Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Đan

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Đan

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐÀO HỒNG NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các
trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả
Nguyễn Ngọc Đan


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đào Hồng Nam,
người thầy tuyệt vời của tôi. Thầy đã tận tình chỉ bảo và có nhiều tâm huyết
trong việc hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Thầy không chỉ dìu dắt tôi
bằng những kinh nghiệm và kiến thức, mà còn cả những lời động viên, khích
lệ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS.
Lê Văn Tiến , TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS.
Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng và các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy,
truyền cho chúng tôi nhiệt huyết và sự hấp dẫn của chuyên ngành Didactic Toán
trong suốt thời gian tham gia lớp cao học.
Xin chân thành cảm ơn GS.TS Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã
dành thời gian đến Việt Nam để góp ý và định hướng cho luận văn của chúng tôi.
Xin chân thành cảm ơn:
 Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận
lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
 Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin Trung tâm Giáo dục
thường xuyên Quận 8 đã tạo điều kiện và giúp đỡ cho tôi an tâm đi học và hoàn

thành luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi xin cảm ơn chân thành các bạn học viên cùng lớp didactic
Toán khóa 26. Tôi không bao giờ quên những kỉ niệm mà chúng ta đã cùng nhau
trải qua trong suốt thời gian học tập, những niềm vui nỗi buồn cùng chia sẻ trong
suốt hai năm học tập vất vả.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chương 1.

NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA
CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ .................................. 12

1.1. Các tham số đo lường xu hướng tập trung (Tham số định tâm) .................. 12
1.1.1. Số trung bình ........................................................................................ 13
1.1.2. Số trung vị ............................................................................................ 13
1.1.3. Mốt ....................................................................................................... 13
1.1.4. So sánh số trung bình, trung vị và mốt ................................................. 14
1.2. Các tham số đo lường sự biến thiên của dữ liệu (Tham số đo độ phân
tán) ...................................................................................................................... 15
1.2.1. Biên độ.................................................................................................. 16
1.2.2. Tứ phân vị - Biểu đồ hộp. ..................................................................... 16

1.2.3. Phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn .............................................. 17
1.3. Phân phối chuẩn........................................................................................... 18
Kết luận chương 1............................................................................................. 20
Chương 2.

CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ TRONG SGK
VIỆT NAM VÀ SỰ SO SÁNH VỚI MỘT SGK MỸ .............. 21

2.1. Số trung bình và Mốt trong SGK S7 ........................................................... 21
2.1.1. Về lý thuyết .......................................................................................... 21
2.1.2. Các praxéologie gắn liền với số trung bình cộng và mốt ..................... 23
2.2. Các tham số thống kê mô tả trong SGK S10 ............................................... 26


2.2.1. Về lý thuyết .......................................................................................... 26
2.2.2. Các praxéologie gắn với các tham số thống kê mô tả trong S10 .......... 29
2.3. Các tham số cơ bản của thống kê trong SGK S10NC ................................. 36
2.3.1. Phần lý thuyết ....................................................................................... 36
2.3.2. Các praxéologie gắn với các tham số thống kê trong S10NC .............. 39
2.4. Tham số thống kê mô tả trong SGK Precalculus của Demana - Waits
(kí hiệu: SM)....................................................................................................... 40
Kết luận chương 2............................................................................................. 48
Chương 3. THỰC NGHIỆM ........................................................................... 49
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 49
3.2. Đối tượng, thời điểm thực nghiệm .............................................................. 49
3.3. Giới thiệu tình huống thực nghiệm .............................................................. 49
3.1. Bài toán thực nghiệm ................................................................................... 49
3.2. Dàn dựng tình huống theo pha .................................................................... 50
3.4. Phân tích apriori........................................................................................... 55
3.4.1. Biến didactic và các giá trị của biến ..................................................... 55

3.4.2. Biến tình huống và các giá trị của biến ................................................ 56
3.4.3. Chiến lược ............................................................................................ 57
3.4.4. Phân tích hai bài toán theo bốn bước của tiến trình mô hình hóa
toán học ................................................................................................ 58
3.5. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................. 60
3.5.1. Khẳng định các giả thuyết .................................................................... 60
3.5.2. Phân tích tiến trình tiết học ................................................................... 64
Kết luận chương 3............................................................................................. 72
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 74
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
GV

:

Giáo viên

GTLN

:

Giá trị lớn nhất

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

HS

:

Học sinh

HSa.b

:

Học sinh thứ b thuộc nhóm a

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

S7

:

Sách giáo khoa Toán 7 (tập 2)

S10

:

Sách giáo khoa Đại số 10

S10NC

:

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao

SBT

:

Sách bài tập

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên.


