Đề đa HSG toán 7 thanh chương 2013 2014

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.
a. Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105.
b. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố.
Câu 2. Tìm x biết :
a. 3  2 x  x  1
1 1
2 3

b. (   ... 

1
2013 2012
2
1

 ... 

). x =
2014
1
2
2012 2013

Câu 3.
x

3

a. Tìm x; y; z biết y  2 ; 5x = 7z và x – 2y + z = 32.
7x  5 y

7 z  5t

x

z

b. Cho 3x  7 y  3z  7t . Chứng minh: y  t .
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2013  2014  x  x  2015 .
Câu 4.
Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm
E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M
và N. Gọi I là giao điểm của MN và BE.
a. Biết AB < BC. Chứng minh: Â > 600.
b. Chứng minh IM = IN
c. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................

/>

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

Câu

Câu 1

ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 7

Ý
Nội dung
a 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5)
= 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105

Điểm
0.5
0.5

b

0.25
0,25

a

b
Câu 2

a

b

Câu 3

c

*) Nếu p = 3k + 1 ta có: 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k +1) là hợp số ( trái gt)
*) Nếu p = 3k + 2 ta có 2p + 4 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là hợp số ( trái gt)
Vậy p = 3k, mặt khác p là số nguyên tố nên p =3
3
Nếu x � thì 3  2 x  x  1 � 2x – 3 = x +1 � x = 4
2
3
2
Nếu x  thì 3  2 x  x  1 � 3 – 2x = x +1 � 3x = 2 � x =
2
3
2
Vậy x = 4 hoặc x =
3
1 1
1
2013 2012
2
1

 ... 

(   ... 
).x =
2 3
2014

1
2
2012 2013
1 1
1
2012
2011
2
1
� (   ... 
1
 1... 
 1
 1 1
).x =
2 3
2014
2
3
2012
2013
1 1
1
2014 2014
2014 2014 2014
� (   ... 

 ... 



).x =
2 3
2014
2
3
2012 2013 2014
1 1
1
1 1
1
1
1
� (   ... 


) � x = 2014
).x = 2014(  ... 
2 3
2014
2 3
2012 2013 2014

0.5
0.5
0,5

0,5
0,25
0.25

x 3
x y
x
y
x z
x
z
 �  �
 (1); 5x = 7z �  �
 (2)
y 2
3 2
21 14
7 5
21 15
x
y
z
x  2y  z
32
 

4
Từ (1) và (2) ta có:
=
21 14 15 21  28  15 8
Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60
7 x  5 y 7 z  5t

Đặt:

= k � 7x + 5y = k(3x – 7y) � (3k – 7) x= (7k + 5)y �
3 x  7 y 3 z  7t
x 7k  5

(1)
y 3k  7
z 7k  5
Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t) � (3k – 7)z = (7k + 5)t � 
(2)
t 3k  7
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

0.25

A = x  2013  2014  x  x  2015 = ( x  2013  2015  x )  x  2014
Ta có: x  2013  2015  x �x  2013  2015  x  2 . Dấu “=” xảy ra khi:

0.25

Ta có

2013 �x �2015 (1)
Lại có: x  2014 �0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 2014 (2). Từ (1) và (2) Ta có minA = 2. Dấu
“=” xảy ra khi x = 2014

/>
0.5
0.25
0,5
0,5

0.25
0.25


0.25

A
E
C

N

I
M
H
D
B

Câu 4
O

a

b

c

�. mà B
�C

� vì tam giác ABC cân Mà �
� C
�  1800 nên
Do AB < BC nên �
AB
A B
ta có
�
A  600 (HS có thể c/m bằng phản chứng)

1.0

HS chứng minh được  BDM =  CEN suy ra EN = DM
HS chứng minh được  IDM =  IEN suy ra IN = IM

0.5
0.5

Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi O là giao điểm của AH và đường thẳng vông góc với
MN ở I .
HS chứng minh được O là điểm cố định.

0.5

Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.

/>
0,5