Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lâm Hồng Thắm

DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ
Ở TIỂU HỌC THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lâm Hồng Thắm

DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ
Ở TIỂU HỌC THEO QUAN ĐIỀM TÍCH HỢP
Chuyên ngành: Giáo dục học (Tiểu học)
Mã số:

60 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ
yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc
rõ ràng, được thu thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài
khác.
Người viết

Nguyễn Lâm Hồng Thắm


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu –
Giảng viên Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Em
xin gửi lòng biết ơn sâu sắc tới Cô vì những hướng dẫn và nhận xét quý báu của Cô
trong suốt quá trình em làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Khoa đã cho nhiều ý kiến đóng
góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn.
Em cũng xin cảm ơn các Thầy Cô, Cán bộ thuộc phòng Sau Đại học, Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, xin bày tỏ lòng cảm ơn đến những người thân, bạn bè và đặc biệt là
Ban Giám hiệu trường Tiểu học Tân Thạch A đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho quá trình
khảo sát, dạy thử nghiệm của đề tài được thuận lợi, thành công.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................1
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................................6
1.1. Về quan điểm tích hợp trong giáo dục ................................................................ 6
1.1.1. Khái niệm tích hợp trong dạy học ............................................................... 6
1.1.2. Lợi ích của dạy học tích hợp .......................................................................6
1.1.3. Các phương thức tích hợp trong dạy học toán ............................................7
1.1.4. Biểu diễn trực quan trong dạy học toán ....................................................10
1.2. Kết luận chương 1 ............................................................................................. 11
Chương 2. NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ.
CÁC MÔ HÌNH BIỂU DIỄN PHÂN SỐ ...............................................13
2.1. Các cách tiếp cận phân số và nghĩa tương ứng của nó .....................................13
2.1.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của tổng thể .............................................13
2.1.2. Cách tiếp cận độ đo ...................................................................................13
2.1.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia .............................................................. 14
2.1.4. Cách tiếp cận dựa trên tỉ số .......................................................................14
2.1.5. Cách tiếp cận dựa trên tia số .....................................................................15
2.2. Một số mô hình trực quan có thể dùng để biểu diễn phân số............................ 15
2.2.1. Mô hình diện tích ......................................................................................15
2.2.2. Mô hình độ dài ..........................................................................................16
2.2.3. Mô hình tập hợp ........................................................................................16
2.3. Nghĩa của các phép toán phân số và những biểu diễn có thể kết hợp với
chúng ................................................................................................................17
2.3.1. Nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số ................................................17
2.3.2. Nghĩa của phép nhân phân số ...................................................................18
2.3.3. Nghĩa của phép chia phân số ....................................................................19

2.4. Kết luận chương 2 ............................................................................................. 20
Chương 3. PHÂN SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ TRONG SÁCH
GIÁO KHOA TOÁN 4 HIỆN HÀNH: MỘT NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ THEO QUAN ĐIỂM SO SÁNH .......................................22


3.1. Chủ đề phân số trong chương trình toán tiểu học .............................................22
3.2. Phân số trong sách giáo khoa Toán 4 ................................................................ 24
3.2.1. Khái niệm phân số trong sách giáo khoa Toán 4 ......................................24
3.2.2. Các phép toán phân số trong SGK4 ..........................................................26
3.2.3. Sơ bộ kết luận............................................................................................ 33
3.3. Chủ đề phân số trong SGK Singapore .............................................................. 34
3.3.1. Về khái niệm phân số ................................................................................34
3.3.2. Về các phép tính trên phân số ...................................................................35
3.3.2. Về hệ thống bài tập ..................................................................................41
3.4. Kết luận chương 3 ............................................................................................ 44
Chương 4. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC CÁC PHÉP
TOÁN PHÂN SỐ THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP .........................46
4.1. Tình huống dạy phép cộng phân số ..................................................................46
4.2. Tình huống dạy phép trừ phân số .....................................................................49
4.3. Tình huống dạy phép nhân phân số ..................................................................52
4.4. Tình huống dạy phép chia phân số ...................................................................54
4.5. Mối liên hệ giữa các phép toán ........................................................................58
Chương 5. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................................61
5.1. Thực nghiệm thứ nhất ......................................................................................61
5.1.1. Mục đích thực nghiệm....................................................................................61
5.1.2. Đối tượng và bối cảnh thực nghiệm ............................................................... 61
5.1.3. Các bài toán thực nghiệm ...............................................................................61
5.1.4. Kịch bản và diễn biến thực nghiệm................................................................ 62
5.2. Thực nghiệm thứ hai ........................................................................................75

5.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................75
5.2.2. Các bài toán thực nghiệm ........................................................................76
5.2.3. Phân tích sơ bộ các bài toán ....................................................................76
5.2.4. Lời giải mong đợi ....................................................................................77
5.2.5. Phân tích kết quả thu được ......................................................................80
KẾT LUẬN ..................................................................................................................86
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 87
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những năm gần đây người ta nói nhiều đến việc đổi mới mục tiêu giáo dục,
chuyển từ “cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng” sang “phát triển năng lực”, nhằm
tạo cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức thu nhận được trong nhà trường vào giải
quyết những vấn đề quen thuộc của cuộc sống, và sau này có thể thích ứng với những
biến đổi không ngừng của thực tiễn.
Tiểu học là bậc học bắt buộc, cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản mà
mọi công dân đều cần biết để có thể hoạt động trong xã hội. Đây cũng là bậc học có
vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất, năng lực cho học sinh.
Cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình
Tiểu học. Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong
đời sống, rất cần thiết cho người lao động, cho việc học các môn học khác. Nhờ học
Toán, học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết
cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống.
Phân số là một trong những kiến thức phổ thông, nền tảng, không thể thiếu đối
với mọi người. Việc dạy học chủ đề “phân số” được phân thành nhiều giai đoạn và
chiếm một tỷ trọng không nhỏ trong chương trình tiểu học.

