Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
............***............

TRẦN VĂN SỰ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN
BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA
ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS. Đỗ Văn Lưu
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Nguyễn Công Điều

Phản biện 1: . . . . . .
Phản biện 2: . . . . . .
Phản biện 3: . . . . . .

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại
Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam vào hồi .... giờ, ngày .... tháng .... năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


Mở đầu
Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến
và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian gần đây do phạm vi
áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh (2012, 2015), Ansari (2000,
2001a, 2001b, 2002), Bianchi (1996, 1997), Feng-Qiu (2014), Khanh (2013,
2015), Luu (2014a, 2014b, 2014c, 2015, 2016), Su (2017, 2018), Tan (2011,
2012, 2018a, 2018b), v.v.... Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ
bài toán cân bằng vô hướng được đưa ra lần đầu tiên bởi Blum và Oettli
(1994) và điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của nó là một chủ
đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, xem Luu (2010,
2016, 2017), Gong (2008, 2010), Long-Huang-Peng (2011), Jiménez-NovoSama (2003, 2009), Li-Zhu-Teo (2012), v.v.... Luận án của chúng tôi làm
theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán cân bằng
vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua trên đạo hàm tiếp liên với
hàm ổn định cho điều kiện cấp một và hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.
Đạo hàm tiếp liên có vai trò quan trọng trong giải tích và giải tích ứng
dụng, và nó được sử dụng trong việc thiết lập điều kiện tối ưu. Aubin
(1981) là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm tiếp liên của ánh xạ
đa trị và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu trong tối ưu vectơ
bởi Aubin-Ekeland (1984), Corley (1988) và Luc (1991); Jahn-Rauh (1997)
đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị và dẫn các điều

kiện tối ưu tương ứng; Chen- Jahn (1998) đề xuất khái niệm trên đạo hàm
tiếp liên tổng quát cho ánh xạ đa trị và áp dụng kết quả cho bài toán cân
bằng vectơ đa trị. Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp
từ kết quả đa trị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn.
Dựa vào định nghĩa của Aubin (1981), Jiménez-Novo (2008) đã chứng
minh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với hàm vững, ổn định, khả vi


2

Hadamard, khả vi Fréchet và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu
cho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc. Tác giả cũng dẫn điều kiện
cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức
và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định. Một
số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez-Novo (2008) là chưa
đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker
cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng
buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và
sự áp dụng. Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyết các vấn đề còn
tồn tại vừa được đề cập ở trên.
Rodríguez-Marín và Sama (2007a, 2007b) nghiên cứu sự tồn tại, tính
duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên, các mối liên
hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn
định và ánh xạ đa trị trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều. Một
số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama
(2007a, 2007b) là chưa xem xét sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên
cho lớp hàm đơn trị tùy ý với không gian ảnh là Banach. Về điều kiện tối
ưu, Jiménez-Novo và Sama (2009) chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu
cho cực tiểu chặt địa phương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn
ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định. Trường hợp

điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu
hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn
ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được
nghiên cứu trong Jiménez-Novo và Sama (2009) và cũng chưa từng được
nghiên cứu bởi các tác giả khác. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các
kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý
trong không gian Banach, mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp liên và dẫn
các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán
cân bằng vectơ không ràng buộc và có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo
hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach, và cuối cùng
chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của
bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu ổn định làm
cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai.
Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ đạo


3

hàm và trên đạo hàm tiếp liên cho các bài toán cân bằng vectơ và các trường
hợp đặc biệt của nó được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn
như Jahn-Khan-Zeilinger (2005), Durea (2008), Li-Zhu-Teo (2012), KhanTammer (2013), v.v... Ta nhận thấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo
hàm tiếp liên cấp hai với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach
là chưa được nghiên cứu, các kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm
hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ
được thực hiện cho trường hợp bài toán có ràng buộc tập. Luận án của
chúng tôi đã nghiên cứu kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp
hai tổng quát với lớp hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach và xây
dựng các điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của
bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó.
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một

và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua
ngôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau:
1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của
bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức
dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian
hữu hạn chiều.
2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu
hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với
hàm vững, hàm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet.
3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu
hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach.
4) Áp dụng một số kết quả đạt được vào bất đẳng thức biến phân vectơ
và bài toán tối ưu vectơ.
Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
nội dung của luận án gồm bốn chương và các kết quả chính của luận án
nằm ở trong Chương 2,3,4.
Chương 1 giới thiệu một vài khái niệm từ các loại nghiệm hữu hiệu của
(CVEP), nón tiếp liên, tập tiếp liên, đạo hàm tiếp liên, trên và dưới đạo
hàm tiếp liên cấp một và cấp hai. Trình bày khái niệm về hàm ổn định,


