Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thúy An

BƢỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x
SANG BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thúy An

BƢỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x
SANG BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
Chuyên ngành : Giáo dục học (Giáo dục tiểu học)
Mã số

: 60 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƢ THƢ HƢƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ yêu
cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc
rõ ràng, được thu thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài
khác.

Người viết

Đặng Thúy An


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian làm luận văn, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ, đóng góp ý
kiến và chỉ bảo nhiệt tình của thầy cô, gia đình và bạn bè.
Em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến TS Vũ Như Thư Hương,
Giảng viên Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình làm luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung, các thầy cô trong Khoa Giáo dục Tiểu học
nói riêng đã dạy dỗ cho em kiến thức, giúp em có được cơ sở lý thuyết vững vàng và
tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Em cũng xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc phòng Sau Đại học, Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập,
nghiên cứu tại trường.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và Ban Giám hiệu
trường Tiểu học Thủ Khoa Huân – TP Mỹ Tho – Tiền Giang đã luôn tạo điều kiện cho
quá trình khảo sát, quan tâm, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và

hoàn thành luận văn.

Đặng Thúy An


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các từ viết tắt
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chƣơng 1. BƢỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x SANG BÀI TOÁN
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ........................................................................... 7
1.1. Bài toán tìm x ........................................................................................................ 7
1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của x ở bậc Tiểu học....................................................... 8
1.1.2. Giai đoạn tường minh của x ở bậc Tiểu học................................................ 11
1.1.3. Bài toán tìm x ở bậc THCS .......................................................................... 17
1.2. Bài toán giải phương trình (ở THCS) ................................................................. 21
1.3. Những yếu tố cấu thành bước chuyển ................................................................ 26
Tiểu kết chƣơng 1 .................................................................................................... 27
Chƣơng 2. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................. 28
2.1. Mục đích và đối tượng của thực nghiệm ............................................................ 28
2.2. Nội dung của thực nghiệm ................................................................................. 28
3.2.1. Bài toán 1: (Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tổng) .................................................. 28
2.2.2. Bài toán 2: (Kiểu nhiệm vụ T_số bị trừ) .......................................................... 30
2.2.3. Bài toán 3: (Kiểu nhiệm vụ T_số trừ)............................................................. 32
2.2.4. Bài toán 4: (Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tích) .................................................. 34
2.2.5. Bài toán 5: (Kiểu nhiệm vụ T_số bị chia)......................................................... 36
2.2.6. Bài toán 6: (Kiểu nhiệm vụ T_số chia) ........................................................... 37

2.3. Tiến hành thực nghiệm ....................................................................................... 39
2.3.1. Diễn tiến thực nghiệm bài toán 1 ................................................................ 39
2.3.3. Diễn tiến thực nghiệm bài toán 3 ................................................................ 47
2.3.4. Diễn tiến thực nghiệm bài toán 4 ................................................................ 51
2.3.5. Diễn tiến thực nghiệm bài toán 5 ................................................................ 53


2.3.6. Diễn tiến thực nghiệm bài toán 6 ................................................................ 55
Tiểu kết chƣơng 2 .................................................................................................... 58
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 61
PHỤ LỤC
BIÊN BẢN 1 ............................................................................................................ P1
BIÊN BẢN 2 ............................................................................................................ P4
BIÊN BẢN 3 ............................................................................................................ P7
BIÊN BẢN 4 .......................................................................................................... P10
BIÊN BẢN 5 .......................................................................................................... P13
BIÊN BẢN 6 .......................................................................................................... P15


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Học sinh

: HS

Giáo viên

: GV

Sách giáo khoa

: SGK

Sách giáo viên

: SGV

Ví dụ

: VD


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.

Giai đoạn ngầm ẩn của bài toán tìm x ....................................................... 11

Bảng 1.2.

Các kiểu nhiệm vụ tường minh liên quan đến bài toán tìm x
ở tiểu học .................................................................................................... 17

Bảng 1.3.

Những yếu tố cấu thành bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán
giải phương trình ........................................................................................ 26

Bảng 2.1.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở

bài toán 1 .................................................................................................... 29

Bảng 2.2.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở
bài toán 2 .................................................................................................... 31

Bảng 2.3.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở
bài toán 3 .................................................................................................... 32

Bảng 2.4.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở
bài toán 4 .................................................................................................... 35

Bảng 2.5.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở
bài toán 5 .................................................................................................... 36

Bảng 2.6.

Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở
bài toán 6 .................................................................................................... 37

Bảng 2.7.

Hoạt động thực nghiệm bài toán 1 ............................................................. 39

Bảng 2.8.

Hoạt động thực nghiệm bài toán 2 ............................................................. 42

Bảng 2.9.

Hoạt động thực nghiệm bài toán 3 ............................................................. 47

Bảng 2.10. Hoạt động thực nghiệm bài toán 4 ............................................................. 51
Bảng 2.11. Hoạt động thực nghiệm bài toán 5 ............................................................. 53
Bảng 2.12. Hoạt động thực nghiệm bài toán 6 ............................................................. 55


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và lí do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng và là cơ sở của nhiều ngành khoa học. Trong
mạch kiến thức Số học thì bài toán tìm x là một chủ đề tương đối khó và đặc biệt luôn
có mặt trong các đề kiểm tra cuối học kỳ ở bậc tiểu học. Trong chương trình và sách
giáo khoa, chúng tôi nhận thấy bài toán tìm x xuất hiện ngay từ lớp 1 dưới dạng ngầm
ẩn là điền số thích hợp vào ô trống hay điền số thích hợp vào dấu ba chấm.
Ví dụ:

(SGK Toán 1, tr. 64)

(SGK Toán 1, tr. 67)

Trong khi đó, bài toán tìm x xuất hiện một cách tường minh từ lớp 2 đến lớp 5,

cụ thể như sau:
Lớp 2:

(SGK Toán 2, tr.45)


2

(SGK Toán 2, tr. 56)

(SGK Toán 2, tr. 72)

(SGK Toán 2, tr. 116)

(SGK Toán 2, tr. 128)

Lớp 3:

(SGK Toán 3, tr.39)


3

Lớp 4:

(SGK Toán 4, tr.168)

Lớp 5:

(SGK Toán 5, tr. 32)

Như vậy học sinh đã gặp gỡ kí hiệu x thay thế cho một giá trị cần tìm ngay từ
lớp 2. Câu hỏi mà chúng tôi đặt ra là:
-

Học sinh hiểu thế nào về ký hiệu x?

-

Liệu học sinh có gặp khó khăn gì khi sử dụng kí hiệu này không?
Lên bậc trung học cơ sở (THCS), học sinh còn gặp lại bài toán tìm x trong một

dạng thức khác là bài toán giải phương trình có ẩn số x. Câu hỏi đặt ra tiếp theo là:
Việc học và giải quyết bài toán tìm x ở bậc tiểu học có tạo thuận lợi hay gây khó
khăn gì cho học sinh khi học và giải quyết bài toán giải phương trình ở cấp THCS?
Nghiên cứu chương trình và SGK, chúng tôi cũng nhận thấy học sinh được
hướng dẫn giải bài toán tìm x là tìm thành phần chưa biết trong một phép tính (cộng,
trừ, nhân, chia) bằng cách học thuộc quy tắc. Nhưng thực tế giảng dạy cho thấy có
trường hợp học sinh không nhớ được cách làm khi giải bài toán tìm x. Nghiên cứu của
tác giả Vũ Thị Thu Trang trong luận văn Những khó khăn của học sinh tiểu học khi
học dạng bài tìm x, cho thấy có một số giáo viên đã đưa ra biện pháp hỗ trợ học sinh
trong việc giải bài toán tìm x như:
-

Biện pháp 1: Giải bài tìm x bằng cách quan sát dấu

-

Biện pháp 2: Giải bài tìm x bằng cách chuyển vế đổi dấu kết hợp học thuộc
qui tắc

4

-

Biện pháp 3: Xét dấu trong trái, ngoài cùng

-

Biện pháp 4: Giải bài tìm x theo qui tắc Xuôi – Ngược

-

Biện pháp 5: Lấy ví dụ với những con số nhỏ để suy luận làm bài

Câu hỏi mới của chúng tôi là: Có nên cung cấp các quy tắc (biện pháp 2) cho học
sinh ở bậc tiểu học, vận dụng các biện pháp 1, 3, 4 để hỗ trợ học sinh giải bài toán tìm
x hay không? Các quy tắc đó có thể ảnh hưởng gì lên mục đích dạy học chủ đề bài
toán tìm x ở bậc tiểu học?
Vì những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Bước chuyển từ bài toán tìm x
sang bài toán giải phương trình”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm các yếu tố cho phép
chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình có ẩn x và sự có mặt của các
yếu tố đó trong thể chế dạy học ở bậc tiểu học.
-

