Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ & VẬT LÝ KỸ THUẬT
BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN

-------- ------KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài:

NGHIÊN CỨU SỰ HỦY CỦA POSITRON
TRONG CHẤT BÁN DẪN

SVTH: Huỳnh Đan Nhi
CBHD: ThS. Trần Duy Tập
CBPB: ThS. Trịnh Hoa Lăng

------------------------------TP. HỒ CHÍ MINH – 2010


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tại Bộ Môn Vật Lý Hạt Nhân, Khoa
Vật Lý và Vật Lý Kỹ Thuật, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí
Minh, tôi đã nhận được rất nhiều sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu và chân thành của
Thầy Cô, bạn bè và người thân. Nhân đây tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc và tri ân
đến:
- ThS. Trần Duy Tập, người Thầy đã giảng dạy, gợi ý đưa tôi đến với đề tài, tận tâm
hướng dẫn, cung cấp tài liệu, động viên và giải đáp các thắc mắc trong suốt quá
trình thực hiện đề tài.
- ThS. Trịnh Hoa Lăng đã giành thời gian quý báu để đọc và góp ý cho khóa luận
được hoàn thiện hơn.
- CN. Đỗ Duy Khiêm đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian

thực hiện đề tài.
- Tôi xin cảm ơn các Thầy Cô đã giảng dạy tôi ở những năm tháng đại học, gia đình
và bạn bè đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện
khóa luận.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 07, năm 2010
HUỲNH ĐAN NHI


MỤC LỤC
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Lời mở đầu ........................................................................................................... 1
Chương 1. Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn .............................. 3
1.1. Giới thiệu ........................................................................................................ 3
1.1.1. Xấp xỉ mật độ trọng số ........................................................................... 4
1.1.1. Xấp xỉ gradient tổng quát ....................................................................... 5
1.2. Sự hủy của positron trong mạng hoàn hảo ....................................................... 7
1.2.1. Tham số mật độ rs .................................................................................. 7
1.2.2. Hệ số tăng cường ................................................................................... 8
1.2.3. Thời gian sống của positron ................................................................. 12
Chương 2. Năng lượng tương quan electron – positron ................................... 14
2.1. Giới thiệu ...................................................................................................... 14
2.2. Năng lượng tương quan ................................................................................. 14
Chương 3. Chương trình tính toán .................................................................... 21
3.1. Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn ............................................. 21
3.1.1. Giao diện chương trình tính ................................................................. 24
3.1.2. Kết quả tính và nhận xét ...................................................................... 25
3.2. Tính năng lượng tương quan electron – positron ............................................ 31
3.2.1. Giao diện chương trình tính ................................................................. 31
3.2.2. Kết quả tính và nhận xét ...................................................................... 33

3.3. Tính năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron ............................ 36
3.3.1. Giao diện chương trình tính ................................................................. 36
3.3.2. Kết quả tính và nhận xét ...................................................................... 37
Kết luận .............................................................................................................. 40
Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 42
Phụ lục ................................................................................................................. 45


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các giá trị của hệ số tăng cường mật độ tương tác g(0;n + ,n - ) trong khí
Coulomb – Fermi hai thành phần đồng nhất cho các giá trị khác nhau của tham số
mật độ electron rs và tỷ số mật độ x=n + /n  ............................................................. 9
Bảng 1.2. Hệ số tương tác electron – positron cho sự tham số hóa của Boronski –
Nieminen (BN) và Arponen – Pajanne (AP) trong khí electron đồng nhất ............ 10
Bảng 3.1. Thời gian sống của positron trong một số chất bán dẫn ........................ 23
Bảng 3.2. rs,  và s của các chất bán dẫn từ bảng 3.1 ............................................ 23
Bảng 3.3. Kết quả tính thời gian sống của một số chất bán dẫn ............................ 25
Bảng 3.4. Bảng sai lệch thời gian sống giữa các kết quả tính bằng Maple so
với các kết quả thực nghiệm từ các công trình ...................................................... 27
Bảng 3.5. Bảng sai lệch thời gian sống giữa các kết quả tính bằng Maple so
với kết quả tính theo LDA .................................................................................... 28
Bảng 3.6. Kết quả năng lượng tương quan electron – positron cho một số
chất bán dẫn ......................................................................................................... 33
Bảng 3.7. Bảng sai lệch (tính theo %) so sánh năng lượng tương quan
electron – positron tính theo GGA và theo LDA ................................................... 34
Bảng 3.8. Giá trị năng lượng tương quan của ZnO tính toán từ các phương
pháp khác nhau ..................................................................................................... 35
Bảng 3.9. Năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron của một số
chất bán dẫn ......................................................................................................... 37

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Các hệ số tăng cường theo các công thức Boronski và Nieminen (BN (1.8)), Arponen và Pajanme (AP - (1.12)) và Sterne và Kaiser (SK -(1.13)) ...... 11
Hình 3.1. Giao diện chương trình tính thời gian sống của positron trong một
số chất bán dẫn ..................................................................................................... 24
Hình 3.2. Kết quả tính thời gian sống của SiC ..................................................... 25
Hình 3.3. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron positron . 31
Hình 3.4. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –
positron trường hợp một positron trong khí electron đồng nhất ............................ 32
Hình 3.5. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –
positron của SiC trong trường hợp một positron trong khí electron đồng nhất ..... 32
Hình 3.6. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –
positron của SiC trong trường hợp mật độ positron bằng mật độ electron ............ 33
Hình 3.7. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan – trao đổi
electron – positron ................................................................................................ 36
Hình 3.8. Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan – trao đổi
electron – positron của AlAs ................................................................................ 37