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S7 ................... 23
Bảng 2.2. Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S10 ................. 29

Bảng 2.3. Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S10NC............ 39
Bảng 3.1. Thống kê bài làm của HS trong bài toán 1 theo chiến lược ............... 61
Bảng 3.2. Thống kê bài làm của HS trong bài toán 2 theo chiến lược ............... 62


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Hình minh họa biểu đồ boxplot .......................................................... 16
Hình 1.2. Hình minh họa ba trường hợp phân phối dữ liệu................................ 18
Hình 1.3. Hình minh họa dạng của phân phối chuẩn. ........................................ 18
Hình 1.4. Hình minh họa xu hướng tập trung của phân phối chuẩn................... 19
Hình 2.1. Ví dụ 7, S10NC trang 176 .................................................................. 38
Hình 2.2. Ví dụ 8, S10NC trang 176 .................................................................. 38
Hình 2.3. Biểu đồ histogram ứng với ba trường hợp phân phối ......................... 43
Hình 2.4. Biểu đồ histogram ứng với phân phối chuẩn ...................................... 43
Hình 2.5. Bảng 9.11 trong Sách SM. .................................................................. 45
Hình 2.6. Bảng 9.13 trong Sách SM. .................................................................. 46
Hình 3.1. Phân tích số liệu của mẫu A ............................................................... 53
Hình 3.2. Phân tích số liệu của mẫu A ............................................................... 54
Hình 3.3. Bài làm của HS 1.5 ............................................................................. 61
Hình 3.4. Bài làm của HS 2.1 ............................................................................. 62
Hình 3.5. Bài làm của HS 2.2 ............................................................................. 63
Hình 3.6. Bài làm của HS 6.1 ............................................................................. 63


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Thống kê toán học là một công cụ đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh
vực khoa học và đời sống thực tiễn. Lịch sử phát triển của nhân loại đã công

nhận sự đóng góp của thống kê trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên (đánh giá
thống kê dữ liệu thiên văn, phân tích dữ liệu hóa học…), khoa học xã hội (thống
kê dân số, thống kê khảo cổ…) và kể cả lĩnh vực tài chính (đánh giá rủi ro bảo
hiểm, tài chính…). Với tầm ứng dụng rộng rãi như vậy, thống kê đã được các
nhà biên soạn chương trình giáo dục trên toàn thế giới đưa vào nội dung giảng
dạy cho học sinh ở trường phổ thông.
Ở Việt Nam hiện nay, nội dung thống kê được đưa vào giảng dạy ở lớp 7
và lớp 10, với thời lượng số tiết là khá ít (8 tiết ở lớp 7 và 3 tiết ở lớp 10). Nội
dung thống kê được giới thiệu chỉ ở mức rất sơ khai, gồm một số cách trình bày
dữ liệu và các tham số cơ bản của thống kê mô tả. Vị trí của thống kê lại ngày
càng suy giảm và bị cả giáo viên lẫn học sinh xem nhẹ, bởi lẽ nó hoàn toàn
không xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học.
Trong luật giáo dục, điều 27 có đề cập một trong những mục tiêu của giáo
dục phổ thông là “chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống
lao động”. Ở bậc đại học, thống kê xuất hiện ở rất nhiều lĩnh vực, ngành học
khác nhau. Liệu rằng với sự trang bị ít ỏi và sơ sài ở bậc phổ thông, mục tiêu
chuẩn bị kiến thức nền tảng để tiếp học học lên có đạt được hay không? Nếu xét
về mặt đi vào cuộc sống lao động, nghĩa là học sinh phải là người sử dụng toán,
vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn,
liệu rằng những điều được học về thống kê trong chương trình hiện hành có đủ
để đạt được điều đó hay không?


2
Khi đề cập đến việc vận dụng toán để giải quyết vấn đề thực tiễn, không
thể không nhắc đến dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa. Theo Lê
Thị Hoài Châu (2011), thống kê là một trong những phần hiếm hoi của chương
trình phổ thông mang lại nhiều cơ hội cho dạy học mô hình hóa và dạy học bằng
mô hình hóa. Tuy nhiên, tác giả đã chỉ ra một vấn đề tồn tại: mặc dù bài toán
trong SGK có nội dung thực tiễn, tuy nhiên dữ liệu lại không thừa, không thiếu,

