CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.47 MB, 56 trang )
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
MỤC LỤC
A.Mục tiêu dạy học…………………………………………………………………….................……...2
B.Nội dung bài học………………………………………………………………………….................…2
I)
1.
2.
Phương trình bậc hai………………………………………………………………...........……….2
Giải và biện luận phương trình bậc hai……………………………….............................………...2
Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ……………………………………............................………...8
II)
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét...........……..............……………………………...10
1.
Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng..................................................................................................10
1.1.
Tính giá trị của biểu thức nghiệm..................................................................................................10
1.2.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào
tham số.......................................................................................................................................................13
1.3.
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho...........................15
1.4.
Xác định dấu các nhiệm của phương trình bậc hai........................................................................20
1.5.
Tìm gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm..........................................................22
2.
Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng.....................................................................................................25
2.1.
Lập phương trình bậc hai...............................................................................................................25
2.2.
Tìm hai số biết tổng và tích...........................................................................................................28
III)
1.
2.
3.
4.
Ứng dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình khác……………………..........……..30
Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc ba……............................…..30
Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc bốn……................................37
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai………...............................42
Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc hai…………………............................…49
C. Hình thức, kế hoạch dạy học..............................................................................................................51
D. Kiểm tra, đánh giá……………………………………………………………................…………..52
1
A.
MỤC TIÊU DẠY HỌC
•
Căn cứ:
Chuẩn KT-KN
Yêu cầu của nhà trường
Khả năng, mong muốn của HS…
•
Mục tiêu dạy học:
➢
Về kiến thức:
HS hiểu, biết cách giải và biện luận phương trình bậc 2.
HS hiểu, nhận dạng được, biết giải các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có
ẩn ở mẫu số, phương trình trùng phương, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối……..
HS hiểu, biết vận dụng định lý Vi-ét thuận và đảo vào giải bài tập.
➢
Về kĩ năng:
HS giải và biện luận thành thạo phương trình bậc 2.
HS giải được các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương
trình chứa ăn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích…….
HS vận dụng thành thạo hệ thức Vi-ét thuận và đảo để giải bài tập.
B.
NỘI DUNG BÀI HỌC
I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Nhắc lại kiến thức cũ.
a.
b.
c.
Khái niệm phương trình bậc 2: có dạng tổng quát là : ax 2 bx c 0 (𝑎 ≠ 0)
Khái niệm Delta: ∆= b2 − 4ac ( hoặc nếu b 2b , ta có thể tính ' (b)2 ac )
Hệ số a,b,c.
1. Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0 1
1.1. Phương pháp chung.
▪
Trường hợp 1: a = 0.
Phương trình trở về phương trình bậc nhất bx c 0 bx c. 2
a.
Nếu b = 0.
Phương trình (2) tương đương 0 c c 0 .
Nếu c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
Nếu c ≠ 0, phương trình vơ nghiệm.
2
Nếu b ≠ 0.
b.
Phương trình 2 x
▪
c
Phương trình có nghiệm duy nhất .
b
Trương hợp 2: a ≠ 0.
Ta tính biệt thức ∆= b2 − 4ac ( hoặc nếu b = 2b′ , ta có thể tính ∆′ = (b′)2 − ac)
Nếu ∆< 0 (hoặc ∆′ < 0).
a.
Phương trình (1) vơ nghiệm.
Nếu ∆= 0 (hoặc ∆′ = 0 ).
b.
Phương trình (1) có nghiệm kép x 0 x1 x 2
b'
b
(hoặc x 0 ).
a
2a
Nếu ∆> 0 (hoặc ∆′ > 0).
c.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2
b
2a
(hoặc x1,2
b'
a
'
).
Kết luận:
-
Với a = b = c, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Với a = b = 0 và c ≠ 0, phương trình vơ nghiệm.
-
Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x
-
Với a ≠ 0 và
c
.
b
*∆< 0, 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚.
*∆= 0 (hoặc ∆′ = 0 ), phương trình có nghiệm kép x 0
b
b'
(hoặc x 0 ).