1

LỜI MỞ ĐẦU
Sự phát triển của kỹ thuật hủy positron hàng mấy chục năm qua chứng tỏ rằng nó
là phương pháp không thể thiếu để nghiên cứu khuyết tật vật liệu. Các kỹ thuật thực
nghiệm hủy positron phổ biến hiện nay là kỹ thuật đo thời gian sống của positron,
kỹ thuật đo hiệu ứng giãn nở Dopper, và phương pháp đo tương quan góc của các
bức xạ hủy. Từ thực tế ứng dụng các kỹ thuật thực nghiệm này người ta thấy rằng
cần có các giá trị lý thuyết kèm theo để so sánh, để hỗ trợ các giá trị thực nghiệm
hoặc cùng với các giá trị thực nghiệm để giải thích, phân tích các kết quả thực
nghiệm đo được. Ví dụ người ta cần các giá trị lý thuyết thời gian sống của positron

trong mạng hoàn hảo, trong monovacancy, divacancy, lỗ trống, v.v… của các vật
liệu khác nhau để các so sánh với các giá trị thực nghiệm. Tương tự như vậy trong
phương pháp đo hiệu ứng giãn nở Dopper, người ta cần các giá trị của tham số S,
tham số W tương ứng. Đặc biệt là các vật liệu mới, người ta rất cần các giá trị lý
thuyết của các thông số hủy đặc trưng của positron để có định hướng ban đầu trước
khi tiến hành thực nghiệm, hoặc để điều chỉnh các giá trị thực nghiệm, phương pháp
thực nghiệm v.v…
Đối với thời gian sống của positron trong vật liệu, một trong những phương pháp
đầu tiên là sử dụng lý thuyết hàm mật độ (density functional theory - DFT) cùng với
xấp xỉ mật độ cục bộ (local density approximation – LDA) để tính toán các đặc
trưng hủy của positron. Các kết quả đạt được của phương pháp này đã được công bố
trên nhiều công trình khác nhau [13], [17], [18]. Tuy nhiên xấp xỉ mật độ cục bộ có
một số hạn chế như đánh giá thấp độ rộng vùng cấm và đánh giá quá cao tốc độ hủy
của positron với electron lõi. Vì thế các nhà khoa học đã tìm cách đưa ra một số mô
hình xấp xỉ khác để cải thiện độ chính xác của LDA như tính hệ số tăng cường hủy
sử dụng hằng số điện môi tần số cao [18], xấp xỉ gradient tổng quát (generalized
gradient approximation – GGA) [5], và xấp xỉ mật độ trọng số (weighted density
approximation – WDA) [21].


2

Khóa luận sẽ trình bày lý thuyết và kết quả tính các giá trị như tốc độ hủy, thời
gian sống, năng lượng tương quan electron – positron trong một số chất bán dẫn
ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghiệp sử dụng xấp xỉ GGA. Thực hiện
việc so sánh các kết quả giữa các mô hình lý thuyết và các giá trị thực nghiệm đã
được thực hiện. Khóa luận gồm 3 chương.
Chương 1 trình bày các vấn đề về thời gian sống của positron trong chất bán dẫn
dựa vào lý thuyết hàm mật độ và xấp xỉ GGA.
Chương 2 trình bày các dạng xấp xỉ để tính năng lượng tương quan electron –

positron và năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron.
Chương 3 gồm các phần tính toán thời gian sống, năng lượng tương quan
electron – positron và năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron trong
chất bán dẫn.


3

CHƢƠNG 1

THỜI GIAN SỐNG CỦA POSITRON TRONG CHẤT BÁN DẪN

1.1. Giới thiệu
Trong suốt bốn thập niên gần đây, kỹ thuật hủy positron là một trong những
phương pháp quan trọng để nghiên cứu cấu trúc electron và nguyên tử trong chất
rắn [19]. Để hiểu một cách toàn diện và làm sáng tỏ các kết quả thực nghiệm thì các
kết quả lý thuyết kèm theo là điều cần thiết. Lý thuyết hủy positron đã phát triển từ
những mô hình đơn giản mô tả tương tác positron – chất rắn đến những phương
pháp đầu tiên tiên đoán đặc tính hủy trong các điều kiện và môi trường khác nhau.
Sự phát triển này song song với sự phát triển của các mô hình tính toán cấu trúc
electron, nguyên tử trong vật liệu. Một trong các lý thuyết được sử dụng thông dụng
nhất để tính toán cấu trúc electron là lý thuyết hàm mật độ. Lý thuyết này đầu tiên
ứng dụng để tính toán cấu trúc electron và sau đó đã được mở rộng thành lý thuyết
hai thành phần để tính toán các trạng thái và đặc tính hủy của positron trong chất
rắn. Sự thành công của lý thuyết này bắt nguồn từ việc tính toán các hiệu ứng tương
quan và trao đổi electron-positron sử dụng xấp xỉ mật độ cục bộ đối với khí electron
đồng nhất. Các kết quả thu được từ LDA cho các tính chất của nguyên tử, phân tử
và chất rắn là khá tốt.
Tuy nhiên xấp xỉ LDA có giá trị chỉ trong những hệ thống với mật độ electron
biến thiên nhỏ và đã đánh giá quá cao sự hủy của positron với các electron lõi.