vấn đề được phát biểu bằng ngôn ngữ toán học. Như vậy, thực chất HS chỉ giải
quyết bài toán toán học mang dáng dấp thực tiễn.
Từ nhận xét trên, chúng tôi có một số ghi nhận ban đầu rằng: các kiểu
nhiệm vụ (theo quan điểm của Thuyết nhân học trong didactic toán) được SGK
đề nghị đều là kiểu nhiệm vụ thuần túy toán học. Chẳng hạn, SGK đưa ra một
bảng số liệu gắn với thực tiễn rồi yêu cầu học sinh thực hiện một số nhiệm vụ
như
- Tính số trung bình
- Tính phương sai, độ lệch chuẩn…
Để giải quyết các nhiệm vụ này, học sinh chỉ cần vận dụng công thức toán
học có sẵn mà không cần phải biết khi nào cần tính số trung bình, số trung vị,
hay chẳng cần biết vận dụng phương sai, độ lệch chuẩn trong thực tế để làm gì.
Trong khi đó, các tham số cơ bản trong thống kê mô tả (bao gồm số trung bình,
số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn…) lại có vai trò rất quan trọng trong
thống kê, việc hiểu và vận dụng chúng là cần thiết khi học về các tham số này.
Do đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc dạy học các tham số này ở trường
phổ thông. Mỗi tham số này được giới thiệu cho học sinh như thế nào? Ý nghĩa
và vai trò của từng tham số có được trình bày rõ ràng hay không?


3
Một cách hệ thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những
câu hỏi như sau:
 Đặc trưng khoa học luận của các tham số cơ bản trong thống kê là gì?
Mỗi tham số có ý nghĩa và được sử dụng như thế nào?
 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện như
thế nào? Ý nghĩa của chúng có thể hiện rõ không?
 Làm thế nào để xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến các tham số
này nhằm giúp cho học sinh tiếp cận với đầy đủ các ý nghĩa thực tiễn của
từng tham số?

1.2. Tổng quan một số công trình nghiên cứu
Trong bài báo Dạy học thống kê ở trường phổ thông và vấn đề năng cao
năng lực hiểu biết toán cho học sinh của Lê Thị Hoài Châu (2011), tác giả đã
chỉ ra một khiếm khuyết của chương trình, rằng các bài toán trong SGK và
SBT hiện nay, chưa thực sự giúp HS hiểu được đầy đủ nghĩa của tri thức thống
kê, cũng không rèn luyện được “tư duy thống kê”, do đó ít rèn luyện được năng
lực hiểu biết toán cho họ (năng lực hiểu biết toán ở đây có thể hiểu là sử dụng
các kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề toán học hay vấn đề thực
tiễn)
Đồng thời, tác giả đưa ra một bài toán thực tiễn nhằm bổ sung cho khiếm
khuyết này, tức là giúp HS hình thành các tri thức liên quan đến thống kê theo
quan điểm mô hình hóa toán học.
Trong Dạy học xác suất – thống kê ở trường phổ thông của tác giả Lê Thị
Hoài Châu (2012), tác giả cũng nhấn mạnh thêm về vấn đề này và đưa ra một
tình huống dạy học thống kê liên quan đến việc biểu diễn và phân tích mẫu số
liệu (trang 115).


4
Liên quan trực tiếp đến các tham số thống kê mô tả, có hai nghiên cứu đáng
lưu ý, trước tiên là Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10 –
Phạm Thị Tú Hạnh (2012). Theo tác giả, số trung vị ngoài mang ý nghĩa là giá
trị chia mẫu dữ liệu thành hai phần bằng nhau: 50% số giá trị bé hơn hoặc bằng
nó, 50% số giá trị lớn hơn hoặc bằng nó, còn mang một ý nghĩa khác là “giá trị
làm tối tiểu hóa tổng các độ lệch của nó so với các giá trị khác của mẫu số liệu”
[Phạm Thị Tú Hạnh, 2012]. Thực nghiệm mà nghiên cứu này đưa ra nhằm mục
đích chính là cho học sinh tiếp cận nghĩa thứ hai này của số trung vị. Bên cạnh
đó là nghiên cứu tập trung về hai tham số đo độ phân tán: phương sai và độ lệch
chuẩn của Huỳnh Công Chức (2012). Tác giả đã chỉ ra sự tồn tại của hai quy tắc
hợp đồng liên quan đến hai tham số này như sau:

R1: Khi yêu cầu học sinh so sánh tính đồng đều của các mẫu số liệu có cùng
dấu hiệu điều tra thì giáo viên có trách nhiệm chọn các mẫu số liệu có cùng số
trung bình hay có các số trung bình xấp xỉ bằng nhau.
R2: Đối với yêu cầu nhận xét về độ phân tán/tính đồng đều của các mẫu số liệu
thì - GV: Giáo viên có trách nhiệm cho các mẫu số liệu có dạng dãy số liệu
thô hoặc bảng phân bố tần số hoặc bảng phân bố tần số ghép lớp.
- HS: Học sinh luôn tìm cách tính cho được phương sai/độ lệch chuẩn của các
mẫu số liệu và kết luận dựa vào nguyên tắc sau: mẫu số liệu nào có phương
sai/độ lệch chuẩn lớn hơn thì sẽ có độ phân tán lớn hơn.

