chuyên đề phương trình bậc 2

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax
2
+bx +c = 0 (a
≠
0)(1)
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
a) Trường hợp a = 0 với một giá trò nào đó của m
Giả sử a = 0 <=> m = m
0
ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp
b) Trường hợp a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
–4ac hoặc
∆
’ = b’
2
–ac

Biện luận théo từng trường hơp :
∆
> 0 ;
∆
= 0 ;
∆
< 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên
II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
• Có hai khả năng xẩy ra :
a) a = 0, b
≠
0
b) a
≠
0 ,
0
≥∆

III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:




>∆
≠
0
0a
IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:




=∆
≠



≠
=
0
0
0
0 a
V
b
a
V BÀI TOÁN 5:
1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu
0;0
>≥∆
P
2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:










>−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:









<−=
>=
≥∆
0
0
0
a

b
S
a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu
VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x
1
tìm nghiệm kia:
• Ta thay x = x
1
vào (1) Giải tìm m
• Hoặc dựa vào S ;P tìm m
VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:
txx
n
xx
hxxkxxxx
=+
=+≥+=+=+
3
2
3
1
21
2
2
2
1

2
2
2
121
)5
11
)4)3)2)1
γβα
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Điều kiên chung :
0
≥∆
Theo Đònh lý Vi et ta có :





=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a)Trường hợp :

)3(
21
γβα
=+
xx
Ta giải HPT





=+
−=+
γβα
21
21
xx
a
b
xx
=> x
1
;x
2
Thay các giá trò x
1
x
2
vào
x

1
x
2
=
a
c
giải tìm giá trò của tham số
b)Trường hợp :x
1
2
+x
2
2

= k <=> (x
1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= k Thay tổng và tích giải tìm giá trò thamsố m
c) Trường hợp : x
1
2
+x
2

2

≥
h <=> (x
1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2

≥

h Giải BPT tìm m
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x
2

–4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính
∆
= b
2
–4ac =..= 4-m
a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép
c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho PT x
2
- 3x –m = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm
b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại
HD:
∆
= b
2
–4ac = 9 +4m
a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m
≥
0
b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)
2
+3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trò của m
Ví dụ 3: Xác đònh m để PT x
2
–(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x
1
và x
2
thõa mãn:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vò
b) 2x
1
+ 3x
2
= 13
HD:Tính

∆
= m
2
+14m +1
PT có hai nghiệm <=> m
2
+14m +1
≥

0 Giải BPT xác đònh m
a) Giả sử x
1
> x
2
ta có Hệ thức;
)(
)3(6
)2(5
)1(1
21
21
12
I
mxx
mxx
xx






+−=
+=+
=−
Giải HPT tìm m
b) Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4:
Cho PT x
2
+ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trò của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x
1
2
+x
2
2

= 10
HD:
∆
= a
2
-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a
2
-4a –28
≥

0
Biến đổi x
1
2

+x
2
2
= 10 <=> (x
1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= 10
Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m
Ví dụ 5:
Cho PT x
2
+ax +1 = 0 Tìm các giá trò của a để PT có hai nghiệm thoã mãn
7
2
1
2
2
2
1
>









+








x
x
x
x
Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:
Bài 1: (TN 1996)
1. Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
2
0ax bx c+ + =

( 0)a ≠
.
2. Giải các phương trình:
a/
( )
2

2 3 11 19 0y y− − + =
b/
2
4 12 9 0t t− + =
Bài 2: (TN 2001)
Cho phương trình bậc hai:
2 2
2( 1) 3 0x m x m m− − + − =
với m là tham số.
1. Giải phương trình với m = 8.
2. Với giá trò nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.
Bài 3: (TS 10 - 1993)
Cho phương trình :
2
(1 ) 0x m x m+ − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) với m = 2.
2. Xác đònh m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 4: (TS 10 - 1996)
Cho phương trình :
2
( 1) 3( 1) 0mx m x m+ − − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.

3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x
1
và x
2
. Chứng minh rằng:
1 2
1 1 1
3x x
+ =
.
Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)
1. Giải phương trình sau:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2 2
2 2
2 1 2 2 7
2 2 2 3 6
x x x x
x x x x
+ + + +
+ =
+ + + +
.
HD:

1) Tập xác đònh
{ }
\ 4; 5; 6; 7D R= − − − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
9 20 4 5
11 30 5 6
13 42 6 7
x x x x
x x x x
x x x x
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
Biến đổi phương trình:
1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
− + − + − =
+ + + + + +
, từ đó có cách giải phương
trình đưa đến 2 nghiệm
13; 2x x= − =
.
2) Tập xác đònh
D R=
.