2a
a
*∆> 0 (hoặc ∆′ > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2
b
2a
(hoặc x1,2
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m là tham số): mx 2 2 m 2 x m 3 0 .
Giải.
3
(1)
b'
a
'
).
Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng: 4x 3 0 x
3
4
Trường hợp 2. m ≠ 0, ta đi tính biệt thức ∆′ = 4 − m.
Nếu
'
0 4 m 0 m 4 . 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1)vơ nghiệm.
Nếu ' 0 m 4 . Phương trình (1)có nghiệm kép x 0
1
2
Nếu ' 0 m 4 . 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2
m2 4m
m
Kết luận.
3
4
-
m = 0. Phương trình có nghiệm duy nhất: x
-
m = 4. Phương trình có nghiệm kép x 0
-
m > 4. 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚.
-
0 ≠ m < 4. 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó ℎ𝑎𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎâ𝑛 𝑏𝑖ệ𝑡: x1,2
1
2
m2 4m
m
1.2.Bài tập vận dụng.
Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m.
a)
mx 2 2 m 3 x m 1 0
b)
4m 1 x 2 4mx m 3 0
c)
2mx 2 2 m 2 1 x m 0
d)
x
2
.
m 1 x 1
Giải.
Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng: 6x 1 0 x
a.
Trường hợp 2. m ≠ 0, ta đi tính biệt thức ∆′ = 5m + 9.
Nếu
'
0 5m 9 0 m
9
. Phương trình (1)vơ nghiệm.
5
4
1
6
Nếu
'
0 m
2
9
. Phương trình (1)có nghiệm kép x 0
3
5
Nếu
'
0 m
m 3 5m 9
9
. Phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2
5
m
Kết luận.
1
6
-
m = 0. Phương trình có nghiệm duy nhất: x
-
m = 4. Phương trình có nghiệm kép : x 0
-
m > 4. 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚.
-
0 ≠ m < 4. 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó ℎ𝑎𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎâ𝑛 𝑏𝑖ệ𝑡: x1,2
2
3
m 3 5m 9
m
b), c), d) làm tương tự theo phương pháp chung.
e) Ta cần xét mẫu khác 0 sau đó làm tương tự.
Bài 2. Tìm m để phương trình mx 2 + 2(m − 1)x − 2 = 0 có nghiệm duy nhất.
Giải.
Xét hai trường hợp của m.
Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng : − 2x − 2 = 0 〈=〉 x = −1.
Trường hợp 2. m ≠ 0. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
〈=〉∆′ = 0 〈=〉(m − 1)2 + 2m = 0 〈=〉m2 + 1 = 0 (vô nghiệm).
Vậy với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3. Cho phương trình bậc hai : x 2 − 2(m − 1)x + m2 − 4m + 7 = 0
a)
b)
Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Giải.
a)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆′ > 0
〈=〉(m − 1)2 − (m2 − 4m + 7) > 0 〈=〉 2m − 6 > 0 〈=〉 m > 3.
Vậy với m > 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
5
b)
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆′ = 0 〈=〉 2m − 6 = 0 〈=〉 m = 3.
Khi đó nghiệm kép là : x =
2(3−1)
2
= 2.
Bài 4. Với giá trị nào của m thì phương trình(m − 3)x 2 − 2(3m − 4)x + 7m − 6 =
0có hai nghiệm bằng nhau.
Giải.
Phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau khi và chỉ khi
m≠3
m≠3
m − 3 ≠ 0〈=〉
〈=〉 { 2
{
{
(3m − 4)2 − (m − 3)(7m − 6) = 0
2m + 3m − 2 = 0
∆′ = 0
m≠3
m = −2
1 .
1
〈=〉 {
〈=〉 [
m=
m = −2 hoặc m =
2
2
1
Vậy với m = −2 hoặc m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau.
Bài 5. Cho phương trình : 𝑥 2 − (2𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚2 − 2𝑚 = 0
Tìm các giá trị của m để :
a, Phương trinh có nghiệm.
b, Phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Giải.
a, Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
∆≥ 0 〈=〉(2𝑚 − 1)2 − 4(𝑚2 − 2𝑚) ≥ 0 〈=〉 4𝑚 + 1 ≥ 0 〈=〉 𝑚 ≥
−1
.