[6, Tr.55]
Thực nghiệm của tác giả đưa ra nhằm kiểm tra hai hợp đồng didactic trên.
Nghiên cứu chưa tính đến việc xây dựng tình huống dạy học để làm rõ ý nghĩa
và vai trò của các tham số đo độ phân tán trong thống kê mô tả.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi mong muốn tiếp tục phân tích chương
trình, SGK Việt Nam hiện hành, bổ sung thêm sự so sánh với một bộ SGK thuộc
thể chế dạy học khác (Mỹ) để thấy được sự khác biệt cũng như lý do dẫn đến
những khác biệt đó, và điều đó ảnh hưởng thế nào đến HS. Đồng thời, chúng tôi


5
mong muốn xây dựng một tiểu đồ án dạy học liên quan trực tiếp đến các tham số
cơ bản trong thống kê, mà trong đó, ý nghĩa của mỗi tham số được hình thành
nơi HS một cách rõ ràng, giúp họ có khả năng vận dụng chúng vào thực tiễn
cuộc sống. Đặc biệt, ý nghĩa của các tham số định tâm và tham số đo độ phân
tán được đặt trong mối quan hệ với nhau, hỗ trợ cho nhau trong việc phân tích số
liệu thống kê.
2. Khung lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nền móng của luận văn này bằng lý thuyết Didactic toán.
Trước hết, chúng tôi phải tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế của đối tượng

tri thức là các tham số thống kê mô tả. Như vậy, chúng tôi sẽ dựa vào các công
cụ lý thuyết Nhân chủng học (quan hệ thể chế, tổ chức toán học) để phân tích
các sách giáo khoa.
Bên cạnh đó, để xây dựng được một đồ án dạy học, chúng tôi dựa vào lý
thuyết đồ án didactic.
Mặt khác, các công cụ của lý thuyết tình huống do Brousseau (1998) đặt
nền móng là một công cụ không thể thiếu để thiết kế, phân tích và xây dựng các
tình huống thực nghiệm, cũng như xây dựng kịch bản dạy học. Mục tiêu của lý
thuyết tình huống là tạo nên điều kiện tốt nhất để người học lĩnh hội thực sự tri
thức cần giảng dạy, thông qua việc giải quyết các tình huống được nhà nghiên
cứu thiết kế sẵn. Người học thực sự cần đến tri thức cần giảng dạy để giải quyết
tình huống, từ đó một hay nhiều ý nghĩa của tri thức sẽ được nổi bật lên.
Các lý thuyết trên đã được trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt
- Pháp của Bessot và các cộng sự (2009). Trong phần này, chúng tôi chỉ mô tả
ngắn gọn một số khái niệm cần tham chiếu của các lý thuyết trên.
2.1. Lí thuyết nhân chủng học
a. Quan hệ thể chế


6

Quan hệ thể chế:
Quan hệ R(I,O) của một thể chế I với đối tượng tri thức O là tập hợp các
tác động giữa thể chế I đến tri thức O và ngược lại. Mối quan hệ này cho biết O
xuất hiện khi nào, ở đâu, như thế nào, nội dung và ý nghĩa như thế nào.
Quan hệ cá nhân:
Quan hệ R(X,O) của một cá nhân X với đối tượng tri thức O là tập hợp các
tác động qua lại giữa cá nhân X với tri thức O, nghĩa là X hiểu gì, nghĩ gì, hình
dung về O ra sao, có thể sử dụng O và thao tác với O thế nào.
“Học” chính là quá trình tạo mới hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) sâu

sắc hơn so với quan hệ đã có. Cá nhân X là một bộ phận của thể chế I, chịu ảnh
hưởng của thể chế. Do đó, muốn nghiên cứu R(X,O), ta có thể nghiên cứu từ
R(I,O). Vấn đề trung tâm trong Didactic là nghiên cứu R(I,O), xếp thứ hai mới
là nghiên cứu R(X,O).
Vậy, làm thế nào để mô tả mối quan hệ thể chế với một tri thức? Công cụ
để phân tích R(I,O) là praxéologie.
b. Tổ chức toán học
Trong thuyết nhân học, ta công nhận một điều: mỗi hoạt động của con
người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T nào đó, nhờ
nào một kĩ thuật  , được giải thích bởi một công nghệ  , và công nghệ thậm
chí lại được giải thích dựa vào lý thuyết  . Ta gọi bộ T , , ,   là một
praxéologie.
 Nhiệm vụ, kiểu nhiệm vụ: là câu trả lời cho câu hỏi dạng “làm thế nào?”.
Kiểu nhiệm vụ phải liên quan đến một đối tượng O đã được xác định rõ và
được thể chế xây dựng


