LUẬN văn TOÁN THỐNG kê đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN và PHÂN PHỐI xác SUẤT của đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN câu hỏi TRẮC NGHIỆM vận DỤNG

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

Ths. DƯƠNG THỊ TUYỀN

NGUYỄN THANH THỦY
NGÀNH: TOÁN THỐNG KÊ
KHÓA: 32

(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

CẦN THƠ - 05/2010


2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ................................................................. 5
1.1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ........................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm: .................................................................................................. 5
1.1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên ................................................................... 5
1.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ..................................................... 5
1.2.1. Bảng phân phối xác suất: ............................................................................ 6
1.2.2. Hàm mật độ xác suất: .................................................................................. 7
1.2.3.Hàm phân phối xác suất: .............................................................................. 9
1.3. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên ............................................. 11
1.3.1. Kỳ vọng: ................................................................................................... 11
1.3.2. Phương sai: ............................................................................................... 15
1.3.3. Độ lệch tiêu chuẩn: ................................................................................... 19
1.3.4. Mode: ....................................................................................................... 19
1.4. Một số phân phối xác suất thông dụng ............................................................. 20
1.4.1. Phân phối nhị thức: ................................................................................... 20
1.4.2. Phân phối poisson: .................................................................................... 23
1.4.3. Phân phối siêu bội:.................................................................................... 25
1.4.4. Phân phối chuẩn:....................................................................................... 27
Chương 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .................................................................... 29
Chương 3: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM TRẮC NGHIỆM ........................................... 54
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 77


3

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Dựa vào
những thành tựu của lý thuyết xác suất, thống kê toán là khoa học ra quyết định trên cơ
sở những thông tin thu thập từ thực tế. Ra đời từ thế kỷ 17, cho đến nay nội dung và
các phương pháp xác suất và thống kê toán rất phong phhú, được ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Cho nên, môn xác suất thống kê đã trở thành một môn
học rất cần thiết cho học sinh, sinh viên học tập và nghiên cứu.
Phần lớn sách giáo khoa và các công trình nghiên cứu về trắc nghiệm ở nước ngoài
rất phong phú, nhưng riêng ở nước ta sách giáo khoa và công trình nghiên cứu bằng
tiếng việt hầu như chưa có (vào các năm 1969 và 1970). Cho nên sinh viên không có
những tài liệu chuyên môn để tham khảo cho các bài giảng ở lớp học, đặc biệt là cho
môn xác suất thống kê nói riêng và các môn học khác nói chung.
Hiện nay, hầu hết môn xác suất thống kê đều được các giáo viên giảng dạy ở các
bậc học như phổ thông, Cao Đẳng, Đại Học… Với kiến thức nội dung thật rộng lớn,
thông qua đó giúp chúng ta giải quyết được các bài toán thống kê cơ bản trong nghiên
cứu khoa học và trong đời sống sản xuất. Tuy nhiên để đánh giá được kiến thức ghi
nhớ và tầm bao phủ nội dung rộng của học sinh, sing viên, với độ tin cậy của kết quả
cao cho môn học. Các giáo viên đã đưa ra hình thức thi trắc nghiệm cho môn h ọc này.
Bởi lẽ, trắc nghiệm là một loại dụng cụ đo lường khả năng của người học, ở bất cứ cấp
học nào, bất cứ môn học nào, trong lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội
cho nên mọi thầy giáo từ tiểu học đến đại học, dạy các môn khoa học tự nhiên hay
khoa học xã hội, đều cần phải biết và phải sử dụng nó. Vì vậy nội dung của đề tài em
nghiên cứu cũng hướng đến câu hỏi trắc nghiệm. Dựa trên những cơ sở lý thuyết về
đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, để tạo ra các
câu hỏi trắc nghiệm về xác suất, mà ta có thể dùng để kiểm tra sự ghi nhớ kiến thức
sâu sắc của học sinh, si nh viên. Cách nhạy bén trong tính toán, phát hiện những sai
lầm học sinh, sinh viên mắc phải. Đồng thời sử dụng phần mềm trắc nghiệm để tạo đề
thi, trộn đề thi, làm đáp án,…Giáo viên có thể cho thi, kiểm tra ở mọi bậc học…Đó
chính là toàn bộ nội dung mà em sẽ nghiên cứu trong đề tài này.
Nội dung của đề tài gồm 3 chương:

4

- Chương 1: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại luợng ngẫu nhiên.
- Chương 2: Câu hỏi trắc nghiệm vận dụng.
- Chương 3: Giới thiệu phần mềm trắc nghiệm.
Lần đầu tiên làm đề tài, mặc dù em rất cố gắng, song cũng khó tránh khỏi những
sai sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quí Thầy Cô để nội dung của
đề tài được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn.


