ĐỀ THI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ SỐ 19
5 + 7 5 11 + 11
5
+
, B= 5:
5
1 + 11
5 + 55

Câu 1: Cho các biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.

3x + my = 5

mx - y = 1

Câu 2: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ khi m = 2
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
Câu 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau
2m. Tính các cạnh góc vuông.
Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C
thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến
Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt
CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
·
PCQ

b) Chứng minh góc

= 900.
c) Chứng minh AB // EF.

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

x 4 + 2x 2 + 2
x2 + 1

ĐÁP ÁN
5 ( 5 + 7)

Câu 1: a) A =
5.

b) B =

5

+

11( 11 + 1)
1 + 11

5 ( 5 + 11)
= 5 + 11
5

.

5 + 7 + 11 − 5 − 11

Vậy A - B =
Câu 2: a) Với m = 2 ta có hệ

= 5 + 7 + 11.

= 7, đpcm.

.


3x + 2y = 5
 y = 2x - 1
 y = 2x - 1
x = 1
⇔ 
⇔ 
⇔ 

 2x - y = 1
3x + 2(2x - 1) = 5
7x = 7
y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1).
3
m
≠
⇔
m

−1

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi:
m2 ≠ - 3 với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
x
Câu 3: Gọi cạnh góc vuông nhỏ là x.
Cạnh góc vuông lớn là x + 2
p
Điều kiện: 0 < x < 10, x tính bằng m.
Theo định lý Pitago ta có phương trình: x2 + (x + 2)2 = 102.
Giải phương trình ta được x1 = 6 (t/m), x2 = - 8 (loại).
Vậy cạnh góc vuông nhỏ là 6m; cạnh góc vuông lớn là 8m.

y

m

·
·
·
PAC
= 900 PAC
+ PMC
= 1800

q

Câu 4: a) Ta có
nên tứ giác APMC nội tiếp

a

b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên

·
·
MPC
= MAC

b

(1)

·
·
MQC
= MBC
(2)

Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp suy ra
Lại có

·
·
MAC
+ MBC
= 900

(3). Từ (1), (2), (3) ta có :

·
·
·
MPC
+ MBC
= 900 ⇒ PCQ
= 900

.
·
·
BMQ
= BCQ

c) Ta có
·
·
EMC
= EFC

·
·
BMQ
= AMC

(Tứ giác BCMQ nội tiếp)

(Cùng phụ với BMC)

·
·
BCQ
= EFC

(Tứ giác CEMF nội tiếp). Nên
1
x +1

2

2

2

Câu 5: P = x + 1 +
Vậy min P = 2.

≥

(x

2

hay AB // EF.

) x 1+ 1

+1

2

,P=2

⇔

1
x +1
2

x2 + 1 =

⇔ x = 0.