4
b, Phương trình có nghiệm kép kh và chỉ khi
∆= 0 〈=〉(2𝑚 − 1)2 − 4(𝑚2 − 2𝑚) = 0 〈=〉 4𝑚 + 1 = 0 〈=〉 𝑚 =
𝑏
−1
.
4
3
Và nghiệm kép là 𝑥 = − 2𝑎 = 4.
Bài 6. Cho phương trình 2𝑥 2 − (2𝑚 − 7)𝑥 − 2𝑚 + 6 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm trái dấu, đồng thời nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Giải.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
6
−2𝑚+6
2
< 0 〈=〉 − 2𝑚 + 6 < 0 ⟨=⟩ 𝑚 > 3 (1). Khi đó có tổng hai nghiệm là
−𝑏
𝑎
=
2𝑚−7
2
.
Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi và chỉ khi
2𝑚 − 7
7
< 0 〈=〉 2𝑚 − 7 < 0 〈=〉 𝑚 < (2)
2
2
7
Kết hợp (1) và (2) ta được 3 < 𝑚 < 2.
Bài 7. Tìm các điểm cố định mà parabol (P) : 𝑦 = 𝑚𝑥 2 + 𝑥 + 𝑚 luôn đi qua khi m thay đổi (m≠ 0)
Giải.
Hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥 2 + 𝑥 − 𝑚 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑣𝑖ế𝑡 𝑑ướ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 (𝑥 2 − 1)𝑚 + 𝑥 − 𝑦 = 0 (1).
Xem (1) là phương trình ẩn m. Cần tìm x, y để (1) được nghiệm đúng với mọi 𝑚 ≠ 0, điều này chỉ xảy
𝑥 = ±1
𝑥2 − 1 = 0
〈=〉 {
ra khi {
.
𝑦=𝑥
𝑥−𝑦 =0
Vậy có hai điểm cố định cần tìm là A(1 ; 1) và B(-1 ; -1).
Bài 8. Cho hai phương trình : 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑚 = 0 (1)𝑣à 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑚 = 0(2).
Với giá trị nào của m thì phương trình (2) có một nghiệm khác 0 lớn gấp hai lần một nghiệm của
phương trình (1).
Giải.
Giả sử 𝑥0 ≠ 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 (1)𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 đề 𝑏à𝑖, 𝑘ℎ𝑖 đó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 (2)𝑠ẽ 𝑙à 2𝑥0 .
Thay vào hai phương trình ta có:
𝑥02 − 𝑥0 + 𝑚 = 0 (3)𝑣à 4𝑥02 − 6𝑥0 + 𝑚 = 0(4).
5
Trừ từng vế của (4) và (3) được: 3𝑥02 − 5𝑥0 = 0 〈=〉𝑥0 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖), 𝑥0 = 3.
5
Thay 𝑥0 = 3 𝑣à𝑜 (3)𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑚 =
Đảo lại: Nếu 𝑚 =
−10
9
.
−10
10
9
9
, hai phương trình đã cho có dạng 𝑥 2 − 𝑥 −
Phương trình (5) có hai nghiệm 𝑥1 =
Rõ ràng 𝑥3 = 2𝑥2 . Vậy 𝑚 = −
10
9
−2
3
5
, 𝑥2 = 3. Phương trình (6) có hai nghiệm 𝑥3 =
là giá trị cần tìm.
Bài 9. Cho parabol (P) : y = x 2 − 3x + 2 và đường thẳng d : y = −x + m.
7
10
= 0 (5), 𝑥 2 − 3𝑥 −
9
= 0 (6)
10
−1
3
3
, 𝑥4 =
.
a, Hãy biện luận số giao điểm của d và (P).
b, Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B, hãy tìm giá trị của m để
A và B ở về hai phía của trục Oy.
Giải.
a, Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phương trình :
x 2 − 3x + 2 = −x + m 〈=〉x 2 − 2x + 2 − m = 0
(1)
Vậy số giao điểm của d và (P) bằng số nghiệm của (1). Ta có ∆′ = m − 1.