5

Chương 1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1.1. Khái niệm:
Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của một phép
thử ngẫu nhiên. Các đại lượng ngẫu nhiên thường được kí hiệu là: X,Y,Z,…
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X là
số bé gái trong nhóm. Khi đó X nhận các giá trị: 0,1,2,3. Khi đó, X được gọi là đại
lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ 2: Gọi Y là “số người đến một cửa hàng để mua hàng trong một ngày. Khi đó, Y
có thể nhận một trong các giá trị có thể có là:0,1,2,…,n và Y được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên.
Ví dụ 3: Gọi T là nhiệt độ của người bệnh. Giả sử T∈ (30 ° ; 42 ° ). Khi đó T được gọi
là đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ 4: Gọi Z là thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử. Giả sử
Z ∈ (0 ;+ ∞ ), khi đó Z được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
1.1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Có hai loại đại lượng ngẫu nhiên:
a. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu
các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Ví dụ 5: X trong ví dụ 1 và Y trong ví dụ 2 là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
b. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu
các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng nào đó trên trục số.
Ví dụ 6: T trong ví dụ 3 và Z trong ví dụ 4 là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN


6

1.2.1. Bảng phân phối xác suất:
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X
có dạng:

X

x1

x 2 ... x n

P

p1 p 2 ... p n

Trong đó, pi = P( X = xi ) (i = 1, n ) và

n

∑p
i =1

i

= 1.

Ví dụ 7: Trong hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 6 chính phẩm) lấy ngẫu nhiên từ hộp
ra 2 sản phẩm. Tìm bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
Giải
Gọi X là số chính phẩm có trong 2 sản phẩm được lấy ra từ hộp. Khi đó X là
đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: 0,1,2 với các xác suất tương ứng:
p1 = P( X = 0) =

C42
2
=
2
C10 15

C 61C 41
8
p 2 = P( X = 1) =
=
2
15
C10
C62
5

p3 = P ( X = 2) = 2 =
C10 15

Vậy qui luật phân phối xác suất của X có dạng:
X

0

1

2

P

2
15

8
15

5
15

Ví dụ 8: Một xí nghiệp có hai ô tô hoạt động. Xác suất trong khoảng thời gian T các ô
tô bị hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Lập bảng phân phối xác suất của số ô tô bị hỏng
trong khoảng thời gian T.
Giải
Gọi X là số ô tô bị hỏng trong khoảng thời gian T. X nhận các giá trị: 0,1,2.

7

P( X = 0) = 0,9.0,8 = 0,72

P ( X = 1) = 0,9.0,2 + 0,1.0,8 = 0,26
P( X = 2) = 0,1.0,2 = 0,02

Bảng phân phối xác suất:
X

0

1

2

P

0,72

0,26

0,02

1.2.2. Hàm mật độ xác suất:
Dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
Định nghĩa1.1: Hàm mật đ ộ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, kí hiệu:
f(x), là một hàm không âm, xác định trên toàn trục số sao cho:
b

P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x) dx
a

với mọi a, b ∈ R

 Tính chất:
• f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
•

+∞

∫ f ( x) dx = 1. Đặc biệt, nếu X chỉ nhận giá trị trong đoạn [ α , β ] thì:

−∞

β

∫ f ( x) dx = 1

α
b

• P(a ≤ X < b) = ∫ f ( x) dx .
a

(1)