Là giáo viên, từ thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy hầu như học sinh chỉ có
những kiến thức hình thức về phân số, không hiểu bản chất khái niệm, bản chất phép
toán, nên phạm nhiều sai lầm. Chẳng hạn, trong phép cộng phân số, nhiều sai lầm của
học sinh có thể giải thích là do các em thực hiện “qui tắc”:

a c ac
. Quy tắc được
 
b d bd

áp dụng tương tự cho phép trừ trong trường hợp a>c, b>d. Đối với phép nhân hai phân
số, học sinh vẫn quy đồng mẫu số rồi mới nhân hai tử số và nhân hai mẫu số với nhau.
Như vậy là các em lại nhớ đến quy tắc quy đồng mẫu số khi cộng (trừ) hai phân số.
Ngoài ra, học sinh còn phạm sai lầm khi áp dụng qui tắc nhân hai phân số vào phép
chia hai phân số:

a c a:c
: 
(chia tử cho tử, mẫu cho mẫu).
b d b:d


2

Thực trạng trên cùng với nhu cầu, xu hướng đổi mới nội dung và phương pháp
dạy học khiến chúng tôi luôn trăn trở với câu hỏi: cần tổ chức dạy học như thế nào để
chủ đề phân số trở nên hấp dẫn, dễ hiểu, tạo hứng thú học tập và hình thành cho học
sinh năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn?
Đặt câu hỏi này trong xu hướng xem dạy học tích hợp là một giải pháp được chú
trọng khi nói đến việc xây dựng chương trình, viết sách giáo khoa và tìm những cách

thức dạy học hướng đến mục tiêu đổi mới (chuyển từ “cung cấp kiến thức, rèn luyện
kỹ năng” sang “phát triển năng lực”), chúng tôi chọn hướng nghiên cứu liên quan đến
vấn đề tích hợp trong dạy học phân số ở bậc tiểu học. Với nghiên cứu này, chúng tôi
mong muốn góp một phần công sức của mình vào việc nâng cao hiệu quả dạy học theo
hướng đổi mới của mục tiêu giáo dục.
Ở Việt Nam đã có một số nghiên cứu về nội dung dạy học phân số ở tiểu học.
Trần Ngọc Lan (2000) với đề tài luận án “Nội dung và phương pháp dạy học
phân số ở tiểu học theo yêu cầu phổ cập và tương đối hoàn chỉnh” đã xây dựng được
phương án dạy học phân số ở trường tiểu học Việt Nam có tính phổ cập, tính hoàn
chỉnh, tính khả thi, tính hiệu quả và phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học
sinh. Tác giả hoàn thiện và cụ thể hóa nội dung và phương pháp dạy học phân số trong
dự thảo chương trình quốc gia về môn toán ở tiểu học cho năm 2000. Ở đây, tác giả
chỉ tập trung nghiên cứu nội dung phương án đổi mới dạy học phân số ở trường tiểu
học Việt Nam.
Phạm Ngọc Bảo (2002) với đề tài “Đào tạo giáo viên tiểu học về bước chuyển từ
phân số như là “Những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là
“thương” ở lớp 3 và lớp 4”. Tác giả đã phân tích chương trình đào tạo giáo viên tiểu
học ở trường Cao đẳng Sư phạm đào tạo giáo viên tiểu học, phân tích các giáo trình về
phân số của để làm rõ những đặc trưng cơ bản của chiến lược đào tạo giáo viên và mối
quan hệ thể chế với đối tượng phân số.
Dương Hữu Tòng (2014) với đề tài luận án “Dạy học chủ đề phân số ở trường
tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán” đã làm rõ những đặc trưng khoa học
luận của khái niệm phân số và trình bày việc tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải
toán.


3

Qua nghiên cứu sơ bộ một số tài liệu liên quan, chúng tôi nhận thấy khái niệm
phân số đã được đề cập trong luận án tiến sỹ của tác giả Dương Hữu Tòng. Vì thế,