Nếu ∆′ < 0 〈=〉 m < 1 𝑡ℎì 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1) vơ nghiệm nên d không cắt (P).
Nếu ∆′ = 0 〈=〉 m = 1 thì (1)có một nghiệm kép nên d chỉ cắt (P)tại một điểm.
Nếu ∆′ > 0〈=〉m > 1 𝑡ℎì (1)có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (P)tại hai điểm phân biệt A, B
b, Vì hồnh độ giao điểm A, B của d và (P) là nghiệm của phương trình (1) nên A và B ở về hai phía của
Oy khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Muốn vậy thì 2 − m < 0 ⟨=⟩ m > 2.
2. Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ
2.1. Phương pháp chung
Với a,b,c là các số nguyên, xét phương trình ax 2 + bx + c = 0
Ta đi xét các bài tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ. Khi đó ta sử
dụng kết quả của hai định lý sau:
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm hữu tỷ là biệt số ∆ là một số chính phương
p
Định lý 2: Nếu x0 = với (p, q) = 1 là nghiệm hữu tỷ của phương trình thì q là ước của a và p là ước
q
của c.
Ví dụ: Tìm các số nguyên a để phương trình 𝑥 2 − (3 + 2𝑎)𝑥 + 40 − 𝑎 = 0 có nghiệm ngun.
Giải.
Phương trình có nghiệm ngun khi ∆= 4𝑎2 + 16𝑎 − 151 là số chính phương
〈=〉 4𝑎2 + 16𝑎 − 151 = 𝑘 2 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍 〈=〉(2𝑎 + 4)2 − 𝑘 2 = 167 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍.
8
〈=〉(2𝑎 + 4 + 𝑘)(2𝑎 + 4 − 𝑘) = 167 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍.
Vì 167 là số nguyên tố nên:
2a + 4 + k = 1 〈=〉
x=0
{
4a + 8 = 168 〈=〉a = 40 =⟩ [
.
x = 83
2a + 4 − k = 167
[
2a + 4 + k = −1 〈=〉
x = −1
{
4a + 8 = −168 〈=〉 a = −44=⟩ [
.
2a + 4 − k = −167
x = −84
Vậy tồn tại hai giá trị a=40 và a=−44 để phương trình có nghiệm ngun.
2.2. Bài tập ứng dụng
Bài 1. Chứng minh rằng nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0, với a,b là các số nguyên, có các nghiệm
hữu tỷ, thì các nghiệm đó là các số nguyên
Giải: Nghiệm của phương trình đã cho là: x1,2 =
−a±√a2 −4b
2
. Do các nghiệm là hữu tỷ nên a2 − 4b phải
là số chính phương suy ra a2 − 4b = k 2 , k ∈ Z. Xét hai khả năng xảy ra đói với a
Giả sử a là số lẻ suy ra k là số lẻ
Giả sử a chẵn suy ra k chẵn
Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ
Suy ra −a ± √a2 − 4b là một số chẵn, tức x1,2 là những số nguyên.
Bài 2. CMR nếu phương trình 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛, 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 ℎữ𝑢 𝑡ỷ, 𝑡ℎì 𝑐á𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 đó 𝑙à 𝑛ℎữ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛.
Giải.
Nghiệm của phương trình đã cho là: 𝑥1,2 =
−𝑎±√𝑎2 −4𝑏
2
.
Do các nghiệm là hữu tỷ nên 𝑎2 − 4𝑏 𝑝ℎả𝑖 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎí𝑛ℎ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 〈=〉𝑎2 − 4𝑏 = 𝑘 2 , 𝑘 ∈ 𝑍.
(1)
Xét hai khả năng xảy ra đối với a
Giả sử a là số lẻ, khi đó từ (1) suy ra k lẻ.
Giả sử a là số chẵn, khi đó từ (1) suy ra k chẵn.
Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra −𝑎 ± √𝑎2 − 4𝑏 là một số chẵn, tức 𝑥1,2 là những số nguyên.
