Đề cương bài tập giải tích 2 – nhóm 2 (cập nhật 14 01 2018)

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 (Nhóm 2)
CHƯƠNG 1
Hàm số nhiều biến số
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau
a) z 

1

x2  y 2 1
y 1
c) z  arcsin
x

b)

=

d)

=

(

+

− 1)(4 −

)

−

sin .

2. Tìm giới hạn (nếu có) của các hàm số sau
a) ( , ) =

, ( → 0,

→ 0)

b) ( , ) = sin

c) ( , ) =

, ( → 0,

→ 0)

d) ( , ) =

, ( → ∞,

→ ∞)

, ( → 0,

→ 0).

3. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a)

= ln

+

+

b)

=

sin

c)

= arctan

d) =
, ( > 0)
e) =
, ( , , > 0)
f) =
.
4. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a) ( , ) =

arctan

,

ế

0,

ế
,

b) ( , ) =

ế

≠ 0,
= 0.
( , ) ≠ (0; 0),

ế ( , ) = (0; 0).
5. Giả sử = ( − ), ở đây là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với hàm
số hệ thức sau luôn thỏa mãn
1
1
+
= .
0,

6. Tìm đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau đây
a) =
, = cos , =

+
b) = ln( + ), = , =
c) = arcsin( − ), = 3 , = 4 .
7. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau
a) = sin( + )
b)
c)

= arctan

d)

= ln tan
=

.

8. Tính gần đúng
a) = (1,02) + (0,05)
b) = ln √1,03 + √0,98 − 1 .
9. Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau
a)
−
= , tính ′
b) + + = , tính ,
c) arctan
= , ( ≠ 0) tính ′
d)
+
+ −3

= 0, tính , .
1


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

10. Cho

=

, tính

,

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

biết rằng

là hàm số ẩn của ,

trình
=
+
.
11. Tìm đạo hàm của hàm số ẩn ( ), ( ) xác định bởi hệ
+ + = 0,
+
+ = 1.
12. Phương trình
+ =

− , xác định hàm số ẩn
rằng
1
1
+
= .

xác định bởi phương

= ( , ). Chứng minh

13. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau
( + )
a) =
b) = ln( + )
14. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau
a) =
−
b) = (
)
15. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) =
+
+
+ − +1
(
)
c) =
+
−

16. Tìm cực trị có điều kiện
a) = + với điều kiện + =

b)
d)

= + −
=2 +
−

c)

= arctan .

−2

.

b) =
với điều kiện + = 1.
17. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số
a) =
(4 − − ) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng = 0, = 0,
+ = 6.
b) = sin + sin + sin( + ) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng
= 0, = , = 0, = .

2

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

CHƯƠNG 2
Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Ứng dụng trong hình học phẳng
1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y  x3  2 x 2  4 x  3 tại điểm (2;5) .
2

b) y  e1 x tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y  1 .
 1 t
 x  t 3
c) 
tại điểm A(2;2) .
3
1
y 


2t 3 2t
d)

2
x3



2

y3

 5 tại điểm M (8;1) .

Ứng dụng
trong
hình học không gian



1. Giả sử p (t ) , q(t ) ,  (t ) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:



d 
d p(t ) d q (t )
p (t )  q (t ) 

a)
.
dt
dt
dt

d

d p (t )

( (t ) p (t ))   (t )
  ' (t ) p (t ) .

b)
dt
dt

 d q (t )  d p (t )
d  
p (t )q (t )  p (t )
 q (t )
c)
.
dt
dt 
dt



d 
d q(t ) d p(t ) 
p (t )  q (t )  p (t ) 

 q (t ) .
d)
dt
dt
dt
2. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
 x  a sin 2 t


a)  y  b sin t cos t tại điểm ứng với t  , (a, b, c  0) .

4

2
 z  c cos t













et sin t
et cos t
, y  1, z 
b) x 
tại điểm ứng với t  0 .
2
2
3. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x 2  4 y 2  2 z 2  6 tại điểm (2;2;3) .
b) z  2 x 2  4 y 2 tại điểm (2;1;12) .
c) z  ln(2 x  y ) tại điểm (1;3;0) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
 x 2  y 2  10

2 x 2  3 y 2  z 2  47
a) 
tại điểm A(1;3;4) . b) 
tại điểm B (2;1;6) .
2
2
2
2
y

z

25
x

2
y

z


3


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

CHƯƠNG 3
Tích phân kép

1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau
1 x 2

1

a)  dx
1

1

f ( x, y )dy


 1 x

1 1 y 2

b)  dy



0

2 y

2

f ( x, y )dx

1 y 2

d)  dy



0

sin y

2

e)

f ( x, y )dx

2. Tính các tích phân sau
a)  x sin( x  y )dxdy với

y

0

= {( , ) ∈



f ( x, y )dx

0

2

:0 ≤

2 x x

f ( x, y )dy
2

4 y 2

2

 dy  f ( x, y)dx   dy 
0

2x

0


2

2

c)  dx

≤

; 0≤

≤ }.

