toán cao cấp hệ phương trinh tuyến tính

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Ngày 28 tháng 2 năm 2018

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

1 / 60


1

Ma trận-Các phép biến đổi ma trận
Ma trận
Định nghĩa ma trận
Ma trận vuông
Ma trận vuông
Các phép toán trên ma trận

2

Các phép biến đổi ma trận
Hạng của ma trận- Ma trận nghịch đảo
Ma trận bậc thang
Định nghĩa
Thuật toán Gauss

Hạng của ma trận
Dạng chính tắc theo dòng của ma trận

Định nghĩa
Thuật toán Gauss-Jordan (thuật toán chính tắc)
3

Ma trận khả nghịch và nghịch dảo của ma trận
Hệ phương trình tuyến tính
Phương trình ma trận
Hệ phương trình tuyến tính
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

1 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Phép khử Gauss
Phép khử Gauss-Jordan

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

4

Định thức
Định thức
Định nghĩa

Quy tắc Sarrus
Công thức khai triển định thức theo dòng và cột
Công thức khai triển định thức theo dòng và cột
Ma trận phó

Ứng dụng của định thức
Tìm ma trận nghịch đảo
Giải hệ phương trình tuyến tính
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

2 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Định nghĩa ma trận

Định nghĩa ma trận
Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, mỗi
dòng có n phần tử như sau




a11 a12 . . . a1n
a11 a12 . . . a1n

 a21 a22 . . . a2n 
 a21 a22 . . . a2n 



A=
 . . . . . . . . . . . .  hoặc A =  . . . . . . . . . . . . 
am1 am2 . . . amn
am1 am2 . . . amn
trong đó aij ∈ R là phần tử ở dòng i, cột j (gọi là vị trí (i,j)) của ma trận
A.

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

2 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Định nghĩa ma trận

♣ Khi đó ta ký hiệu A = (aij )1≤i≤m , hay đơn giản là A = (aij ).
♣ Ta cũng dùng ký hiệu [A]ij để chỉ phần tử ở vị trí (j, j) của ma trận A.
♣ Mỗi dòng của A được gọi là một vectơ dòng.
Ma trận chỉ có một dòng cũng được gọi là vectơ dòng.
♣ Mỗi cột của A được gọi là một vectơ cột.

Ma trận chỉ có một cột cũng được gọi là vectơ cột.
♣ Ma trận có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

3 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Định nghĩa ma trận

Ví dụ 1
Xét A =

2 1 −1
0 1 −4

♣ A là ma trận cấp 2 × 3
♣ Các dòng của A là (2, 1, −1) và (0, 1, −4)
2
1
−1
♣ Các dòng của A là
,
và

0
1
−4

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

4 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Định nghĩa ma trận
Ký hiệu
♣ Tập hợp các ma trận cấp m × n được ký hiệu bởi Mm×n (R).
♣ Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
♣ Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn (R) (thay vì
Mm×n (R)).
Hai ma trận bằng nhau
Nếu A = (aij ) và B = (bij ) là hai ma trận cùng cấp sao cho aij = bij , ∀i, j
thì ta nói A và B bằng nhau, kỳ hiệu bởi A = B.
Ví dụ 2
Tìm x, y , z để A =
Nguyễn Thị Hồng Nhung

x +1 1
2x − 1 z

và B =

3y − 3
1
y + 11 2z + 2

bằng nhau.

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

5 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Khi đó
♣ Đường chứa các phần tử a11 , a22 , a33 , . . . , ann được gọi là đường chéo
chính hay đường chéo của A.
♣ Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo của A đều bằng 0, nghĩa
là aij = 0, ∀i = j, thì A được gọi là ma trận đường chéo.
♣ Ma trận đường chéo với các phần tử thuộc đường chéo lần lượt là
a1 , a2 , . . . , an được ký hiệu bởi diag (a1 , a2 , . . . , an ).
Ví dụ 3


1 4

Cho A = 2 5
3 6
Đường chéo của



7
1 0
8 và B = 0 2
9
0 0
A là đường chứa các

Nguyễn Thị Hồng Nhung


0
0
3
phần tử 1, 5, 9.

B = diag (1, 2, 3)

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

6 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông
Định lý 1
♠ αdiag (a1 , a2 , . . . , an ) = diag (αa1 , αa2 , . . . , αan )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an ) ± diag (b1 , b2 , . . . , bn ) =
diag (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an )diag (b1 , b2 , . . . , bn ) = diag (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an )T = diag (a1 , a2 , . . . , an )
Ví dụ 4
♠
♠
♠
♠
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

7 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông- Ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo cấp n với mọi phần tử thuộc đường chéo đều bằng
1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởi In .



1 0 0
I3 = 0 1 0 
0 0 1.