9
II: HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
1.Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng
Cho phương trình: ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1 ; x2
b
S x1 x2 a
Theo định lý vi-ét thuận ta có:
Pxx c
1 2
a
1.1.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức nghiệm
Đối với bài toán này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có
chứa tổng S và tích P để áp dụng hệ thức vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức
1.1.1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1 x2 và x1 x2
Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng S và tích P
a)
b)
c)
x12 x22 x12 2 x1 x2 x2 2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2
2
2
x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1x2
1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
Bài tập: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1 x2 và x1 x2
a)
x12 x2 2
b)
x13 x23
c)
1
1
x1 1 x2 1
d)
x1 x2
Hướng dẫn:
a)
x12 x22 x1 x2 x1 x2
b)
2
x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2
10
c)
x 1 x2 1
x1 x2 2
1
1
1
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1
d)
x1 x2
x1 x2
2
x1 x2
2
4 x1 x2
1.1.2:Không giải phương trình, tính giá trị cảu biểu thức nghiệm
Ví dụ: Cho phương trình: x 2 8 x 15 0 khơng giải phương trình hãy tính
a)
x12 x2 2
b)
1 1
x1 x2
c)
x1 x2
x2 x1
d)
x1 x2
2
Lời giải:
x x 8
Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có: 1 2
(1)
x
x
15
1 2
a) Ta có: x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
2
(2)
Thay (1) vào (2) ta được: x12 x2 2 82 2 15 64 30 34
b)Ta có:
1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
Thay (1) vào (3) ta được:
(3)
1 1
8
x1 x2 15
x1 x2 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
c)Ta có:
x2 x1
x1 x2
x1 x2
2
(4)
x1 x2 82 2 15 34
Thay (1) vào (4) ta được:
x2 x1
15
15
d)Thay (1) vào biểu thức x1 x2 ta được: x1 x2 82 64
2
2
Bài tập:
11
Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2 3x 1 0 khơng giải phương trình hãy tính
a.
1 x1 1 x2
x1
x2
b.
x1
x
2
x2 1 x1 1
c.
x14 x2 4
Bài 2: Cho phương trình: x 2 4 3 8 0 không giải phương trình hãy tính
Q
6 x12 10 x1 x2 6 x2 2
5 x1 x23 5 x13 x2
Hướng dẫn:
Bài 1:
3
x1 x2 2
Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có:
xx 1
1 2 2
a. Ta có:
1 x1 1 x2 x1 x2 2 x1 x2
1
x1
x2
x1 x2
x1
x
x 2 x2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 11
2 1
b. Ta có:
x2 1 x1 1
x1 x2 x1 x2 1
12
x1 1 x2 1
2
c.
2
2
17
2
x14 x2 4 x12 x2 2 2 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x12 x2 2
16
Bài 2:
x x 4 3
Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có: 1 2
x1 x2 8
Ta có:
2
2
2
6 x12 10 x1 x2 6 x2 2 6 x1 x2 10 x1 x2 6 x1 x2 2 x1 x2 10 x1 x2 17
.