4

hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một số công thức
liên quan đến đạo hàm tiếp liên được cung cấp. Cuối cùng trình bày khái
niệm về điểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón.
Chương 2 nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và KarushKuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng
vectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định

trong không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng đối với bất
đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Trong chương này,
chúng tôi có đề xuất hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2) cho mục
đích nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker và KarushKuhn-Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó có ví dụ
thực tế về bài toán sản xuất - vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot.
Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên và điều kiện
cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn
cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên
đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp không gian
đầu - cuối đều là Banach và không gian đầu Banach và không gian cuối
hữu hạn chiều. Phần cuối cùng của chương này nghiên cứu bài toán cân
bằng vectơ có ràng buộc dựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểu
Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZ).
Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và điều
kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu
hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian
Banach. Phần cuối cùng của chương này chúng tôi giới thiệu Giả thiết 4.1
làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ
trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đại
học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015;
• Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội
21-23/04/2016;
• Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 1 của luận án giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất phục vụ
cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được trong các chương sau
của luận án và cụ thể như sau:
Mục 1.1 đề cập đến một số khái niệm như: Tập tiếp tuyến, đạo hàm
tiếp liên, các hàm ổn định, trên và dưới đạo hàm tiếp liên.
• Trong mục 1.1.1 trình bày định nghĩa nón tiếp liên, nón kề, nón tiếp
tuyến phần trong, nón tiếp tuyến phần trong theo dãy, nón pháp tuyến,
tập tiếp liên cấp hai, tập kề cấp hai, tập tiếp tuyến phần trong cấp hai và
một số tính chất của chúng.
• Trong mục 1.1.2 trình bày định nghĩa đạo hàm tiếp liên cấp một và
cấp hai.
• Trong mục 1.1.3 trình bày định nghĩa đạo hàm Hadamard, hàm ổn
định, hàm vững và một số tính chất liên quan.
• Trong mục 1.1.4 trình bày định nghĩa điểm cực tiểu (cực đại) lý tưởng
và Pareto của một tập theo nón và các tính chất của nó; trình bày định
nghĩa trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai cùng với một số kết quả
tồn tại của chúng.
Mục 1.2 đề cập đến bài toán cân bằng vectơ tổng quát và các trường
hợp riêng của nó.
• Trong mục 1.2.1 trình bày bài toán cân bằng vectơ (VEP), (VEP1 ),
(CVEP) và (CVEP1 ) và xây dựng khái niệm nghiệm hữu hiệu yếu (địa
phương), hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho (CVEP).
•• Định nghĩa các loại nghiệm hữu hiệu cho (CVEP)


6

Cho X, Y, Z và W là các không gian Banach thực với C là một tập
con không rỗng trong X; Q và S lần lượt là các nón lồi trong Y và Z;

F : X × X → Y là một song hàm vectơ; g : X → Z và h : X → W là các
ràng buộc, và K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} tập chấp nhận được
của bài toán cân bằng vectơ.
Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVEP) và được phát
biểu như sau: tìm vectơ x ∈ K sao cho
F (x, y) ∈ −intQ (∀ y ∈ K).

(1.1)

Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CVEP). Nếu tồn
tại một lân cận U của x sao cho (1.1) thỏa mãn với mọi y ∈ K ∩ U thì x
được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP). Nếu
bài toán (CVEP) chỉ có ràng buộc tập, ta ký hiệu (VEP) và được gọi là
bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc. Nếu X = Rn , Y = Rm , Z = Rr ,
r
W = Rl và các nón Q = Rm
+ , S = R+ , bài toán (CVEP) được gọi là bài
toán (CVEP1 ) và bài toán (VEP) được gọi là bài toán (VEP1 ).

Gọi Y ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của không gian Banach Y. Ký hiệu
Q+ là nón đối ngẫu của nón Q ⊂ Y, nghĩa là
Q+ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y ≥ 0 ∀ y ∈ Q}.
Tựa phần trong của Q+ là Q được định nghĩa bởi
Q = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > 0 ∀ y ∈ Q \ {0}}.
Cho B là một cơ sở của nón Q, ký hiệu
Q∆ (B) = {y ∗ ∈ Q : ∃ t > 0 thỏa mãn y ∗ , b ≥ t ∀ b ∈ B}.
Sử dụng một định lí tách các tập lồi rời nhau {0} và B, ta suy ra tồn tại
y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} thỏa mãn
r = inf { y ∗ , b : b ∈ B} > y ∗ , 0 = 0.
Xét một lân cận lồi mở cân đối VB của gốc 0 trong Y

r
VB = {y ∈ Y : | y ∗ , y | < }.
2
Ký hiệu VB sẽ được sử dụng xuyên suốt luận án. Dễ dàng thấy rằng
r
inf { y ∗ , y : y ∈ B + VB } ≥ ,
2