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

8 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông- Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó
♣ Nếu mọi phần tử ở bên dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i > j) thì A được là ma trận tam giác trên.
♣ Nếu mọi phần tử ở bên trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i < j) thì A được là ma trận tam giác dưới.
♣ các ma trận tam giác trên, tam giác dưới được gọi chung là ma trận
tam giác.
Ví dụ 5

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng 2 năm 2018

9 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Khi đó
♣ Đường chứa các phần tử a11 , a22 , a33 , . . . , ann được gọi là đường chéo
chính hay đường chéo của A.
♣ Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo của A đều bằng ), nghĩa
là aij = 0, ∀i = j, thì A được gọi là ma trận đường chéo.
♣ Ma trận đường chéo với các phần tử thuộc đường chéo lần lượt là
a1 , a2 , . . . , an được ký hiệu bởi diag (a1 , a2 , . . . , an ).
Ví dụ 6


1 4
Cho A = 2 5
3 6
Đường chéo của



7
1 0
8 và B = 0 2
9

0 0
A là đường chứa các

Nguyễn Thị Hồng Nhung


0
0
3
phần tử 1, 5, 9.

B = diag (1, 2, 3)

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

10 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông
Định lý 2
♠ αdiag (a1 , a2 , . . . , an ) = diag (αa1 , αa2 , . . . , αan )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an ) ± diag (b1 , b2 , . . . , bn ) =
diag (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an )diag (b1 , b2 , . . . , bn ) = diag (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn )
♠ diag (a1 , a2 , . . . , an )T = diag (a1 , a2 , . . . , an )
Ví dụ 7

♠
♠
♠
♠
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

11 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông- Ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo cấp n với mọi phần tử thuộc đường chéo đều bằng
1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởi In .


1 0 0
I3 = 0 1 0 
0 0 1.

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

12 / 60

Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Ma trận vuông- Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó
♣ Nếu mọi phần tử ở bên dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i > j) thì A được là ma trận tam giác trên.
♣ Nếu mọi phần tử ở bên trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i < j) thì A được là ma trận tam giác dưới.
♣ các ma trận tam giác trên, tam giác dưới được gọi chung là ma trận
tam giác.
Ví dụ 8

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

13 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của một số thực α với
ma trận A

♣ Tích của một số thức α với ma trận A ∈ Mm×n (R), ký hiệu bởi αA
hay Aα là một ma trận cấp m × n, được xác định bởi
(αA)ij = α[A]ij , ∀i, j

(nghĩa là nhân α vào từng vị trí của A).

Tích (−1)A được ký hiệu −A và gọi là ma trận đối của A.
Ví dụ 9

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

14 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của một số thực α với
ma trận A

Tính chất 1
Cho A ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có
♠ (αβ)A = α(βA);
♠ 0.A = 0m×n và 1.A = A

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

15 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Chuyển vị ma trận

♣ Cho A ∈ Mm×n (R). Ta có Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT , là
ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A
thành cột tương ứng, nghĩa là




a11 a12 . . . a1n
a11 a21 . . . am1
 a21 a22 . . . a2n 


 thì AT = a12 a22 . . . am2

A=
... ... ... ...
. . . . . .
...

. . .
am1 am2 . . . amn
a1n a2n . . . amn
Ví dụ 10

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

16 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Chuyển vị ma trận

♣ Nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng.
♣ Nếu AT = −A thì ta nói A là ma trận phản xứng.
Tính chất 2
Cho A, B ∈ Mm×n (R), α ∈ RR. Khi đó,
♠ (AT )T = A
♠ AT = B T ⇔ A = B
♠ (αA)T = αAT

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

17 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tổng của hai ma trận

♣ Cho A, BinMm×n (R). Khi đó tổng của hai ma trận A và B, ký hiệu
A + b là ma trận được xác định bởi
(A + B)ij = Aij + Bij .
Như vậy, để tính A + B thì
A và B cùng cấp;
Cộng các vị trí tương ứng

Ký hiệu: A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của hai ma trận A và B.
Ví dụ 11

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

18 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tổng của hai ma trận

Tính chất 3
Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có
♠ Tính giao hoánA + B = B + A
♠ Tính kết hợp (A + B) + C = A + (B + C )
♠ 0m×n + A = A + 0m×n = A
♠ A + (−A) = (−A) + A = 0m×n
♠ (A + B)T = AT + B T
♠ α(A + B) = αA + αB
♠ (α + β)A = αA + βA
♠ (−α)A = α(−A) = −(αA)

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

19 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận

♣ Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R) và B ∈ Mn×p (R). Khi đóm tích của
hai ma trận A và B ( ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được
xác định bởi
(AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj .

Như vậy, để tính AB thì:
Số cột của A bằng số dòng của B
Phần tử thứ (i,j) của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B.

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

20 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận

Ví dụ 12

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

21 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận
Tính chất 4
Với A ∈ Mm×n (R), B, C , D ∈)Mn×p (R), E ∈ Mp×q (R), F , G ∈ Mq×n (R
♠ Im A = A và AIn = A. Đặc biết, nếu A ∈ Mn (R) thì
In A = AIn = A
♠ 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q . Đặc biết, nếu A ∈ Mn (R) thì
0n A = A0n = 0n
♠ (AB)T = B T AT
♠ (AB)E = A(BE )
♠ A(C + D) = AC + AD
(F + G )A = FA + GA.
Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

22 / 60


Ma trận-Các phép biến đổi ma trận

Ma trận

Các phép toán trên ma trận-Lũy thừa của ma trận

Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lùy thừa bậc k của ma trận A là một ma trận
thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định bởi
A0 = In ; A1 = A, A2 = AA, . . . , Ak = Ak−1 A.
Vậy, Ak = A.A . . . A (Nhân k lần).
Ví dụ 13
Cho A =

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng 2 năm 2018

23 / 60