7
 Kỹ thuật: cách làm, cách thức giải quyết T. Trong thể chế I, đối với mỗi kiểu
nhiệm vụ T, nói chung chỉ tồn tại một  hay cùng lắm là một số ít kỹ
thuật  được I thừa nhận.
 Công nghệ: Mọi kỹ thuật đều cần có một công nghệ giải thích cho nó. Trong
thể chế I, việc tồn tại công nghệ là một điều kiện sinh thái chủ yếu cho sự
tồn tại kỹ thuật. Công nghệ có thể khác nhau tùy theo thể chế.
 Lý thuyết: là yếu tố giải thích cho công nghệ, hay nói cách khác, lý thuyết là
“công nghệ của công nghệ”.
Nếu một praxéologie gắn với toán học, nghĩa là các thành phần của nó
mang bản chất toán học, ta gọi là Tổ chức toán học. Như vậy, để phân tích mối
quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O, ta có thể chỉ ra tất cả các praxéologie
hay tổ chức toán học liên quan đến O trong I, đồng thời phân loại, đánh giá

chúng.
2.2. Đồ án didactic
Theo Chevallard Y (1982) và Artigue M. (1988), đồ án dicdactic là một
tình huống dạy học được nhà nghiên cứu xây dựng, Sở dĩ người ta dùng từ “đồ
án” vì nhà nghiên cứu đóng vai trò giống như là kỹ sư: dựa trên kiến thức thuộc
lĩnh vực khoa học của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều
so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học.
Đồ án didactic thực hiện hai chức năng:
 Thực hiện một hoạt động dựa trên hệ thống dạy học, dựa trên nghiên cứu
didactic trước.
 Thực hiện kiểm chứng những lý thuyết được nghiên cứu trước bằng việc
thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy.
Các pha khi tiến hành nghiên cứu đồ án didactic:


8
 Pha 1: Các phân tích ban đầu. Có thể tiến hành các phân tích khoa học luận,
phân tích về tình huống xuất phát của tri thức trong lịch sử, trò chơi,… hay
phân tích mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân đối với tri thức.
 Pha 2: Lên kịch bản, phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu.
 Pha 3: Thực nghiệm và tổ chức các quan sát.
 Pha 4: Phân tích a posteriori và hợp thức hóa nội tại dựa trên kết quả thực
nghiệm và các phân tích ở trên.
2.3. Mô hình hóa Toán học
Một vấn đề thực tiễn được giải quyết nhờ các công cụ Toán học, thì có thể
thực hiện theo bốn bước sau đây (theo Lê Thị Hoài Châu - Vũ Như Thư Hương,
2013):
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có
ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta
phải tuân theo.

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại
dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề
đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu
tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình
thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây
dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây
người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với
vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.

Việc áp dụng mô hình hóa vào dạy học toán ở phổ thông có thể giúp HS
nâng cao khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn, điều này rất cần thiết trong
dạy học tích cực hiện nay. Việc tăng cường dạy toán thông qua dạy học bằng mô
hình hóa giúp HS làm quen việc áp dụng mô hình toán học vào nhiều môn học
khác như vật lý, hóa học, sinh học…, cũng như trong đời sống.


9
3. Mục đích và câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi xin trình bày các câu câu hỏi trong nghiên cứu của mình:
CH1: Các tham số thống kê mô tả có ý nghĩa gì và bối cảnh sử dụng chúng
như thế nào?
CH2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, các tham số thống kê mô tả được
SGK Việt Nam đưa vào như thế nào? Ý nghĩa và ứng dụng của chúng có thể
hiện rõ không? Có những điểm nào khác biệt trong chương trình dạy học ở Mỹ?
CH3: Có thể xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến các tham số này
theo tư tưởng mô hình hóa như thế nào nhằm giúp cho học sinh hiểu được ý
nghĩa của tri thức và vận dụng vào các tình huống trong thực tế?
4. Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho những câu hỏi được nêu trên, chúng tôi xác định phương
pháp, được tóm tắt trong sơ đồ sau:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