Để thực hiện các mục tiêu nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi chọn nghiên cứu về
mặt lí luận, cụ thể:

o Nghiên cứu bài toán tìm x ở Tiểu học (chương trình và sách giáo khoa).
o Nghiên cứu bài toán giải phương trình ở THCS (chương trình và sách
giáo khoa).
o Nghiên cứu về các yếu tố cho phép thực hiện bước chuyển từ bài toán
tìm x ở bậc Tiểu học sang bài toán giải phương trình ở bậc THCS.

3. Tổng quan (Lịch sử nghiên cứu)
Trong luận văn cao học có tựa đề “Tiếp cận khái niệm phương trình và phép
biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông”, tác giả Lê Thanh Hải
(2009) đã:
-

Giải thích được vì sao cùng là tiếp cận phương trình nhưng lại có thể đưa vào
chương trình dạy học ở phổ thông với nhiều cấp độ, tiến triển liên tục trong
suốt các năm học của học sinh từ khi bắt đầu học toán cho đến những năm cuối
của phổ thông;

-

Giải thích được một số lựa chọn của chương trình và SGK (từ lớp 1 đến lớp 8)
trong việc xây dựng quá trình tiếp cận phương trình ở phổ thông;


5

-

Cho rằng một số cách tiếp cận tổ chức toán học liên quan đến phương trình là
phù hợp với những tiến triển tất yếu của tri thức mặc dù có những ứng xử rất
khác nhau ở cả GV lẫn học sinh.

-

Chỉ ra một giai đoạn tiếp cận phương trình rất quan trọng, đó là từ cách tiếp cận
“phô bày” tiến triển đến cách tiếp cận “hình thức”.
Còn trong đề tài mang tên “Những khó khăn của học sinh Tiểu học khi học

dạng bài tìm x và một số biện pháp hỗ trợ”, tác giả Vũ Thị Thu Trang (2016) đã đưa ra
các biện pháp hỗ trợ của giáo viên tiểu học nhưng chưa giải quyết được hết những khó
khăn mà phương pháp học thuộc quy tắc cũng như dạng bài toán tìm x mang lại. Mỗi
biện pháp hỗ trợ có thể tốt ở trường hợp này nhưng lại chưa tốt ở trường hợp khác, có
thể áp dụng được cho số tự nhiên nhưng lại không thể áp dụng cho phân số và số thập
phân…
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi luận văn này, do muốn nghiên cứu về bước chuyển nên chúng tôi
giới hạn phạm vi nghiên cứu như sau :
- Bài toán tìm x từ lớp 1 đến lớp 7.
- Bài toán giải phương trình ở lớp 8 vì đây là thời điểm bài toán này xuất hiện lần
đầu một cách chính thức.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:
-

Nghiên cứu tài liệu (chương trình, sách giáo khoa, các công trình nghiên cứu
khoa học)

Các phƣơng pháp nghiên cứu lí luận:
-

Tổng quan về các vấn đề có liên quan đến đề tài: bài toán tìm x ở Tiểu học.

-

Sử dụng phối hợp các phương pháp: phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống
hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý thuyết và nội
dung của đề tài.

Các phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn:
-

Điều tra các hoạt động dạy học bài toán tìm x ở các trường tiểu học, bài toán
giải phương trình ở THCS.


6

Các phƣơng pháp toán học:
-

Áp dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích, xử lý các số liệu.

-

Phương pháp tổng hợp và khái quát hóa.

6. Cấu trúc luận văn
Dự kiến luận văn gồm 2 chương (không kể phần Mở đầu và Kết luận) :
Chƣơng 1. BƢỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x SANG BÀI TOÁN GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH
1.1.

Bài toán tìm x ở bậc Tiểu học

1.2.

Bài toán giải phương trình ở THCS

1.3.