Q
2
5 x1 x23 5 x13 x2
80
5 x1 x2 x12 x2 2
5 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2
12
1.2.Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này khơng phụ
thuộc vào tham số
Cách làm
B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2
a 0
0
B2: Áp dụng hệ thực Vi-et viết S x1 x2 và P x1 x2 theo tham số
B3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm x1 và x2
Ví dụ: Cho phương trình : m 1 x2 2mx m 4 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ liên hệ giữa x1 ; x2
sao cho chúng phụ thuộc vào m
Lời giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
m 1
m 1
m 1 0
m 1
2
4
m
m
1
m
4
0
0
5
m
4
0
m 5
Theo hệ thức Vi-et ta có:
2m
2
x1 x2 m 1
x1 x2 2 m 1 1
m
4
xx
x x 1 3 2
1 2
1 2
m 1
m 1
Từ (1) ta có:
2
2
x1 x2 2 m 1
3
m 1
x1 x2 2
Từ (2) ta có:
3
3
1 x1 x2 m 1
4
m 1
1 x1 x2
Đồng nhất (3) và (4) ta có:
13
2
3
2 1 x1 x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2 x1 x2 8 0
x1 x2 2 1 x1 x2
Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình: x2 m 2 x 2m 1 0 có hai nghiệm x1 và x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập với m
Bài 2: Cho phương trình: 2 x2 2m 1 x m 1 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 khơng
phụ thuộc vào m
Bài 3: Cho phương trình: m 1 x2 2mx m 1 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không
phụ thuộc vào m
Hướng dẫn:
Bài 1:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
a 1 0
(ln đúng)
2
2
2
m
2
4
2
m
1
m
4
m
8
m
2
4
0
phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có:
m x1 x1 2 1
x1 x2 m 2
x1 x2 1
2
x1 x2 2m 1
m
2
Thay (1) vào (2) ta có:
x1 x2 2
x1 x2 1
2 x1 x2 x1 x2 5 0
2
Bài 2:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
a20
20
20
(ln đúng)
2
2
2
4
m
12
m
9
0
2
m
1
8
m
1
0
2
m
3
0
14
phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có:
1 2m
1 2 x1 x2
x1 x2 2
1
m
2
x x m 1
m 2 x x 1 2
1 2
1 2
2
Thay (1) vào (2) ta có:
1 2 x1 x2
2
2 x1 x2 1 2 x1 x2 4 x1 x2 1 0
Bài 3:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
m 1 0
m 1
m 1
2
m
m
1
m
1
0
1
0
Theo hệ thức vi-ét ta có:
x x
2m
m 1 2 1
x
x
1
2
x1 x2 2
m 1
x x m 1
m x1 x2 1 2
1 2
m 1
x1 x2 1
Thay (1) vào (2) ta được:
x1 x2
x x 1
1 2
x1 x2 x1 x2 1 0
x1 x2 2 x1 x2 1
1.3.Dạng 3: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho
Cách làm:
B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 :
a 0
0
15
B2: Từ biểu thức đã cho, áp dụng hệ thức vi-ét để giải phương trình chứa tham số
B3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 6 m 1 x 9 m 3 0
Tìm giá trị tham số của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
m0
m0
m0
(1)
2
m
1
0
m
1
3
m
1
9
m
m
3
0
Theo hệ thức vi-ét ta có:
6 m 1
x1 x2
m
(I)
x x 9 m 3
1 2
m
Theo giả thiết: x1 x2 x1 x2
Thay (I) vào ta được:
6 m 1
m
9 m 3
m
2 m 1 3 m 3 m 7 (thỏa mãn(1))
Vậy với m 7 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn thệ thức: x1 x2 x1 x2
Ví dụ 2: Cho phương trình: mx2 2 m 4 x m 7 0
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2 x2 0
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
m0
m0
m0
16
2
15m 16 0
m 4 m m 7 0
m 15
Theo hệ thức vi-ét ta có:
16
2 m 4 2m 8
1
x1 x2
m
m
m7
x1 x2
2
m
Từ giả thiết: x1 2 x2 0 x1 2x2 3
Thay (3) vào (1) ta được:
2m 8
2m 8
2m 8
3x2
x2
m
m
3m
4m 16
x1
3m
2 x2 x2
Thay x1 và x2 vào (2) ta được:
4m 16 2m 8 m 7
3m
3m
m
8 m 4 9 m 7
2
(do m 0 )
m 1 tm
8m 73m 65 0
m 65 ktm
8
2
Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình: x2 2m 1 x m2 2 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 5 x1 x2 7 0