8
f(x)

a

b

x

Hình 1

 Ý nghĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm X cho biết
mức độ tập trung xác suất tại mỗi điểm đó.
Ví dụ 9: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) như sau:
0

f ( x) =  C
 x 2

nếu
nếu

x <1
x ≥1

Hãy xác định hằng số C và tính P(2 < X < 3) .
Giải
Ta có:
+∞

∫ f ( x) dx =1

−∞

∞

∞

∞

1
1
C
⇒ ∫ 2 dx = 1 ⇒ C ∫ 2 dx = 1 ⇒ C (− ) = 1 ⇒ C = 1
x
x
x 1
1
1

3

3

1
1
1
Với C = 1 ta có: P(2 < X < 3) = ∫ 2 dx = −
=
x2 6
2 x

9

Ví dụ 10: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) như sau:
 1+ x

f ( x) =  1 − x
0


nếu
nếu

−1 ≤ x < 0
0 < x ≤1
x >1

nếu

1
2

Tính P(- < X < 1 ).
Giải
1
Ta có P(- < X < 1 ) =
2

1

∫ f ( x) dx
−

=

1
2

0

1

1
2

0

∫ (1 + x) dx + ∫ (1 − x) dx =
−

7
8

1.2.3.Hàm phân phối xác suất :
Dùng để thiết lập luật phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục và
cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Định nghĩa 1.2: Hàm phân phối xác suất của đại lượn g ngẫu nhiên X, kí hiệu: F (x) ,
là hàm xác định với mọi số thực x theo công thức sau:
F ( x) = P( X < x)

(2)

• Khi X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Với biến ngẫu nhiên rời rạc X với
các giá trị có thể có là x 1 ,x 2 ,…,x k và các xác suất tương ứng là: p 1 ,p 2 ,…,p k thì:
F ( x) = ∑ P ( X = xi ) = ∑ pi
xi < x

 0
 p
 1
 p1 + p2

F ( x) = 
 ...
Hay
 p1 + p2 + ... + pk −1


1

xi < x

nếu

x ≤ x1

nếu
nếu

x1 < x ≤ x2

nếu
nếu

x2 < x ≤ x3
xk −1 < x ≤ xk
x > xk

(3)


10

• Khi X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
x

F ( x) =

∫ f (t ) dt

−∞

(4)

 Tính chất:
• 0 ≤ F ( x) ≤ 1 .
• lim F ( x) = 0 ; lim F ( x) = 1.
x →−∞

x→+∞

• F (x) là một hàm không giảm, tức là nếu x1 < x 2 thì F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) .
• F ′( x) = f ( x) .
• P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) .
 Ý nghĩa:
Hàm phân phối xác suất F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái
của điểm X. Giá trị của hàm F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất
phân phối trong khoảng (- ∞; x ).
Ví dụ 11: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau:
Tìm hàm phân bố F(x).

0
nếu x < 0

 6x
nếu 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) = 
 5
 6
nếu x > 1

 5x 4

Giải


11
x

Với x < 0 : F ( x) = ∫ f (t ) dt = 0

−∞

x

x

6t
3
dt = x 2
5
5
0

Với 0 ≤ x ≤ 1 : F ( x) = ∫ f (t ) dt = ∫
−∞

Với x > 1 :
F ( x) =

x

1

−∞

0

∫ f (t ) dt = ∫

Vậy:

x

6t
6
3  2 
2
f (t ) dt + ∫ f (t ) dt = ∫ dt + ∫ 4 dt = + − 3  = 1 − 3
5
5t
5  5t 1
5x
1
0
1
x

1

x


0
nếu x < 0
 2
 3x
F ( x) = 
nếu 0 ≤ x ≤ 1
 5
2


 1 − 5 x 3 nếu x > 1

1.3. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên người ta thường rút ra một vài con số
đặc trưng cho mặt này mặt khác của đại lượng ngẫu nhiên và đôi khi giúp ta so sánh
giữa nhiều đại lượng với nhau. Các con số rút gọn đó được gọi là các đặc trưng số, ở
đây ta chỉ nêu ra một vài tham số quan trọng như: kỳ vọng, phương sai, độ lệch tiêu
chuẩn, mode,…
1.3.1. Kỳ vọng:
Định nghĩa 1.3: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc c ó bảng phân phối xác suất
như sau:
X

x1

x 2 ... x n

P

p1

p2 ... pn

Khi đó, kỳ vọng của X, kí hiệu:E(X), được xác định bởi công thức sau:
n

E ( X ) = ∑ xi pi
i =1

(5)


