Đề đa HSG toán 7 huyện hoài nhơn 2010 2011

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề chính thức)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Môn: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài1: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10.
Bài2: (3điểm)
2
3
4
2009
2010
Cho 2 đa thức : P  x   1  x  x  x  x  ...  x  x
và
1

1

�� ��
Q  x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 . Giá trị của biểu thức P � � Q � �có dạng biểu
2
2
��

diễn hữu tỉ là

��

a
; a,b �N ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh aM5
b

Bài3: (3 điểm)
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
ab bc cd d a



Hãy tìm giá trị của biểu thức: M=
c d d  a a b bc

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Bài4: (4điểm)
Cho M 

a
b
c



với a, b, c > 0.
ab bc ca

a) Chứng minh M > 1.
b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng
hàng.
Bài6: (2,5 điểm)
Cho ABC cân tại A, có �
A  1000 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng
minh:
AD + BD = BC.

/>

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
m)điể1(4

Bài

Đáp án
3 – 2 +3 – 2 = (3 + 3 ) – (2 + 2n )
= 10. 3n – 5. 2n
Vì n nguyên dương nên 2n M2 => 5. 2n M10 và 10. 3nM10
Vậy: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n M10
n+2

n+2

n

�1 �
�2 �

n

n+2

�1 �
�2 �

n

n+2

3

5

Điểm
1,0đ
1,5đ
1,0đ
0,5đ

2009

�1 � �1 � �1 �
�2 � �2 � �2 �

�1 �
�2 �

Đặt A  P � � Q � � 2  � � � � � � ...  � � ( 1)
3

2007

2 (3điểm)

�1 � �1 �
�1 �
suy ra 4 A  10  � �
 � � ...  � � (2)
�2 � �2 �
�2 �
2009

Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3 A  8  �1 � � A 
��
�2 �
( 2 điểm)

8

1

2
3

2009



2 2012  1 a

3.22009 b

3,0đ

Ta thấy: 22012  1  41006  1M3 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
22012 – 1 = 3a.
3a = 22012 – 1 = 16503 – 1. Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số
tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên aM5 .
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d

1 
1 =
1 
1
=>
a
b
c
d
abc d abc d abcd abc d



=>
a
b
c
d
�
Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d, khi đó: M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

3 (3điểm)

Từ

Nếu a+b+c+d = 0 thì a + b = - (c+d); b+c = - (d+a);
c+d = - (a+b); d+a = -(b+c). Khi đó: M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4.
a
a
b

b
c
c

;

;

ab abc bc abc ca abc
a
b
c
abc



1
=> M 
ab bc ca abc

a) Vì a, b, c > 0 nên:

4 (4điểm)

Vậy: M > 1

1,0đ

0,5đ
0,5đ

1,0đ
1,0đ
1,0đ

(1)

b
c ��b
c
a �
�a




b) Mà: �
�+ �
�
�a  b b  c c  a � �a  b b  c a  c �
b ��b
c ��c
a �
�a



= �
� �
� �
�= 3

�a  b a  b � �b  c b  c � �c  a c  a �
c
a �
�b


Vì �
�> 1 (tương tự câu a)
�a  b b  c a  c �
b
c �
�a


Suy ra: M = �
(2)
�< 2.
�a  b b  c c  a �

Từ (1) và (2) suy ra: 1< M < 2 nên M không phải là số nguyên.

/>
1,0đ

0,5đ
0,5đ


Học sinh vẽ hình đúng

5 (3,5 điểm)

0,5đ

Kẻ DF//AC (F thuộc BC)
 Góc DFB = Góc ACB (2 góc đồng vị)
Mà: Góc ABC = Góc ACB (tam giác ABC cân)
 Góc DFB = Góc ABC => Tam giác DBF cân tại D
 DB = DF, mà DF = CE (gt)
 DF = CE
 IDF  IEC (c-g-c)
 Góc DIF = Góc EIC
Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng)
HS vẽ hình đúng
A

1,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

6 (2,5 điểm)

D

Trên cạnh BC lấy 2điểm E,F sao cho:
BE = BA và BF = BD.
HS chứng minh được: AD = DE

HS chứng minh được: DFE cân tại D
Suy ra: DE = DF
HS chứng minh được: DFC cân tại F
Suy ra: DF = FC.
Suy ra: DE = FC
Suy ra: AD + BD = BC.

B

Chú y: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.

/>
E

F

C

0,5đ
0,5đ
1,0đ