NGHIÊN CỨU SỰ TRÌNH BÀY CÁC
THAM SỐ THỐNG KÊ TRONG

NGHIÊN CỨU SỰ TRÌNH BÀY CÁC
THAM SỐ THỐNG KÊ TRONG

SGK VIỆT NAM

SGK PRE-CALCULUS (MỸ)

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
(kiểm chứng mối quan hệ cá nhân )

XÂY DỰNG TIỂU ĐỒ ÁN DẠY HỌC


10

Cụ thể, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu tri thức luận về các tham số
thống kê: về mặt định nghĩa, vai trò, lý do xuất hiện của các tham số đó và mối
quan hệ của chúng với nhau. Đây là một nghiên cứu tri thức luận ở mắt xích thứ
nhất: tri thức bác học.
Bước thứ hai, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế R(I,O):
cụ thể là sự trình bày các tham số thống kê mô tả trong thể chế dạy học ở Việt
Nam. Như vậy, chúng tôi sẽ làm rõ các praxéologie và tổ chức toán học liên
quan đến các tham số này trong thể chế dạy học hiện nay, để rút ra kết luận: cái

gì cần có mà chưa xuất hiện? Nghĩa là ý nghĩa thực tiễn của các tham số thống
kê đã xuất hiện trong dòng lịch sử, nay có được đề cập đến trong thể chế dạy
học ở Việt Nam hay không? Nếu không, liệu rằng HS có thể vận dụng được tri
thức này cho những vấn đề trong thực tiễn được không?
Để có sự so sánh, chúng tôi muốn nhìn qua một thể chế dạy học khác, do
đó sẽ tiến hành phân tích sự trình bày tri thức trong SGK nước ngoài. Trong
khuôn khổ luận văn, chúng tôi lựa chọn phân tích cuốn Precalculus (tác giả
Demana và Waits) - một sách giáo khoa được sử dụng cho việc dạy học ở
trường phổ thông tại Mỹ.
Từ những phân tích trên, chúng tôi đúc kết những điều chưa tồn tại trong
thể chế dạy học Việt Nam làm che mờ đi ý nghĩa thực tiễn của các tham số
thống kê. Đó cũng chính là cơ sở để xây dựng đồ án dạy học nhằm mục đích bổ
sung cho khiếm khuyết được chỉ ra.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và ba chương.
Mở đầu:
Trong phần này, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi
xuất phát, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích và câu hỏi nghiên
cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn.


11
Chương 1: Đặc trưng khoa học luận của thống kê
Chúng tôi trình bày tóm tắt tri thức luận về các tham số thống kê mô tả
về mặt khái niệm, ý nghĩa, vai trò ứng dụng và sự tương quan giữa chúng.
Chương 2: Phân tích sự trình bày các tham số cơ bản của thống kê trong
thể chế dạy học ở Việt Nam hiện nay trong sự so sánh với SGK Precalculus
của Mỹ
Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích sự trình bày về mặt lý thuyết
cũng như các tổ chức toán học gắn liền với các tham số thống kê mô tả trong

hai giáo trình thuộc hai thể chế khác nhau: Mỹ và Việt Nam, để có sự so sánh,
đối chiếu. Từ đó, chúng tôi có thể đưa ra các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.
Chúng tôi xây dựng các tình huống thực nghiệm để kiểm tra các giả
thuyết nghiên cứu đã được đề ra trong phần trước, đồng thời trả lời cho các câu
hỏi nghiên cứu được đề ra ở phần mở đầu. Từ đó, chúng tôi tiến hành bước
cuối cùng là xây dựng một đồ án dạy học các tham số thống kê mô tả mà trong
đó, ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng của các tham số này được bộc lộ rõ ràng cho
HS.
Kết luận.


12
Chương 1. NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC
THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các tham số thống
kê mô tả. Chúng tôi không chỉ nêu khái niệm, ý nghĩa, mà sẽ làm nổi bật lên mối
liên hệ giữa các tham số này với nhau. Phân tích này giúp chúng tôi có cái nhìn
tổng quan về các tham số, về khái niệm và ý nghĩa của chúng, để từ đó làm cơ
sở đối chiếu với thể chế dạy học hiện nay: những gì được thể chế lựa chọn giữ
lại, những gì được chú trọng và xem nhẹ.
Trong thống kê mô tả, người ta thường sử dụng hai loại tham số: các tham
số đo lường xu hướng tập trung của dữ liệu (số trung bình, số trung vị, mốt) và
các tham số đo lường sự biến thiên của dữ liệu (biên độ, phương sai, độ lệch
chuẩn, sai số chuẩn). Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và ý nghĩa của
từng tham số. Trong phân tích dưới đây, chúng tôi sử dụng các định nghĩa được
nêu trong Sách Elementary Statistics (7th Edition) của tác giả Neil A.Weiss - một
giáo trình thống kê cơ bản sử dụng cho sinh viên đại học, cao đẳng ở Mỹ.
1.1. Các tham số đo lường xu hướng tập trung (Tham số định tâm)
Giả sử rằng một người chạy 100 m trong sáu lần, mỗi lần chạy lại dùng