7

và với mọi lân cận lồi U của gốc 0 với U ⊂ VB , ta có B + U là một tập lồi
và 0 ∈ cl(B + U ). Do đó, cone(B + U ) là một nón lồi nhọn và chứa Q \ {0}
trong phần trong của nó.
Dựa theo cách mô tả trên, Gong (2008, 2010) đã xây dựng các định
nghĩa nghiệm hữu hiệu toàn cục, hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu cho
(CVEP) như sau.
Định nghĩa 1.1 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của
(CVEP) nếu tồn tại nón lồi nhọn H ⊂ Y với Q \ {0} ⊂ intH thỏa mãn
F (x, K) ∩ (−H) \ {0} = ∅.
Định nghĩa 1.2 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu Henig của
(CVEP) nếu tồn tại lân cận lồi cân đối U của 0 với U ⊂ VB thỏa mãn
cone F (x, K) ∩ − int cone(U + B) = ∅.
Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm siêu hữu hiệu của
(CVEP) nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại lân cận U của 0 thỏa mãn
cone F (x, K) ∩ U − Q ⊂ V.
Gọi L(X, Y ) là không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X
vào Y. Ta viết h, x giá trị của h ∈ L(X, Y ) tại x ∈ X. Khi đó, bài toán
bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVVI) và được xác
định bởi F (x, y) = T x, y − x , ở đây T là một ánh xạ từ X vào L(X, Y ).

Trong trường hợp này các khái niệm nghiệm của (CVEP) cũng là các khái
niệm nghiệm của (CVVI), tương tứng.
Tương tự cho bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) thỏa mãn
F (x, y) = f (y) − f (x) với f là một ánh xạ từ X vào Y.
• Trong mục 1.2.2 trình bày bài toán tối ưu vectơ bao gồm nghiệm hữu
hiệu yếu địa phương và cực tiểu chặt địa phương cấp m (m ∈ N) và các
điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên của chúng.
• Trong mục 1.2.3 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và
một số vấn đề liên quan.


Chương 2

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân
bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm
tiếp liên
Chương này nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và KarushKuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP1 )
và một số áp dụng vào bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ), bài toán
tối ưu vectơ (CVOP1 ), bài toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng
Nash-Cournot. Nội dung của chương này dựa vào các công trình [1] và [5]
trong phần Danh mục các công trình đã công bố.

2.1.

Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm
hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 )

Xét bài toán (CVEP1 ) được định nghĩa như trong Chương 1. Ký hiệu
I = {1, 2, . . . , r}, J = {1, 2, . . . , m} và L = {1, 2, . . . , l}. Với mỗi x ∈ K,
ta gán F = (F1 , F2 , . . . , Fm ), Fx (.) = F (x, .), Fk,x (.) = Fk (x, .) (∀ k ∈ J),

và tập chấp nhận được của (CVEP1 ) có dạng:
K = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0 (∀ i ∈ I), hj (x) = 0 (∀ j ∈ L)}.
Ta ký hiệu
Ker∇h(x) = {v ∈ X : ∇h(x), v = 0},
I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0}.


9

Đầu tiên chúng tôi cung cấp giả thiết sau làm cơ sở để phát biểu điều
kiện tối ưu cho bài toán (CVEP1 ).
Giả thiết 2.1 Fx (x) = 0; các hàm Fx , g liên tục trong một lân cận
của x; các hàm h1 , . . . , hl khả vi Fréchet tại x với các đạo hàm Fréchet
∇h1 (x), . . . , ∇hl (x) độc lập tuyến tính.
Các điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa
phương của (CVEP1 ) có thể được phát biểu như sau.
Định lí 2.1 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ).
Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g vững tại x ∈ K.
Giả sử thêm rằng với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v
sao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x)
và (y, z) ∈ Dc (Fx , g)(x)v, tồn tại (λ, µ) ∈ Rm × Rr , λ ≥ 0, µ ≥ 0 với
(λ, µ) = (0, 0) sao cho
λ, y + µ, z ≥ 0,
µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
Định lí 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ).
Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g vững tại x ∈ K.
Thêm nữa, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v sao cho
zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó,
(i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và
γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn

0∈

λk Dc Fk,x (x)v +
i∈I

k∈J

γj ∇hj (x), v ,

µi Dc gi (x)v +

(2.1)

j∈L

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).

(2.2)

(ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥
0 (∀ i ∈ I) với (λ, µ) = (0, 0) thỏa mãn
0∈

λk Dc Fk,x (x)v +
k∈J

µi Dc gi (x)v,
i∈I

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).

(2.3)


10

Nhận xét 2.1 Định lí 2.2 được áp dụng để thiết lập điều kiện tối ưu cần
cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của mô hình bài toán sản xuất vận
tải (Ví dụ 2.2 trang 41, 42) và mô hình bài toán cân bằng Nash-Cournot
(Ví dụ 2.3 trang 43, 44).
Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 và Định lí 2.2 đã giải quyết được trường hợp bài
toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc tập, trong khi tác giả Jiménez-Novo
(2008) chưa giải quyết được. Tác giả chỉ nghiên cứu điều kiện cần tối ưu
cho bài toán (CVEP1 ) có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Ngoài ra,
nếu C = Rn thì Định lí 2.1 trùng với kết quả của Jiménez-Novo (2008).
Trường hợp C = Rn , Định lí 2.2 dẫn tới hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 2.1 Cho C = Rn và x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương
của (CVEP1 ). Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g
vững tại x ∈ K. Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v
sao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó,
(i) Với mọi v ∈ Rn , tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và
γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn
0∈

λk Dc Fk,x (x)v +
i∈I

k∈J

γj ∇hj (x), v ,

µi Dc gi (x)v +

(2.4)

j∈L

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).