12

Định nghĩa 1.4: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là
f(x). Khi đó, kỳ vọng của X, kí hiệu E(X) được xác định bởi công thức sau:

+∞

E ( X ) = ∫ x f ( x) dx

(6)

−∞

Ví dụ 12: Tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X cho bởi dãy phân phối:

X

2

3

5

P

0,3

0,1

0,6
Giải

3

Ta có: E ( X ) = ∑ xi pi = 2.0,3 + 3.0,1 + 5.0,6 = 3,9
i =1

Ví dụ 13: Một hộp đựng 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3
sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra. Tìm bảng
phân phối xác suất của X và E(X).
Giải
Gọi X là số sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra.
Khi đó: X nhận các giá trị: 0,1,2,3.
Ta có: P( X = 0 ) =
P( X = 2) =

C63 20
=
C103 120

P ( X = 1) =

;

C42 C61 36
=
C103

120

;

C41 C62 60
=
C103
120

P( X = 3) =

Bảng phân phối xác suất:

X

0

1

2

3

P

1/6

1/2

3/10

1/30

C43
4
=
3
C10 120


13
4

1
6

1
2

Và E ( X ) = ∑ xi pi = 0. + 1. + 2.
i =1

3
1 6
+ 3. =
10
30 5

Ví dụ 14: Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như
sau:

 x2

f ( x) =  9
0


nếu

x ∈ [0;3]

nếu

x ∉ [0;3]

Giải
Theo công thức (6) ta có:
+∞

0

+∞

3

x2
E ( X ) = ∫ x f ( x) dx = ∫ x.0.dx + ∫ x. . dx + ∫ x.0.dx
9
−∞
−∞
0

3
3

=

3
1 3
1
1
81
x dx = x 4 = .3 4 =
∫
90
36 0 36
36

Ví dụ 15: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
 kx

f ( x) =  k
0


0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 4

nếu
nếu
nếu

trái lại

a) Tìm hằng số k.
b) Tìm kỳ vọng của X.
Giải
a)Tìm k:

+∞

∫

−∞

1

4

0

1

f ( x)dx =1 ⇔ ∫ kx dx + ∫ k dx =1

1

x2
1
2
4
⇔ k.

+ kx 1 =1 ⇔ k . + 3k =1 ⇒ k =
2 0
2
7


14

b) Tìm E(X):
+∞

1

1

4

4

x2
2
2
2 x3
2 15 47
E ( X ) = ∫ x f ( x) dx = ∫ x 2 dx + ∫ x dx =
+
=
+ =
7
7

7 3 0 7 1 21 7 21
−∞
0
1

 Ý nghĩa:
Giả sử đối với đại lượng ngẫu nhiên X, tiến hành n phép thử. Trong đó có n 1
k

lần X nhận giá trị x 1 , n 2 lần X nhận giá trị x 2 …, n k lần X nhận giá trị x k (∑ ni = n) .
i =1

Khi đó giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên X trong n phép thử này là:
X=

n1 x1 + n2 x 2 + .... + nk x k
n

Hay X = x1 .
Mà

n
n1
n
+ x 2 . 2 + .... + x k . k
n
n
n

n

n1 n2
; ; .....; k chính là các tần suất xuất hiện các giá trị x1 ,x 2 , ...., x k
n n
n

Cho nên: X = x1 f1 + x 2 f 2 + ..... + x k f k
Theo định nghĩa xác suất theo lối thống kê ( với n đủ lớn) thì pi ≈

ni
ta được:
n

X ≈ x1 p1 + x2 p2 + ... + xk pk = E ( X ) .

Vậy kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá
trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác
suất. Chính vì thế, trong lĩnh vực kinh doanh và sản xuất nếu ta cần chọn chọn phương
án cho năng suất cao ( hay lợi nhuận cao) ta nên chọn phương án cho năng suất trung
bình cao ( hay lợi nhuận trung bình cao).
Ví dụ 16: Thống kê tại tất cả 52 cửa hàng bán sản phẩm của công ty trên toàn quốc thu
được các số liệu sau:
Số nhân viên bán hàng ở cửa hàng

2

3

4

5

Số cửa hàng tương ứng

10

12

16

14

a) Xây dựng bảng phân phối xác suất.


