Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy

Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy
Chương 1
CHẢY RỐI VÀ PHƯƠNG TRÌNH DÒNG
CHẢY
1.1. Khái niệm về dòng chảy rối:
1.1.1. Thí nghiệm về chảy rối
Nếu cho chất lỏng chảy qua một ống thủy tinh trong suốt tại đầu vào ta đặt một ngòi
mực lỏng ta thấy:


Hình vẽ 1-1. Thí nghiệm về dòng chảy rối.
- Khi vận tốc dòng chảy trong ống còn bé, dòng mực chảy thành đường thẳng, hay
nói cách khác chất lỏng không xáo trộn lẫn nhau giữa các lớp, ta gọi trạng thái này là
chảy tầng (chất lỏng được phân thành các tầng riêng biệt).
- Khi tăng vận tốc dòng chảy, dòng mực bắt đầu dao động, tiếp tục tăng vận tốc và
tới một lúc nào đó dòng mực sẽ hòa tan vào chất l
ỏng, ta gọi trạng thái này là chảy rối
(các phần tử nước chuyển động rối loạn không theo quy luật nào).
1.1.2. Phân định trạng thái chảy rối
Dòng chảy trong sông thiên nhiên nói chung là dòng chảy rối, để phân định được
trạng thái chảy một cách định lượng người ta dùng số Râynôn không thứ nguyên:
υ
vd
=Re
- đối với đường ống;
υ
vR
=Re
- đối với kênh hở và sông thiên nhiên.
Trong đó:
v - vận tốc trung bình mặt cắt;

d - đường kính ống;
υ
- hệ số nhớt động học của chất lỏng;
R - bán kính thuỷ lực.
Với sông vì chiều rộng rất lớn so với chiều sâu nên có thể coi:
tb
T
B
R ==
ω


1-1
Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy

Hình vẽ 1-2. Mặt cắt ngang lòng sông
Với dòng chảy có áp:
- Khi Re<2320 ta có trạng thái chảy tầng;
- Khi Re>2320 ta có trạng thái chảy rối.
Với dòng chảy không áp:
- Khi Re<580 ta có trạng thái chảy tầng;
- Khi Re>580 ta có trạng thái chảy rối.
Để nghiên cứu chảy rối người ta dùng công cụ xác suất thống kê.
1.1.3. Sự hình thành dòng chảy rối:
Sự hình thành dòng chảy rối là do ma sát của chất lỏng đối với thành ống hoặc đối
với bề mặt của kênh dẫn.

Hình vẽ 1-3. Nguyên nhân dòng chảy rối.
Bề mặt tiếp xúc với chất lỏng luôn có một nhám nhất định, phần chất lỏng chảy sát
biên tiếp xúc sẽ có vận tốc thay đổi tạo thành các xoáy.

- Khi vận tốc trong ống còn bé các xoáy không đủ năng lượng để lan truyền vào
trong lòng chất lỏng ta có trạng thái chảy tầng;
- Khi vận tốc trong ống đủ lớn, do chất lỏng có tính nhớt (ma sát trong) nên các
xoáy lan truyền vào trong lòng chất lỏng, giao thoa vớ
i nhau làm cho các phần tử nước
chuyển động rối loạn, ta có trạng thái chảy rối.
1.2. Đặc tính chung của dòng chảy rối:
1.2.1. Mạch động lưu tốc:
Trong chảy rối vận tốc tại một điểm đối với dòng chảy ổn định vẫn thay đổi theo
thời gian:

1-2
Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy
T
u
t(s)
0
U(m/s
u
u
'
0
∆
t
t
U

Hình vẽ 1-4. Vận tốc tức thời trong chảy rối.
Nếu gọi
u

là vận tốc trung bình theo thời gian tại một điểm ta có:
T
udt
u
T
∫
=
0
(1- 1)
Khi đó vận tốc tức thời được xác định theo công thức:
'uuu ±=
(1- 2)
u
- vận tốc trung bình;
'u
- vận tốc mạch động.
Nếu có một dòng chảy không gian các ký hiệu vận tốc tương ứng với các trục như
sau: trục x
u; y
→
v; z w.
→ →
Ta có:
uuu
′
+=
;
vvv
′
+=