Những tính toán LDA khác nhau chỉ ra rằng thời gian sống positron trong kim loại
chuyển tiếp hoàn hảo quá ngắn so với các giá trị thực nghiệm. Sterne và Kaiser đã
đề nghị sử dụng hệ số tăng cường không đổi duy nhất cho electron lõi, tức là sử
dụng mô hình mẫu hạt độc lập (independent particle model – IPM). Plazaola,
Seitsonen và Puska kết luận rằng thời gian sống positron tính toán trong hợp chất
bán dẫn nhóm II-VI quá ngắn do LDA ước tính quá cao tốc độ hủy với electron d
của nguyên tử nhóm II. Puska et al. đã đưa hằng số điện môi tần số cao vào công


4

thức tính thời gian sống của positron, để giải thích tốc độ hủy của positron trong
chất bán dẫn và cách điện [5]. Sự so sánh đường cong thực nghiệm đo tương quan
góc hai chiều (two-dimensional angular correlation – ACAR) và lý thuyết tại giá trị
động lượng cao chỉ ra rằng sự hủy của positron với electron d được ước lượng quá
cao trong tính toán. Tất cả những thí nghiệm này chỉ ra rằng LDA không chính xác
trong trường hợp tính tốc độ hủy positron với electron lõi và nửa lõi. Từ đó các nhà
khoa học đã tìm kiếm những mô hình xấp xỉ khác để cải thiện độ chính xác của xấp
xỉ LDA đó là xấp xỉ gradient tổng quát và xấp xỉ mật độ trọng số. Nội dung chính
của hai xấp xỉ này sẽ trình bày dưới đây.
1.1.1. Xấp xỉ mật độ trọng số
Như đã biết trong LDA, tương tác electron – positron được thay thế bởi sự tương
đồng trong khí electron đồng nhất, đó chính là mật độ electron cục bộ n(rp) tại vị trí
của positron rp. Xấp xỉ này tốt cho hệ thống có mật độ electron biến thiên chậm,
chẳng hạn như các electron hóa trị trong kim loại. Các nghiên cứu lý thuyết, bán
thực nghiệm, và thực nghiệm đều chỉ ra rằng đóng góp của electron lõi vào đặc tính
hủy là không thể bỏ qua. Tuy nhiên, với các electron lõi thì mật độ biến thiên mạnh
và LDA không làm việc tốt trong trường hợp này. Thực sự, đối với các electron lõi
thì LDA dường như đánh giá quá cao hiệu ứng tương quan electron – positron. Kết
quả là LDA đánh giá thấp thời gian sống của positron khi so sánh với các dữ liệu

thực nghiệm.
Để nghiên cứu sự ảnh hưởng các tương quan không cục bộ này A. Rubazek, Z.
Szotek và W. M. Temmerman đã giới thiệu phương pháp xấp xỉ mật độ trọng số
cho việc đánh giá thời gian sống của positron trong chất rắn [21]. Phương pháp
WDA bao gồm các hiệu ứng không cục bộ. Xấp xỉ này đã thay thế mật độ electron
n(rp) trong hàm tương quan LDA bằng trung bình trọng số của nó n*(rp) tại vị trí
phân bố của đám mây electron xung quanh positron, tức là nó đưa ra một hệ số gọi
là hệ số trọng số. Phương pháp WDA được đưa ra đầu tiên bởi Gunnarsson et al.
cho việc nghiên cứu hiệu ứng tương quan và trao đổi electron – electron không định
xứ. Xấp xỉ WDA có thể nói là sự tổng quát đầu tiên của LDA cho hệ thống các


5

electron không đồng nhất. Khi mật độ electron biến thiên chậm, xấp xỉ WDA trở
thành xấp xỉ LDA. Hình thức này đã được ứng dụng thành công cho việc positron
tương tác với bề mặt kim loại, dẫn đến sự diễn tả tốt hơn cho màn chắn positron tại
bề mặt, khi so sánh với LDA.
WDA đã đưa ra một bức tranh khác biệt đáng kể về tương quan electron –
positron trong chất rắn so với LDA. Sự khác biệt của WDA và LDA là các electron
khác nhau thì đưa ra các đóng góp khác nhau cho đám mây chắn xung quanh
positron. Sự khác biệt chủ yếu của hai xấp xỉ này là hình dạng của phân bố đám
mây electron chắn là hình cầu đối xứng trong LDA nhưng không đối xứng trong
WDA. Kết quả là các hiệu ứng không định xứ tăng nhẹ hệ số tăng cường cho
electron lõi đối với khoảng cách positron nhỏ từ hạt nhân, nhưng giảm ở khoảng
cách lớn.
Tuy nhiên, kết quả của WDA không phải bao giờ cũng phù hợp với thực nghiệm
hơn LDA. Trong một vài hệ thống, thời gian sống tính theo LDA tốt hơn so với tính
theo WDA. Đối với các electron hóa trị gần như tự do như s, p thì cả WDA và LDA
đều dẫn đến kết quả tương tự.

Mặc dù WDA không nên được xem như là sự lựa chọn cho các tính toán hệ nhiều
hạt đầy đủ, nhưng khi nghiên cứu hiệu ứng không định xứ quan trọng, xấp xỉ này
cũng dẫn đến các kết quả đáng khuyến khích.
1.1.2. Xấp xỉ gradient tổng quát
Cải tiến sự chính xác của xấp xỉ LDA là cần thiết và xấp xỉ gradient tổng quát đã
ra đời. Sự cải tiến của xấp xỉ này đã được kiểm tra trong tính toán năng lượng toàn
phần positron - electron.
B. Barbiellini, M. J. Puska, T. Torsti và R. M. Nieminen đã áp dụng xấp xỉ GGA
cho việc tính toán những đặc tính hủy positron trong vật chất đậm đặc, đưa ra một
phương pháp tính toán chính xác cho tổng tốc độ hủy toàn phần [5]. GGA cũng đã
cải tiến những ước lượng về năng lượng của positron và mật độ động lượng electron
– positron.


