Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)

B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

PH M KH

NT

H UH N

I V I CÁC BÀI TOÁN D M NHI U NH P
CH U TÁC D NG C A T I TR

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017


phân.
n t h u h n là m
tìm d ng g

am

c bi t có hi u qu
t trong mi

nh V c a nó. Tuy

n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm c n tìm trên
toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con

(ph n t ) thu c mi

nh V. Do

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý và k thu t trong
nh trên các mi n ph c t p g m nhi u vùng nh
tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

c

u ki n biên khác nhau.

nói trên
,

1.

2.

.


các bài toán

3.

4.

Vi c tìm hi u và ng d
m t khoa h c và th c ti n tính toán công trình.

có ý


.

Bernoulli).
x

xz
z

max /

h

zx tác

x

z

h/2

d2y
;
dx 2

Ez

xx

d2y
Ebz
dz
dx 2

Ebh3 d 2 y
12 dx2

2

M
h/2

d2y
dx 2

hay

(1.7)

Ebh3
,
12

EJ

d2y
dx 2

zx

Bi

zx

Q

q(x)

M

M + dM
o2

1

2 Q + dQ

dx

2

dM
dx

Q

0

ta có
(1.8)


dQ
q
dx

d 2M
dx 2

0

q

d4y
EJ 4

dx

(1.9)

(1.10)

0

(1.11)

q

M

dy
dx x

d2y
M 0 , suy ra
dx 2

0
x 0

zx

xx

x

xz

z

0 hay

xz

z

xx

x

d2y
dx 2

0 , suy ra

d3y
Ez 3
dx

0
0

0
x 0

xz

Ez 2 d 3 y
2 dx 3

C x

Hàm
z

h
. Ta có:
2

C x

E d3y
4z 2
3
8 dx

xz

xz z 0

Q

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

h2

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Ebh3 d 3 y
12 dx 3
tb
xz

Ta xét bài

Eh 2 d 3 y
12 dx 3


nguyên lý Castiliano (1847-

Lagrange).


Thay


. Gauss
(1777-

X
X;

Y;

0,

0,

Z

0,

(1.26)

Z

X U

các

Y

Y V

Z W

0,

(1.27)

là các

n trên các


u
;
x

x

x

u;

X U

y

v
; ...
y

y

v; ....

Y V

Z W

0,

(1.28)

phân

XU

YV

ZW

0

(1.29)

Tr.261].
l

0

1 d2y
2 dx 2

2

l

qy dx 0

hay

0

1 d2y
2 dx 2

(1.30)
d4y
EJ 4
dx

q

0

i

quát và Qi

2

qy dx 0


d
dt

T
qi

T

qi

Qi , (i=1,2,3......,n)

qi

(1.31)

i

i

i

i
i

1 2
myi dx
i 1 2
n

T

2

yi
x2

1

EJ
1 2

n
i

t

T
yi

t

T
yi

T
yi

0

T
yi

(1.32)

2

(1.33)
i

qi ,

yi

(1.34)

2

t

mi yi

mi

yi

t2

mi yi

(1.35)


i

-

2

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

x2

i

2

2

y

x2

i 1

2

2

y

x2

y
1
EJ i
2

2 yi
x2

1

y
1
EJ i
2

i 1

2 yi 1
x2

2

y
1

EJ i
2

yi

2
1

yi

2 yi 1
x2

yi

2

(1.36)
2

2

i.

yi

2 yi 1

EJ
EJ

yi

4 yi

4 yi 1

2

2 yi 1

yi

6 yi 4 yi 1
x4

2 yi 1
x4

2

yi

2

yi

EJ

yi

2 yi 1

2

(1.37)

4
i

x4

yi

Ta tính

i
4

EJ

y

x4

.
i

i

(1.38)

m

2

y

t

2

4

EJ

y

x4

q
d4y
EJ 4
dx

(1.39)
q

(1.40)

2

nt h uh n

n t h u h n chia k t c u công trình thành m t s
h u h n các ph n t . Các ph n t
ng t

c n i v i nhau t

nh ph n t (th m trí t

m trên biên ph n t ) g

v y vi c tính toán k t c
k tc

c

tính toán trên các ph n t c a

t n i các ph n t này l i v

c l i gi i c a m t k t c u

công trình hoàn ch

uh

n nh (ph n t ) và các tr ng thái chuy n v

chuy n v )

nh t

m nút sai phân. S khác bi t c a hai
uh

các nút c
tuy

ng

c các chuy n v t i

m n m gi

nh b ng n i suy

t h uh

c chuy n v t i

các nút c a ph n t

nh b ng hàm n i suy (hàm

d ng).
V

c v t r n bi n d ng, tu

t lí c a hàm n i suy

có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v
bi u di n g

ng c n tìm và hàm n i suy

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .


- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a ng

su t hay n i l c trong ph n t .
- Mô hình h n h

ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

l p riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

c

ng phân b c a c chuy n v

l n ng su t trong ph n t .

Hi n nay, khi áp d
h

nt h uh

ng s d

gi

n t h u h n theo mô hình chuy n v . Sau
n t h u h n theo mô hình

chuy n v .
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v
n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

chuy n v

ng c n tìm. Chuy n v

m

c l y x p x trong d ng

n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ). Trình t
n t h u h n - mô hình chuy n v có n i

dung sau:

2.1.1.1. R i r c hoá k t c u:
i ta r i r c hoá b ng cách ch n k t c u
liên t c thành m t s h u h n các mi
i h u h n. Các mi n ho c k t c
có d ng hình h

c càng nh càng t t
c g i là PTHH, chúng có th

c khác nhau, tính ch t v t li

i trong m i ph n t

c gi thi t không

i t ph n t này sang ph n t

khác.
c hình h c và s

ng các ph n t không nh ng ph thu c vào

kích hình h c và tính ch t ch u l c c a k t c u mà còn ph thu

chính xác

c a bài toán.
V ih

tc ut ms d

trình t m tam giác, ch nh t, v i v t th kh
hình h p...
Khi r i r c hoá k t c u liên t
m ts

nh g i là các nút, toàn b t p h

c gi thi t n i v i nhau t i
ir

i


c
thì m

chính xác c a k t c

Khi r i r c c n chú ý t i nh

n v bi n thiên nhanh thì ch n các

c nh

cc

gi m s
chính xác. Mi

n c a bài toán mà v n

mb

c phân chia ph i ch n sao cho t i biên các chuy n v

t. Khi chia thành các ph n t
chênh l ch quá l n làm gi

c trong m i m t ph n t không
chính xác c

c phù h

c kích

i m i bài toán c
c nh

c ban

n, n u k t qu c

chính xác

cc

p nh

c.

i v i h thanh thì khi chia nh m
ih

cc

c l n nh t có th t

yv i

i hai nút c a k t c u.

Hình 2.2.
2.1.1.2. Hàm chuy n v :
Vi c ch
nh

c các hàm chuy n v t i m t th

m b t k trong PTHH

nh s liên h gi a chuy n v nút v i chuy n v c a m

m trong

ph m vi c a PTHH.
G

ng chuy n v

nv t

(x, y, z) c a PTHH không gian và to

m b t k có to

(x, y) c a PTHH ph ng.

Ux(x, y, z); Uy(x, y, z); Uz(x, y, z)
và Ux(x, y); Uy(x, y)
Các hàm chuy n v

c ch

id

và s thành ph n ph thu c vào hình d ng, b c c a lo
Ví d trong bài toán ph ng c a ng su t hay bi n d

c. B c c a hàm
ng.
i v i lo i ph n t


tuy n tính, hàm chuy n v
c

c b c nh t và s thành ph n b ng s

i v i PTHH b c hai, hàm chuy n v

c b c hai, s thành

ph n ch a trong m i hàm b ng m i nút c a ph n t
v

c dùng trong lý thuy

nh

t s hàm chuy n

i.

1. PTHH tuy n tính:
a. PTHH tam giác:
Ux (x, y) =

1

+

2.x

Uy (x, y) =

4

+

5.

+

3.y

x+

+

4.x

2

+

5.xy

2
6.y

+

6.y

b. PTHH ch nh t:
Ux (x, y) =

1

+

Uy (x, y) =

5+

2.x
6.x

+

3,y

+

7.y

+

4.xy

+

8.xy

c. PTHH hình chóp:
Ux(x, y, z) =

1+

2.x

+

3.y

+

4.z

Uy(x, y, z) =

5+

6.x

+

7.y

+

8.z

Uz(x, y, z) =

9+

10.x

+

11.y

2.x

+

3.y

+

4.z

11.y

+

12.z

+

12.z

d. PTHH hình h p:

Ux (x, y, z) =
Uy(x, y, z) =

1+

9+

Uz(x, y, z) =

10.x

17+

18.x

+

+

19.y

+

20.z

+

5.xy

+

+

+

13.xy
21.xy

6.yz

+

+

+

7zx

14.yz
22.yz

+

+

a. PTHH tam giác:
Ux (x, y) =

1

+

2.x

Uy (x, y) =

7

+

8.