chúng tôi giới hạn đề tài ở việc nghiên cứu các phép toán trên phân số. Như vậy,
chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo
quan điểm tích hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và vận dụng quan điểm dạy học tích hợp để thiết kế một số tình
huống dạy học các phép toán phân số ở bậc tiểu học nhằm giúp học sinh nắm vững
kiến thức, hứng thú và say mê học toán, có năng lực vận dụng kiến thức học được vào
giải quyết những vấn đề đơn giản của thực tiễn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đươc mục đích đề ra, chúng tôi xác định cần triển khai năm nhiệm vụ cơ
bản dưới đây.
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài
Tìm hiểu những vấn đề lí thuyết có liên quan đến dạy học tích hợp: tích hợp là
gì? vì sao phải dạy học tích hợp? các phương thức tích hợp? Dạy học toán có thể tiếp
cận theo quan điểm tích hợp bằng cách nào?
3.2. Tìm hiểu nghĩa của các phép toán phân số
Câu hỏi mà chúng tôi đặt ra ở đây là: đâu là nghĩa của mỗi phép toán phân số?
kiểu tình huống nào cho phép mang lại những nghĩa đó?
3.3. Phân tích cách giới thiệu phép toán phân số trong chương trình và sách
giáo khoa Toán 4
Cách phép toán phân số được đưa vào chương trình môn toán lớp 4, nên nghiên
cứu của chúng tôi sẽ tập trung vào việc phân tích sách giáo khoa ở lớp này. Phân tích
này nhằm trả lời hai câu hỏi: chương trình và sách giáo khoa (SGK) Toán 4 đã:
- Hình thành nghĩa của các phép toán phân số như thế nào?
- Thể hiện quan điểm tích hợp ra sao trong việc trình bày các phép toán phân số?
3.4. Thiết kế các tình huống dạy học các phép toán phân số theo quan điểm
tích hợp


4

3.5. Thực nghiệm sư phạm
Triển khai các tình huống đã thiết kế để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của chúng.
4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Dạy học phân số theo quan điểm tích hợp ở tiểu học.
4.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học phân số cho học sinh lớp 4.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu và vận dụng hoạt động dạy học các phép toán phân số theo quan
điểm tích hợp.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Các phương pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu cơ sở lí luận về quan điểm dạy học tích hợp.
Tổng quan các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài, đặc biệt là những
công trình nghiên cứu đặc trưng của tri thức cần dạy, ở đây là phân số.
Sử dụng phối hợp các phương pháp: phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa,
khái quát hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý thuyết và nội dung của đề
tài.
6.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phân tích SGK, sách giáo viên (SGV) toán 4 để hiểu được một phần thực trạng
dạy học phân số ở tiểu học.
-

Thực nghiệm sư phạm.

-

Thống kê kết quả xử lý số liệu.

7. Dự kiến những đóng góp mới của đề tài nghiên cứu
Đề xuất được một số tình huống dạy học phép toán phân số theo quan điểm tích
hợp, góp phần năng cao chất lượng giảng dạy môn toán ở trường Tiểu học.
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn
Với mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đã xác định, chúng tôi dự kiến sẽ trình bày
kết quả nghiên cứu trong 5 chương, mỗi chương trình bày kết quả nghiên cứu lên quan
đến một trong năm nhiệm vụ đã nêu trên. Cụ thể:


5

Trong chương 1 chúng tôi sẽ làm rõ một số khái niệm tích hợp, các phương thức
tích hợp trong dạy học toán. Như sẽ chỉ ra ở phần sau chúng tôi sẽ tập trung vào hình
thức tích hợp trong nội bộ môn toán cụ thể là khai thác các biểu diễn hình học vào việc
dạy học phân số. Lí do của sự lựa chọn này chính là vì vai trò quan trọng của các biểu
diễn trực quan đối với HS lứa tuổi tiểu học. Điều này cũng sẽ được làm rõ trong
chương 1.
Chương 2 dành cho việc tìm hiểu một số đặc trưng tri thức luận của các phép
toán phân số. Những câu hỏi chủ yếu mà chúng tôi dự định tìm kiếm câu trả lời trong
chương này là:
1. Nghĩa của khái niệm phân số: phân số được hình thành từ nhu cầu gì?
2. Những biểu diễn có thể đi kèm với các phân số?
3. Nghĩa của các phép toán phân số?
Các yếu tố trả lời sẽ là điểm tựa cho việc phân tích cách trình bày chủ đề “phân
số” trong SGK toán tiểu học.
Chương 3 dành cho việc phân tích cách trình bày các kiến thức về phân số trong
SGK toán lớp 4. Những câu hỏi mà chúng tôi cố gắng trả lời trong chương này là: Mục
đích dạy học phân số theo qui định của chương trình toán tiểu học hiện hành? Những
nghĩa nào của khái niệm được hình thành? Vấn đề tích hợp được SGK tính đến như
thế nào trong việc trình bày các nội dung về phân số? Những cái gì cần tồn tại nhưng

đã không tồn tại?
Chương 4 tập trung nghiên cứu việc thiết kế một số tình huống dạy học về bốn
phép toán: cộng, trừ, nhân, chia phân số theo quan điểm tích hợp. Các tình huống được
thiết kế nhắm đến mục đích bổ sung cho sự chưa đầy đủ của SGK một mặt là trong
việc tính đến nghĩa của các phép toán và mặt khác là tính đến quan điểm tích hợp.
Chương 5 chương cuối cùng của luận văn nhằm mục đích xem xét tính khả thi
của các tình huống đã thiết kế.