Những yếu tố cấu thành bước chuyển
Kết luận

Chƣơng 2. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM


7

Chƣơng 1. BƢỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x
SANG BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
Trong chương này, chúng tôi sẽ xem xét sự tồn tại của bài toán tìm x ở bậc tiểu
học, bài toán giải phương trình ở bậc trung học cơ sở và cố gắng tìm kiếm các yếu tố
cho phép chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình. Bên cạnh đó,
chúng tôi cũng sẽ trình bày quan điểm của chúng tôi và các tham chiếu về ba khái
niệm chính được đề cập đến trong phạm vi luận văn này, đó là: bài toán tìm x, bài toán
giải phương trình và bước chuyển.
Vì đối tượng nghiên cứu ở chương này là các bài toán nên chúng gắn liền với các
kiểu nhiệm vụ. Tuy nhiên trong phạm vi luân văn này, chúng tôi chỉ quan tâm tới khối
Kỹ thuật tức sẽ chỉ ra kỹ thuật  giải quyết kiểu nhiệm vụ T tương ứng chứ không phân
tích đầy đủ tổ chức toán học theo thuyết nhân học trong Didactic Toán (bao gồm Kiểu
nhiệm vụ T, Kỹ thuật , Công nghệ , Lý thuyết ).

1.1. Bài toán tìm x
Bài toán tìm x được nghiên cứu trong phạm vi luận văn này liên quan đến bậc
tiểu học và được hiểu là bài toán trong đó cần tìm giá trị cho x, mà:
-

x là thành phần chưa biết của một trong 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia (số
hạng, số bị trừ, số trừ, thừa số, số bị chia, số chia)

-

Khi thay giá trị này cho x thì được một đẳng thức số đúng.
Như vậy các bài toán cần tìm kết quả tổng/hiệu/tích/thương của hai số không

thuộc phạm vi được các bài toán tìm x được xem xét ở đây.
Chúng tôi cũng nói rõ thêm rằng thuật ngữ bài toán tìm x không có mặt trong
chương trình và sách giáo khoa ở bậc tiểu học. Thuật ngữ này được chúng tôi chọn sử
dụng để chỉ lớp các bài toán như mô tả ở trên. Trong mỗi trường hợp cụ thể của thành
phần x cần tìm, bài toán sẽ có tên tương ứng như trong sách giáo khoa bậc tiểu học mà
chúng tôi sẽ trình bày cụ thể sau đó.


8

1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của x ở bậc Tiểu học
Ở lớp 1, học sinh mới bắt đầu làm quen với hệ thống số có một chữ số. Phép toán
đầu tiên được học là phép cộng trên các số (khác 0) trong phạm vi 3, tức là có tổng
nhỏ hơn hoặc bằng 3. Sau đó phạm vi được nới rộng lên đến 100. Trước khi phép toán
trừ được giới thiệu, chúng tôi tìm thấy kiểu nhiệm vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ T_ngầm

ẩn:

Tìm số để điền vào ô vuông/dấu ba chấm ở vị trí

thành phần của một tổng (hiệu).
Kỹ thuật: Dùng phép đếm trong phạm vi được chỉ định, tức là:
-

đếm tới: Đọc lần lượt từng giá trị từ 1, 2, 3… cho số hạng ở ô vuông cho đến khi
đạt được tổng (hiệu) đã cho để tìm ra số thích hợp.

-

bảng: Dùng bảng cộng (bảng trừ) để chọn số phù hợp.

Ví dụ 1: Ở lớp 1, “bài toán tìm x” xuất hiện ngầm ẩn lần đầu tiên trong bài tập 3 trang
45 (Phép cộng trong phạm vi 3)

(SGK Toán 1, tr.45)

“Bài toán tìm x” xuất hiện trong ví dụ này có dạng “

”. Trong 9 bài toán nhỏ

tìm số điền vào ô vuông này, chúng tôi chỉ quan tâm đến 6 bài có liên quan đến dạng
bài toán tìm x, tức là tìm thành phần của phép cộng chứ không quan tâm đến tìm số ở
vị trí tổng số.
Cách giải:
- Sách giáo viên không trình bày rõ lời giải mà nói rất chung chung:

9

(SGK Toán 1 SGV, tr.62)

Nên lời giải có thể minh họa cho bài toán “ + 1 = 3” là như sau:
- Theo kỹ thuật đếm tới, học sinh cần đếm từ 1 như sau:
1 cộng 1 bằng 2; kết quả là 2, chưa phù hợp nên đếm tiếp
2 cộng 1 bằng 3; kết quả là 3, phù hợp nên dừng đếm và ghi 2 vào ô trống.
- Theo kỹ thuật bảng, học sinh nhớ (dò) bảng cộng trong phạm vi 3 và tìm được số
thích hợp là 2 và ghi 2 vào ô trống.