(2.5)

(ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) với
(λ, µ) = (0, 0) thỏa mãn
0∈

λk Dc Fk,x (x)v +

µi Dc gi (x)v,
i∈I

k∈J

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
Trường hợp các hàm Fk,x (k ∈ J) và gi (i ∈ I) khả vi Hadamard tại x,
ta cũng có một hệ quả trực tiếp khác từ Định lí 2.2 như sau.
Hệ quả 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ).
Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g khả vi Hadamard
và vững tại x ∈ K. Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x),
dgi (x; v) < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó,

11

(i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và
γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn
λk dFk,x (x; v) +
i∈I

k∈J

γj ∇hj (x), v = 0,

µi dgi (x; v) +

(2.6)

j∈L

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).

(2.7)

(ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥
0 (∀ i ∈ I) với (λ, µ) = (0, 0) thỏa mãn
λk dFk,x (x; v) +

µi dgi (x; v) = 0,
i∈I

k∈J

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
Nhận xét 2.3 Kết quả trong tiểu mục này được áp dụng vào bài toán
bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI1 ) (Định lí 2.5), bài
toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ) (Định lí 2.8), mô hình bài toán
sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot.

2.2.

Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho
nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 )

Để dẫn điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho các nghiệm
hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ), chúng tôi đưa vào các điều kiện
chính quy sau:
(CQ1) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) thỏa mãn
(i) yk < 0 (∀yk ∈ Dc Fk,x (x)v0 , ∀ k ∈ J, k = s);
zi < 0 (∀zi ∈ Dc gi (x)v0 , ∀i ∈ I(x));
(ii) ∇hj (x), v0 = 0 (∀ j ∈ L).
(CQ2) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) sao cho với mọi λk ≥ 0 (∀ k ∈ J, k = s);
µi ≥ 0 (∀ i ∈ I(x)), không đồng thời bằng 0, và γj ∈ R (∀ j ∈ L), ta có
0∈

λk Dc Fk,x (x)v0 +
k∈J,k=s

γj ∇hj (x), v0 .

µi Dc gi (x)v0 +
i∈I(x)

Mệnh đề 2.1 (CQ1) kéo theo (CQ2).

j∈L


12

Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu
yếu địa phương của (CVEP1 ) có thể được phát biểu như sau.
Định lí 2.3 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ).
Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lí 2.2 được thỏa mãn và điều kiện
chính quy (CQ2) (với chỉ số s ∈ J) đúng. Lúc đó, với mọi v ∈ Ker∇h(x)∩
IT (C, x), tồn tại λs > 0, λk ≥ 0 (∀ k ∈ J, k = s), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) thỏa
mãn
0∈

λk Dc Fk,x (x)v +

µi Dc gi (x)v,
i∈I

k∈J

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
Một điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker mạnh trong đó tất
cả các nhân tử Largange tương ứng với tất cả các thành phần của đối
tượng là dương cũng được dẫn dắt.
Định lí 2.4 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ).
Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lí 2.2 được thỏa mãn và điều

kiện chính quy (CQ2) (với tất cả các chỉ số s ∈ J) đúng. Lúc đó, với mọi
v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk > 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) thỏa
mãn
0∈

λk Dc Fk,x (x)v +

µi Dc gi (x)v,
i∈I

k∈J

µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
Để khép lại chương này, chúng tôi cung cấp nhận xét quan trọng sau.
Nhận xét 2.4 Ta có các nhận định:
(i) Định lí 2.3 và 2.4 vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện chính quy (CQ2)
bằng (CQ1).
(ii) Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu
yếu địa phương của bài toán (CVEP1 ) là chưa từng được nghiên cứu.
(iii) Kết quả thu được trong tiểu mục này được áp dụng vào bài toán bất
đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc và bài toán tối ưu vectơ có
ràng buộc (Định lí 2.6, 2.7, 2.9 và 2.10).


Chương 3

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân
bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo
hàm tiếp liên
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện tồn tại trên đạo hàm

tiếp liên cùng với một số mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên và đạo
hàm tiếp liên cho ánh xạ đơn trị và nghiên cứu điều kiện tối ưu cho các
loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập và
có đầy đủ ràng buộc. Nội dung của chương này dựa vào các công trình [2],
[3], [4] và [7] trong phần Danh mục các công trình đã công bố.

3.1.

Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp
liên với đạo hàm tiếp liên

Cho ∅ = A ⊂ Y là một tập hợp khác rỗng và Q ⊂ Y là một nón. Chúng
ta nhắc lại một số ký hiệu của Dinh The Luc (1989) và L. Rodríguez-Marín
và M. Sama (2007a, 2007b) như sau.
• Tập A được gọi là Q− bị chặn dưới (t.ứ., Q− bị chặn trên), nếu tồn
tại y ∈ Y sao cho A ⊂ y + Q (t.ứ., A ⊂ y − Q).
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là có đạo hàm bị chặn dưới, ký
hiệu (LBD) tại (x, y) ∈ graphF , nếu Dc F+ (x, y)u là Q− bị chặn dưới với
mọi u ∈ L, ở đây L là hình chiếu của T (epi(F ), (x, y)) lên không gian X.


14

• Ký hiệu các điểm cực tiểu:
IM in(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y + Q},
M in(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y − Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)},
IM ax(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y − Q},
M ax(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y + Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)},
infQ A = IM ax

y ∈ Y : A ⊂ y + Q |Q ,

supQ A = IM in

y ∈ Y : A ⊂ y − Q |Q .

Sau đây chúng tôi dẫn một kết quả tồn tại trên đạo hàm tiếp liên trong
trường hợp ánh xạ đa trị f+ có tính chất (LBD) tại (x, f (x)) ∈ graphf+ .
Mệnh đề 3.1 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử f+ : X ⇒ Y có tính chất
(LBD) tại điểm (x, f (x)) ∈ graphf+ hay Dc f+ (x, f (x))u là Q− bị chặn
dưới với mọi u ∈ L, ở đây L là hình chiếu của T (epif, (x, f (x))) lên X.
Các điều kiện sau tương đương:
(i) Df (x) tồn tại.
(ii) infQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L.
Sự tồn tại dưới đạo hàm tiếp liên có thể được phát biểu như sau.
Mệnh đề 3.2 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử Dc f+ (x, f (x))u là Q− bị
chặn trên với mọi u ∈ L và nón Q nhọn. Các điều kiện sau tương đương:
(i) Df (x) tồn tại.
(ii) supQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L.
Sử dụng khái niệm điểm cực tiểu Pareto, ta thu được một mối liên hệ
giữa trên đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên.
Mệnh đề 3.3 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử nón Q có cơ sở compact
B và Df+ (x, f (x)) tồn tại. Với mọi u ∈ X, ta có
M in Df+ (x, f (x))u + Q|Q ⊂ Dc f (x)u.

(3.1)

Đặc biệt,
Df+ (x, f (x))u ∈ Dc f (x)u.
Từ đây ta có công thức biểu diễn cho trên đạo hàm tiếp liên.

(3.2)


15

Mệnh đề 3.4 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử nón Q có cơ sở compact
B và u ∈ dom Dc f+ (x, f (x)). Khi đó, nếu Df (x)u tồn tại thì
Df (x)u = IM in Dc f (x)u|Q = IM in Dc f+ (x, f (x))u|Q

(3.3)

= M in Dc f (x)u|Q = M in Dc f+ (x, f (x))u|Q .
Nhận xét 3.1 Mệnh đề 3.4 đã giải quyết được trường hợp liên quan đến
sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đơn trị tùy ý với không gian
ảnh là Banach, trong khi Jiménez-Novo và Sama (2009) chỉ thực hiện kết
quả cho hàm ổn định với không gian ảnh là hữu hạn chiều.

3.2.

Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của
(VEP)

3.2.1.

Trường hợp không gian Banach

Các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP)
có thể được phát biểu như sau.
Bổ đề 3.1 Cho x ∈ K và giả sử rằng

(i) Q có một cơ sở compact B;
(ii) DFx (x)u tồn tại với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x));
(iii) Fx (K) ⊂ Dc Fx (x)u + Q với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)).
Khi đó, bất đẳng thức sau đúng với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) :
ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y)

∀ y ∈ K, ∀ ξ ∈ Q+ .

Định lí 3.1 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0. Dưới các giả thiết của Bổ đề
3.1 và giả sử thêm rằng ánh xạ Fx vững tại x. Khi đó, vectơ x là một
nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP) nếu và chỉ nếu với mọi u ∈ A(K, x) ∩
dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại ξ ∈ Q+ \ {0} thỏa mãn
0 ≤ ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y)

∀ y ∈ K.

(3.4)

Đặc biệt, nếu K lồi thì vectơ x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP) nếu
và chỉ nếu với mọi u ∈ T (K, x)∩dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại ξ ∈ Q+ \{0}
sao cho (3.4) được thỏa mãn.


16

Nhận xét 3.2 Định lí 3.1 đã giải quyết được trường hợp nghiệm hữu hiệu
yếu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập qua ngôn ngữ trên
đạo hàm tiếp liên, trong khi Jiménez-Novo và Sama (2009) chưa làm được
điều đó, họ chỉ thu được các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt
địa phương cấp một của bài toán tối ưu đa mục tiêu không ràng buộc.

Định lí 3.2 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0 và các điều kiện (i), (ii) và (iii)
trong Bổ đề 3.1 được thỏa mãn. Giả sử Fx vững tại x. Khi đó, vectơ x ∈ K
là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu) của
(VEP) khi và chỉ khi với mọi u ∈ A(K, x) ∩ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại
ξ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ )) thỏa mãn
0 ≤ ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y)

∀ y ∈ K.