6

Trong tính toán cấu trúc electron, LDA cũng đã ước tính quá cao năng lượng
tương quan electron-positron, như trong trường hợp nguyên tử tự do. Trong GGA
chiều sâu của hố tương quan giảm đi do đó làm giảm năng lượng tương quan.
Tương tự, hiệu chỉnh gradient cho tương quan electron – positron cũng giảm tại mật
độ electron gần positron kéo theo hệ số tăng cường giảm và do đó sẽ làm tăng thời
gian sống của positron.
Các electron phân lớp d khá xa vùng lõi nguyên tử nơi có mật độ positron lớn.
Do đó sự hủy với electron d là đóng góp quan trọng trong tổng tốc độ hủy. Sự giảm
hệ số tăng cường trong vùng lõi nguyên tử theo GGA thì không lớn. Ngược lại,
GGA giảm mạnh hệ số tăng cường đối với các electron d. Kết quả hệ số tăng cường
cho electron d gần bằng hằng số. GGA cho trạng thái positron nhạy với cấu trúc lớp
vỏ nguyên tử hơn LDA. Điều này là đặc trưng cho các xấp xỉ sau LDA.
B. Barbiellini, M. J. Puska, T. Torsti và R. M. Nieminen cũng bổ sung GGA vào
phương pháp chồng chập nguyên tử (the superimposed atom method). Các tính toán

kiểm tra thời gian sống của positron sử dụng phương pháp này cũng như các tính
toán với mật độ electron không tự hợp trong LMTO-ASA (linear-muffin-tin-orbital
atomic-spheres approximation) chỉ ra rằng các kết quả GGA nhạy với các phương
pháp này hơn các kết quả LDA. Tuy nhiên, các kết quả tính toán với cấu trúc
electron tự hợp thì gần với các kết quả thực nghiệm hơn so với các kết quả thu được
từ mật độ electron không tự hợp. Sử dụng phương pháp chồng chập nguyên tử cũng
đã kiểm tra được mô hình GGA trong trường hợp positron bị bẫy trong các vacancy
trong chất rắn.
Hiệu chỉnh này có một tham số được xác định từ thực nghiệm. Hiệu chỉnh
gradient cải tiến một cách hệ thống sự hủy quá lớn trong LDA và tính đến năng
lượng trong chất rắn. Kết quả theo GGA có sự phù hợp tốt với thời gian sống thực
nghiệm của positron cho nhiều chất như kim loại, kim loại chuyển tiếp, các chất bán
dẫn nhóm IV, hợp chất bán dẫn nhóm III-V, II-VI. Các mục dưới đây sẽ trình bày
các mô hình hủy của positron trong mạng hoàn hảo, hệ số tăng cường hủy theo xấp
xỉ LDA và cuối cùng là diễn tả hệ số này theo xấp xỉ GGA.


7

1.2. Sự hủy của positron trong mạng hoàn hảo
Câu hỏi cơ bản liên quan đến phân tích sự hủy positron trong môi trường đậm
đặc là tương tác hút electron-positron làm biến dạng các cấu trúc electron thế nào
trong môi trường khảo sát. Tương tác hút electron-positron dẫn đến sự tích tụ mật
độ electron quanh positron khiến cho mật độ electron cao hơn bất thường so với khi
không có sự hiện diện của positron. Tỷ số mật độ electron khi có positron và không
có positron gọi là hệ số tăng cường và điều này được ứng dụng để tính các đặc tính
hủy của positron trong chất rắn.
Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần đã cung cấp một phương pháp có hệ thống
để khảo sát sự tương tác của hệ positron-electron trong chất rắn [7]. Chúng ta có thể
xem hệ thống gồm một positron bị bẫy và các electron xung quanh như là một hệ

được tạo ra bởi hai chất lỏng không đồng đều xuyên vào nhau, được đặc trưng bởi
các phân bố mật độ của chúng n+(r) và n-(r).
Bởi vì mật độ positron không định xứ trong mạng hoàn hảo nhỏ không đáng kể
tại mọi điểm nên mật độ electron không bị ảnh hưởng bởi mật độ positron. Chỉ còn
phần liên quan trong màn chắn positron, phụ thuộc vào mật độ electron không bị
nhiễu loạn. Trong giới hạn mật độ positron rất nhỏ (gần như bằng không), có một
vài tính toán cho tốc độ hủy của positron trong khí electron đồng nhất.
Những kết quả tính toán sự hủy của một positron trong khí electron đồng nhất đã
sử dụng xấp xỉ mật độ cục bộ cho trạng thái positron trong chất rắn. Tốc độ hủy
positron , đại lượng nghịch đảo của thời gian sống positron , được tính toán từ sự
chồng chập mật độ electron và positron như sau [7]
λ=πre2 c  n + (r)n - (r)(n  (r))dr

(1.1)

trong đó re là bán kính electron cổ điển, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, và
(r) là hệ số tăng cường.
1.2.1. Tham số mật độ rs
Tham số mật độ rs biểu diễn mật độ electron hoặc positron, đóng vai trò quan
trọng trong việc tính toán thời gian sống cũng như năng lượng tương quan electron
– positron. Tham số mật độ rs được tính như sau [17]


8

1
3

 3 
rs = 

 .
 4πn - 

(1.2)

Trong lý thuyết hàm mật độ thì mật độ và chỉ mật độ electron đóng vai trò như là
một chìa khóa quan trọng trong việc mô tả các kết quả của hệ nhiều hạt một cách
đơn giản [3]. Theo Richard A. Ferrell [20], mật độ electron n- được tính như sau
n- =

N Aρz0
A0

(1.3)

trong đó NA là số Avogadro, A0 là nguyên tử khối của chất, ρ là khối lượng riêng và
z0 là số electron hóa trị. Thay (1.3) vào (1.2), rs được viết lại như sau
1

 3A0  3
rs = 

 4πρz0 NA 

(1.4)

trong đó rs được tính theo đơn vị a.u. , trong đó 1a.u. = 0,529177.10-10 m.
1.2.2. Hệ số tăng cƣờng
Như đã thảo luận phần 1.2.1, trong chất rắn các positron được che chắn bởi đám
mây electron. Do tương tác hút Coublom, mật độ positron-electron thực chất cao

hơn mật độ electron không bị nhiễu loạn (mật độ electron khi không có positron).
Sự ảnh hưởng này được biểu diễn qua hệ số gọi là hệ số tăng cường. Hệ số tăng
cường đóng vai trò quan trọng trong tính toán thời gian sống của positron, và được
xác định từ mật độ positron n+(r) và mật độ electron n-(r) tự hợp sử dụng lý thuyết
hàm mật độ hai thành phần.
Trong lý thuyết hàm mật độ hai thành phần [7], (1.1) được viết lại như sau
λ=πre2 c  n + (r)n - (r)g(0;n  ,n  )dr.