Một bài toán tương tự nhưng thay vì tìm số để điền vào ô vuông thì phải điền vào chỗ
có dấu ba chấm (xuất hiện lần đầu tiên trong bài Phép cộng trong phạm vi 5) mà chúng
tôi sẽ không nêu lời giải:

(SGK Toán 1, tr.49)

Cũng ở lớp 1, khi phép trừ được giới thiệu xong (trong các phạm vi 3, 4, 5), sách
giáo khoa đưa vào bài toán tìm số điền vào ô vuông ở bài Luyện tập chung, có đồng
thời cả hai phép toán cộng và phép toán trừ:
Ví dụ 2:

(SGK Toán 1, tr.64)

- Sách giáo viên Toán 1 ưu tiên kỹ thuật bảng:

(SGV Toán 1, tr.84)

10

- Cũng với bài toán “3 +  = 5”, theo kỹ thuật đếm tới, học sinh cần đếm từ 1 như
sau:
3 cộng 1 bằng 4; kết quả là 4, chưa phù hợp nên đếm tiếp
3 cộng 2 bằng 5; kết quả là 5, phù hợp nên dừng đếm và ghi 2 vào ô trống.

Xét bài toán ứng với phép trừ “4 -  = 1”, hai lời giải ứng với hai kỹ thuật đã nêu là
như sau:
- Kỹ thuật đếm tới: học sinh cần đếm từ 1 như sau:
4 trừ 1 bằng 3; kết quả là 3, chưa phù hợp nên đếm tiếp
4 trừ 2 bằng 2; kết quả là 2, chưa phù hợp nên đếm tiếp
4 trừ 3 bằng 1; kết quả là 1, phù hợp nên dừng đếm và ghi 3 vào ô trống.

- Theo kỹ thuật bảng, học sinh nhớ (dò) bảng trừ trong phạm vi 5 và tìm được số
thích hợp là 3 và ghi 3 vào ô trống.
Sang đầu lớp 2, “bài toán tìm x” ngầm ẩn xuất hiện trong ví dụ sau đây
Ví dụ 3: SGK cho bài toán được trình bày hình thức đặt phép tính phép cộng hai
số có hai chữ số (thành 3 dòng) nhưng số cần tìm là số ở hàng đơn vị:

(SGK Toán 2, tr.6)

Như vậy, bài toán này có thể quy về bài toán tìm số điền vào ô trống sao cho: 2 +
 = 7, tức là học sinh cần tìm một số để 2 cộng với số đó thì được 7.
-

Theo kỹ thuật đếm tới, học sinh đọc nhẩm trong đầu từ 1, 2, 3… đến 5 để xem
tổng của 2 với số đang đọc có phải là 7 chưa và cuối cùng tìm được số 5 là phù
hợp.

-

Theo kỹ thuật bảng, thì học sinh thuộc bảng cộng 7 nên chọn ngay số 5 là số phù
hợp.
Mặc dù học sinh đã học phép cộng và phép trừ trong phạm vi 10, nhưng phép trừ

được xây dựng cùng một cách với phép cộng, tức là xây dựng thành bảng trừ, do đó kỹ
thuật tìm thành phần chưa biết của tổng (hiệu) bằng cách làm toán trừ (cộng/trừ) chưa
thể xuất hiện ở đây.


11

Bảng 1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của bài toán tìm x
Hình thức biểu thị cho x

- Ô vuông
- Dấu ba chấm

Kỹ thuật

- đếm tới
- dùng bảng cộng/bảng trừ

Phép toán

Cộng hoặc Trừ

Phạm vi của x

Có 1 chữ số

1.1.2. Giai đoạn tƣờng minh của x ở bậc Tiểu học
Ở lớp 2, bài toán tìm x với ký hiệu x chính thức xuất hiện một cách tường minh
lần đầu tiên trong bài Tìm một số hạng trong một tổng:

(SGK Toán 2, tr.45)

Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tổng: Tìm x là số hạng (chưa biết) trong một tổng (của
hai số)
Kỹ thuật thành phần tổng: Lấy tổng trừ đi số hạng kia (đã biết).