đồng hồ đo lại thời gian chạy (tính bằng giây) và kết quả 6 lần chạy gồm sáu giá
trị như sau:
X={25.1, 21.2, 17.9, 23.0, 24.6, 19.5}
Dãy 6 số liệu trên cung cấp cho ta thông tin gì? Hiển nhiên, một trong
những điều ta quan tâm đến nhất là thời gian trung bình để hoàn thành đoạn
đường 100m đó. Từ “trung bình” ở trên liệu có phải là trung bình cộng (hay
trung bình số học)?
Trong phần này, chúng tôi sẽ đề cập đến 3 tham số cùng diễn tả từ
“trung bình” đó, nhưng được sử dụng trong các trường hợp khác nhau.


13

1.1.1. Số trung bình
Số trung bình của một mẫu số liệu được xác định bằng tổng của các giá trị
trong mẫu chia cho số lượng phần tử của mẫu.
Như vậy, số trung bình được xác định như trung bình cộng, hay trung
bình số học. Chẳng hạn, với tập hợp số liệu trên: X={25.1, 21.2, 17.9, 23.0,
24.6, 19.5}, ta có số trung bình là x 

25.1  21.2  17.9  23  24.6  19.5
 21.9 . Con
6

số này dùng để đại diện cho 6 lần chạy của người đó, phản ánh thời gian trung
bình khi chạy 100m, chứ không đại diện cho thành tích cao nhất.
1.1.2. Số trung vị
Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần.
- Nếu số phần tử của mẫu là số lẻ thì số trung vị là số ở vị trí chính giữa của
dãy.

- Nếu số phần tử của mẫu là số chẵn thì số trung vị là trung bình cộng của hai
số ở hai vị trí chính giữa của dãy.
Trong mẫu số liệu về thời gian chạy 100m, nếu sắp xếp lại ta sẽ được:
X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1}, số trung vị sẽ là

21.2  23.0
 22.1 .
2

Số trung vị là giá trị giữa của một phân bố, nó chia đôi tập hợp các giá trị
ra làm 2 phần bằng nhau: 50% các giá trị trong phân bố nhỏ hơn hay bằng số
trung vị và 50% giá trị trong phân bố lớn hơn hay bằng nó.
1.1.3. Mốt
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong mẫu số liệu. Trong trường hợp
không có giá trị nào được lặp lại thì mẫu không có mốt. Một mẫu cũng có thể có
nhiều mốt.
Chẳng hạn, X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1} là một mẫu không có
mốt. Mốt thể hiện vị trí “đỉnh” của phân bố, nghĩa là giá trị nào xuất hiện nhiều
nhất.


14

1.1.4. So sánh số trung bình, trung vị và mốt
Trong ba tham số trên, mặc dù số trung bình có vẻ quen thuộc và thường
được sử dụng để đại diện cho mẫu, tuy nhiên, số trung vị mới là tham số đo
lường xu hướng tập trung mạnh nhất. Trở lại ví dụ chạy 100m như trên, giả sử
trong lần chạy thứ 7, người này bị đau chân và phải đi bộ, thời gian mất là 79.9
giây. Anh ta cố gắng chạy thêm lần thứ 8 nhưng kết quả vẫn là 79.9 giây. Lúc
này, mẫu gồm những giá trị như sau: X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1,

79.9, 79.9}. Ba tham số trong từng trường hợp được tính ra như sau:
6 lần chạy

8 lần chạy

Số trung bình

21.9

36.4

Số trung vị

22.1

23.8

Không có

79.9

Mốt

Nếu quan sát cẩn thận, số liệu của 2 lần sau thực chất không phải là thời
gian chạy, mà là thời gian đi bộ, nó rất khác biệt với 6 giá trị trước (được xem
là các giá trị ngoại lai - Outliers). Nếu anh ta không bị đau chân, thời gian chạy
dao động quanh số trung vị (23.8) hơn là số trung bình (36.4 - số này lệch hẳn
so với các giá trị). Theo bảng trên, ta thấy số trung vị ít bị ảnh hưởng nhất bởi
các giá trị ngoại lai, trong khi số trung bình và mốt bị thay đổi rất nhiều. Trong
trường hợp này, số trung vị là tham số đo lường xu hướng tập trung tốt nhất