6

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Về quan điểm tích hợp trong giáo dục
1.1.1. Khái niệm tích hợp trong dạy học
Tích hợp (“Integration”) là một khái niệm được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, và
là một xu hướng dạy học hiện đại. Thuật ngữ “Integration” có nguồn gốc từ tiếng Latinh với nghĩa xác lập cái chung, cái toàn thể, cái thống nhất trên cơ sở những bộ phận
riêng lẻ. Theo từ điển Anh – Anh (Oxford Advanced Learner’s Dictionary) từ
Integrate có nghĩa là kết hợp những phần, những bộ phận với nhau trong một tổng thể.
Tích hợp phải đảm bảo được sự liên kết toàn diện và hài hòa những thành phần khác
nhau để tạo thành một thể thống nhất. Trong sự liên kết đó, các thành phần phải hỗ trợ,
bổ sung lẫn nhau đảm bảo tính bền vững của một thực thể toàn vẹn.
“Như vậy, trong dạy học, tích hợp có thể được hiểu như là sự liên kết các đối tượng giảng dạy,
học tập trong cùng một kế hoạch hoạt động dạy học để đảm bảo sự thống nhất, hài hòa, trọn
vẹn, của hệ thống dạy học nhằm đạt mục tiêu dạy học tốt nhất. Hay nói cách khác, tích hợp là sự
lồng ghép, sự kết hợp những nội dung các môn học (hoặc các phân môn trong một môn học)
theo những khía cạnh khác nhau: tích hợp nội dung, phương pháp, tích hợp trong đánh giá, ...
Và cách tiếp cận tìm tòi - khám phá này khuyến khích học thông qua quá trình tìm kiếm tích
cực, sẽ kết hợp hơn là mở rộng các kiến thức rời rạc.”(Trương Thị Thúy Ngân, 2016, tr.29).

Quan điểm tích hợp đòi hỏi người dạy phải vận dụng nhiều kiến thức, phương

pháp giảng dạy tích cực khác nhau trong cùng một kế hoạch hoạt động dạy học để đảm
bảo sự thống nhất, hài hòa, trọn vẹn nhằm đạt mục tiêu dạy học tốt nhất có thể.
Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể “dạy học tích hợp là định hướng
dạy học giúp học sinh phát triển khả năng huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng,...
thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để giải quyết có hiệu quả các vấn đề trong học tập và
trong cuộc sống, được thực hiện ngay trong quá trình lĩnh hội tri thức và rèn luyện kỹ
năng; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề.”(Bộ
giáo dục và đào tạo, 2005, tr.5)
1.1.2. Lợi ích của dạy học tích hợp
Trong dạy học tích hợp, học sinh (HS) cần biết hệ thống, tổng hợp và vận dụng
các kiến thức, kĩ năng, phương pháp thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để xử lí các vấn
đề mà họ phải đối đầu một cách hiệu quả nhất. Theo cách hiểu đó, dạy học tích hợp có
những lợi ích lớn lao.


7

Thứ nhất, nó làm cho những kiến thức dạy ở nhà trường không mang tính hàn lâm,
mà trái lại, gần gũi với HS khi được gắn với cuộc sống hàng ngày. Dạy học tích hợp sẽ
rèn luyện cho HS cách sử dụng kiến thức, kĩ năng, phương pháp học được vào đời
sống thực tế, từ đó, các em nhận thức được ý nghĩa của quá trình học tập.
Thứ hai, nó có tác dụng liên kết các khái niệm, kiến thức đã học riêng lẻ theo
phạm vi từng phân môn, từng môn học cũng như giữa các môn học với nhau, qua đó
có một cái nhìn từ đơn lẻ đến cái chung.
Thứ ba, tích hợp trong giáo dục nhằm đảm bảo tính toàn diện và tính hài hòa giữa
đức, trí, thể, mĩ với mục tiêu giáo dục là phẩm chất, năng lực của học sinh.
Thứ tư, dạy học tích hợp còn đảm bảo sự tinh giản, hiện đại, thiết thực tránh
những trùng lặp về nội dung môn học gây lãng phí thời gian, tiền của. Nó còn đáp ứng
được những quan điểm mới trong Chương trình giáo dục phổ thông “tập trung dạy
cách học và rèn luyện năng lực tự học”.

Chính vì những lợi ích trên nên Clark (2002) cho rằng: “tích hợp là cách tư duy
trong đó các mối liên kết được tìm kiếm; do vậy, tích hợp làm cho việc học chân chính
xảy ra” (trích theo Trương Thị Thúy Ngân, 2016, tr.29). Theo quan điểm này, tích hợp
có ý nghĩa quan trọng trong giáo dục. Nó được thể hiện qua sự tìm tòi, huy động, kết
hợp, liên hệ các yếu tố có liên quan với nhau của nhiều lĩnh vực để giải quyết có hiệu
quả một vấn đề trong thực tiễn.
1.1.3. Các phương thức tích hợp trong dạy học toán
Các nhà nghiên cứu giáo dục thường nói đến 4 phương thức tích hợp: tích hợp
trong nội bộ môn học, tích hợp đa môn, tích hợp liên môn, tích hợp xuyên môn. Ở đây
chúng tôi không đi sâu phân tích các phương thức tích hợp về mặt lí luận mà chỉ tập
trung nghiên cứu những phương thức tích hợp phù hợp với dạy học toán ở tiểu học.
Bàn về tích hợp trong dạy học toán nói chung, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014)
đã đưa ra hai hướng: Hướng thứ nhất là tích hợp trong nội bộ môn toán, hướng thứ hai
là tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn.
1.1.3.1. Tích hợp trong nội bộ môn toán
Theo hướng thứ nhất, tác giả đề nghị liên kết các phân môn toán học lại với nhau.