Nhận xét 3.3 Các kết quả nhận được trong Định lí 3.2 là hoàn toàn mới
và chúng tôi cũng chưa thấy một nghiên cứu tương tự nào trước đây cho
các loại nghiệm hữu hiệu trên có sử dụng ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên.
3.2.2.

Trường hợp hữu hạn chiều

Nếu hàm Fx (.) ổn định tại x, một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu
hiệu yếu của (VEP) có thể được phát biểu như sau.
Định lí 3.3 Giả sử dimY < +∞ và Q ⊂ Y là nón lồi đóng và phần trong
của nó khác rỗng. Cho x ∈ K và giả sử Fx : X → Y ổn định tại x với
Fx (x) = 0. Giả sử thêm rằng với mỗi u ∈ A(K, x) thỏa mãn
Dc Fx (x)u ∩ (−intQ) = ∅,

(3.5)

và với mọi y ∈ K tồn tại e ∈ Q sao cho
DFx (x)u ∈ IM in((Fx (.) ± Q)(y) − e | Q).
Khi đó, vectơ x ∈ K là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP).
Nhận xét 3.4 Nếu ta thay điều kiện trong (3.5) bởi một điều kiện khác
DFx (x)u ∈ −intQ thì kết quả thu được của Định lí 3.3 vẫn còn đúng.

Định lí 3.3 là một kết quả mới về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu
yếu của bài toán (VEP) với hàm mục tiêu ổn định tại điểm tối ưu x.


17

3.3.

Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của
(CVEP)

Xét bài toán (VEPC) trong đó X = Rn , Y = Rm , Z = Rr , W = Rl ,
các nón có phần trong khác rỗng Q và S trong Rm và Rr có các cơ sở
compact B và B tương ứng. Khi đó, ta xem h = (h1 , h2 , . . . , hl ) : Rn → Rl
với hk : Rn → R với mọi k = 1 . . . l. Điều kiện chính quy kiểu KurcyuszRobinson-Zowe được ký hiệu như (KRZ) và được định nghĩa bởi
z ∈ Z : (y, z) ∈ cone D(Fx , g)(x) Ker∇h(x) ∩ IT (C, x)
+ cone S + g(x) = Z.
Một số điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Kuhn - Tucker cho các
loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) có thể được phát biểu như sau.
Định lí 3.4 (Điều kiện cần kiểu Fritz John) Cho x ∈ K với Fx (x) = 0.
Giả sử Fx , g vững tại x, h liên tục trong một lân cận của x và khả vi Fréchet
tại x với hệ ∇h1 (x), . . . , ∇hl (x) độc lập tuyến tính. Lúc đó, nếu x là một
nghiệm hữu hiệu yếu của (CVEP) thì với mọi u ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x)
và (v1 , v2 ) = D(Fx , g)(x)u, tồn tại (λ, η) ∈ Rm × Rr với (λ, η) = (0, 0) thỏa
mãn
λ ∈Q+ , η ∈ N (−S, g(x)),
λ, v1 + η, v2 ≥ 0.

(3.6)

Định lí 3.5 (Điều kiện cần kiểu Kuhn-Tucker) Cho x ∈ K với Fx (x) = 0.
Giả sử Fx , g và h thỏa mãn Định lí 3.4, tập M := D(Fx , g)(x)(Ker∇h(x) ∩
IT (C, x)) lồi và điều kiện chính quy (KRZ) đúng. Khi đó, nếu x ∈ K là
một nghiệm hữu hiệu yếu (t.ứ., hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu
hữu hiệu) của (CVEP) thì tồn tại (λ, η) ∈ Rm × Rr \ {(0, 0)} thỏa mãn
λ ∈ Q+ \ {0} (t.ứ., Q∆ (B), Q , int(Q+ )),

(3.7)

η ∈ N (−S, g(x)),

(3.8)

λ, v1 + η, v2 ≥ 0 ∀ (v1 , v2 ) ∈ M.

(3.9)

Nhận xét 3.5 Định lí 3.4 và 3.5 là các kết quả mới về điều kiện cần tối
ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
đẳng thức, bất đẳng thức và tập qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên.


Chương 4

Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài
toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ
trên đạo hàm tiếp liên
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các kết quả tồn tại trên đạo
hàm tiếp liên cấp hai với một hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach
và dẫn các điều kiện tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài

toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) qua ngôn ngữ trên đạo hàm
tiếp liên với các hàm mục tiêu tùy ý trong không gian Banach. Nội dung
của chương này dựa vào các công trình [6] và [8] trong phần Danh mục
các công trình đã công bố.

4.1.

Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp
liên cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai

Đặc trưng dựa vào điều kiện một nón có cơ sở compact như sau.
Mệnh đề 4.1 Cho k : X → Y, x ∈ X và (u, v) ∈ X × Y. Giả sử nón Q
có một cơ sở compact B và x ∈ dom Dc2 k+ (x, k(x), u, v). Các điều kiện sau
là tương đương:
2

(i) D k(x, u, v)x tồn tại.
(ii) IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q = ∅. Khi đó,
2

D k(x, u, v)x = IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q .


19

Trường hợp nón Q nhọn, sử dụng ánh xạ đa trị k+ = k + Q thay cho k
ta thu được kết quả sau.
Mệnh đề 4.2 Cho k : X → Y, x ∈ X và (u, v) ∈ X × Y. Giả sử nón Q
nhọn và x ∈ dom Dc2 k+ (x, k(x), u, v). Các điều kiện sau là tương đương:
2

(i) D k(x, u, v)x tồn tại.
(ii) IM in Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x|Q = ∅. Khi đó,
2

D k(x, u, v)x = IM in Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x|Q .
Nhận xét 4.1 Các kết quả thu được của Mệnh đề 4.1 và 4.2 vẫn còn đúng
cho trường hợp dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của ánh xạ k tại (x, u, v)
nếu ta thay IMin bằng IMax. Ngoài ra, Mệnh đề 4.1 và 4.2 là các mở rộng
của Định lí 2.8 (xem Jiménez - Novo và Sama (2009)).
Sử dụng khái niệm Q− bị chặn dưới, một đặc trưng khác về sự tồn tại
của trên đạo hàm tiếp liên có thể được phát biểu như sau.
Mệnh đề 4.3 Cho k : X → Y, x ∈ X và (u, v) ∈ X × Y. Giả sử nón Q
nhọn và Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x là Q− bị chặn dưới với mọi x ∈ L, ở đây L
là hình chiếu của T 2 (epi k, (x, k(x)), (u, v)) lên không gian đầu X. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
2

(i) D k(x, u, v)x tồn tại với mọi x ∈ L.
(ii) infQ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x ∈ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x với mọi x ∈ L.
Một dạng đối ngẫu của Mệnh đề 4.3 là kết quả sau.
Mệnh đề 4.4 Cho k : X → Y, x ∈ X và (u, v) ∈ X × Y. Giả sử nón Q
nhọn và Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x là Q− bị chặn trên với mọi x ∈ L. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(i) D 2 k(x, u, v)x tồn tại với mọi x ∈ L.
(ii) supQ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x ∈ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x với mọi x ∈ L.
Nhận xét 4.2 Các kết quả thu được trong Mệnh đề 4.3 và Mệnh đề 4.4
là các mở rộng đáng kể của Mệnh đề 3.1 và Mệnh đề 3.2 tương ứng.

20

4.2.

Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm
hữu hiệu của (CVEP)

Xét bài toán (CVEP) với ràng buộc tập và nón, nghĩa là tập chấp nhận
K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S}. Với mỗi x, u ∈ X và (v, w) ∈ Y × Z, ta gán
Mx (u, v, w) := dom Dc2 (Fx+ , g+ ) x, (Fx , g)(x), u, v, w .
Một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu của (CVEP)
có thể được phát biểu như sau.
Định lí 4.1 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0 và các nón Q, S có phần trong khác
rỗng. Giả sử tồn tại u ∈ IT (C, x) và (v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u∩
(−Q) × (−S) sao cho với mọi x ∈ Mx (u, v, w), các điều kiện sau được thỏa
mãn:
2

(i) D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn tại.
2

(ii) D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ (−intQ) × IT (−S, w).
(iii) Với mọi y ∈ K, tồn tại e1 ∈ Q, e2 ∈ IT (S, −w) sao cho
2

D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ IM in (Fx , g)(y) − (e1 , e2 ) + P | Q × S .
Ở đây, nón P ⊂ Y × Z thỏa mãn P = Q × S hoặc P = −(Q × S).
Khi đó, vectơ x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (CVEP).
Nhận xét 4.3 Định lí 4.1 là kết quả mở rộng từ điều kiện đủ tối ưu cấp
một qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên và được dựa trên cơ sở các kết

quả thu được của Định lí 3.3. Ngoài ra, định lí này đã giải quyết được
trường hợp điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu hóa vectơ có
ràng buộc nón trong khi Li-Zhu và Teo (2012) chưa giải quyết được.
Một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu
toàn cục và siêu hữu hiệu của (CVEP) có thể được phát biểu như sau.
Định lí 4.2 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0 và các nón Q, S có phần trong
khác rỗng. Giả sử rằng nón Q có một cơ sở B và tồn tại u ∈ IT (C, x),
(v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u ∩ (−Q) × (−S) sao cho với mọi x ∈
Mx (u, v, w), các điều kiện sau được thỏa mãn:


21
2

(i) D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn tại.
(ii) Tồn tại λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ ) nếu thêm B compact), η ∈ S +
với η, w = 0 thỏa mãn λ, ax + η, bx ≥ 0.
(iii) Với mọi y ∈ K, tồn tại e1 ∈ Q, e2 ∈ IT (S, −w) sao cho
2

D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ IM in (Fx , g)(y) − (e1 , e2 ) + P | Q × S .
Ở đây, nón P ⊂ Y × Z thỏa mãn P = Q × S hoặc P = −(Q × S).
Khi đó, vectơ x là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục,
siêu hữu hiệu) của (CVEP).
Nhận xét 4.4 Kết quả thu được về điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn
trên đạo hàm tiếp liên cho nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và
siêu hữu hiệu của (CVEP) là chưa từng được nghiên cứu trước đây.

