Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)

B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

NGUY N THANH ÂN

NT

H UH N

I V I BÀI TOÁN D M
CH U T I TR

P TRUNG

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T
NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017


L

u c a riêng tôi. Các s
li u, k t qu trong lu n

là trung th

c ai công b trong

b t k công trình nào khác.
Tác gi lu n

Nguy n Thanh Ân


L IC

Tác gi lu

xin trân tr ng bày t lòng bi t

sâu s c nh t

ng khoa h
sâu s c v
th

ng ch b o

c tr Gauss và nh ng chia s v ki n
c, toán h c uyên bác c a G

và

cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr
m

iv i

u ki n thu n l

c u hoàn thành lu n

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên
.

Tác gi xin chân thành c
và ngoài

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H i phòng

tâm góp ý cho b n lu n

, quan

, giáo viên c a Khoa xây d ng,

i h c và
ng nghi

u ki

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
Phòng

ng viên, t o

ih cu ki n thu n l

nghiên c u và hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng,
tác gi trong quá trình

.
Tác gi lu n

Nguy n Thanh Ân


M CL C
L
L IC

............................................................................................ 2
.................................................................................................. 3

M C L C........................................................................................................ 4

.......................................................................................................... 1
NG VÀ GI I BÀI TOÁN
C K T C U........................................................................................ 3
c........................................................ 3
ng phân t ............... 3
ng ........................................................................... 7
1.3. Nguyên lý công o ................................................................................... 10
2. Bài

....................................... 10
...................................................................................... 15
............................................................................ 15
..................................... 15
................................................................ 16
............................................ 16
.......................................... 16

2.1.Lý thuy t d m Euler

Bernoulli [ ]......................................................... 16

2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng ........................................................... 17
2.1.2. D m ch u u n ngang ph ng ................................................................ 20
............................ 27
n t h u h n ................................................................. 27
3.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v ......... 28

3.1.1.1. R i r c hoá k t c u:............................................................................ 28

3.1.1.2. Hàm chuy n v : .................................................................................. 29
nc

n t h u h n .................. 31


3.1.1.4. Chuy n h tr c to
3.1.1.6. X

....................................................................... 35

u ki n biên......................................................................... 39

3.1.1.7. Tìm ph n l c t i các g i.................................................................... 40
ng h p bi

c m t s chuy n v ........................................... 41

3.1.2. Cách xây d ng ma tr

c ng c a ph n t ch u u n......................... 42

3.1.3. Cách xây d ng ma tr

c ng t ng th c a k t c u .......................... 44

3.2.

Gi i bài toán d m b

3.2.1.

n t h u h n ...................... 44
...................................................................... 44
...................................................................... 64

..................................................................................................... 64
.................................................................................................... 64
Danh m c tài li u tham kh o .......................................................................... 65
I. Ti ng Vi t
II. Ti ng Pháp
III. Ti ng Anh


B

pháp
p

Lagrange

phân ình dân

,

nào
chúng


Trong

nói trên

trung.

1.

2.Trình bày

- Bernoulli

3.
.
4.


1.

NG

VÀ GI

CK TC U

Tr

trình

d

n th

c nói chung; gi i thi

xây

c k t c u (bài

ng dùng hi n nay.
1.

ng

c

B n

xây d

h c k t c u

t d m ch u u

c

minh h a.

1.

ng phân t

c xây d ng tr c ti p t vi c xét các
u ki n cân b ng l c c a phân t

c tách ra kh i k t c u. Trong s c b n

v t li u khi nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
-Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
-M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng
góc v i tr c d m (gi thi t Euler Bernoulli).
-Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su
zx tác

x và

d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su

thi t th ba và th nh t d

các ng su t ti

z

b ng không. Hai gi

n tr c d m ch có chuy n v th

cg

xz,

ng y(x) và

i c a d m. Gi thi t th nh t

xem chi u dài tr c d

i khi b

võng c a d m

là nh so v i chi u cao d m, ymax / h

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d ng

t do ng su t ti

võng c a d
thi t này ch

ngang u c

mn m

l h/l

cao z so v i tr c d m b ng

1/5. Chuy n v

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m
;
Momen tác d ng lên tr c d m:

hay

(1.7)
,
cg

c ng u n c a d m;

cong c

c g i là bi n d ng u n; b là chi u r ng d m.
ch

ng

i và s

n trình bày,

ng h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen

n bi n d

ng su t ti p gây ra. T ng các ng su t ti

zx

t do các

trên m t c t s cho ta l c c t

Q tác d ng lên tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n
nghiên c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c

d m.
Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân
b q, hình 1.3. Chi

a M, Q và q trên hình v
ng xu

i.