15

b) Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng.
Giải
a) Gọi X là số nhân viên bán hàng ở cửa hàng.
Ta có bảng phân phối xác suất:
X

2

3

4

5

P

10
52

12
52

16
52

14
52

b) Số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng chính là E(X).
4

E ( X ) = ∑ xi pi = 2.
i =1

10
12
16
14
+ 3. + 4. + 5. = 3,65 ≈ 4
52
52
52
52

Vậy E ( X ) = 4 . Nghĩa là số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng là 4 nhân viên.
 Tính chất:
• E(C) = C, với C là hằng số.
• E(CX) = C E(X), với C là hằng số.
• E(X ± Y) = E(X) ± E(Y).
• Nếu X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì E(XY) = E(X).E(Y)
1.3.2. Phương sai:
Định nghĩa 1.5: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X , kí hiệu : D(X), được xác
định bởi công thức:

{

D( X ) = E [ X − E ( X )]

2

}

(7)

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì phương sai của
X được xác định bởi công thức:

+∞

D( X ) = ∫ ( x − E ( X )) 2 f ( x) dx
−∞

(8)

16

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

X

x1

x 2 .............x n

P

p1

p 2 ............ p n

thì phương sai của X được xác định bởi công thức:

n

D( X ) = ∑ ( xi − E ( X )) 2 pi
i =1

(9)

 Trong thực tế ta thường sử dụng công thức:
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

(10)

Thật vậy, theo định nghĩa phương sai ta có:
D ( X ) = E{[ X − E ( X )]2 }
= E{ X 2 − 2 X E ( X ) + [ E ( X )]2 }
= E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X )]2
= E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:
n

E ( X ) = ∑ xi2 pi
2

i =1

(11)

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

+∞

E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x) dx
−∞

Ví dụ 17: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

(12)


17

X

2

4

6

P

0,3

0,5

0,2

Tìm phương sai D(X).
Giải
Ta có: D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2
3

E ( X ) = ∑ xi pi = 2.0,3 + 4.0,5 + 6.0,2 = 3,8
i =1

3

E ( X 2 ) = ∑ xi2 pi = 2 2.0,3 + 4 2.0,5 + 6 2.0,2 =16,4
i =1

D( X ) =16,4 − (3,8) 2 =1,96

Vậy D( X ) =1,96
Ví dụ 18: Trở lại ví dụ 16, hãy tìm phương sai của X.
Giải
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

Ta có: E ( X ) =

81
36

Và:
+∞

0

0

−∞

3

E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x) dx = ∫ x 2 .0. dx + ∫ x 2 .
−∞

3

=∫
0

+∞

x2
. dx + ∫ x 2 .0. dx
9
3

5 3

x4
x
35 243
dx =
= =
9
45 0 45 45
2

243  81 
2
Vậy: D( X ) =
−   = 5,4 − (2,25) = 0,3375
45  36 

 Ý nghĩa: Từ định nghĩa của phương sai ta thấy phương sai chính là trung bình
số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên
so với giá trị trung bình của nó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại
lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Vậy khi phương sai nhỏ thì độ
phân tán nhỏ tức mức độ tập trung lớn, ngược lại khi phương sai lớn thì độ phân tán

lớn tức mức độ tập tung nhỏ.