(1.5)

Công thức mới này được biểu diễn cho mật độ tương tác (contact density) là giá trị
của hàm tương quan cặp tại gốc tọa độ g(0;n + ,n - ) mà chúng mô tả hiệu ứng tăng
cường trong tương tác electron – positron. Gần đây, giá trị của g(0;n + ,n - ) đã được
1
2

tính toán bởi Lantto cho các trường hợp n+  0 , n + = n _ , n + =n _ như sau.


9

Bảng 1.1. Các giá trị của hệ số tăng cường mật độ tương tác g(0;n + ,n - ) trong khí
Coulomb – Fermi hai thành phần đồng nhất cho các giá trị khác nhau của tham số
mật độ electron rs và tỷ số mật độ x=n + /n  [7]
rs(a0)

x0

x = 0,5

x=1

1

2,16

1,91

1,81

2

3,97

3,37

3,07

3

7,35

5,67

5,0

4

13,11

9,22

7,87

5

24,3

13,75

11,5

6

40,4

20,8

16,4

Các giá trị g(0;n + ,n - ) được tính như sau
g  0;n- ,n+  =a  n>  n3< +b  n>  n<2 +c  n >  n < +g0  n > 

(1.6)

1
 2k  n  -6g1  n  +8g 2  n  -2g 0  n   ,
n3 
1
b  n  = 2 -3k  n  +11g1  n  -16g 2  n  +5g 0  n   ,

n
1
c  n  =  k  n  -4g1  n  +8g 2  n  -4g 0  n   ,
n

(1.7)

trong đó
a n =

và g0  n  , g1  n  , g2  n  là các hàm nội suy và ngoại suy từ dữ kiện của Lantto cho
1
2

n +  0 , n + = n _ và n + =n  được tính như sau

 n +  0 (một positron trong khí electron đồng nhất),
3

5

g 0  rs  =1+1,23rs +0,8295rs2 -1,26rs2 +0,3286rs2 +



rs3
6

(1.8)

n + =n _ ,
5

g1  rs  =1+0,51rs +0,65rs2 -0,51rs2 +0,176rs3

(1.9)


10



n+ =

1
n_ ,
2
5

g2  rs  =1+0,6rs +0,63rs2 -0,48rs2 +0,167rs3 .

(1.10)

Hàm k(n) từ tính liên tục và đối xứng của g(0;n + ,n - ) trong mặt phẳng (n+,n-)
r d
1 d
k(n)= n
g1 (n)=- s
g1 (n).
2 dn

6 dn

(1.11)

Tại một giá trị rs, hệ số tăng cường g1  n  và g2  n  nhỏ hơn g0  n  , và nhỏ
hơn rất nhiều trong trường hợp rs  10 được thể hiện trong bảng 1.2.
Bảng 1.2. Hệ số tương tác electron – positron cho sự tham số hóa của Boronski –
Nieminen (BN) và Arponen – Pajanne (AP) trong khí electron đồng nhất [7]

rs (A0 )

AP

g0 (n):x=0

BN
g1 (n):x=0,5

g2 (n):x=1

1

2,32

2,29

1,92

1,82

2

4,50

3,96

3,34

3,07

3

8,52

7,28

5,49

4,93

4

15,4

13,6

8,79

7,79

5

26,1

24,1

13,8

12,1

6

41,7

40,2

21,0

18,5

10

173

184

84,9

76,5

15

565

633

296

273

20

1329

1517

739

692

40

10 598

12 235

6 842

6567

Các nghiên cứu lý thuyết của nhiều tác giả đưa ra vài dạng khác nhau của g(0;n + ,n - )
như sau.
 Công thức của Arponen và Pajanme trích dẫn từ công trình của B. Barbiellini,
M. J. Puska, T. Torsti và R. M. Niemenen [5]


11

1
Γ(rs )=1+1,23rs -0,0742rs2 + rs3 .
6

(1.12)

 Công thức của Boronski và Nieminen (có giá trị cho rs  8 ) – phương trình
(1.8).
 Công thức của Sterne và Kaiser trích dẫn từ công trình của Henryk Stachowiak
và Jerzy Lach [9]
3

5

Γ  rs  =1+0,1512rs +2,414rs2 -2,01rs2 +0,4466rs2 +

rs3
.
6

(1.13)

 Công thức của Puska, Makinen và Nieminen lập luận thêm vào hằng số điện
môi như sau [18]
 =1+

(1-1/ε  )rs3 +10
.
6

(1.14)

BN

Г(109s -1)

SK
AP

rs (a.u.)
Hình 1.1. Các hệ số tăng cường theo các công thức Boronski và Nieminen (BN (1.8)), Arponen và Pajanme (AP - (1.12)) và Sterne và Kaiser (SK -(1.13))
Từ hình 1.1 ta nhận thấy BN và SK khớp với nhau, còn AP chỉ khớp với một vài
giá trị rs. Thực tế, kiểm tra trong vài vật liệu, không có sự khác nhau giữa thời gian
sống tính theo BN và SK [23].