8

Toán học là một khoa học suy diễn. Các kiến thức toán học được liên kết chặt
chẽ với nhau trong một mạng lưới đa chiều. Do đặc trưng đó của toán học mà việc dạy
học toán đương nhiên không thể đề cập theo kiểu từng đơn vị kiến thức riêng lẻ. Nói
như vậy có nghĩa là dạy học môn toán theo truyền thống đã chứa đựng yếu tố tích hợp.
Hướng này đặc biệt phù hợp với HS tiểu học. Nhìn vào chương trình ta cũng thấy
rõ điều đó: môn toán ở Tiểu học được tổ chức thành một môn học thống nhất (không
chia thành các phân môn) qua tên gọi Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, và Toán 5,
tương ứng với năm lớp học ở bậc tiểu học. Chương trình được xây dựng theo kiểu
đồng tâm và các kiến thức về số học, đại số, hình học được trình bày đan xen, bổ sung
cho nhau nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản trong cuộc sống.

Về hình thức tích hợp này, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã phân tích rằng cho dù
Toán học có được phân thành các phân môn khác nhau, thì người ta vẫn có thể đại số
hóa hình học để khai thác công cụ đại số - giải tích vào nghiên cứu hình học, và ngược
lại, hình học hóa đại số - giải tích, khai thác ngôn ngữ hình học để mang lại nghĩa cho
các khái niệm trừu tượng, thậm chí để giải nhiều bài toán đại số - giải tích (Tham khảo
Lê Thị Hoài Châu, 2008, tr.40-44). Ngôn ngữ của toán học rất phong phú, các phân
môn khác nhau vẫn liên thông với nhau nên việc chuyển bài toán hình học thành bài
toán đại số - giải tích, hay ngược lại, nhiều khi mang đến cho ta những phương pháp
thuận lợi để nghiên cứu một vấn đề. Đặc biệt, đối với HS tiểu học, do đặc điểm tâm
sinh lý lứa tuổi mà nhiều khi trong dạy học ta phải dùng ngôn ngữ hình học để đưa vào
những khái niệm trừu tượng của số học.
Trong cấu trúc chương trình môn Toán ở Tiểu học thì số học là nội dung trọng
tâm chiếm một khối lượng và thời lượng khá lớn. Các nội dung khác như đại lượng,
đo đại lượng, một số yếu tố hình học và giải toán được trình bày xen kẽ với nội dung
số học nhằm tạo sự hỗ trợ lẫn nhau. Đây cũng là sự thể hiện quan điểm tích hợp trong
nội bộ môn học. Cụ thể, người ta sử dụng các kiến thức, kĩ năng về số học như là công
cụ, phương tiện để hình thành nhiều kiến thức, kĩ năng của các tuyến kiến thức khác
và ngược lại, thông qua các tuyến kiến thức khác để đưa vào một số khái niệm số học,
đồng thời củng cố, ôn tập và vận dụng các kiến thức, kĩ năng số học.


9

1.1.3.2. Tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn
Hướng thứ hai thể hiện sự phối hợp của các phương thức tích hợp đa môn, liên
môn, xuyên môn, làm cho toán học dạy trong nhà trường gần với thực tiễn.
Theo hướng này, dạy học toán được gắn với hoạt động thực hành, quan sát thực
tế. Đây là phương thức tích hợp phù hợp cho HS đầu cấp tiểu học. Ở giai đoạn này,
việc tích hợp đa môn theo kiểu HS huy động kiến thức nhiều môn học để giải quyết
vấn đề là không dễ. Vì vậy cách thức tích hợp chỉ dừng lại ở mức độ gắn việc học tập

với vui chơi; dạy kiến thức kĩ năng thông qua hoạt động thực hành và quan sát thực tế.
Ví dụ, khi học về tỉ lệ bản đồ, giáo viên tổ chức cho học sinh thực hành đo đoạn thẳng
trên mặt đất bằng thước dây hay cách gióng thẳng hàng các cọc tiêu trên mặt đất.
Ta cũng có thể tích hợp kiến thức toán trong những môn học khác hoặc ngược lại.
Với cách thức tích hợp này chúng ta nên tập trung đưa ra những ý tưởng, những nội
dung khác xoay quanh một khái niệm toán học. Ví dụ, khi dạy về tỉ lệ, tỉ số, tỉ số phần
trăm có thể liên kết với các kiến thức trong khoa học như tỉ lệ các chất trong không khí
hoặc kết hợp với các kiến thức xã hội trong môn lịch sử và địa lí như tỉ lệ gia tăng dân
số, tỉ lệ tương quan giữa các lực lượng trong một trận đánh lịch sử. Ngược lại, khi học
các môn kĩ thuật hay mĩ thuật học sinh cần vận dụng những kiến thức về hình học hay
cách đo lường trong toán học để thiết kế và trang trí một chiếc xe, máy bay, ngôi nhà,...
Ngoài ra, ta cũng có thể thực hiện dạy học tích hợp bằng cách gắn toán học với các khoa
học khác và với thực tiễn, bởi vì, toán học là công cụ của nhiều khoa học:
“Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học
phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Ở thời đại chúng ta những phát
minh mới mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ
bị đảo lộn. Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm
nhập vào hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.” (Đoàn Phan Tân, 1999, tr.1).