D

b)

 x

2

( y  x)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường cong x  y 2 và y  x 2 .

D

c)

 | x  y | dxdy

= {( , ) ∈

với

: | | ≤ 1 ; | | ≤ 1}.

D

d)



| y  x 2 |dxdy , với

= {( , ) ∈

:| | ≤ 1 ;0 ≤

≤ 2}.

= {( , ) ∈

:| | ≤ 1 ;0 ≤

≤ 2}.

D

e)

 | y  x

2 3

| dxdy , với

D

f)

 2 xydxdy

với D giới hạn bởi các đường x  y 2 ; x  1; y  0 và y  1 .

D

 | x |  | y | dxdy .

g)

| x|| y| 1

h)

 ( x  y )dxdy

với D giới hạn bởi các đường x 2  y 2  1; x  y  1.

D

3. Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của

 f ( x, y)dxdy

trong đó D là miền xác

D

định như sau:
a)
≤

+
≤
b)
+
≥4 ,

, ( , > 0).
+
≤8 , ≥ ,

≤2 .

c) + ≤ 1, ≥ 0, ( , > 0).
4. Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau
R2  x2

R

a)  dx
0

c)



2

2

ln(1  x  y ) dy , ( R  0) .

R

Rx  x 2

b)  dx



0

0

Rx  x 2  y 2 dy , ( R  0) .

 Rx  x 2

 xydxdy , với
D

2
2
1) D là mặt tròn ( x  2)  y  1
2
2
2) D là nửa mặt tròn ( x  2)  y  1 , y  0 .
2
2
d)  xydxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x  ( y  1)  1 và
D

2

x  y2  4y  0 .
4


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

5. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v :
1

x

u  x  y
a)  dx  f ( x, y )dy , nếu đặt 

v  x  y
b) Áp dụng tính với f ( x, y )  (2  x  y ) 2 .
0

x

6. Tính các tích phân sau
2
2
dxdy
4 y  x  y  8 y

a)  2
, trong đó D : 
(x  y 2 )2
 x  y  3 x
D

b)


D

1 x2  y2
dxdy , trong đó D : x 2  y 2  1 .
2
2
1 x  y

 x 2  y 2  12
 2
2
xy
x  y  2x
c)  2 2 dxdy , trong đó D :  2 2
x y
D
x  y  2 3 y
 x  0, y  0

x2 y2


1
4
9
D
1  xy  4
e)  (4 x 2  2 y 2 )dxdy , trong đó D : 
x  y  4 x
D

d)

2
2
 | 9 x  4 y | dxdy , trong đó D :

Ứng dụng của tích phân kép
1. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y  2 x , y  2 x , y  4 .
2. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
y2  x , y 2  2 x , x2  y , x2  2 y .
3. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
y  0 , y 2  4ax , x  y  3a , y  0 , (a  0) .
2
2
4. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 2 x  x  y  4 x , 0  y  x .
2
cos  .
5. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r  1 ; r 
3
6. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
a) ( x 2  y 2 )2  2a 2 xy , (a  0) .

b) x3  y 3  axy , (a  0) .
c) r  a (1  cos  ) , (a  0) .

7. Chứng minh rằng diện tích miền D xác định bởi x 2  ( x  y )2  1 không đổi
   .
8. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt
3x  y  1 , 3x  2 y  2 , y  0 , 0  z  1  x  y .
9. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z  4  x 2  y 2 , 2 z  2  x 2  y 2 .
10. Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0  z  1  x 2  y 2 , y  x , y  3 x .
5


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

11. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x 2  y 2  z 2  4a 2 và nằm trong mặt
trụ x 2  y 2  2ay  0 , (a  0) .
12. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z  0 , z 

x2
a2



y2
b2

,

x2
a2



y2
b2



2x
,
a

(a, b  0) .

13. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 , (a  0) .

6


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

CHƯƠNG 4
Tích phân đường
Tích phân đường loại 1
Tính các tích phân sau:
1.  ( x  y )ds , C là đường tròn x 2  y 2  2 x .

C

2.

 x  a (t  sin t )
2
y
ds
C
(0  t  2 , a  0) .
,
là
đường
có
phương
trình


y  a (1  cos t )

C

3.

 x  a(cos t  t sin t )
x 2  y 2 ds , C là đường cong 
(0  t  2 , a  0) .
y

a

(sin
t

t
cos
t
)



C

Tính phân đường loại 2
Tính các tích phân sau:
1.  ( x 2  2 xy )dx  (2 xy  y 2 )dy , trong đó AB là cung parabol y  x 2 từ A(1;1) đến
AB

B(2;4) .
 x  a (t  sin t )
(2
x

y
)
dx

xdy
,
trong
đó

là
đường
cong
theo chiều tăng của ,
C


y  a (1  cos t )

C
(0  t  2 , a  0) .