12

Trong GGA, hiệu ứng của mật độ electron không đồng nhất được diễn tả bằng tỷ
số của thang đo độ dài cục bộ n/ | n | (diễn tả sự biến thiên mật độ) và độ dài màn
chắn Thomas-Fermi cục bộ 1/ qTF . Hiệu chỉnh gradient bậc thấp nhất đối với mật độ
hố tương quan LDA tỷ lệ với hệ số [5]

2
ε=|n|2 /(nqTF )2 =|lnn|2 /qTF
.

(1.15)

Tham số này mô tả sự giảm của đám mây chắn electron gần positron. Trong
trường hợp khí electron đồng nhất thì =0, ngược lại trong trường hợp biến thiên
mật độ electron tăng đột ngột thì . Khi , các electron liên kết chặt với
electron lõi và do đó gần như không nhạy với positron. Để nội suy giữa giá trị =0
và , các tác giả B. Barbiellini, M. J. Puska, T. Torsti và R. M. Nieminen đã đưa
ra khái niệm mật độ điện tích tiếp xúc n
ΔnGGA =1+ΔnLDAe-αε

(1.16)

do đó hệ số tăng cường tương đương được tính
γ GGA =1+(γ LDA -1).e

-αε

(1.17)

trong đó GGA chính là hệ số tăng cường được tính từ các công thức (1.8), (1.12),
(1.13), hoặc (1.14).
α trong công thức (1.17) là tham số hiệu chỉnh, được xác định để cho các giá trị
tính toán được và các giá trị thực nghiệm phù hợp nhau cho nhiều loại chất rắn khác
nhau. Các tác giả B. Barbiellini, M. J. Puska, T. Torsti và R. M. Nieminen đã nhận
ra rằng với giá trị α=0,22, thì các giá trị thời gian sống cho nhiều kim loại và chất
bán dẫn khác nhau là phù hợp tốt với thực nghiệm. Sự phụ thuộc của thời gian sống

positron vào α hầu như tuyến tính giữa giá trị α=0 (trong LDA) và α=0,22.
1.2.3. Thời gian sống của positron
Theo phương trình (1.2), tốc độ hủy positron chính là sự chồng chập của mật độ
electron và positron tại một vị trí r. Theo Henryk Stachowiak và Jerzy Lach [9], tốc
độ hủy liên hệ với hệ số tăng cường bởi công thức
λ(rs )=(12/rs3 )g(rs ,0)(ns)-1

(1.18)


13

trong đó g(rs,0) được tính từ (1.17).
Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn được tính như sau
1
τ= .
λ

(1.19)

Trong mạng tinh thể hoàn hảo, sau khi đạt năng lượng nhiệt, positron bắt đầu quá
trình khuếch tán và hủy với electron trong tinh thể ở trạng thái không định xứ bao
gồm hủy với electron hóa trị và lõi. Tuy nhiên, tốc độ hủy với electron lõi quá nhỏ
và không quan trọng trong nghiên cứu các chất bán dẫn, vì vậy đóng góp electron
hóa trị là quan trọng nhất trong tốc độ hủy toàn phần [17].
Vì vậy, (1.19) được viết lại như sau
τb =

trong đó v được tính từ (1.18).

1
λv

(1.20)


14

CHƢƠNG 2
NĂNG LƢỢNG TƢƠNG QUAN ELECTRON – POSITRON

2.1. Giới thiệu
Nền tảng cho các tính toán cấu trúc electron hiện đại trong chất rắn là lý thuyết
hàm mật độ dựa vào các công trình của Hohenberg - Kohn (1964) và Kohn – Sham
(1965). Trong suốt những thập kỷ cuối của thế kỷ XX, các phương pháp tính toán
cấu trúc electron đầu tiên đã phát triển nhanh chóng. Ngày nay hầu hết các tính chất
cơ bản quan trọng trong chất rắn, như tính kết hợp hay cố kết (cohesive) và cấu trúc
của chất rắn có thể được tính toán mà không điều chỉnh từ các kết quả thực nghiệm.
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách xác định mức năng lượng của
positron từ đó đưa ra thông tin về cấu trúc electron trong chất rắn. Việc xác định
trạng thái positron trong chất rắn có thể thực hiện dựa vào lý thuyết hàm mật độ hai
thành phần [19].
2.2. Năng lƣợng tƣơng quan
Positron khi đi vào môi trường vật chất sẽ bị nhiệt hóa và hủy với electron của
môi trường. Giả thiết positron liên kết với electron của nguyên tử môi trường tạo
thành trạng thái giả bền trước khi hủy. Khi đó theo Boronski và Nieminen [7], năng
lượng toàn phần của hệ gồm các electron và positron trong thế tương tác ngoài Vext
có thể được tính theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần như sau
E  n + (r),n - (r)  =F  n + (r)  +F  n - (r)  +  dr Vext [n - (r)-n + (r)]
n (r)n + (r) e-p

- dr  dr +E c [n + (r),n - (r)]
r-r ,

(2.1)

,

trong đó F[n] là hàm mật độ một thành phần cho electron hoặc positron
F n  =T  n  +

n  r  n  r 
1
dr  dr
+E xc n 

2
r-r

(2.2)


15

với T[n] là động năng của hệ electron hoặc positron tự do, Exc[n] là năng lượng
tương quan – trao đổi của electron – electron, positron – positron hoặc electronpositron, Vext là thế do những hạt nhân nguyên tử và những đám mây điện tích
electron gây ra, và Ee-p
là hàm năng lượng tương quan electron –
c [n + (r),n - (r)]
positron.
Mật độ electron và positron ở trạng thái cơ bản của hệ ứng với năng lượng cực

tiểu E[n-,n+] có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp Kohn – Sham, trong
đó ta phải giải phương trình Schrodinger một hạt cho electron và positron
 E xc n  r 
E ecp n  r , n  r 
1 2
   i r   
 r  
  i r    i  i
2
n  r 
 n  r 


