Chuyên đề phương trình Bậc hai pot

Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên
Chuyên đề Phương trình bậc hai
1. Cho phương trình x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m
2
2. Cho phương trình x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) - 5x
1
x
2
+ Chứng minh A = 8m
2
- 18m + 9
+ Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia.
3. Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0.

Tìm giá trị của m để biểu thức P = 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Cho phương trình x
2
+ mx + n - 3 = 0 (m, n là tham số)
a) Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m và n để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn hệ:

5. Cho phương trình (2m - 1)x
2
- 4mx + 4 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Giải phương trình với m bất kì.
c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m.
6. Cho phương trình
có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

7. Cho phương trình x
2
+ mx + m - 2 = 0.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Cho phương trình x
2
- mx + m - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương
trình và giá trị m tương ứng.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
b

1
) Chứng minh a = m
2
- 8m + 8 b2) Tìm m sao cho A = 8
1
Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên
9. Cho phương trình (m + 3)x
2
- 3mx + 2m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 2 .
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện 2x1 - x2 = 3.
10. Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình.
d/ CMR biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m.
11. Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + m
2
+ 3 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 129.
b) Tìm giá trị của m sao cho các nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn :
2(x1 +x2) - 3x1x2 + 9 = 0.
c) Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
12. Cho phương trình (m - 3)x
2
- 2(m + 1)x - 3m + 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Cho m = 5, không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
A = x
1
2
+ x
2
2
và B = x
1
3
+ x
2
3
c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên.
13. Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2
.

14. Cho phương trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn:
15. Cho phương trình x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m.
16. Cho phương trình x
2
- 6x + m = 0.
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
= 2x
2
b) Tính theo m giá trị của biểu thức:
2
Trng THCS Tnh Bc Chuyờn PT Bc hai GV : Nguyn c Nguyờn
17. Cho phng trỡnh x
2
+ 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Gii phng trỡnh khi m = 3.
b) Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim nh hn 1, mt nghim ln hn 1.
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim nh hn 2.

18. Cho phng trỡnh x
2
- 2(m + 2)x + m - 3 = 0.
a) Tỡm m cỏc nghim x1, x2 ca phng trỡnh tha món (2x1 + 1)(2x2 +1) = 8
b) Tỡm mt h thc gia x1 , x2 c lp vi m.
19. Cho phng trỡnh x
2
- 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0.
a) Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m.
b) Chng minh rng phng trỡnh khụng th cú nghim bng - 1
c) Biu th x1 theo x2.
20. Cho cỏc phng trỡnh x
2
+ mx - 1 = 0 (1) v x
2
- x + m = 0 (2). Tỡm m hai phng trỡnh cú ớt
nht mt nghim chung. Tỡm nghim chung ú.
Gii bi toỏn bng cỏch lp PT bc hai
1/ Mt ngi i t TP A n TP B cỏch nhau 60 km., sau ú tr v A. Tỡm vn tc lỳc i . Bit rng thi
gian i v t/g v ( Khụng k t/g ngh ) l 5 h v v/tc lỳc i nhanh hn v/tc v 10 km/h
2/ Mt Ca nụ chy trờn mt con sụng di 30km. T/g ca nụ i xuụi dũng ngn hn t/g ca nụ i ngc dũng
l 1 h 30 phỳt. Tỡm v/tc thc ca ca nụ, bit vn tc ca dũng nc l 5 km/h.
Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe
phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
3/ Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu tăng thêm cho chiều dài
1
4
của nó, thì
diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3 m
2

. Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu.
4/ Nhà trờng tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan. Ngời ta dự tính : Nếu dùng loại xe lớn
chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe
lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó đợc huy động.
5/Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi
nớc yên nặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h.
6/ Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đờng 120km trong một thời gian đã
định. Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nới đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm
2km/h trên nửa còn lại của quãng đờng. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng.
7/ Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng
thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vời thứ hai trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ
chảy đầy bể trong bao lâu?
8/ Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng năng xuất 5 sản
phẩm mỗi giờ nên ngời ấy đã hoàn thành kế hoạh sớm hơn thời gian quy định 1 giờ 40 phút. Tính số sản
phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định.
3
Trng THCS Tnh Bc Chuyờn PT Bc hai GV : Nguyn c Nguyờn
Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.

3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 3 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp
điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng
kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 5 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI

2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 6 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 7 . Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E,
F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.
CF
BM
CB
BD
=

4