Bài 2: Cho phương trình: x2 3x m 0 1
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn:
x12 1 x22 1 3 3
Bài 3:Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2m 5 0
a)Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm x1 và x2 với mọi m
b)Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện:
17
x
2
1
2mx1 2m 1 x2 2 2mx2 2m 1 0
Hướng dẫn:
Bài 1:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
1 0
7
a 1 0
7 m 1
4
4m 7 0
m 4
Theo hệ thức vi-ét ta có:
x1 x2 2m 1
I
2
x1 x2 m 2
Theo giả thiết ta có: 3x1 x2 5 x1 x2 7 0
Thay (I) vào biểu thức ta được:
3 m 2 2 5 2m 1 7 0
3m 6 10m 5 7 0
2
m 2 tm
3m 10m 8 0
m 4 ktm
3
2
Vậy với m 2 thỏa mãn yêu cầu bài
Bài 2:
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì:
1 0
a 1 0
9
9 m
4
9 4m 0
m 4
Theo hệ thức vi-ét ta có:
x1 x2 3
(I)
x1 x2 m
18
Từ giả thiết ta có:
x1 1 x2 1 3 3
x
x12 x22 2 2
2
1
1 x12 1 27 x12 x22 2 x12 x22 x12 x22 1 25
Ta có: x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 9 2m
2
9 2m 2 9 2m 1 m 2 25
m 2 2m 10 m 8
m 2 2m 10 m 8
2
18m 54 m 3
Vậy m 3 thỏa mãn đề bài
Bài 3:
a)Ta có: m 2 4m 6 m 2 2 0, m
2
Suy ra ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
b)Theo phần a phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên:
x12 2 m 1 x1 2m 5 0
x12 2mx1 2m 1 4 2 x1
2
2
x2 2 m 1 x2 2m 5 0
x2 2mx2 2m 1 4 2 x1
x x 2m 2
Theo hệ thức vi-et ta có: 1 2
x1 x2 2m 5
Theo giả thiết ta có:
x
2
1
4 2 x1 4 2 x2 0 16 8 x1 x2 4 x1 x2 0
2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0 16 8 2m 2 4 2m 5 0
2
m
Vậy với m
3
2
3
thỏa mãn đề bài.
2
1.4.Dạng 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc 2
19
Cho phương trình: Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng âm, cùng
dương
Cho phương trình bậc 2: 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) . (1)
0
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
P 0
0
Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu
P 0
•
•
•
0
Phương trình (1) có 2 nghiệm dương S 0
P 0
•
0
Phương trình (1) có 2 nghiệm âm S 0
P 0
Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:2𝑥 2 − (3𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚2 − 𝑚 − 6 = 0 có 2 nghiệm
trái dấu
Lời giải:
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì:
3m 12 4.2. m2 m 6 0
m 7 2 0m
0
2 m 3 Bài
m2 m 6
P
m
3
m
2
0
P 0
P
0
2
tập:
Bài 1: Cho phương trình: x2 2 m 2 x 6m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2
Bài 2: Cho phương trình: mx 2 2(m 2) m 3 0. Tìm m để phương trình
a.
b.
Có 2 nghiệm trái dấu
Có một nghiệm dương phân biệt
Bài 3: Cho phương trình: x2 2m 3 x m2 3m 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 1 x1 x2 6
Hướng dẫn:
Bài 1:
20
Đặt x t 2 t 0 . Khi đó phương trình trở thành: t 2 2mt 2m 3 0 * Phương trình đã cho có hai
nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có nghiệm cùng dương:
m 2 2m 3 0
' 0
3
3
S 0
2m 0
m . Vậy với m thì phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn
2
2
P 0
2m 3 0
2
Bài 2:
a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
m0
m 0
m 3
m 3 m 0 0 m 3 .
P 0
m 0
b.Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:
am0
2
m 2 m m 3 0
m0
2 m 2
S
0
3 m 4
m
2 m 2
S
0
m
Bài 3:
Để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
2m 3 4 m2 3m 0 9 0 (ln đúng)
2
Suy ra với mọi m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
2m 3 3
m3
x1
2
x 2m 3 3 m
2
2
Khơng mất tính tổng qt ta giả sử x1 x2
21
1 x1 x2
x 1
m 4
Theo giả thiết:
1
m6
x1 x2 6 x2 6 m 6
1.5.