(SGK Toán 2, tr.45)

Có thể thấy mẫu chính là 1 ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên.
Ở bài toán này, cần tìm x, đó là số cộng với 3 thì được 9.


12

Theo kỹ thuật thành phần tổng nêu trên, học sinh lấy tổng, là số 9, trừ đi số hạng kia,
là số 3 thì được số 6 là giá trị cần tìm cho x.
Đến đây, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của tổng bằng cách làm toán trừ đã
chính thức xuất hiện. Điều này cho thấy mối liên hệ giữa “phép cộng - phép trừ” như
hai phép toán ngược nhau.
Tiếp đến kiểu nhiệm vụ thứ hai xuất hiện trong bài Tìm số bị trừ:

(SGK Toán 2, tr.56)

Kiểu nhiệm vụ T_số bị trừ: Tìm x là số bị trừ trong một hiệu (của hai số)

Kỹ thuật số bị trừ: Lấy hiệu cộng với số trừ.
Với kiểu nhiệm vụ tìm số bị trừ x sao cho: x – 4 = 6, học sinh cần tìm số x để x
trừ đi 4 thì được 6.
- Theo kỹ thuật số bị trừ nêu trên, học sinh lấy hiệu là 6 cộng với số trừ là 4 thì
được số 10 là giá trị cần tìm cho x.
Như vậy, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của hiệu bằng cách làm toán cộng đã
được sách giáo khoa giới thiệu. Cũng vậy, lần này mối liên hệ giữa “phép trừ -phép
cộng” như hai phép toán ngược nhau được tiếp tục củng cố.
Tiếp đến kiểu nhiệm vụ tường minh thứ ba xuất hiện trong bài Tìm số trừ:


13

(SGK Toán 2, tr.72)

Kiểu nhiệm vụ T_số trừ: Tìm x là số trừ trong một hiệu (của hai số)
Kỹ thuật số trừ: Lấy số bị trừ trừ đi hiệu (được giới thiệu tường minh).
Kiểu nhiệm vụ tìm số trừ được sách giáo khoa giới thiệu qua ví dụ tìm x để “10 –
x = 6”
Nghĩa là cần tìm số x để 10 trừ x thì được 6.
Dùng kỹ thuật số trừ, học sinh lấy số bị trừ là 10 trừ đi hiệu, là số 6, thì được số 4
là giá trị cần tìm cho x.
Nếu trong kiểu nhiệm vụ T_số bị trừ, phép toán cần thực hiện là phép toán ngược
của phép trừ hai số (phép cộng) thì ở kiểu nhiệm vụ T_số trừ này, phép toán cần thực
hiện vẫn là phép trừ.
Kiểu nhiệm vụ tường minh thứ tư xuất hiện trong bài Tìm một thừa số của phép
nhân:


14

(SGK Toán 2, tr.116)

Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tích: Tìm x là thừa số (chưa biết) trong một tích
Kỹ thuật thành phần tích: Lấy tích chia cho thừa số kia (thừa số đã biết).
Ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên là tìm x để “x × 2 = 8” tức là tìm số x để
x nhân với 2 thì được 8.
Theo kỹ thuật thành phần tích được sách giáo khoa cung cấp, học sinh lấy tích là 8
chia cho thừa số kia (đã biết), là 2 thì được số 4 là giá trị cần tìm cho x.
Kiểu nhiệm vụ thứ tư này cho thấy mối liên hệ giữa “phép nhân-phép chia” như
hai phép toán ngược của nhau.
Kiểu nhiệm vụ thứ năm xuất hiện trong bài Tìm số bị chia:

(SGK Toán 2, tr.128)


15

Kiểu nhiệm vụ T_số bị chia: Tìm x là số bị chia trong một thương
Kỹ thuật số bị chia: Lấy thương nhân với số chia.
Theo ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này, cần tìm x sao cho “x: 2 = 5”, tức tìm
số x biết x chia cho 2 thì được 5.
Sử dụng kỹ thuật số bị chia là lấy thương tức số 5 đem nhân với số chia, là 2, thì
được số 10 là giá trị cần tìm cho x.
Ở đây, ta thấy mối liên hệ giữa “phép chia-phép nhân” như hai phép toán ngược
nhau.
Ở lớp 3, bài toán tìm x cũng xuất hiện dưới dạng tìm một thành phần chưa biết
của phép tính, với kiểu nhiệm vụ thứ sáu xuất hiện trong bài Tìm số chia và thay vì
dùng phép toán ngược của phép chia là phép nhân thì lần này việc tìm số chia đòi hỏi
thực hiện cũng phép toán chia.