Đặt
( )
2
2
2 2 1 1 1,t x x x t Z= + + = + + ≥ ∈
, ta có
2
1 7
3
1 6
5
t
t t
t t
t
=

−

+ = ⇔

+
= −


, ta loại nghiệm
3
5
t = −
. Với

2 0; 2t x x= ⇒ = = −
Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)
Cho phương trình:
( )
2
2 2 3 0x mx m− + − =

(1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 1.
2. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng
14
và hai cạnh góc vuông có độ dài
x
1
và x
2
là hai nghiệm của (1).
HD: Với 3) chú ý điều kiện
1 2
1 2
1 2
0
0, 0
0
x x
x x
x x
+ >


> > ⇒

>

...
Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
2 3 1x x− + − =
HD: Phương trình:
( ) ( )
4 4
x a x b M+ + + =
, ta đặt
2
a b
t x
+
= +
, đưa về dạng
( ) ( )
4 4
mt n mt n M+ + − =
,
biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ...
Một số phương trình tham khảo:

( ) ( )
( )

4 4
4
4
4 3 256
1 97
x x
x x
− + + =
+ − =

Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0x px+ + =
; c, d là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0y qy+ + =
. Chứng minh hệ thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a c a d b c b d p q− − − − = −
.
HD: p dụng đònh lý Víét ta có hệ
1
1
a b p
c d q
ab
cd
+ = −



+ = −


=


=

, sử dụng để biến đổi VT bằng VP ...
Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)
Giải phương trình:
4 3 2
4 2 8 3 9 0x x x x+ − + + =
.
HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng
phương trình tích.
Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)
Cho phương trình:
( )
( )
1
2
6 2 4 0x x kx− + + − =
1. Giải phương trình trên khi k = -1.
2. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)
Cho phương trình:
2

0x px q+ + =
(ẩn x). Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình.
1. Xác đònh các hệ số p, q biết x
1
, x
2
thỏa:
1 2
5x x− =
và
3 3
1 2
35x x− =
2. Đặt
1 2
n n
n
S x x= +
. Chứng minh rằng:
1 1
0
n n n
S pS qS
+ −
+ + =
với

1,n n N≥ ∈
3. Giả sử x
1
, x
2
là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x
1
, x
2
.
Bài giải:
1. Vì
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình nên ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
2
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2
1 2
2 2
2 2 2
0
0

0
0
0
n
n n n n n n
n
x x px q
x px q
x x p x x q x x
x px q
x x px q
−
+ + − −
−

+ + =

+ + =
 
⇔ ⇒ + + + + + =
 
+ + =
+ + =




( )
*
1 1

0
n n n
S pS qS
+ −
⇔ + + =
, với
*
n N∈
2. Theo đònh lý Víet ta có
1 2
1 2
x x p
x x q
+ = −


=

, kết hợp với giả thiết ta tìm được
1
6
p
q
= ±


= −

3. Ta có
( ) ( ) ( )

( )
*
1 2 1 2 1 2
198 1 1 199p q x x x x x x+ = − + = ⇔ − − =
. Bài toán quy về việc tìm nghiệm
nguyên
1 2
,x x
của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
1 199 1 199 200 0
*
1 1 1 1 1 2 198
x x x x
x x x x
− = − = − = =
   
⇔ ∨ ⇔ ∨
   
− = − = − − = = −
   

Bài tập tương tự: Gọi
1 2
,x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1

2
0ax bx c+ + =
Đặt
1 2
n n
n
S x x= +
, với
1, 2,...n =
1. Chứng minh rằng
( )
*
2 1
0
n n n
aS bS cS
+ +
+ + =
.
2. p dụng tính
6 6
1 5 1 5
2 2
A
   
− + − −
= +
   
   
   

HD: Đặt
1
1 2
1 2
2
1 5
1
2
1
1 5
2
x
x x
x x
x

− +
=

+ = −


⇔
 
= −
− −


=



. Vậy
1 2
,x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
2
2
1 0x x+ − −
p dụng (*) cho (2) ta có
18A
=

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)
Giải phương trình:
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình.

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2

2
2
3
2
3 6 7 3 1 4 2
5 10 14 5 1 9 3
4 2 5 1 5
x x x
x x x
x x x
+ + = + + ≥
+ + = + + ≥
− − = − − ≤
. Từ (1), (2) và (3) ta có
5 1VT VP x= = ⇔ = −
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
( )
*
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = +
.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2VT x x x= − + + − + + − + ≥ + + = +
Từ
( )
( )

( )
2
2
3 0
3
*
2
2 0
x
x
x
x

− =
=


⇒ ⇒
 
=

− =


, hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.
Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)
Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình
2
1 0x ax+ + =
với một nghiệm nào đó của phương

trình
2
1 0x bx+ + =
là nghiệm của phương trình
2
1 0x cx+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
4a b c abc+ + + =
.
Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình
( ) ( )
2
1 2 1 2 0a x a x a+ − − + − =
với a là tham số.
1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn
lại.
3. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
( )
1 2 1 2
4 7x x x x+ =
.
Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999)

Cho phương trình ẩn x:
( ) ( ) ( )
( )
1
2
1 2 1 0a x a b x b+ − + + − =
1. Với giá trò nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
2. Giải phương trình (1) khi
3 1 ; 3 1a b= − = +
.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trò của a và b.
Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000)