Chính vì thế mà khi bàn về mục tiêu phát triển năng lực cho học sinh, chương
trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác định năng lực toán học bao gồm: năng lực
tính toán, năng lực tư duy toán học, năng lực giải quyết các vấn đề toán học, năng lực
mô hình hoá toán học, năng lực giao tiếp toán học (nói, viết và biểu diễn toán học),
năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (đặc biệt là công cụ công nghệ
thông tin và truyền thông), giúp học sinh nhận biết toán học như là một phương tiện


10

mô tả và nghiên cứu thế giới hiện thực, là công cụ thực hành ứng dụng trong học tập

các môn học khác.
Như vậy, dạy toán là phải dạy cho học sinh vận dụng được toán học vào thực tiễn
(bao gồm cả các khoa học khác). Kiến thức toán học dạy ở Tiểu học là kiến thức nền
tảng, cần thiết cho mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Dạy học toán theo quan
điểm tích hợp sẽ rèn cho HS biết cách sử dụng kiến thức toán học trong nhà trường
vào việc giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống.
1.1.4. Biểu diễn trực quan trong dạy học toán
Quan điểm dạy học tích hợp cho thấy tầm quan trọng của việc khai thác ngôn ngữ
hình học vào việc giải quyết các vấn đề của Số học. Đối với HS tiểu học thì “ngôn ngữ
hình học” được hiểu là các mô hình, các phương tiện biểu diễn trực quan.
1.1.4.1. Một số loại biểu diễn trực quan
Giao tiếp toán học không phải chỉ được thực hiện bởi một ngôn ngữ duy nhất là từ
ngữ. Các tư tưởng toán học được trao đổi nhờ những phương tiện khác nhau: cụ thể (ví
dụ như các hình khối lập phương, que tính, …), nửa cụ thể (chẳng hạn đường thẳng
chia độ, hình vẽ), ký hiệu (sử dụng các chữ, các ký hiệu toán học), và tất nhiên là cả
lời nói. Những cách thức biểu diễn này cho phép khai thác nhiều kiểu tư duy, thiết lập
mối liên hệ giữa các ý tưởng. Giáo viên có thể sử dụng các phương tiện này để biểu
diễn các khái niệm toán học cho HS, và đến lượt mình thì HS lại sử dụng chúng để giải
các bài toán hay để diễn đạt các ý tưởng của bản thân (tham khảo Ministère
l’Éducation de l’Ontario, 2008, tr.9).
Tác giả Vũ Thị Bình cho rằng: “Biểu diễn toán học bao gồm các biểu diễn trên
các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các
biểu diễn trực quan (sử dụng các sơ đồ, biểu đồ, bảng, các hình ảnh cụ thể,...) và các
biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ, công thức, kí hiệu toán học...).” (Vũ Thị Bình,
2016, tr.29). Vậy theo tác giả này biểu diễn trực quan là các sơ đồ, biểu, bảng, các
hình ảnh cụ thể,.... Với cách hiểu trên thì đồ dùng trực quan trong dạy học toán ở tiểu
học rất phong phú và đa dạng, ví dụ như: những vật thực có trong tự nhiên xung quanh
(như sách, vở, bút chì, thước kẻ, bông hoa, quả cam,...), các bộ que tính, bàn tính, bảng
tính, sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ...

11

1.1.4.2. Vai trò của biểu diễn trực quan trong dạy học toán
Như chúng ta đã biết, các tri thức toán học có tính trừu tượng và khái quát cao.
Trong khi đó, tư duy của học sinh tiểu học còn mang tính cụ thể, hình tượng, dựa vào
những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng cụ thể. Mặc khác vốn sống của
các em còn rất ít, trí nhớ của các em là trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển chiếm
ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ - logic. Vì vậy biểu diễn trực quan trong dạy học toán có vai
trò không thể thiếu trong quá trình nhận thức toán học và đặc biệt là đối với học sinh
tiểu học.
Các phương tiện trực quan đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong dạy và học
toán nói chung và đặc biệt là trong dạy, học toán phân số ở lớp 4 (tham khảo Phạm
Đình Thực, 2003, tr.41).Trích dẫn trên của Vũ Thị Bình cũng cho thấy tác giả này có
cùng ý kiến: biểu diễn trực quan và biểu diễn ngôn ngữ là một phần không thể thiếu
trong biểu diễn toán học.
Đối với việc dạy học phân số thì biểu diễn trực quan cũng có vai trò quan trọng.
Phân số là một khái niệm hoàn toàn mới và trừu tượng đối với học sinh tiểu học. Để
giúp học sinh tiếp cận tri thức toán học này thì không thể thiếu sự hỗ trợ đắc lực của
phương tiện trực quan. Dựa vào những vật thật như quả cam, băng giấy,... học sinh có
thể tự thao tác, tìm hiểu và hình dung được khái niệm phân số, các qui tắc tính toán
một cách cụ thể nhất. Như vậy, phương tiện trực quan đã bổ sung vốn hiểu biết cho
học sinh, cung cấp chỗ dựa cho hoạt động tư duy, giúp học sinh dễ chú ý, để từ đó có
thể nắm các tri thức trừu tượng một cách vững chắc, tự giác và phát triển được năng
lực tư duy trừu tượng, giúp phát triển trí tưởng tượng.
1.2. Kết luận chương 1
Nghiên cứu trên đã giúp chúng tôi trả lời được những câu hỏi đặt ra: thế nào là dạy
học tích hợp? vì sao phải dạy học tích hợp? các phương thức dạy học tích hợp. Vận
dụng các phương thích tích hợp mà các nhà nghiên cứu lý luận đưa ra, chúng tôi lựa
chọn những hướng tích hợp sau để nghiên cứu vấn đề dạy học phân số ở tiểu học:

- Tích hợp trong nội bộ môn toán bằng cách sử dụng ngôn ngữ, kiến thức hình học
vào việc tạo tình huống cho HS nghiên cứu các phép toán phân số. Ở đây các biểu diễn
trực quan hình học cần được khai thác.


12

- Tích hợp theo hướng gắn toán học với thực tiễn, với các môn học khác, với
những hoạt động trên các biểu diễn trực quan, qua đó hình thành biểu tượng về những
kiến thức trừu tượng liên quan đến phân số.


13

Chương 2
NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ.
CÁC MÔ HÌNH BIỂU DIỄN PHÂN SỐ
Trong phần này, bằng cách tham khảo một số công trình về dạy học phân số, trước
hết chúng tôi sẽ chỉ ra nghĩa của khái niệm phân số và các phép toán phân số.
2.1. Các cách tiếp cận phân số và nghĩa tương ứng của nó
Trong lý thuyết toán học hiện đại, phân số được định nghĩa như là lớp tương
đương của tập hợp tích Descartes Z×N* (N* là tập các số nguyên dương) với quan hệ
tương đương R định nghĩa như sau: (a, b) R (c, d)  ad = bc. Các phân số thuộc cùng
một lớp tương đương được gọi là phân số bằng nhau, và biểu diễn cho một số hữu tỉ.
Cách tiếp cận này không phù hợp với HS tiểu học nên chúng tôi không đi sâu xem
xét. Cùng với cách tiếp cận này, nghiên cứu của tác giả Dương Hữu Tòng (2014) còn
chỉ ra thêm 5 cách tiếp cận nữa, và tương ứng với mỗi cách tiếp cận đó là một nghĩa
của khái niệm phân số. Dưới đây chúng tôi trình bày lại một cách ngắn gọn năm cách
tiếp cận đó.
2.1.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của tổng thể

Cách tiếp cận này có liên quan đến bài toán “tìm ra một số phần của một đối tượng
được chia thành các phần bằng nhau”. Với cách tiếp cận này phân số

có nghĩa là

“biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau”.
Ví dụ: Chia hình tròn thành 4 phần bằng nhau,
tô màu 3 phần. Như vậy đã tô màu bao nhiêu phần
của hình tròn?
Dựa vào hình trên chúng ta nhận thấy có 3 phần bằng nhau của hình tròn được tô
màu. Như vậy đã tô màu được

hình tròn trên. Phân số

biểu thị số phần lấy ra là 3

phần bằng nhau trên cái tổng thể là 4 phần bằng nhau của hình tròn.
2.1.2. Cách tiếp cận độ đo
Cách tiếp cận này xuất phát từ tình huống“thực hiện phép đo cho một đại lượng”.
Đại lượng có thể là độ dài, diện tích, vận tốc, dung dịch,... Nếu kết quả của phép đo đó


14

không bằng một số nguyên lần đơn vị đo thì người ta nghĩ đến một loại số khác là
phân số. Từ đây, ta có thể hiểu nghĩa phân số là “biểu diễn kết quả của số đo”.
Ví dụ: 1m = 10 dm. Ta nói 1dm bằng một phần mười mét và viết là

.

2.1.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia
Cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại trong tình huống “có a đối
tượng chia đều cho b người nhận”. Cụ thể hơn là việc đi tìm nghiệm cho phương trình
với a, b là các số nguyên, b khác 0.
Với cách tiếp cận này, phân số

có nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia a cho

b” và “biểu diễn nghiệm của phương trình

”.

Ví dụ: Có 3 quả cam chia đều cho 4 bạn. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu phần của
quả cam? (Tham khảo Ministère l’Éducation de Ontario)

Để chia đều 3 quả cam cho 4 bạn thì mỗi quả cam chúng ta sẽ chia làm 4 phần
bằng nhau. Lần lượt chia mỗi phần bằng nhau cho từng bạn vậy mỗi bạn nhận được
quả cam. Vậy

.

2.1.4. Cách tiếp cận dựa trên tỉ số
Cách tiếp cận này có thể được phát biểu như sau: a là số phần tử của tập hợp A, b
là số phần tử của tập hợp B. Khi đó tỉ số số phần tử của tập A so với tập hợp B được
viết là

. Lúc này phân số được hiểu là tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập hợp

B. Do đó, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.
Ví dụ: Trong hộp có 20 viên bi gồm bi đỏ, bi xanh và bi vàng. Tìm tỉ số của số bi

đỏ và bi xanh có trong hộp.