(SGK Toán 3, tr.39)

Kiểu nhiệm vụ T_số chia: Tìm x là số chia trong một thương
Kỹ thuật số chia: Lấy số bị chia, đem chia cho thương.
Kiểu nhiệm vụ này được giới thiệu trong bài toán tìm x để 30 : x = 5, nói cách
khác là tìm số x để 30 chia cho x thì được 5.
Theo kỹ thuật số chia nêu trên, cần lấy số bị chia là số 30 đem chia cho thương, là
số 5 thì được thương là số 6. Đó là giá trị cần tìm cho x.
Đến đây, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của thương bằng cách làm toán chia


16

đã chính thức xuất hiện.
Sang lớp 4, không có kiểu nhiệm vụ nào mới ngoài 6 kiểu nhiệm vụ trên, kỹ
thuật cũng không thay đổi. Điểm mới nằm ở chỗ phạm vi số được mở rộng sang tập số
hữu tỉ không âm, tức là các phân số.
Ví dụ:

(SGK Toán 4, tr.132)

Cũng nhƣ lớp 4, ở lớp 5, 6 kiểu nhiệm vụ cũ vẫn không đổi ngoại trừ phạm vi
số đã chuyển sang các số thập phân và một số bài toán không cho sẵn
tổng/hiệu/tích/thương.
Ví dụ:

(SGK Toán 5, tr 55)

Đối với các bài tập này, kỹ thuật có thêm 1 bước là tìm tổng/hiệu/tích/thương của

các số đã biết rồi mới tiến hành kỹ thuật tương ứng để tìm x.
Đặc biệt, trong SGK Toán 5, trang 159 có 2 bài toán tìm x, không yêu cầu thực
hiện phép tính mà yêu cầu dự đoán kết quả tìm x.

(SGK Toán 5, tr 159)

Đối với câu a), ngoài kỹ thuật quen thuộc là làm toán trừ để tìm thành phần của
tổng, có thể dùng kỹ thuật phần tử trung hòa như sau:
- Nhận xét rằng x cộng với 9,68 vẫn bằng chính số đó là 9,68
- Mà số 0 cộng với số nào cũng bằng chính số đó.
- Đi đến kết luận x = 0.


17

Tiểu kết:
- Chúng tôi tìm được 6 kiểu nhiệm vụ liệt kê dưới bảng sau:
Bảng 2.2. Các kiểu nhiệm vụ tường minh liên quan đến bài toán tìm x ở tiểu học
Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật

Phép toán chính

Phép toán
thực hiện

T_thành phần tổng

thành phần tổng

Phép cộng

Phép trừ

T_số bị trừ

số bị trừ

Phép trừ

Phép cộng

T_số trừ

số trừ

Phép trừ

Phép trừ

T_thành phần tích

thành phần tích

Phép nhân

Phép chia

T_số bị chia

số bị chia

Phép chia

Phép nhân

T_số chia

số chia

Phép chia

Phép chia

- Phạm vi số tiến triển từ số tự nhiên sang phân số rồi đến số thập phân.
- Kỹ thuật được bổ sung bởi các tính chất của phần tử trung hòa (số 0) và phần tử
đơn vị (số 1) trong một số bài toán đặc biệt.
• Tính chất của số 0: mọi số cộng với 0 (hoặc trừ đi 0) đều bằng chính số đó.
• Tính chất của số 1: mọi số nhân với 1 (hoặc chia cho 1) đều bằng chính số đó.
1.1.3. Bài toán tìm x ở bậc THCS
Lớp 6
Về kiểu nhiệm vụ:
Kiểu nhiệm vụ liên quan đến bài toán tìm x xuất hiện tường minh nhưng x không
luôn là một thành phần chưa biết của phép toán mà một biểu thức đại số chứa x mới là
thành phần chưa biết của phép toán. Bên cạnh đó, phạm vi của x cũng được làm rõ là
số tự nhiên hay số nguyên.
Ví dụ:

(SGK Toán 6, Tập 1, tr.17)