Đề cương ôn tập Giải tích 12

Tr ng THPT Triu Sn 2 GV: Nguyn Th Thc
đề cơng ôn tập giải tích khối 12
Chơng ứng dụng của đạo hàm
I. sự đồng biến nghịch biến của hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định lí Lagrăng:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
b;a
và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại
một điểm
( )
b;ac

sao cho:
f(b) f(a) = f

(c)(b a) hay
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
'


=
.
2. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
a) Nếu f

(x) > 0 với mọi
( )
b;ax

thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu f

(x) < 0 với mọi
( )
b;ax

thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
3. Điểm tới hạn:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và
( )
b;ax
0

. Điểm x
0
đợc gọi
là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f

(x) không xác định hoặc bằng 0.
B. Ph ơng pháp giải toán :
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bớc:
1) Tìm điểm tới hạn.
2) Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
3) Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
C. Bài tập:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y = 2x
2
3x + 5; b) y = 4 + 3x x
2
;
c) y = x
4
2x
2
+ 3; d)
.2x8x3x
3
1
y
23
+=

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a)
;x3x
2
1
xx
4
1
y
234
+=
b)

;
1x
3x3x
y
2
+
++
=
c)
2
3
x4
x
y

=
.
Bài 3: Xác định m để hàm số
( )
1x
m1x1m2mx
y
22

++
=
giảm trong từng khoảng xác định.
Bài 4: Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến: y = (m 3)x (2m + 1)cosx.
Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. ln(1 + x) < x (với x > 0); b.

2
x
1xcos
2
>
(với x > 0).
II. cực đại và cực tiểu
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm
( )
b;ax
0

.
. x
0
là điểm cực đại của f

f(x) < f(x
0
); x

( )

V
(x

x
0
)

( )

V
là lân cận của x
0

f(x
0
) gọi là giá trị cực đại của f.
. x
0
là điểm cực tiểu của f

f(x) > f(x
0
); x

( )

V
(x

x
0
)
f(x
0
) gọi là giá trị cực tiểu của f.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
. Nếu f có đạo hàm tại x

0
và f đạt cực trị tại x
0
thì f(x
0
) = 0.
. ý nghĩa hình học: Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại x
0
thì tại điểm đó tiếp tuyến
với đồ thị của hàm số tại điểm M(x
0
, f(x
0
)) cùng phơng với trục hoành.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
a/ Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b);
( )
b;ax
0

và f(x
0
) = 0.
Nếu khi x qua x
0
thì f

(x) đổi dấu thì f đạt cực trị tại x
0

.






b/ Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f(x
0
) =
0,
0)x(f
0
"

thì x
0
là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa :
1) Nếu
0)x(f
0
"
>
thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu
0)x(f

0
"
<
thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác,
1) f(x
0
) = 0,
0)x(f
0
"
>


x
0
là điểm cực tiểu.
2) f(x
0
) = 0,
0)x(f
0
"
<


x
0

là điểm cực đại.
B. Ph ơng pháp giải toán :
1. Tìm cực trị của hàm số: Thực hiện các bớc sau:
. Tìm miền xác định của hàm số.
. Tính đạo hàm y

.
. Tìm các điểm tới hạn và lập bảng biến thiên
+ Nếu y

đổi dấu từ - sang + khi qua x
0
thì y đạt cực tiểu tại x
0
.
+ Nếu y

đổi dấu từ + sang - khi qua x
0
thì y đạt cực đại tại x
0
.
Lu ý: hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc tại những
điểm không tồn tại đạo hàm (điểm tới hạn của hàm số).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
y có cực trị hay không và bao nhiêu cực trị tuỳ thuộc vào y

có nghiệm (hoặc không có y

)

và tại các giá trị đó y

có đổi dấu hay không khi x qua x
0
.
Đặc biệt nếu y

là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị

y

= 0 có hai nghiệm phân
biệt.
C. Bài tập:
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
36x - 10; b) y = xe
-x
;
c) y = x
4
+ 2x
2
- 3; d)
xln
x
y

2
=
.
Bài 2: Tuỳ theo a hãy tìm cực trị của hàm số:
y
x

a b-x
0

+
y

- 0 +
CT
x

a b-x
0

+
y
y

+ 0 -
CĐ
a)
;x
x
a

y
+=
b) y = x
3
2ax
2
+ a
2
x .
Bài 3: Cho hàm số
( )
.1x1mmmxx
3
1
y
223
+++=
Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x =
1.
Bài 4: Xác định m để hàm số y = 2x
3
3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 đạt cực đại,
cực tiểu tại x
1
, x
2
. Chứng minh rằng khi đó x
2

- x
1
không phụ thuộc vào m.
III. giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
A. T óm tắt sách giáo khoa :
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
a.
( )
( )
( )



=

=
Mxf:Dx
Dx,Mxf
xfmaxM
0
D
.
b.
( )
( )
( )



=

=
mxf:Dx
Dx,mxf
xfminm
00
D
.
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
. Lập bảng biến thiên của hàm số trên D.
. Trờng hợp đặc biệt D =
[ ]
b;a
. Thực hiện các bớc sau:
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, .,x
n
của f(x) trên đoạn
[ ]
b;a
.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), .,f(x
n