;
www
′
+=
. (1- 3)
u- vận tốc theo phương x;
v- vận tốc theo phương y;
w- vận tốc theo phương z.
Đối với dòng chảy phẳng, chảy theo một chiều theo phương x, ta có:
0=v
;
0=w
.
x
y

Hình vẽ 1-5. Hệ trục tọa độ của dòng chảy 3 chiều.
Vận tốc của dòng chảy là:
'uuu +=
;
vv
′
=
;
ww
′
=
.
Các vận tốc mạch động có tính chất: trung bình theo thời gian của các lưu tốc mạch
động sẽ bằng 0 hay:

'u
=0;
'v
=0;
'w
=0.
1.2.2. Cường độ mạch động:

1-3
Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy
Để đánh giá độ lớn của vận tốc mạch động người ta lấy trung bình bình phương của
vận tốc mạch động (sau khi bình phương mới lấy trung bình), gọi là cường độ mạch
động.
2
'
'u
u
=
σ
;
2
'
'v
v
=
σ
;
2
'
'w

w
=
σ
. (1- 4)
Căn cứ vào tài liệu thu thập của kênh hở và đường ống người ta xây dựng đồ thị
quan hệ của cường độ mạch động theo chiều sâu dòng chảy:

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.2

0.4

0.6

0.8

0.04

0.02

0.2

0

0.4

0.06

0.6

0.8

H

σ

u'
u

max
H

u

max
v'
σ

Kªnh h
ë

ng

è


Hình vẽ 1-6. Đồ thị biến thiên của cường độ mạch động theo chiều sâu.
y - Tọa dộ theo phương tẳng đứng;
H - Chiều sâu dòng chảy.
Ta thấy:
- Cường độ mạch động theo hướng dòng chảy phụ thuộc vào số Re;
- Cường độ mạch động theo hướng vuông góc dòng chảy không phụ thuộc vào Re.
1.3. Phương trình chuyển động và phương trình liên tục của dòng chảy rối:
1.3.1. Phương trình chuyểnđộng của dòng chảy rối:
Đối với dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng ta có phương trình:
)'.'()'.'(
)'.'(
1
zxyx
xx
x
z
x
y
x
x
x
xx

uu
z
uu
y
uu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
u
x
p
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆+
∂
∂
−
υ
ρ

)'.'()'.'(
)'.'(
1
zyyy
xy
y
z
y
y
y
x
y
yy

uu
z
uu
y
uu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
u
y
p
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆+
∂
∂
−
υ
ρ
(1- 5)


1-4
Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy
)'.'()'.'(
)'.'(
1
zzyz
xz
z
z
z
y

z
x
z
zz
uu
z
uu
y
uu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
u
z
p
f
∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆+
∂
∂
−
υ
ρ

Trong đó:
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂

+
∂
∂
+
∂
∂
=∆

1.3.2. Phương trình liên tục.
Phương trình liên tục của dòng chảy rối có dạng:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
z
y
x
(1- 6)
1.3.3. Ứng suất tiếp trong chảy rối.

Xét dòng chảy phẳng, đều, ổn định có phương dòng chảy trùng với trục x. khi đó ta
có:
Bỏ qua phương trình 2 và các đại lượng có liên quan đến trục y.
Do dòng chảy đều nên các đại lượng không biến đổi theo x
⇒
...0)''(
'
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
xx
x
uu
xx
u
x
p

dòng chảy có phương trùng với trục x nên:
.0=
z
u

Vì dòng chảy ổn định nên

.0=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
t
u
t
u
t
u
z
y
x

Do các đại lượng chỉ phụ thuộc vào biến z nên không còn đạo hàm riêng, hệ phương
trình Râynôn trở thành:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=+

0
1
)''(
2
2
dz
pd
f
uu
dz
d
dz
ud
f
z
zx
x
x
ρ
υ
(1- 7)
Với chất lỏng động học ta có:
xxz
gIfgf =−= ;

I
x
- độ dốc mặt nước theo phương x.
Xét phương trình thứ nhất:
)''(

2
2
zx
x
x
uu
dz
d
dz
ud
gI =+
υ
(nhân cả hai vế với ρ)
)''(
2
2
zx
x
x
uu
dz
d
dz
ud
I
ρµγ
=+

Lấy tích phân theo z ta được:

1-5