(2.3)

 E xc n  r 
E ecp n  r , n  r  
1 2 
 
   i r   
 r  
  i r    i  i
2
n  r 
 n  r 


(2.4)

trong đó

r    dr 

n  r   n  r   n 0 r 
r  r

(2.5)

là thế Coulomb tổng và n0(r) là mật độ điện tích dương tạo ra do thế ngoài Vext.
Mật độ electron và positron được tính toán từ tất cả các trạng thái khả dĩ (F là
năng lượng Fermi của electron và N+ là số positron)
n  r  

  i r 

i  f

2

N

, n  r     i r 

2

(2.6)

i

Ψi (r),Ψi+ (r) là hàm sóng trạng thái cơ bản của từng trạng thái riêng electron và

positron. Các phương trình (2.3) – (2.6) phải được giải tự hợp và đồng thời cho
trạng thái electron và positron, sử dụng phương pháp lặp. Các phương trình trên (từ
(2.3) – (2.6)) được giải chính xác nếu biết được hàm năng lượng tương quan – trao
đổi và hàm năng lượng tương quan electron – positron. Không may thay, người ta
không thể biết được chính xác hai hàm này. Cách phổ biến nhất để tính toán cấu


16

trúc electron cho các hiệu ứng tương quan – trao đổi là phương pháp xấp xỉ mật độ
cục bộ. Theo LDA, năng lượng tương quan – trao đổi được tính như sau
E xc  n  =  n  r  ε xc  n  r   dr

(2.7)

trong đó xc(n) là năng lượng tương quan – trao đổi cho một hạt trong khí electron
đồng nhất một thành phần. Trong phương trình (2.3) và (2.4), hàm vi phân của
Exc[n] trở thành hàm của mật độ. Hàm này được gọi là thế tương quan – trao đổi
μ xc (n(r))=

δE xc [n(r)]  [n(r)ε xc (n(r))] 
ε (n(r)) 
=
=  ε xc (n(r))+n(r) xc
.
δn(r)
n(r)
n(r) 


(2.8)

Việc xác định chính xác ε xc  n  r   là điều khó khăn, ngay cả trong trường hợp
đơn giản. Tuy nhiên, dạng gần đúng của nó đã biết từ lâu [14]. Kết quả bằng số từ
phương pháp mô phỏng Monte – Carlo của Ceperley và Alder [8] đã được tham số
hóa bởi Perdew và Zunger cho ra dạng giải thích đơn giản của ε xc  n  r   như sau
[14]
ε xc (n)= -

0,4582
0.4123
rs
1+1,0529 rs +0,3334rs

(Ry), rs  1

0,4582
=-0,0480+0,0311 lnrs -0,0116rs +0,0020rs lnrs (Ry), rs  1.
rs

(2.9)

Chỉ trong giới hạn n+  0 và n + = n - , hàm năng lượng tương quan toàn phần được
diễn tả trong LDA qua biểu thức
E e-p
  dr n +  r  ε e-p
c  n - ,n +  
c  n +  0,n -  r  ,
n 0

(2.10)

+

trong đó εce-p (n+  0, n- )=εAP (n- ) là kết quả đã biết từ lý thuyết của Arponen và
Pajanne
e-p
Ee-p
c  n - ,n + n = n =  dr n  r  ε c  n +  r  ,n -  r  
+

trong đó ε e-p
c  n +  r  ,n -  r   n = n

+=

n-

n = n + = n-

(2.11)

=ε L (n) là năng lượng tương quan của cặp electron –

positron từ gần đúng của Lantto. Trên cơ sở này, chúng ta xây dựng bề mặt của
năng lượng trên đơn vị thể tích Ee-p
V  n- ,n +  trên mặt phẳng (n+,n-).

17

Thế tương tác được định nghĩa là hàm vi phân của năng lượng tương quan
μ +  n + ,n -  =
μ -  n + ,n -  =

δE e-p
V  n - ,n + 
δn +

δE e-p
V  n - ,n + 
δn -

,

(2.12)
,

trở thành đạo hàm riêng của Ee-p
theo hướng n+, nV (n - ,n + )
μ + (n - ,n + ) =

E e-p
V (n - ,n + )
,
n +

E e-p (n ,n )
μ - (n - ,n + ) =  V - + .

n -

(2.13)

Khi n + (r)  0 , thì Ee-p
, độ dốc của mặt phẳng (song song với
V  n- (r)εAP (n- (r))
trục n+) gần trục n- bằng ε AP (n - (r)) . Khi n + (r) = n - (r) , Ee-p
. Giả sử đạo hàm
V = nε L (n)
liên tục theo mọi hướng, ta có
μ - (n + ,n - )n + = n- = n = μ + (n + ,n - ) n + = n- = n =

1 
[nε L (n)] = μ 0(n).
2 n

(2.14)

Từ đó viết lại Ee-p
V  n- ,n +  dưới dạng giải tích sau
2


E e-p
V  n - ,n +  = n <  a  n >  +b  n >  n < +c  n >  n < 

(2.15)

trong đó n< (n>) là mật độ n+ và n- nhỏ hơn (lớn hơn). Các hệ số a(n), b(n), c(n) chưa

biết có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình
E e-p
V  n - ,n + 
n +

= μ0  n  ,
n = n- = n +

E e-p
V  n - ,n + 
n +
E e-p
V  n - ,n + 

= ε AP  n -  ,
n + 0

n = n- = n +

= nε L  n  = nε VBS  n  ,

(2.16)


18

với kết quả
a  n  =ε AP  n  ,
1
b  n  = 3ε L  n  - 2ε AP  n  - μ 0  n   ,

n
1
1
c  n  = 2 μ 0  n  + ε AP  n  - 2ε L  n   = 2 μ 0  n  + ε AP  n  - 2ε c  n   .
n
n