18

Trong lĩnh vực kinh doanh và quản lý nếu kỳ vọng toán được coi là một tiêu
chuẩn ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau
(tiêu chuẩn dưới dạng lợi nhuận trung bình) thì phương sai đặc trưng cho mức độ rủi
ro của các quyết định.
Ví dụ 19: Lãi suất thu được trong một năm ( tính theo %) khi đầu tư vào công ty A,
công ty B tươngứng là các biến ngẫu nhiên X và Y (X,Y độc lập) có phân phối xác
suất như sau:
Lãi suất khi đầu tư vào công ty A:
X

4

6

8

10

12

P

0,05

0,1

0,3

0,4

0,15

Lãi suất khi đầu tư vào công ty B:

X

-4

2

8

10

12

16

P

0,1

0,2

0,2

0,25

0,15

0,1

a) Nên đầu tư vào công ty nào để lãi suất cao hơn?.
b) Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao?.
Giải
Từ các bảng phân phối xác suất đã cho ta tìm được:
E(X) = 9% ; D(X) = 4,2
E(Y) = 7,5% ; D(Y) = 31,15
a) Như vậy nên chọn công ty A để đầu tư vì lãi suất trung bình của công ty A
cao hơn công ty B ( E(X) > E(Y) ).
b) Đầu tư vào công ty A thì có mức độ rủi ro thấp hơn vì lãi suất ổn định hơn do
D(X) < D(Y) .
 Tính chất:
• D(C ) = 0 , với C là hằng số.
• D(CX ) = C 2 D( X ) , với C là hằng số.


19

• Nếu X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ) .
• D( X + C ) = D( X ) .
1.3.3. Độ lệch tiêu chuẩn:
Định nghĩa 1.6: Độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ ( X ) , và
được xác định bởi công thức:
σ ( X ) = D( X )

(13)

1.3.4. Mode:
Định nghĩa 1.7: Mod của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị của X mà
tại đó:
1) P(X=x) lớn nhất nếu X rời rạc.
2) f(x) đạt cực đại nếu X liên tục và f(x) là hàm mật độ xác suất của X.
Ví dụ 20: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X

0

1

2

P

1
4

1
2

1
4

Tìm Mod(X).
Giải

1
2

Ta có Mod(X) = 1 vì P( X = 1) = là xác suất lớn nhất.
Ví dụ 21: Tìm tham số Mode của đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
0

nếu x ∉ [0;3]

f ( x) =  2
x(3 − x) nếu x ∈ [0;3]

9

Giải
Xét trên đoạn [0;3]


20
2
9

Ta có: f ′( x) = (3 − 2 x)
Do đó f ′( x) = 0 ⇒ x =

3
2

3
2

Mặt khác: f (0) = f (3) = 0, f   = 0,5
Suy ra f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 0,5 tại x =

3
3
, do đó Mod(X) =
2
2

1.4. Một số phân phối xác suất thông dụng
1.4.1. Phân phối nhị thức:
Lược đồ Bernoulli: n phép thử được gọi là thỏa lược đồ Bernoulli nếu:
• Các phép thử độc lập nhau.
• Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một tro ng hai trường hợp: biến cố A
xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra.
• Xác suất để cho A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p, xác suất không xảy
ra biến cố A là q =1 − p .
Ví dụ 22 : Gieo 10 lần một con xúc xắc và theo dõi xem mặt 6 có xuất hiện không.
1
6

5
6

Như vậy n = 10, A = {6}, p = P( A) = ; q =1 − p = . Đây chính là dãy phép thử Bernoulli.
Định nghĩa 1.8: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị
0,1,2,3,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli:

P( X = k ) = Cnk p k q n − k

k = 0,1,2,3,....n

(14)

thì X được gọi là phân phối theo qui luật nhị thức với hai tham số n và p, kí hiệu là
X ~ B (n, p) .

Ví dụ 23: Trong một thành phố nào đó 65% gia đình có tivi màu, chọn ngẫu nhiên 12
gia đình và gọi X là số gia đình có tivi màu.
a) Gọi tên phân phố xác suất của X.


21

b) Tính xác suất để có đúng 5 gia đình có tivi màu.
c) Tính xác suất để trong mẫu có ít nhất 2 gia đình có tivi màu.
Giải
a) X có phân bố nhị thức với tham số n = 12 và p = 0,65
b) Theo công thức (14) ta có:
P ( X = 5) = C125 . (0,65) 5 . (0,75) 7 = 0,0591

c)

P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X = 0) − P ( X = 1)
1
= 1 − C120 . (0,65) 0 . (0,35)12 − C12
. (0,65)1. (0,35)11 ≈ 0.999

• Để tính xác suất X ∈ (n, p) nhận giá trị trong đoạn [k ; k + h] ta dùng công thức:

P (k ≤ X ≤ k + h) = pk + pk +1 + ... + pk + h

(15)

 Các tham số đặc trưng: Nếu X ~ B (n, p) thì:
• E ( X ) = np
• D( X ) = npq
• np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np + p
Ví dụ 24 : Xác suất để mỗi con gà khi tiêm phòng bằng một loại vắc-xin được miễn
dịch là 0,8. Có 100 con gà được tiêm phòng. Tìm số gà được miễn dịch trung bình và
số gà được miễn dịch có khả năng lớn nhất.
Giải
Mỗi con gà được tiêm phòng ta coi như một phép thử. Vậy ta có lược đồ
Bernoulli gồm 100 phép thử.
Gọi X là số gà được miễn dịch khi tiêm phòng, X nhận các giá trị: 0,1,….,100.
Do đó X ~ B(100; 0,8).
Số gà được miễn dịch trung bình chính là kỳ vọng của X. Nên ta có:
E ( X ) = np =100.0,8 = 80 con


22

Số gà được miễn dịch có khả năng nhiều nhất chính là Mod(X).
np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np + p

Ta có:

⇔ 100.0,8 − 0,2 ≤ Mod ( X ) ≤ 100.0,8 + 0,8
⇔ 79,8 ≤ Mod ( X ) ≤ 80,8

Vậy Mod(X) = 80, tức là số gà được miễn dịch có khả năng nhiều nhất là 80
con.
 Công thức ước lượng:
Khi X ~ B (n, p) với n khá lớn và 0 << p << 1 , ta có thể áp dụng công thức xấp
xỉ:
 k − np 
1
1

. f (u ) =
.f
npq
npq  npq 

P( X = k ) ≈

Trong đó: u =

k − np
npq

;

f (u ) =

1
2π

(16)

.e

−

u2
2

(hàm Gauss)

Với f (u ) là hàm chẵn, nghĩa là: f (−u ) = f (u )
P (k ≤ X ≤ k + h) ≈ ϕ (u2 ) − ϕ (u1 )

Trong đó: u1 =

ϕ (u ) =

1
2π

x

∫e

−

k − np
npq

t2
2

dt

;

u2 =

(17)

k + h − np
npq

( Hàm Laplace)

0

Với ϕ (u ) là hàm lẻ, nghĩa là ϕ (−u ) = − ϕ (u ) .
Ví dụ 25: Một ký túc xá có 650 sinh viên. Xác suất để một sinh viên đến xem phim tại
câu lạc bộ vào tối thứ bảy là 0,7.
a) Tính xác suất để có 444 sinh viên đến xem phim.
b) Tính xác suất để có không nhiều hơn 440 sinh viên đến xem phim.


23

c) Cần phải có bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 có thể đủ ghế cho sinh viên đến
xem phim.
Giải
Gọi X là số sinh viên đến xem phim. Khi đó X ~ B(650 ; 0,7) .
a) Theo công thức (16) ta có:

 444 − 650.0,7 
 = 1 . f (0,94)
.f

650.0,7.0,3  650.0,7.0,3  136,5
= 0,086.0,3264 = 0,0279
1

P( X = 444) ≈

b) Theo công thức (17) ta có:
 440 − 650.0,7   0 − 650.0,7 

 −ϕ
P ( X < 440) ≈ P (0 < X < 440) = ϕ (u 2 ) − ϕ (u 1 ) ≈ ϕ 
 650.0,7.0,3   650.0,7.0,3 

 

= ϕ (−1,28) + ϕ (38,9) = 0,5 − 0,2997 = 0,1003

c) Gọi n là số ngế cần phải có. Khi đó ta có:
P(0 < X < n) = 0,99
 n − 650.0,7   0 − 650.0,7 
 = 0,99
 −ϕ 
⇔ ϕ 




 650.0,7.0,3   650.0,7.0,3 
 n − 455 

⇔ − ϕ (38,9) + 0,99 = ϕ 

136
,
5


n − 455
 n − 455 
⇔
= ϕ
0,49
= 2,34 ⇒ n = 482
 ⇒
11,6833
 11,6833 

Vậy cần chuẩn bị 482 ghế.
1.4.2. Phân phối poisson:
Trong trường hợp X ~ B (n, p) với n khá lớn và n. p = a (hằng số) thì ta có công thức
xấp xỉ:
P( X = k ) = C p q
k
n

k

n−k

a k −a
≅ e
k!

k = 0,1,2,3,......