).
+ So sánh các số vừa tính. Trong các số đó, số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
b;a
.
B. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2
x5x2y
+=
.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2xlg
1
xlgy
2
2
+
+=
.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
12x +1 trong
[ ]
5;1

;
b)
x45y
=
trong
[ ]
1;1

.
Bài 4: Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng
16cm.
IV. tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Tính lồi lõm của đồ thị:
Định nghĩa: (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b) và giả sử f có đạo hàm
trong khoảng (a; b). Nếu tại mỗi điểm của (C) tiếp tuyến luôn ở phía trên (C) ta nói (C) là
đồ thị lồi, nếu tiếp tuyến luôn ở phía dới (C) ta nói (C) là đồ thị lõm.
Định lí: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a; b) có đồ thị là (C)
. Nếu
( )
b;ax0)x(f
"
>
thì (C) là đồ thị lõm trên (a; b).
. Nếu
( )
b;ax0)x(f
"
<
thì (C) là đồ thị lồi (a; b).

2. Điểm uốn:
Điểm I(x
0
; f(x
0
)) ngăn cách giữa phần lồi và lõm của (C) gọi là điểm uốn của (C). Nếu
)x(f
"
đổi dấu khi x đi qua x
0
thì I(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn của (C).
B. Ph ơng pháp giải toán :
1. Tìm khoảng lồi,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
Phơng pháp:
. Tìm miền xác định của hàm số y = f(x).
. Tính đạo hàm cấp hai y .
. Giải phơng trình y = 0 và xét dấu y.
+ Nếu y > 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lõm trên (a; b).
+ Nếu y < 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lồi trên (a; b).
+ Nếu y đổi dấu khi x qua x
0
thì M(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thị (C).

Chú ý: Tại điểm uốn của đồ thị, tiếp tuyến xuyên qua đồ thị.
2. M(x
0
, y
0
) là điểm uốn của đồ thị y = f(x)
()
()





=
=

0
"
00
0
"
x.qua.x.khi.dau.doif
yxf
0xf
.
C. Bài tập:
Bài 1: Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau đây:
a) y = x
4
6x

2
+ 3; b)
;
x
4xx
y
2
+
=
c)
;x1y
2
+=
d) y = ln(1 + x
2
).
Bài 2: Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
y = 2x
3
6x
2
+ 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 3: Xác định a, b để I(2, -6) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x 4.
Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
1x
x

y
2
+
=
có ba điểm uốn nằm trên cùng một đờng
thẳng.
Bài 5: Xác định hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số
.ey
xx
2
+
=
V. Tiệm cận
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Tiệm cận đứng:
Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
x = x
0
là tiệm cận đứng của (C)
( )
=

xflim
0
xx
.
2. Tiệm cận ngang:
y = y
0
là tiệm cận ngang của (C)

( )
0
x
yxflim
=

.
3. Tiệm cận xiên:
y = ax + b (a

0) là tiệm cận xiên của (C)
( ) ( )
[ ]
0baxxflim
x
=+

.
Công thức tính của tiệm cận xiên:
( )
;
x
xf
lima
x

=

( )
[ ]

.axxflimb
x
=

B. Bài tập:
Bài 1: Tìm tiệm cận các hàm số sau đây:
a)
;
3x
3x6x
y
2

+
=
b)
;
3x2
3
1x5y
+
+=
c)
;
1x
1xx
y
2
3

+
=
d)
x
xsin
xy
+=
.
Bài 2: Chứng minh đồ thị hàm số
2
x1y
+=
có hai tiệm cận xiên. Tìm các tiệm cận đó.
Bài 3: Tuỳ theo m tính số tiệm cận của các đồ thị hàm số:
a)
;
1x
1mxx
y
2

++
=
b)
;
mx4x
2x
y
2
+

+
=
c)
;
2x
2x6mx
y
2
+
+
=
d)
2x3x
1mx
y
2
3
+

=
.
Bài 4: Cho hàm số
2x
cbxax
y
2

++
=
. Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1

và đờng tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng
2
x1
y

=
.
VI. Khảo sát hàm số. Một số bài toán liên quan đến khảo sát
hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
* Tìm tập xác định của hàm số. (Xét tính chẳn lẻ, tính tuần hoàn(nếu có)).
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số
+ Xét chiều biến thiên của hàm số
. Tính đạo hàm
. Tìm các điểm tới hạn
. Xét dấu của đạo hàm
. Suy ra chiều biến thiên của hàm số
+ Tính các cực trị
+ Tìm các giới hạn của hàm số
. Khi x dần tới vô cực
. Khi x dần tới bên trái và bên phải các giá trị của x tại đó hàm số không xác
định
. Tìm các tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả đã tìm đợc vào bảng biến thiên)
+ Xét tính lồi, lõm và tìm đỉêm uốn của đồ thị hàm số (đối với các hàm số trong ch-
ơng trình)
. Tính đạo hàm cấp 2
. Xét dấu của đạo hàm cấp 2
. Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

* Vẽ đồ thị
+ Chính xác hoá đồ thị
+ Vẽ đồ thị
2. Hàm số bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
0

)
* Miền xác định: D = R
* y

= 3ax
2
+ 2bx + c; y

= 6ax + 2b
a > 0 a < 0
y