+

3.y

x+

+

1.x

2

+

2
10.x

9.y+

5.xy

+

2
6.y

+

11.xy

2
12.y

+

b. PTHH ch nh t:
Ux (x, y) =
7x

2

y+

+

+

2.x

+

3.y

+

4.x

2

+

5.xy

+

2
6.y

+

12.xy

+

2
14.y

+

2
8.xy

Uy (x, y) =

2
15x y

1

2
16.xy

9+

10.x

+

11.y

+

2
12.x

+

15zx

23zx

2. PTHH b c hai

+

+

8.xyz

+

16.xyz

24.xyz


nc

2

pháp ph n t h u h n

thi t l

nc

s d ng
i ta s d ng nguyên lý

công kh
Theo nguyên lý công kh
T

.

T

dv

V

c:
T

g . u dv

p .

V

u th

u ki n cân b ng c a h

N u chuy n trí c a c hai v
T

.

V

T

u . g dv

u . p ds

V

D.

V

D.

dv

u

T

. thay vào v ph i nh

c:

T

g dv

V

u . p ds

(2.14)

S

u ki n liên t
ng m

(2.13)

S

nh lu n Hooke:
T

i tuy n tính.

ng ta có:

T

dv

(2.12)

ds

S

u ki

ng chuy n v x p x (hàm chuy n v ) tho

c
u

ki
Ta ch n m t hàm chuy n v phù h p v i lo i và b c c a m t ph n t m u
(PTHH):
- V i bài toán không gian:
U x , y, z

P x, y.z

(2.15)

- V i bài toán ph ng:
U x, y

U -

P x, y .

nv c am

P - ma tr n các bi n c

(2.16)

m
ng chuy n v .

- ma tr n h s c a hàm chuy n v
Ví d v i ph n t tam giác:


1
2

ux

1 x

y 0 0

0

3

uy

0 0

0 1 x

y

4

(2.17)

5

6

u

P.

N u tính chuy n v c a các nút trong m t ph n t ta có:
u

e

u

e

A e.

(2.18)

-

n v c a các nút c a ph n t .

"

A e - ma tr

nh theo P và to

c a các nút.

- ma tr n h s .
Ví d v i ph n t tam giác:

u1

1

x1

y1

0

0

0

1

u2

0

0

0

1

x1

y1

2

u3

1 x2

y2

0

0

0

u4
u5

0 0
1 x3

0
y3

1 x2
0 0

y2
0

u6

0

0

1 x3

y3

u

e

0

.

e

(2.19)

4
5
6

A e.

(2.20)

Trong công th c trên giá tr c a A
u

3

ta s

c

nh. N u bi

c

, ta có:

1

Ae.u

e

(2.21)

e

nv t im

mb tk

nh theo chu n v c a các


nút c a ph n t :
1

u

P.A e . u

(2.22)

e

M t khác ta có quan h gi a chuy n v và bi n d ng:
(2.23)

.u
- ma tr n toán t vi phân;
-

n d ng

Thay giá tr c a u ta có công th c bi n d ng:
1

p Ae.u

(2.24)

e

t:

N

p.A e

B

.N

1

(2.25)
(2.26)

N - ma tr n hàm d ng
B - ma tr n bi

i c a hàm d ng

y bi n d ng có th bi
N.u
u

N.u

e

ml

B. u

ho c

ng th i

e

e

N u cho các nút m t chuy n v kh
B. u
u

N. u

n d ng kh

e

(2.27)

e

Th c hi n phép chuy n

u

T

u e.B

T

T

u e. N

T

T

T

(2.28)

T

Thay
T

ng c a nguyên lý công kh

T

u e . B . D B u e dv

V

u
V

Ta dùng chuy n v

T
e

N

T

g dv

u

T
e

N p ds

c
(2.29)

S

c ch n (H m CV) không nh ng tho

u ki n bên trong và c trên biên PTHH. Trong công th

ng


u e không ph thu c vào phép tích phân nên có th
T0

u

T

B D B u e dv

e

u

T

N

e

V

T

g dv

V

u tích phân:

u

T

N

e

T

p ds

S

Do chuy n v kh
T

B D B u e dv

N

V

T

g dv

V

N

T

(2.30)

p ds

S

N u ký hi u:

K

T

B D B dv

e
V

F

N

e

T

g dv

N

V

T

p ds

(2.31)

S

Ta có:
K

e

u

e

F

(2.32)

e

nc
K e - ma tr

c ng c a PTHH (ma tr

u

n v nút;

e

-

Fe -

c nút c a ph n t , g i là l

nc
F

a PTHH
ng K e và

nv c
cd

e

c

c, v t li u c a ph n t và t i

tr

i ch

b ng c a m t ph n t

t k t c u bao g m nhi u ph n t t o nên.

D

ng c a m t ph n t , th c hi n ghép n
ng c a h k t c u, t
c khi ghép n

to

i x ng);

t o nên

c chuy n v c a các nút,

n chuy n h tr c to

(t h to

c c b sang h

t ng th ).

2.1.1.4. Chuy n h tr c to
thu n ti n cho vi c nh p s li u t i tr ng và xem n i l c, trên m i m t
ph n t có m t h to
nút và chuy n v

riêng g i là h to
c tính theo h to

c cb
chung, g i là h to

c a các
t ng th .


Khi ghép n i ma tr
ng này t h to
K e. u

F

e

c

c, và chuy n v c n chuy n c

c c b v t ng th , t

a h to

i

c cb :

e

Ta có:

T keT

1

T u

T.F

e

e

X
: Y
Z

T là ma tr n chuy n tr c to

x
T y
z

t:
'

K

e

T Ke T

e

T F

e

T.u

e

F

'

u

'

e

'

K e - ma tr
'

'
e

T Ke T

T

do T

c ng c

Feu

1

T

1

(ma tr n tr c giao)

trong h to

c nút trong h to

-

T

t ng th .

n v nút trong h to

t ng th .

c các chuy n v nút c a h trong to
v c a các nút c

u

to
1

e

'

T .u

e

ho c u

'

'
e

F

'
e

t ng th thì chuy n

c c b là:

T

e

T .u

e

ng c a ph n t trong h to

K e. u

t ng th .

t ng th :
(2.33)

2.1.1.5. Ghép n i ma tr

c

i tr ng nút c a toàn h

D
F
tr

'

c K e và

c c a ph n t

'

liên k t c a các ph n t thành l p b ng liên k

e

c

i tr ng c a h

nh ma

c th c hi

s nút và chuy n v

H có ba nút, 2 ph n t giàn và 6 chuy n v
1 ph n t

y, ma tr

c ng c a

c 4*4.

B ng liên k t ph n t
u

Ph n t

Nút cu i

u (1)

v (2)

u (3)

v (4)

1

1

2

3

4

2

3

4

5

6

b. Ma tr

c ng
n v h to

t ng th ta có ma tr

c ng c a các

i các chuy n v :

'

K1

1 2 3 4

3 4 5 6

* * * * 1
* * * * 2

* * * * 3

* * * * 3

K

'
2

* * * * 4

Do h có 6 chuy n v nên ma tr
ng v i các chuy n v :

* * * * 4
* * * * 5
* * * * 6

c ng c a h

k

s

c 6*6


1 2 3 4 5 6
* * * * * * 1
* * * * * * 2
K

* * * * * * 3
* * * * * * 4

s

* * * * * * 5
* * * * * * 6
nh b ng cách c ng d n t

Các giá tr
'

giá tr c a K 1 chuy n vào K

'

'

K 1 và K 2 . Duy t t ng

s , ti p t c v i K

s

'

ng

2

thêm.
c c a toàn h
T s chuy n v c a h

ng.
* 1

*
*
*
*

'

F1

1
2

, F
3
4

'
2

*
*
*
*

3
4
5
6

* 2

; F

* 3
* 4

s

* 5
* 6

T

F

c c a m i ph n t

'

nh, ta duy t t ng giá tr c a

trí c a F s sao cho có cùng ch s . Ti p t

1

yv i F

i c ng thêm vào. Cu i cùng ta có h
Ks u

s

F

(2.34)
i t i nút

V i m t s lo i k t c u t i g i có các liên k
m t lò xo v
ma tr

c
c ng c a h t i v

2

a h k t c u:

s

ng h p g

'

i, v i m i liên k t ta có

c ng c a lò xo s

c công thêm vào

ng chéo chính v i s ch

ng