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Áp dụng tính chất sau về bắt đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta ln phân tích được
C A m min C m A 0 A 0
C m B min C m B 0 B 0
Ví dụ1: Cho phương trình: x2 2m 1 x m 0 . Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình
Tìm m để: A x12 x2 2 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
x x 1 2m
Theo hệ thức vi-ét ta có: 1 2
(I)
x1 x1 m
Ta có: A x12 x2 2 6 x1 x2 x1 x2 8 x1 x2
2
Thay (I) vào biểu thức A ta được:
A 1 2m 8m 4m 2 12m 1 2m 3 8 8
2
2
Vậy min A 8 2m 3 0 hay m
3
2
Ví dụ 2: Cho phương trình: x 2 mx m 1 0 , gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau: B
2 x1 x2 3
x x2 2 2 x1 x2 1
2
1
Lời giải:
x x m
Theo hệ thức vi-ét ta có: 1 2
x1 x2 m 1
Theo giả thiết ta có: B
2 x1 x2 3
2 x1 x2 3
2
x x2 2 x1 x2 1 x1 x2 2 2
2
1
22
Thay hệ thức vi-et vào B ta được:
B
2 m 1 3
m 2
2
2
2
2
m 1
2 m 1 m 2 m 2m 1
2
1 2
m 2
m2 2
m 2
2
m 1 0 m 1
2
0 B 1
2
m
2
m
2
0
2
Vì
Vậy max B 1 m 1
Mặt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m 2m 1 m 2
m 4m 4 m 2 2
m 2
1
2
2
2
2
B
2
2
2
m 2
m 2
2 m 2 2
2
m 2 0 B 1
m 2 0
Vì 2
2
2 m2 2
m 20
2
Vậy min B
1
m 2
2
Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình: x2 4m 1 x 2 m 4 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : A x1 x2 có giá trị nhỏ nhất
2
Bài 2: Cho phương trình: x2 2 m 4 x m2 8 0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
a.
A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
b.
B x12 x2 2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:
Bài 1:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
23
a 1 0
1 0
2
2
16m 33 0, m
4m 1 8 m 4 0
Vậy với mọi m phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
x x 4m 1
Theo hệ thức vi-ét ta có: 1 2
(I)
x1 x2 2m 8
Lại có: A x1 x2 x1 x2 4 x1 x2
2
2
Thay (I) vào A ta được: A 4m 1 4 2m 8 16m 2 33 33
2
Vậy min A 33 m 0
Bài 2:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
m 4 m 2 8 8m 24 0 m 3
2
x x 2m 8
Theo hệ thức vi-ét ta có: 1 2 2
(I)
x1 x2 m 8
a.
Thay (I) vào biểu thức A ta được:
2
1 47 47
A 2m 8 3 m 8 3m 2m 16 3 m
3
3
3
Vậy max A
b.
2
2
47
1
m
3
3
Ta có: B x1 x2 x1 x2
2
Thay (I) vào B ta được:
2
16 24 24
B 2m 8 m 8 5m 32m 56 5 m
5
5
5
2
Vậy min B
2
2
24
16
m
5
5
24
2.
Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng
x x S
Nếu x1 ; x2 thỏa mãn: 1 2
thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 Sx P 0
x1 x2 P
2.1. Dạng 1: Lập phương trình bậc hai
2.1.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
x x2 S
Nếu x1 và x2 thỏa mãn: 1
thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 Sx P 0
x
x
P
1 2
Ví dụ: Lập phương trình bậc 2 biết hai nghiệm của chúng là x1 ; x2 thỏa mãn
a)
x1 8 ; x2 3
b)
x1 3a ; x2 a
Lời giải:
a)
x1 x2 8 3 5
Ta có :
x1 x2 8 3 24
Vậy phương trình cần tìm là: x 2 5 x 24 0
b)
x x 3a a 4a
Ta có: 1 1
x1 x2 3a 2
Vậy phương trình cần tìm là: x 2 4ax 3a 2 0
2.1.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước
Ví dụ: Cho phương trình x 2 3x 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Lập phương trình bậc hai có ẩn
là 𝑦 thỏa mãn: y1 x2
1
1
; y2 x1
x1
x2
Lời giải: Phương trình x 2 3x 2 0 có a b c 1 3 2 0 nên phương trình có hai nghiệm là
x1 1; x2 2
1
1 3
Khi đó ta có: y1 2 3 ; y2 1
1
2 2
25