15

Để tìm được tỉ số của số bi đỏ và bi xanh, HS sẽ sắp xếp số bi theo màu và đếm
được 5 bi đỏ, 8 bi xanh có trong hộp. Vậy tỉ số của số bi đỏ và bi xanh trong hộp là .
(Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)
2.1.5. Cách tiếp cận dựa trên tia số
Tia số là một biểu diễn trực quan cho phân số. Ưu điểm thứ nhất của cách biểu
diễn này là nó có thể sinh ra một kĩ thuật để so sánh hai phân số. Phân số nào càng gần
gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại. Ưu điểm thứ hai là nó mang lại một ý nghĩa
quan trọng về khái niệm phân số bằng nhau: các phân số bằng nhau đều có chung một
điểm biểu diễn. Hơn nữa, nó còn cho phép tách khái niệm phân số khỏi đơn vị cụ thể
để chuyển sang đơn vị trừu tượng (mọi đơn vị bây giờ đều được biểu diễn bởi đoạn
thẳng đơn vị). Tiếc rằng dạy học khái niệm phân số và so sánh phân số không phải là
mục đích nghiên cứu của luận văn, nên chúng tôi sẽ bỏ qua cách biểu diễn này – tuy
rất hữu ích nhưng lại không thuận tiện cho việc nghiên cứu các phép toán.
2.2. Một số mô hình trực quan có thể dùng để biểu diễn phân số
Với các nghĩa của khái niệm phân số nêu trên, một số tác giả đưa ra ba mô hình
dưới đây để biểu diễn phân số.
2.2.1. Mô hình diện tích
Mô hình diện tích thuận tiện cho trường hợp biểu diễn nghĩa “phân số là số phần
trên tổng thể”. Ở bậc tiểu học, khi học về phân số người ta khai thác diện tích của hình
tròn, hình vuông, hình chữ nhật như một phương tiện trực quan để biểu diễn phân số.
Ví dụ: Chúng ta có thể dùng mô
hình diện tích của các hình khác nhau
để biểu diễn phân số
bên:

như hai hình


16

2.2.2. Mô hình độ dài
Giống như mô hình diện tích, đoạn thẳng thuận tiện cho trường hợp biểu diễn
nghĩa “phân số là số phần - tổng thể”. Ngoài ra, nó còn cho phép gắn với nghĩa “phân
số là số đo đại lượng”, đặc biệt là chiều dài.
Chẳng hạn, có một sợi dây dài 1m. Bạn An cắt ra sợi dây để làm lồng đèn. Như
vậy, đoạn dây cắt ra có độ dài là

m. Chúng ta có thể dùng mô hình độ dài biểu diễn

phân số như sau:
Một sợi dây dài 1m. Cắt ra hai phần ba.

2.2.3. Mô hình tập hợp
Ngoài hai mô hình đã được nói ở trên, khi biểu diễn nghĩa phân số chúng ta còn
dùng mô hình tập hợp. Hiển nhiên, mô hình này thuận tiện khi ta cần nói đến các nghĩa
phân số biểu thị kết quả của phép chia và là tỷ số giữa hai tập hợp.
Chẳng hạn, ta có thể nói đến bài toán sau: Chia hai cái bánh pizza cho ba người.
Hỏi mỗi người được bao nhiêu? (Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)
Đầu tiên, chúng ta cắt mỗi cái bánh thành 3 phần bằng nhau. Sau đó, lần lượt chia
cái bánh cho mỗi người. Như vậy, mỗi người nhận được cái bánh.


17

Hay, một rổ đựng 12 quả táo, trong đó có

táo đỏ. Chúng ta có thể dùng mô hình

tập hợp biểu diễn táo đỏ như sau:

(Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)
2.3. Nghĩa của các phép toán phân số và những biểu diễn có thể kết hợp với
chúng
2.3.1. Nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số
Từ nghĩa phân số biểu thị số phần bằng nhau được lấy ra từ toàn thể (mẫu số là số
phần bằng nhau của cái toàn thể, tử số biểu thị số phần lấy ra trong số phần đó) nên
cộng hoặc trừ 2 phân số, cần phải làm cho mẫu số của chúng bằng nhau (quy đồng
mẫu số). Như vậy phép cộng chính là gộp hay đếm thêm số phần bằng nhau của cái
tổng thể; còn phép trừ chính là bớt đi số phần bằng nhau của cái tổng thể. Tất nhiên,
đó là trường hợp cộng, trừ các phân số nhỏ hơn 1. Sau đó, quy tắc cộng, trừ hai phân
số loại này sẽ được mở rộng cho trường hợp phân số bất kỳ.
Chính vì thế khi đưa vào các phép toán cộng, trừ phân số người ta thường sử dụng
mô hình biểu diễn diện tích hoặc độ dài. Với việc sử dụng hai hình thức biểu diễn đó ta
sẽ dễ dàng đếm thêm hay bớt đi số phần bằng nhau của cái tổng thể.
Chẳng hạn kết quả của phép cộng
sẽ rất dễ nhìn thấy như sau:

biểu diễn trên mô hình diện tích và độ dài