ng v i chi u

Hình 1.3. Xét cân b ng phân t
L yt

iv

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có
(1.8)

L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

ng:
(1.9)

8

gi a momen u n và l c c t,

9)

ng l c c t Q và ngo i l c phân b q.
u tiên) c

cân b ng phân t . L

8) theo x r i c ng v

trình (1.9

n xu t sau
(1.10)
nh theo (1.7) vào (1.10) nh
i c a thanh
(1.11)
11

n b c ba c
u ki
a) Liên k t kh p t i x=0:

c gi i v
u ki

u ki n biên c
u ki n biên t i m

o
u cu i thanh.


Chuy n v b ng không,

, momen u n

, suy ra

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

c) không có g i t a t i x=0:
Momen u n

, suy ra

; l c c t Q=0, suy ra

u ki n t
Bây gi
d

tìm hi u s phân b

c tiên vi

ng su t ti

zx

trên chi u dày h c a

ng ng su t trên tr
hay
:

Hàm
i d m,

nh t

u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m t

. Ta có:

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr
b ng

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta
có l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m


ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:
T l gi a ng su t ti p max t i tr c d m và ng su
1.

ng
ng c
nh theo kh

th

bao g

c

ng và v n t c chuy

n d ng và công c
ng l c là l c có th

ng, còn th

m

ng l c, ph thu c vào chuy n v .
c tr

ng. Các l c ngoài tác d

h là l c không th .
iv ih b

i
(1.12)
ng ph i b ng không

(1.14)
Th n

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l c

th

nd

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên lý

th

n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý

phát bi
Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng th c
x y ra khi th

n d ng là c c ti u.

Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân t
th

ng. Ta vi

i d ng sau:


V i ràng bu

ng vi

i d ng l c.

i v i d m ta có:

N i l c c n tìm mômen u n là hàm phân b theo chi u dài d m M(x) và ph i
th

u ki n liên k t

nh

u

c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s
Lagrange

bài toán không ràng bu c sau:

là th a s

n c a bài toán. Theo phép tính bi n

phân t phi m hàm (1.17) ta nh
Euler Lagrange).

có th nguyên là chuy n v

1.18) bi u th quan h

gi a M và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

võng c a d
b ng c a d m vi t theo chuy n v nh

1.20
c

trên.


Nguyên lý công bù c

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c
Trong t t c các chuy n v
th c là chuy n v có công bù c
Chuy n v

ng h c có th (kh

nv

i.

ng h c có th là chuy n v th

gi a chuy n v và bi n d ng và th

u ki n biên. Công bù b ng

tích c a ngo i l c và chuy n v tr
[Công ngo i l c

ng bi n d ng.

th

nd

V i ràng bu
L y ví d

i.

gi a chuy n v và bi n d ng.
i v i d m ch u u n, ta có

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t

trong (1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân

th hai là th

n d ng bi u th qua bi n d ng u n.

Thay t (1.22) vào (1.21), ta có

Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr
(1.24) c c ti

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c


1.25
Nguyên lý công bù c c

ng c a d m ch u u n.
i d ng bi u th c (1.24

c s d ng r ng rãi

n t h u h n.
1.3. Nguyên lý công o

(1777-

(1.26)

(1.27)

vì các

là

và


.

(1.28)

(1.29)

Tr.261].
hay

(1.30)


i
i

(i=1,2,3......,n)

(1.31)

i

i

ng trình Lagrange

i

i
i

(1.32)

(1.33)


(1.34)

(1.35)

1.5.
i

-

(1.36)
i.