cho mẫu trên. Tuy vậy, trong thực tế, người ta vẫn thích sử dụng số trung bình
hơn, do sự quen thuộc, dễ tính và không phải sắp xếp dữ liệu theo thứ tự.
Việc lựa chọn tham số nào để đại diện cho mẫu còn phụ thuộc vào tình
huống và mục đích thống kê. Chẳng hạn, trong từng trường hợp dưới đây, mỗi
tham số thể hiện ưu thế của nó:
Một HS làm 4 bài kiểm tra Toán với điểm số lần lượt là 88, 75, 95 và
100. Khi báo cáo kết quả học tập của học phần, GV sẽ chọn số trung bình là
89.5. Nhưng nếu HS này về khoe thành tích với phụ huynh, rất có thể HS sẽ
chọn số lớn nhất là 100!


15
b) Hiệp hội các Nhà đầu tư quốc gia công bố dữ liệu về giá bán nhà tại 1
quận ở Mỹ
40; 45.5; 112.8; 114; 115.5; 118 ;120 ; 121.5; 124.4; 125.5; 129; 130.2.
(đơn vị: Nghìn USD)
Tham số phù hợp nhất để đưa ra giá bán bình quân là số trung vị: 119
(nghìn USD), bởi lẽ nó thể hiện được: giá bán nhà dao động quanh giá trị 119
nghìn USD mà không bị ảnh hưởng nhiều bởi các nhà có giá quá rẻ so với mặt
bằng chung.
c) Người ta thống kê điểm kiểm tra 1 tiết của môn Toán của một lớp 10.
Lớp gọi là đạt nếu có từ 50% trở lên số HS đạt trên điểm 5. Để đánh giá lớp đạt
hay không đạt, có thể sử dụng số trung vị, vì số này chia đôi dữ liệu thành 2
phần bằng nhau: nếu số trung vị lớn hơn hay bằng 5 nghĩa là có 50% số HS đạt
trên mức đó.
d) Số người có hút thuốc ở một quận được ghi nhận lại là 312 người đàn
ông và 122 người phụ nữ. Tham số phù hợp nhất ở đây là mốt. Với các dữ liệu
định tính hay phân loại, tham số duy nhất có thể sử dụng là mốt. Chẳng hạn, dữ
liệu mô tả giới tính nam là 0, giới tính nữ là 1, thì số trung bình hay số trung vị
là 0.5 sẽ chẳng có ý nghĩa gì.

1.2. Các tham số đo lường sự biến thiên của dữ liệu (Tham số đo độ phân
tán)
Giả sử có hai HS cùng làm 5 bài kiểm tra với điểm số như sau:
A = {2; 3; 4; 9; 10}

B = {5; 6; 6; 6; 5}

Cả hai đều có điểm trung bình là 5.6, tuy nhiên ta dễ dàng thấy rằng, HS
B có điểm số đều và ổn định quanh số trung bình hơn là A. Như vậy, con số
nào sẽ đánh giá mức độ “lệch” của số liệu so với số trung bình? Trong thống kê
mô tả, người ta sử dụng các tham số đo độ phân tán dưới đây.


16
1.2.1. Biên độ
Biên độ được xác định bằng hiệu số của giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ
nhất:
RANGE = MAX - MIN
1.2.2. Tứ phân vị - Biểu đồ hộp.
Tứ phân vị là đại lượng mô tả sự phân bố và sự phân tán của tập dữ liệu.
Tứ phân vị có 3 giá trị, đó là tứ phân vị thứ nhất (Q1), thứ nhì (Q2), và thứ ba
(Q3). Ba giá trị này chia một tập hợp dữ liệu (đã sắp xếp dữ liệu theo trật từ từ
bé đến lớn) thành 4 phần có số lượng quan sát đều nhau.
Tứ phân vị được xác định như sau:
 Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần
 Cắt dãy số thành 4 phần bằng nhau
 Tứ phân vị là các giá trị tại vị trí cắt
Q1
25%

Q2
25%

Q3
25%

25%

Như vậy, Q2 trong tứ phân vị chính là số trung vị.
Khoảng tứ phân vị (IQR) được xác định là: IQR = Q3 - Q1
Một giá trị được xem là Giá trị ngoại lai (Outliers) nếu nó lớn hơn Q3+1.5 *
IQR hay nhỏ hơn Q1 - 1.5 * IQR.
Biểu đồ hộp (Boxplot) giúp ta biểu diễn các đại lượng quan trọng của dữ
liệu như giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tứ phân vị, IQR một cách trực quan, dễ hiểu.
Một Box plot có dạng như sau:

Hình 1.1. Hình minh họa biểu đồ boxplot