Đề đa HSG toán 7 huyện hoài nhơn 2012 2013

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề chính thức

Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N
Bài 2 (4 điểm):
2012
2013
 x3
�0
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn:  2 x  y  7 
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa

1
số học sinh
3

1
1
số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh
5
4
giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh

của mỗi lớp 7 ở trường K.
của lớp 7A1,

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có Aˆ  3Bˆ  6Cˆ .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối
của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng
minh rằng: KC  AC.
Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.

/>

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 – 2013.
Bài

Đáp án
39

1
4 điểm

91

a) So sánh hai số: (– 5) và (– 2)
Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513

(– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813
Ta thấy: 12513 < 12813 � – 12513 > – 12813 � (– 5)39 > (– 2)91

2,0đ
0,75đ
0,75đ
0,5đ

b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N
Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n
= (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n
= 133.11n + 12.(144n – 11n)
Ta thấy: 133.11n M133
(144n – 11n) M(144 – 11) = 133 � 12.(144n – 11n) M133
Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133
Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N

2,0đ

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y):
Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn � (2x – y + 7)2012 �0
2013
�0
và x  3 �0 � x  3

2,0đ

Do đó, từ  2 x  y  7 

2012

 x3

2013

�0
2013

2
4 điểm

3
4 điểm

Điểm

0
suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và x  3
� 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2)
Từ (2) � x = 3
Từ (1) � y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13
Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a
n  n  1
Ta có: 1  2  3  . . .  n 
và aaa  a.111  a.3.37
2
Do đó, từ 1  2  3  . . .  n  aaa � n  n  1  2.3.37.a
� n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37
� n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)

n  n  1
Mặt khác:
 aaa �999 � n(n + 1) �1998 � n < 45 (2)
2
Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37
37.38
 703 (không thỏa)
- Với n = 37 thì aaa 
2
36.37
 666 (thỏa mãn)
- Với n + 1 = 37 thì aaa 
2
Vậy n = 36 và a = 6.
Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c �N*)
1
1
1
Theo bài ra ta có : a  a  b  b  c  c (*) và a + b + c =147
3
4
5
2a 3b 4c
12a 12b 12c
a
b
c
�
�







Từ (*) �
3
4
5
18
16
15
18 16 15

/>
1,0đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2,0đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ

4,0đ
1,0đ
1,0đ


Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :
a
b
c
abc
147

 =

 3.
18 16 15 18  16  15 49
Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45
Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45.
a) Tính số đo các góc của  ABC:
Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 1800
Từ Aˆ  3Bˆ  6Cˆ �
  

 200
6 2 1
6  2 1
9
0

0
ˆ
� A  6.20  120
Bˆ  2.200  400

4
4 điểm

1,0đ
1,0đ
2,0đ
1,0đ

Cˆ  1.200  200
Vậy: Aˆ  1200 ; Bˆ  400 ; Cˆ  200

1,0đ

b) Chứng minh AD < BD < CD.
- Trong  ACD có
ˆ  900 ; Cˆ  200 � Aˆ  700
ADC
2
� Aˆ  500

2,0đ

1,0đ

1

- Xét  ADB có Bˆ  400  Aˆ1  500 � AD  BD (1)
- Xét  ABC có Bˆ  400  Cˆ  200 � AB  AC � AB 2  AC 2 (*)
- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:
AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2
Do đó, từ (*) � AD2 + BD2 < AD2 + CD2
� BD2 < CD2 � BD < CD (2)
Từ (1) và (2) � AD < BD < CD
a) Chứng minh rằng: BM = CN
Theo giả thiết, ta có:
2AB = AB + AB = AB + AM + BM
AM + AN = AM + AC + CN
 ABC cân ở A � AB = AC
Do đó, từ AM + AN = 2AB
� BM = CN

5
4 điểm

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
Qua M kẽ ME // AC (E � BC)
 ABC cân ở A �  BME cân ở M � EM = BM = CN
�  MEI =  NCI (g-c-g) � IM = IN
Vậy: BC đi qua trung điểm của MN.
c) Chứng minh rằng: KC  AN.
+ K thuộc đường trung trực của MN � KM = KN (1)
ˆ (*)
ˆ  ACK
+  ABK =  ACK (c-g-c) � KB = KC (2); ABK
+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)

ˆ (**)
ˆ  NCK
+ Từ (1), (2) và (3) �  BMK =  CNK (c-c-c) � ABK
0
ˆ  NCK
ˆ  180  900 � KC  AN
+ Từ (*) và (**) � ACK
2

* Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.

/>
1,0đ

1,0đ

1,5đ
0,75đ
0,75đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