 x , y   x  3 và y  1 là:


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A. S 

1 1
 .
ln 2 2

B. S 

1
1.
ln 2

C. S 

47
.
50

D. S 

1
3
ln 2

.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
 2x   x  3  x  1
 2x  1  x  0
 x  3  1  x  2
Diện tích cần tìm là:
1

2

 2x
   x2

1 1
S    2  1 dx     x  3  1 dx  
 x 
 2x  

 ln 2
0  2
 1 ln 2 2
0
1
1

2

x

Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có bao nhiêu số
a

 sin
0

5

a   0;20  sao cho

2
x sin 2 xdx  .
7

A. 20 .

B. 19 .

C. 9 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
a

a

a

2
2
2
Ta có  sin 5 x sin 2 xdx  2 sin 6 x cos xdx  2 sin 6 xd  sin x   sin 7 x 0a  sin 7 a  .
7
7
7
0
0
0


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Do đó sin 7 a  1  sin a  1  a 
0


2

 k 2 . Vì a   0;20  nên



1
 k 2  20    k  10 và k 
2
2

n 1

Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của lim

n 

A. 1.

1

 1 e

x

nên có 10 giá trị của k

dx bằng

n

B. 1.

C. e.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
n 1

Ta có: I 

1

 1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x  dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n  t  1  en ; x  n  1  t  1  en1
1 en1



Khi đó: I 

1 en

1
dt 
t  t  1

1 en1



1 en

1 en1
1  en
 1 1
  dt   ln t  1  ln t  n  1  ln

1 e
1  en 1
 t 1 t 

n

1  en
Mà
1  en 1

1
  1 1
1
e
  n
 khi n   , Do đó, lim I  1  ln  0
n

e
e
1
  e
e


6

Câu 20: (THTT – 477) Nếu  sin n x cos xdx 
0

A. 3.

1
thì n bằng
64

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0  t  0; x 
1
2

Khi đó: I   t n dt 
0

1
Suy ra  
2

n 1



1
n 1 2

t
1 1

. 
n 1 0 n 1  2 

n 1




6

t 

1
.
64

n 1
có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu).
64

1
2


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax3  bx 2  cx  d ,  a, b, c  , a  0  có đồ
thị  C  . Biết rằng đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành
độ âm và đồ thị hàm số y  f   x  cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành.
A. S  9 .

B. S 

27
.
4

C.

21
.
4

D.

5
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f   x   3x  3 .
2

f  x    f   x  dx    3x 2  3 dx  x3  3x  C .
Do  C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên

f   x0   0  3x02  3  0  x0  1.
Suy ra f  1  4  C  2   C  : y  x  3x  2
3

 x  2
.
x

1


Xét phương trình x  3 x  2  0  
3

 x
1

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho
rằng

và

2

3

 3 x  2  dx 

27
.
4

là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn
. Tính

Biết


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì

là hàm số chẵn nên

Xét tích phân
Đặt
Đổi cận: x  1  u  2; x  3  u  6 .

Vậy

Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
T a

1

 3e
0

1 3 x

dx 

.

b c
 .
2 3

A. T  6.

B. T  9.

C. T  10.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Đặt
Đổi cận: +
+

a 2 b
e  e  c  a , b, c 
5
3

D. T  5.

Tính


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
nên câu C đúng.
Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng
x  a , x  b (như hình vẽ dưới đây).

Giả sử S D là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong các phương
án A, B, C, D cho dưới đây?
0

b

a

0

0

b

a

0

A. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

B. S D    f  x  dx   f  x  dx .

C. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

D. S D    f  x  dx   f  x  dx .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:


Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại O  0;0 



Trên đoạn  a; 0 , đồ thị (C ) ở dưới trục hoành nên f  x    f  x 



Trên đoạn  0;b  , đồ thị  C  ở trên trục hoành nên f  x   f  x 
b

0

b

0

b

a

a

0

a

0

+ Do đó: S D   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
5

Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết I  
1

a , b là các số nguyên. Tính S  a  b.
A. S  9.
B. S  11.

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5 , với
x

C. S  5.

Hướng dẫn giải

Chọn B.
2
5
2 x  2 1
2 x  2 1
2 x  2 1
dx  
dx  
dx
Ta có: I  
x
x
x
1
1
2
5

2


1

5
2 5  2x
5 2x  3
22  x 1
2  x  2  1
dx  
dx  

dx  
dx
1
2
x
x
x
x
2

2 5
5
2
5
3

    x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x 
1
2
1
2
x
x



a  8
 a  b  11.
 8ln 2  3ln 5  4  
b  3

D. S  3.