(2.17)

Năng lượng tương quan – trao đổi xc(n) trong một khí electron đồng nhất đã
được biết đến từ mô phỏng Monte Carlo bởi Ceperley và Alder (1980). Năng lượng
tương quan electron – positron được xác định tốt nhất trong trường hợp mật độ
positron n+ 0 trong một khí electron đồng nhất (các công trình của Apronen và
Pajanne, 1979a, 1979b, 1985). Đối với mật độ positron hữu hạn, các kết quả tồn tại
cho tỷ số giữa mật độ electron và positron được tính toán bởi Lantto (1987). Sử
dụng dữ liệu này, Boronski và Nieminen (1986) đã nghiên cứu dạng của thế và năng
lượng tương quan electron – positron như hàm của mật độ electron và positron. Với
yêu cầu năng lượng tương quan electron – positron đối xứng với mật độ electron và
positron, đưa đến kết luận công thức nội suy dẫn đến hàm năng lượng
được xác định trên một đơn vị thể tích. Hàm này có thể được sử
Ee-p
c [n + (r),n - (r)]
dụng trong LDA trong các tính toán thực tế. Biểu thức tính năng lượng tương quan
electron – positron ε e-p
c (tính theo Ry, 1Ry=13,606 eV) dưới dạng tham số mật độ r s
trong hai trường hợp.
Trường hợp một positron trong khí electron đồng nhất n+  0
 rs  0,302
εe-p
c  rs   

1,56
  0,051ln rs  0,081 ln rs  1,14
rs

(2.18)

 0,302  rs  0,56
ε e-p
c  rs    0,92305 

 0,56 < rs  8,0

0,05459
rs2

(2.19)


19

13,15111 2,8655
+
- 0,6298
2
 rs +2,5 rs +2,5

(2.20)

10250,579 44,504663

+
- 0,524.
rs6
rs3

(2.21)

εe-p
c  rs  = -

 rs > 8,0
ε e-p
c  rs  = -

Trường hợp mật độ electron và mật độ positron bằng nhau n + = n  0  rs  0,8
εe-p
c  rs  = - 0,23831 + 0,07895 ln rs

(2.22)

 0,8 < rs  6
εe-p
c  rs  = -

28,3225

 rs +5,0

2

-

6,4466
- 0,52548
 rs +5,0

(2.23)

 6 < rs  15,85
ε e-p
c  rs  =-0,307265-0,148162tanh 
0,39145  rs -9,8  

(2.24)

εe-p
c  rs  =-0,50725-εCA (rs )

(2.25)

 rs  15,85

ε CA (rs ) được nội suy bởi Vosko [24] như sau:

 x2
2b
Q
ε c (rs )=A ln
+ tan -1
2x+b

 X(x) Q
bx 0  (x-x 0 )2 2(b+2x 0 ) -1 Q  
+
tan
ln

X(x 0 ) 
X(x)
Q
2x+b  

(2.26)

1

x=rs2 ,
X(x)=x 2 +bx+c,

trong đó:

Q= (4c-b 2 ),
P

F

A =2A =0,0621814,
x 0P =-0,409286 ; b P =13,0720; c P =42,7198,
x 0F =-0,743294; b F =20,1231; c F =101,578,

(2.27)

20

với P là trạng thái thuận từ - spin không phân cực, F là trạng thái sắc từ - spin phân
cực.
Từ kết quả (2.26), phương trình (2.25) được viết lại như sau

rs
1,1717
ε cF (rs )=0,031091 ln
+34,3486  tan -1 1/2
1/2
2rs +20,1231
 rs +20,1231rs  101,578

 
(rs1/2 +0,743294) 2
1,1717
-1
+0,1716 ln
+31,811

tan
 .
1/2
2rs1/2 +20,1231  
 rs +20,1231rs  101,578

(2.28)

Năng lượng tương quan electron – positron thu được từ tích phân năng lượng
Coulomb giữa positron và đám mây chắn của nó khỏi hằng số ghép trong tương tác.
Chỉ có trung bình hình cầu của đám mây chắn là cần thiết cho tính toán này. Mô
hình hóa bởi xấp xỉ positronium tỷ lệ, bổ sung bởi sự biến đổi GGA cho mật độ liên
hệ với sự chuẩn hóa thích hợp, chúng ta có thể liên hệ năng lượng tương quan đến
tốc độ hủy bởi tỷ lệ sau [5]
Ecorr  (λ-λIPM )1/3

(2.29)

trong đó  là tốc độ hủy có hệ số tăng cường và IPM là tốc độ hủy không có hệ số
tăng cường. Các tính toán về năng lượng tương quan bởi Arponen và Pajanme tuân
theo một sự phụ thuộc tương tự với một số hạng không đổi nhỏ. Thực tế, có thể sử
dụng các tính toán trong GGA cho năng lượng tương quan Ecorr
GGA - thu được từ kết
quả khí electron ( Ecorr
LDA ) thông qua biểu thức
1/3

E

corr
GGA

(r)=E

corr
LDA

 λ -λ 
-αε/3
(n - (r))  GGA IPM  =E corr
LDA (n - (r))e
 λ LDA -λ IPM 

(2.30)

trong đó LDA và GGA là tốc độ hủy trong khí electron đồng nhất và trong GGA.
Ecorr
LDA được tính từ các công thức (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) cho trường hợp một

positron trong khí electron đồng nhất ( n+  0 ) và (2.22), (2.23), (2.24), (2.25) cho
trường hợp mật độ positron bằng mật độ electron ( n  =n- ), công thức (2.25) sử dụng
ε CA (rs ) tính theo công thức (2.28).