Ta tính

1.37)


.
i

(1.38)

(1.39)
(1.40)

phân

-

- Bài toán siêu


ta

các

nguyên nhân bên ngoài

p

;
o

sai phân

2.1.Lý thuy t d m Euler

Bernoulli [ ]


D m ch u u n là c u ki

c ti t di n nh

u l n so

v i chi u dài c a nó, trên m t c t ngang d m t n t i hai thành ph n n i l c là
mômen u n M và l c c t Q. T i tr ng tác d ng lên d m n m trong m t ph ng
có ch

ng trung bình c a d m và th ng góc v i tr c d
ng h p d m ch u u n thu n túy ph ng và u n ngang ph ng.

2.1.1.D m ch u u n thu n túy ph ng
D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m
ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính
chính trung tâm.
ng su t trên m t c t ngang
Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu n túy
n hành thí nghi m sau:

c khi d m ch u l c ta
v ch lên m t ngoài d m nh ng
ng th ng song song và vuông
góc v i tr c d m t o nên nh ng ô
vuông, hình 2.1a. Sau khi d m bi n
d ng, hình 2.1c, ta th y r ng nh ng
ng song song v i tr c d m tr
thành nh
ng cong, nh ng
ng th ng vuông góc v i tr c
d m v n th ng và vuông góc v i
tr c d m. T
gi thi
Hình 2.1. D m ch u u n thu n túy
-M t c t ngang d
u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n d ng
v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t
Bernoulli).


-Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và không
y xa nhau (gi thi t v các th d c).
Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:
-V t li u có tính ch t liên t
ng nh
ng
-Bi n d ng c a v t th là bi n d
i tuy
i.
-Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v

c c a
chúng.
c l p tác d ng
T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i, các th
i giãn ra. Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không co,
không giãn. Th này g i là th trung hòa. T p h p các th trung hòa g i là
l p trung hòa, giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g i l
ng trung
hòa. N u ta xét m t m t c
a d m thì sau khi b u n nó s
cho hình d
ng trung hòa c a m t c t
ngang là m
ng cong. Vì chuy n v
c
m trên m t c t ngang c a
d m là bé, nên ta coi r ng hình dáng
m t c t ngang d
i sau
khi bi n d ng.
ng trung hòa c a m t c
tr c ox trùng v
ng trung hòa.
Xét bi n d ng c
n d m dz
c c t ra kh i d m b ng hai m t c t
1-1 và 2-2. Sau bi n d ng hai m t c t
này làm v i nhau m t góc
trung hòa có bán kính cong là

Hình 2.2. M t c t ngang d m
ng th ng và gi s l y

và th
(hình

2.3). Theo tính ch t c a th trung hòa ta
có:

Hình 2.3. Hai m t c t sau khi
u n


(2.1)
Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)
T (2.2) ta suy ra:
(2.3)
Xét ng su t t

m b t k A(x,y) trên m t c
a d m (hình
c oy là tr
i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng v i
ng trung hòa c a m t c t ngang.
Ta tách ra t i A m t phân t hình h p b ng
các m t c t song song v i các m t t
(hình
thi t th nh t thì góc c a
phân t sau bi n d

i, nên ta suy ra
trên các m t c a phân t không có ng su t ti p.
M t khác theo gi thi t th hai thì trên các m t
c a phân t song song v i tr c Z không có ng
su

. Do v y trên các

m t c a phân t ch có ng su t pháp

và theo

nh lu t Hooke ta có:
Hình 2.4. Phân t A
(2.4)
D m ch u u n thu n túy nên ta có
(2.5)
(2.6)
c
(2.7)


c quán tính chính trung tâm. Vì y là tr

i x ng

nên suy ra oxy là tr c quán tính chính trung tâm c a m t c t ngang. Thay
c:
(2.8)
Suy ra:

(2.9)
c ng c a d m khi u n. Thay (2.9) vào (2.4) ta có:
(2.10)

T công th c (2.10) ta có các nh n xét:
-Lu t phân b c a trên m t c t ngang d m là b c nh
i v i y.
-Nh
m trên m tc
là nh
mn m
ng th ng song song v i tr c trung hòa x) s có tr s b ng nhau và nó
t l v i kho ng cách t
i tr c trung hòa.
-Nh
m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s
. Nh
tr c trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t.

m xa

2.1.2.D m ch u u n ngang ph ng
D m ch u u n ngang ph ng là d m mà các m t c t ngang c a nó có các
thành ph n n i l c là l c c t Qy và mômen u n Mx n m trong m t ph ng quán
tính chính trung tâm c a d m.
ng su t trên m t c t ngang