2.

3.



2( x 2  y 2 )dx  x(4 y  3)dy , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua A(0;0) ,

ABCA

B(1;1) , C (0;2) .
dx  dy
4.
 | x |  | y | , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0) , B(0;1) ,
ABCDA

C (1;0) , D(0; 1) .
4 x2

 x  t sin t
 y 2 dx
 dy , trong đó C là đường cong 
5. 
theo chiều tăng của
2
y

t
cos
t

C
0 ≤ ≤ /4.
6. Tính tích phân sau
 ( xy  x  y)dx  ( xy  x  y)dy
C

bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là
đường:
x2 y 2
a) x 2  y 2  R 2 .
b) x 2  y 2  2 x .
c) 2  2  1 , (a, b  0) .
a
b
7

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội



7.
8.

x2  y 2  2 x
x



Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

x
y


x 2  y   dy  y 2  x   dx .
4
4



e [(1  cos y )dx  ( y  sin y )dy ] , trong đó OABO là đường gấp khúc qua

OABO

O (0;0) , A(1;1) , B (0;2) .



9.

( xy  e x sin x  x  y )dx  ( xy  e y  x  sin y )dy .

x2  y 2  2 x

x3
2
10. 
 ( xy  x  y cos( xy))dx  ( 3  xy  x  x cos( xy))dy , trong đó C là đường
4

2

C

 x  a cos t
cong 
(a  0) .
y

a
sin
t

11. Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp xycloit:
x  a (t  sin t ) ; y  a (1  cos t ) và trục Ox, (a  0) .
(3;0)

12.

( x 4  4 xy 3 )dx  (6 x 2 y 2  5 y 4 )dy .


( 2;1)
(2;2 )

13.


(1; )

(1 

y2

y
y y
y
cos
)
dx

(sin

cos
)dy .
x

x x
x
x2

14. Tìm hằng số  để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định
(1  y 2 )dx  (1  x 2 )dy
.


(1

xy
)
AB
15. Tìm các hằng số a, b để biểu thức

( y 2  axy  y sin( xy ))dx  ( x 2  bxy  x sin( xy ))dy
là vi phân toàn phần của một hàm số u ( x, y ) nào đó. Hãy tìm hàm số u ( x, y ) đó.
16. Tìm hàm số h( x) để tích phân

 h( x)[(1  xy)dx  ( xy  x

2

)dy ]

AB

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( x) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(1;1) đến B (2;3) .

17. Tìm hàm số h( y ) để tích phân

 h( y)[ y(2 x  y

3

)dx  x(2 x  y 3 )dy ]

AB

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( y ) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(0;1) đến B (3;2) .

8


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

18. Tìm hàm số h( xy ) để tích phân

 h( xy)[( y  x

3 2

y )dx  ( x  x 2 y 3 )dy ]

AB

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( xy ) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(1;1) đến B (2;3) .

CHƯƠNG 5
Lý thuyết trường


1. Tính đạo hàm theo hướng l của hàm u  x3  2 y 3  3z 3 tại điểm A(2;0;1) với
 
l  AB , B(1;2; 1) .

2. Tính môđun của grad u , với

u  x3  y 3  z 3  3xyz



tại A(2;1;1) . Khi nào thì grad u vuông góc với Oz , khi nào thì grad u  0 ?

3. Tính grad u , với
1
u  r 2   ln r , r  x 2  y 2  z 2 .
r
4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u  x sin z  y cos z từ gốc O (0;0;0) là
lớn nhất?

5. Tính góc giữa hai vectơ grad z của các hàm số z  x 2  y 2 và z  x  3 y  3xy
tại (3;4) .
6. Trong các trường sau đây, trường nào là trường thế:


 

a) a  5( x 2  4 xy )i  (3x 2  2 y ) j  k .




b) a  yzi  xzj  xyk .




c) a  ( x  y )i  ( x  z ) j  ( z  y ) k .





7. Cho F  xz 2i  yx 2 j  zy 2k . Tính thông lượng của F qua mặt cầu S :

x 2  y 2  z 2  1 , hướng ra ngoài.




8. Cho F  x( y  z )i  y ( z  x ) j  z ( x  y ) k ,

L là giao tuyến của mặt trụ

x 2  y 2  y  0 và nửa mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 , z  0 . Chứng minh rằng lưu số của


F dọc theo L bằng 0.

9