Lúc này ta thay công thức Bernoulli bởi công thức:
P( X = k ) =

a k −a
e
k!

(công thức poisson)

Định nghĩa 1.9: Đại lượng ngẫu nhiên rới rạc X nhận một trong các giá trị: 0,1,2,….
Với các xác suất tương ứng được tính theo công thức:


24

P( X = k ) =

a k −a
e
k!

(k = 0,1,2,3,......n)

(18)

thì X được gọi là phân phối theo qui luật poisson với tham số a, kí hiệu: Ρ(a)
• Nếu X ~ Ρ(a) thì xác suất để X nhận giá trị trong đoạn [k ; k + h] được tính
theo công thức:

P (k ≤ X ≤ k + h) = pk + pk +1 + ... + pk + h

(19)

 Các tham số đặc trưng:
• E ( X ) = D( X ) = a
• a − 1 ≤ Mod ( X ) ≤ a
Ví dụ 26: Trong một đợt người ta xuất bản 100000 cuốn sách. Xác suất để mỗi cuốn
sách có lỗi do in ấn là 0,0001. Tìm xác suất có đúng 5 cuốn sách có lỗi.
Giải
Gọi X là số sách bị lỗi do in ấn. Khi đó: X ~ B(100000 ; 0,0001) , n = 100000 khá
lớn, p = 0,0001 khá bé nên ta xấp xỉ X ~ Ρ(a) với a = n. p =100000.0,0001 =10 .
Vậy P( X = 5) =

10 5 −10 10 5. 0,000045
= 0,0375
e =
5!
120

Ví dụ 2 7: Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển là 0,001. Giả sử vận chuyển
4000 chai. Tìm số chai bị vỡ trung bình và số chai vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận
chuyển.

Giải
Gọi X là số chai bia bị vỡ khi vận chuyển.
⇒ X = 0,1,2,3,.... và X ~ Ρ(a ) với a = n. p = 4000. 0,001 = 4

Số chai bia bị vỡ khi vận chuyển chính là kỳ vọng của X:


25

Ta có: E ( X ) = a = 4
Vậy:trung bình có 4 chai bia bị vỡ khi vận chuyển 4000 chai.
Số chai bia bị vỡ có khả năng nhiều nhất chính là Mod(X).
Ta có:

a − 1 ≤ Mod ( X ) ≤ a

⇔ 3 ≤ Mod ( X ) ≤ 4

Vậy Mod(X) = 3 hoặc Mod(X) = 4. Nghĩa là số chai bia bị vỡ có khả năng
nhiều nhất là 3 hoặc 4 chai khi vận chuyển 4000 chai.
1.4.3. Phân phối siêu bội:
Từ một tập hợp gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A và N − M
phần tử không có tính chất A. Chọn ngẫu nhiên một tập hợp gồm n phần tử. Gọi X là
số phần tử có tính chất A trong n phần tử chọn ra. Khi đó X có thể nhận các giá trị:
0,1,2,…n với các xác suất tương ứng được xác định bởi công thức:

P( X = k ) =

CMk C Nn −−kM
C Nn

(20)

Định nghĩa 1.10: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị:
0,1,2,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (20) được gọi là phân
phối theo qui luật siêu bội với các tham số:N, M, n. Kí hiệu: H ( N , M , n)
 Các tham số đặc trưng:
Nếu X ~ H ( N , M , n) thì ta có:
• E ( X ) = n. p với p =
• D( X ) = n. p.q.

M
N

N −n
với q =1 − p
N −1

Ví dụ 28: Một công ty có 40 kiện hàng trong đó có 8 kiện chất lượng không đạt tiêu
chẩn. Phân phối ngẫu nhiên 10 kiện hàng cho một cửa hàng. Tính xác suất để cửa hàng
đó nhận 2 kiện không đạt tiêu chuẩn.
Giải