4.3.

Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại
nghiệm hữu hiệu của (CVEP)

Xét bài toán (CVEP) với tập chấp nhận được có dạng
K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0}.
Để dẫn điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu
của (CVEP), chúng tôi cung cấp một giả thiết sau.
Giả thiết 4.1 Với mỗi x ∈ K, tồn tại u ∈ IT (C, x) ∩ IT (h−1 (0), x) và
(v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u ∩ (−Q) × (−S) thỏa mãn
2

(A) (ax , bx ) := D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn tại với mọi x ∈ Mx (u, v, w);
2

(B) (Fx , g)(K) ⊂ D (Fx , g)(x, u, v, w)x + Q × S với mọi x ∈ Mx (u, v, w);
(C) Điều kiện chính quy sau đúng
z ∈ Z : (y, z) ∈ cone (Fx , g)(K)

+ cone(S + w) = Z.

Đầu tiên, một điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu
yếu của (CVEP) có thể được phát biểu như sau.


22

Định lí 4.3 Cho x là một điểm chấp nhận được của (CVEP). Giả sử
rằng nón Q có phần trong khác rỗng và Giả thiết 4.1 được thỏa mãn. Khi
đó, x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (CVEP) nếu và chỉ nếu với mọi
x ∈ Mx (u, v, w), tồn tại (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn

λ ∈ Q+ \ {0}, η ∈ S + với
∼

η, w = 0;

∼

(4.1)

∼

λ, Fx (x) + η, g(x) ≥ λ, ax + η, bx ≥ 0 ∀ x ∈ K.

(4.2)

Nhận xét 4.5 Định lí 4.3 là kết quả mở rộng từ điều kiện cần và đủ tối
ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không
ràng buộc (VEP) qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên và được dựa trên
kết quả thu được của Định lí 3.1. Đây là kết quả mới về điều kiện cần và
đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CVEP) qua ngôn
ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach.
Trường hợp nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu,
một điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai có thể được phát biểu như sau.
Định lí 4.4 Cho x là một điểm chấp nhận được của (CVEP) và giả sử
rằng Giả thiết 4.1 được thỏa mãn và nón Q có cơ sở B. Khi đó, vectơ
x là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu
nếu thêm điều kiện B compact) của (CVEP) khi và chỉ khi với mọi x ∈
Mx (u, v, w), tồn tại (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn
λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ ));
η ∈ S + với

∼

∼

(4.3)

η, w = 0;

(4.4)
∼

λ, Fx (x) + η, g(x) ≥ λ, ax + η, bx ≥ 0 ∀ x ∈ K.

(4.5)

Nhận xét 4.6 Đây là kết quả mới về điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai
cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) qua ngôn ngữ trên đạo hàm
tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach và được dựa trên kết
quả thu được của Định lí 3.2.


23

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã đạt được những kết quả sau.
1) Chứng minh các kết quả tồn tại và công thức biểu diễn trên và dưới
đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai cho ánh xạ đơn trị trong không
gian Banach và thiết lập một số mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm
tiếp liên cấp một và cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai

tương ứng.
2) Xây dựng điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker
(Karush-Kuhn-Tucker mạnh) cho nghiệm hữu yếu địa phương của
(CVEP1 ) dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, hàm
ổn định, hàm khả vi Hadamard theo hướng và khả vi Fréchet và áp
dụng kết quả thu được cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng
buộc (CVVI1 ), bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ), và nhận
được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa
phương cho các mô hình của bài toán sản xuất - vận tải và bài toán
cân bằng Nash - Cournot.
3) Xây dựng điều kiện cần và đủ tối ưu cấp một và cấp hai kiểu Fritz
John và Kuhn-Tucker qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cho các
bài toán cân bằng vectơ (VEP) và (CVEP) với lớp hàm vững, hàm ổn
định, hàm khả vi Hadamard theo hướng và khả vi Fréchet cho điều
kiện cấp một và với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.
Hướng phát triển:
• Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân
bằng vectơ và áp dụng.
• Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai dưới ngôn ngữ đạo
hàm tiếp liên cho bài toán cân bằng vectơ (CVEP) và áp dụng.
• Nghiên cứu các công thức tính cơ bản của đạo hàm tiếp liên cấp hai
và trên đạo hàm tiếp liên cấp hai trong không gian Banach.
• Nghiên cứu xây dựng các mô hình thực tế bằng công cụ đạo hàm và
trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai.