01 dai cuong ve ham so p2 baigiang

Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ (Phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

DẠNG 2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a) y = 2 x 2 + 2 x − 2 trên ( −∞; −1) ; ( −1; +∞ ) .
b) y = −2 x 2 + 4 x + 1 trên ( −∞;1) ; (1; +∞ ) .
Ví dụ 2: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau
2
a) y =
trên ( −∞;3) ; ( 3; +∞ ) .
x−3
−1
b) y =
trên ( −∞; 2 ) ; ( 2; +∞ ) .
x−2
DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số:
a) y = x 4 − 3 x 2 + 1
b) y = −2 x 2 + x

c) y = x 4 + 8 x

Lời giải:

a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

Ta có: f ( − x ) = ( x ) − 3 ( − x ) + 1 = x − 3x + 1 = f ( x ) . Vậy f chẵn.
4

2

4

2

b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

Ta có: f ( − x ) = −2 ( − x ) + ( − x ) = 2 x − x = − f ( x ) . Vậy f lẻ.
3

3

c) Ta có: f ( −1) = 14 + 8.1 = 9 và f ( −1) = 14 + 8.( −1) = −7 
→ f (1) ≠ f ( −1) và f (1) ≠ − f ( −1) .
Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét tính chất chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = x + 2 − x − 2
b) y = 2 x + 1 + 2 x − 1

c) y = x + x

Lời giải:

a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.
Ta có: f ( − x ) = − x + 2 − − x − 2 = x − 2 − x + 2 = − f ( x ) . Vậy f (x) là hàm số lẻ.
b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.
Ta có: f ( − x ) = 2 x + 1 + −2 x − 1 = 2 x − 1 + 2 x + 1 = f ( x ) . Vậy f(x) là hàm số chẵn.

c) f (1) = 1 + 1 = 2 và f ( −1) = −1 + 1 = 0 
→ f ( −1) ≠ ± f (1) nên f không có tính chẵn, lẻ.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
1 khi x > 0

a) y = f ( x ) = 0 khi x = 0
−1 khi x < 0


a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

 − x 3 − 6 khi x ≤ −2

b) y = f ( x ) =  x
khi − 2 < x < 2
 3
khi x ≥ 2
 x − 6
Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

khi − x > 0
khi x < 0
1
1


Ta có: f ( − x ) = 0 khi − x = 0 ⇔ f ( − x ) = 0 khi x = 0 
→ f ( x ) = − f ( x ).
−1 khi − x < 0
 −1 khi x > 0


Vậy f là hàm số lẻ.
b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.
 − − x 3 − 6 khi − x ≤ −2
 x 3 − 6 khi x ≥ 2




Ta có: f ( − x ) =  − x
khi − 2 < − x < 2 ⇔ f ( − x ) =  x
khi − 2 < x < 2 
→ f (−x) = f ( x) .

 3
3

 − x − 6 khi − x ≥ 2
 − x − 6 khi x ≤ −2
Vậy f là hàm số chẵn.

( )

( )

DẠNG 4. CÁC HÀM SỐ KHÁC
4
Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = .
x
...
Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x + 1 .
...
1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = − x3 .
2
...
x +1 + x −1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
.
x + 1 − x −1
a) Tìm miền xác định của hàm số.
b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
 x + 1 ≠ −( x − 1)
2 x ≠ 0
a) Điều kiện: x + 1 ≠ x − 1 ⇔ 
⇔

⇔ x≠0.
x + 1 ≠ x −1
2 ≠ 0
Vậy D = R \ {0} .
b)...

x 2 − mx + m
. Hãy xác định m sao cho:
x−m
a) Đồ thị của hàm số không cắt trục tung.
b) Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành.
c) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Lời giải:
2
x − mx + m
a) Đồ thị của hàm số y =
không cắt trục tung khi x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số
x−m
x 2 − mx + m
y=
, do đó m = 0 .
x−m
x 2 − mx + m
b) Đồ thị của hàm số y =
không cắt trục hoành khi:
x−m
 x 2 − mx + m
= 0 là vô nghiệm
⇔  x − m
 x 2 − mx + m = 0 là vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = m

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

 ∆ = m 2 − 4m < 0

2

⇔   ∆ = m − 4m = 0
0 < m < 4

⇔
⇔ 0 ≤ m < 4.
m
 x =
m = 0
 
2

c) Đồ thị hàm số y =

x 2 − mx + m
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt:
x−m

 x 2 − mx + m
= 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔  x−m
2

 f ( x) = x − mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác m
2
m < 0
∆ = m − 4m > 0
.
⇔
⇔
m > 4
 f (m) = m ≠ 0
Ví dụ 6: [ĐVH]. Gọi D (k ) là đường thẳng có phương trình y = kx − k + 1
a) Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng dk quay quanh một điểm cố định.
4
b) Tìm k để dk cắt (C ) : y = .
x
Lời giải:
a) Có thể viết phương trình của dk dưới dạng: y = k ( x − 1) + 1 .
Khi x = 1 thì y = 1, ∀k. Vậy dk luôn đi qua điểm I (1;1) cố định.
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
4
kx + 1 − k = ⇔ kx 2 + (1 − k ) x − 4 = 0, x ≠ 0.
x
Với k = 0 ⇒ x = 4 : đường thẳng y = 1 cắt (C ) tại điểm có hoành độ x = 4 .
Với k ≠ 0 thì dk cắt (C ) khi phương trình trên có nghiệm, tức là khi:

∆ = (1 − k ) 2 + 16k = k 2 + 14k + 1 ≥ 0
⇔ (k + 7) 2 ≥ 48 ⇔ k + 7 ≤ − 48 hoặc k + 7 ≥ 48 .

⇔ k ≤ −7 − 2 21 hoặc k ≥ −7 + 2 21 .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + mx3 − mx + 3 (với m là tham số)
Hãy tìm tất cả những điểm M nằm trên dường thẳng y = x + 1 sao cho đồ thị của hàm số nói trên không đi qua chúng
dù cho m lấy bất kỳ giá trị nào.
Lời giải:
Xét điểm M ( x0 ; x0 + 1) thuộc đường thẳng y = x + 1
Ta có M ( x0 ; x0 + 1) không thuộc đồ thị của hàm số đã cho với mọi m ⇔ x0 + 1 ≠ x04 + mx03 + 3, ∀ m .
⇔

( x03

− x0 )n +

( x04

 x03 − x0 = 0
 x0 = 0
− x0 + 2) = 0 là vô nghiệm đối với m ⇔  4
⇔
 x0 = ±1
 x0 − x0 + 2 ≠ 9

Vậy ba điểm cần tìm trên đường thẳng y = x + 1 là: A1 ( 0;1) , A2 ( −1; 0 ) , A3 (1; 2 ) .

Ví dụ 8: [ĐVH]. Chứng minh đồ thị của hàm số:

a) y = x 2 − 4 x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 .
1
b) y = x + 1 − có tâm đối xứng là điểm I ( 0;1) .
x
Lời giải:
Ngoài cách chuyển trục bằng phép tịnh tiến để đưa về hàm số chẵn, hàm số lẻ, ta có thể dùng định nghĩa về trục đối
xứng, tâm đối xứng để giải như sau:
a) Tập xác định D = R, ta có: f ( x + 2 ) − f ( 2 − x ) = x 2 − 1 − x 2 − 1 = 0, ∀x ∈ D

(

)

Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng.
b) Tập xác định D = R. \ {0}.

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

1
1
1 
1 
 f ( x ) + f ( − x )  =  x + 1 − +  − x + 1 +   = 1, ∀x ∈ D

2

2
x 
x 
Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận I(0; 1) làm tâm đối xứng.

Ta có:

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =

x
1 + x2

(

)

. Hãy xác định hàm số f ( f ( x ) ) , f f ( f ( x ) ) .

Lời giải:
f ( x)

f ( f ( x )) =

(

1+ f

)

f f ( f ( x )) =

( x)

2

x

x

1 + x2

=


x
1− 

2
 1+ x

1+

2

x
1 + x2

x

f ( f ( x ))

1 + f ( f ( x ))





2

1 + x2

=

2

1 + 2x

=

=

x
1 + 2x2

x
2


x
1+ 


2
 1 + 2x





2

=

1 + 2 x2
2

=

x
1+
1 + 2 x2

x
1 + 3x 2

.

Ví dụ 10: [ĐVH]. Hãy xác định hàm số y = f ( x ) , x ∈ R biết rằng:
a) f ( x + 3) = 2 x − 1

b) f ( x − 1) = x 2 − 3x + 3 .

Lời giải:
a) Đặt u = x + 3 ⇔ x = u − 3, ta được: f ( u ) = 2 ( u − 3) − 1 = 2u − 7, u ∈ R.

Vậy hàm số cần tìm là: f ( x ) = 2 x − 7, x ∈ R.
b) Đặt x − 1 = u ⇔ x = u + 1
Ta có: f ( x − 1) = x 2 − 3x + 3, ∀x ∈ R.

⇔ f ( u ) = ( u + 1) − 3 ( u + 1) + 3, ∀u ∈ R
2

⇔ f ( u ) = u 2 − u + 1, ∀u ∈ R.

Vậy hàm số cần tìm là f ( x ) = x 2 − x + 1, ∀x ∈ R.

Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho a, b ∈ R, a ≥ 0 . Chứng minh rằng tồn tại hàm số y = f ( x ) , x ∈ R sao cho
f ( f ( x ) ) = ax + b, ∀x ∈ R .

Lời giải:
b
Chọn f ( x ) = a .x +
, x∈R
a +1
b

b 
b
Ta có: f ( f ( x ) ) = a . f ( x ) +
= a  a .x +
+
a +1

a +1
a +1

 b a 
b
= ax + 
+
= ax + b, ∀x ∈ R : đpcm.
 a + 1 
a +1



8
 x −1 
 1− x 
Ví dụ 12: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 3 f 
−5 f 
=
 3x + 2 
 x − 2  x −1
28 x + 4
Đ/s: f ( x) =
5x
 2x +1 
2
Ví dụ 13: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết f 
 = x + 2x
 x −1 
2

3x − 3
Đ/s: f ( x) =
( x − 2) 2
 3x − 1  x + 1
Ví dụ 14: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết f 
=
 x + 2  x −1
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

x+4
3x − 2

Đ/s: f ( x) =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng các hàm số sau không có tính chẵn, lẻ:
a) y = x + 3

b) y = 3x 2 − 4 x + 2

x +1
x−2

c) y =

d) y =

3x + 5
x −2
2

Bài 2: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) f ( x ) =

2007 x

b) f ( x ) =

x −4
2

c) y = 1 + x − 1 − x

x4 + 2x2 + 1
9x − 1
2

d) y = x − 4 + x + 4

Bài 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) f ( x ) = 0

b) f ( x ) = 3 ( 2 x + 1) + 3 ( 2 x − 1)

c) f ( x ) = x 4 − 3 x + 72

 x 3 + 1; x ≤ −1

d) f ( x ) = 0, −1 < x < 1
 3
 x − 1, x ≥ 1

2

2

Bài 4: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:
a) y = 2 x + 3; R.
b) y = − x + 5; R.
c) y = x 2 − 4 x;

( −∞;2 ) , ( 2; +∞ )

d) y = 2 x 2 + 4 x + 1;

( −∞;1) , (1; +∞ )

Bài 5: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:
4
; ( −∞; −1) , ( −1; +∞ )
x +1
c) y = −6 x + 9

3
; ( −∞;2 ) , ( 2; +∞ )

2−x
d) y = −6 x + 9

a) y =

e) y =

b) y =

2
5x − 3

f) y =

3x − 2
x +1

Bài 6: [ĐVH]. Xác định g ( f ( x) ) ; f ( g ( x) ) ; g ( g ( x) ) ; f ( f ( x) ) khi:
a) f ( x ) = 2 x − 4, g ( x ) = x 2 + 13

b) f ( x ) =

2x + 1
, g ( x) = 6 − 4x
3x + 1

Bài 7*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết
a) f ( x + 3) = x 2 + x − 6

b) f ( x ) − x. f ( − x ) = x + 1

 x 
=2
 2x − 1 

 1 

c) f ( x ) + xf 

1

d) f ( x ) + f 
 = x +1−
x
1− x 

Bài 8*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) và g(x) biết:
f

a) 
f


( x + 1) + x.g ( x + 1) = 2 x
 x +1
 x +1

+ g
 = x −1
 x −1 

 x −1 

f

b) 
f


( 2 x − 1) + g (1 − x ) = x − 1
 x 
 1 

 + 2g 
=3
 x +1
 2x + 2 

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng các hàm số sau không có tính chẵn, lẻ:
a) y = x + 3
Tập xác định: D = −
 3; +∞ ) .
Nhận xét D = −
 3; +∞ ) không phải tập đối xứng nên hàm số không có tính chẵn, lẻ.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

b) y = 3x 2 − 4 x + 2
Tập xác định: D = ℝ

Đặt y = f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 2
Nhận xét: ⇒ f ( − x ) = 3 x 2 + 4 x + 2 ≠ f ( x ) nên hàm số không phải là hàm số chẵn.
Mặt khác: − f ( x ) = −3 x 2 + 4 x − 2 ≠ f ( − x ) ⇒ hàm số không phải là hàm số lẻ
Vậy hàm số không có tính chẵn lẻ.

c) y =

x +1
x−2

Tập xác định: D = ℝ / {2}
x −1
x+1
≠ y ( x) =
→ hàm số không phải hàm số chẵn
x+2
x−2
x+1
x −1
Mặt khác: − y ( x ) =
≠ y ( −x) =
→ hàm số không phải hàm lẻ.
2−x
x+2
Vậy hàm số không có tính chẵn, lẻ.

Ta có: y ( − x ) =

d) y =

3x + 5
x −2
2

{ }

Tập xác định: D = ℝ / ± 2 ⇒ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
Ta có: y ( − x ) =

5 − 3x
3x + 5
≠ y ( x) = 2
→ Hàm số không phải hàm chẵn.
2
x −2
x −2

3x + 5
5 − 3x
≠ y ( −x ) = 2
→ Hàm số không phải hàm lẻ.
2
2−x
x −2
Vậy hàm số không có tính chẵn, lẻ.

Mặt khác: − y ( x ) =

Bài 2: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) f ( x ) =

2007 x
x −4
2

Tập xác định: D = ℝ / {±2} . Nhận thấy với x ∈ D ⇒ − x ∈ D
Ta có: f ( − x ) =

2007 x
2007 x
≠ f ( x) = 2
→ Hàm số không phải hàm chẵn.
2
4−x
x −4
2007 x
Mặt khác: − f ( x ) =
= f ( − x ) → Hàm số là hàm số lẻ.
4 − x2
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

b) f ( x ) =

x4 + 2x2 + 1
9x − 1
2

 1
Tập xác định: D = ℝ \ ±  . Nhận xét với x ∈ D ⇒ − x ∈ D
 3
Ta có: f ( − x ) =

x4 + 2x2 + 1
= f ( x ) → Hàm số là hàm số chẵn.
9x2 − 1

Mặt khác: − f ( x ) =

x4 + 2x2 + 1
x4 + 2x2 + 1
≠
f
−
x
=
→ Hàm số không phải hàm lẻ.
( )
1 − 9x2
9x2 − 1

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

Vậy hàm số là hàm số chẵn.
c) y = 1 + x − 1 − x
Tập xác định: D = x ∈ −
 1;1
Ta có: y ( − x ) = 1 − x − 1 + x ≠ y = 1 + x − 1 − x → Hàm số không phải hàm chẵn.
Mặt khác: − y ( x ) = 1 − x − 1 + x = y ( − x ) → Hàm số là hàm số lẻ.
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
d) y = x − 4 + x + 4
Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y ( − x ) = x + 4 + x − 4 = y → Hàm số là hàm số chẵn.

Lại có: − y ( x ) = − x − 4 − x + 4 ≠ y ( − x ) → Hàm số không phải hàm lẻ.
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
Bài 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) f ( x ) = 0
Hàm số vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ
b) f ( x ) = 3 ( 2 x + 1) + 3 ( 2 x − 1)
2

2

Tập xác định: D = ℝ
Ta có: f ( − x ) =

3

(1 − 2 x )

2

+ 3 ( 1 + 2 x ) = f ( x ) → Hàm số là hàm số chẵn.
2

Mặt khác: − f ( x ) = − 3 ( 1 − 2 x ) − 3 ( 1 + 2 x ) ≠ f ( − x ) → Hàm số không phải hàm lẻ.
2

2

Vậy hàm số là hàm số chẵn.
c) f ( x ) = x 4 − 3 x + 72
Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f ( − x ) = x 4 − 3 x + 72 = f ( x ) → Hàm số là hàm số chẵn.
Lại có: − f ( x ) = − x 4 + 3 x − 72 ≠ f ( − x ) → Hàm số không phải hàm lẻ.
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
 x 3 + 1; x ≤ −1

d) f ( x ) = 0, −1 < x < 1
 3
 x − 1, x ≥ 1

Tập xác định D = ℝ
− x 3 + 1; x ≤ −1

Ta có: f ( − x ) = 0, − 1 < x < 1 ≠ f ( x ) → Hàm số không phải hàm số chẵn.
− x 3 − 1; x ≥ 1

− x 3 − 1; x ≤ −1


Mặt khác: − f ( x ) = 0; − 1 < x < 1 = f ( − x ) → Hàm số là hàm số lẻ.
 − 3 ≥
1 x ; x 1
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

Bài 4: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:
a) y = 2 x + 3; R.
Nhận xét hệ số a = 2 > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên ℝ
b) y = − x + 5; R.
Nhận thấy hệ số a = −1 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên ℝ
c) y = x 2 − 4 x;

( −∞;2 ) , ( 2; +∞ )

Nhận xét hệ số a = 1, −
d) y = 2 x 2 + 4 x + 1;

b
= 2 ⇒ hàm số giảm trên
2a

( −∞; 2 ) và tăng trên ( 2; +∞ )

( −∞; −1) , ( −1; +∞ )

Nhận xét hệ số a = 2 > 0, −

b
= −1 ⇒ hàm số giảm trên ( −∞; −1) và tăng trên ( −1; +∞ )
2a

Bài 5: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:
a) y =

4
;
x +1

( −∞; −1) , ( −1; +∞ )

Tập xác định: D = ℝ / {−1}
Giả sử x1 , x2 ∈ D . Ta xét:

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

=

−4
( x1 + 1)( x2 + 1)

f ( x2 ) − f ( x1 )
x + 1 < 0

⇒
<0
+) Với x1 , x2 ∈ ( −∞; −1) ⇒  1
x2 − x1
 x2 + 1 < 0
f ( x2 ) − f ( x1 )
x + 1 > 0
+) Với x1 , x2 ∈ ( −1; +∞ ) ⇒  1
⇒
<0
x
+
1
>
0
x
−
x
 2
2
1
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
b) y =

3
;
2−x

( −∞;2 ) , ( 2; +∞ )

Tập xác định: D = ℝ / {2}
Giả sử x1 , x2 ∈ D . Ta xét: T =

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

=

3

( 2 − x2 )( 2 − x1 )

2 − x1 < 0
3
+) Với x1 , x2 ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ 
⇒
>0⇒T >0
2 − x2 < 0 ( 2 − x1 )( 2 − x2 )

2 − x1 > 0
+) Với x1 , x2 ∈ ( −∞; 2 ) ⇒ 
⇒T > 0
 2 − x2 > 0
Vậy hàm số trên đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ )
c) y = −6 x + 9
Nhận xét: a = −6 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên ℝ
d) y =

2
5x − 3

3
Tập xác định: D = ℝ /  
5
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Giả sử x1 , x2 ∈ D . Ta xét: T =

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

=

−10
( 5x1 − 3 )( 5x2 − 3 )

f ( x2 ) − f ( x1 )
5x − 3 < 0

3
+) Với x1 , x2 ∈  −∞;  ⇒  1
⇒
<0
5
x

−
3
<
0
5
x
−
x

 2
2
1
f ( x2 ) − f ( x1 )
5x − 3 > 0
3

⇒
<0
+) Với x1 , x2 ∈  ; +∞  ⇒  1
x2 − x1
5

 5 x2 − 3 > 0

3
3

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng:  −∞;  và  ; +∞ 
5


5

e) y =

3x − 2
x +1

Tập xác định: D = ℝ / {−1}
Giả sử x1 , x2 ∈ D . Ta xét: T =

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

x + 1 < 0
+) Với x1 , x2 ∈ ( −∞; −1) ⇒  1
⇒
 x2 + 1 < 0

=

5

( x1 + 1)( x2 + 1)
f ( x2 ) − f ( x1 )
>0
x2 − x1

f ( x2 ) − f ( x1 )
x + 1 > 0
⇒

>0
+) Với x1 , x2 ∈ ( −1; +∞ ) ⇒  1
x2 − x1
 x2 + 1 > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
Bài 6: [ĐVH]. Xác định g ( f ( x) ) ; f ( g ( x) ) ; g ( g ( x) ) ; f ( f ( x) ) khi:
a) f ( x ) = 2 x − 4, g ( x ) = x + 13
2

Ta có:

( )
f ( g ( x ) ) = 2 ( x + 13 ) − 4 = 2 x + 22
f ( f ( x ) ) = 2 ( 2 x − 4 ) − 4 = 4 x − 12

+) g f ( x ) = ( 2 x − 4 ) + 13 = 4 x 2 − 16 x + 29
2

+)
+)

2

(

) (

+) g g ( x ) = x 2 + 13
b) f ( x ) =

2

)

2

+ 13 = x 4 + 26 x 2 + 182

2x + 1
, g ( x) = 6 − 4x
3x + 1

 1
Tập xác định: D = ℝ / −  . Ta có:
 3
 2 x + 1  10 x + 2
+) g f ( x ) = 6 − 4 
=
 3x + 1  3 x + 1

(

)

(

)

+) f g ( x ) =

2 ( 6 − 4x) + 1

3 ( 6 − 4x) + 1

=

13 − 8 x
19 − 12 x

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

(

)

+) f f ( x ) =

2
3

(

)

2x + 1
3x + 1

2x + 1
3x + 1

+1

=

+1

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

7x + 3
9x + 4

+) g g ( x ) = 6 − 4 ( 6 − 4 x ) = 16 x − 18
Bài 7*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết
a) f ( x + 3 ) = x 2 + x − 6
Đặt x + 3 = a ⇔ f ( a ) = a 2 − 5a ⇔ f ( x ) = x 2 − 5 x
b) f ( x ) − x. f ( − x ) = x + 1 ( ∗)
Đặt: − x = y ⇒ phương trình trở thành: ⇔ f ( − y ) + y. f ( y ) = 1 − y ⇔ f ( − x ) + xf ( x ) = 1 − x

 f ( x ) − xf ( − x ) = x + 1
Kết hợp với ( ∗) ta có hệ: 
 f ( − x ) + xf ( x ) = 1 − x

2x + 1 − x2
2
2
 f ( x) =
 xf ( x ) − x f ( − x ) = x + x


1 + x2
Do x = 0 không thỏa mãn hệ nên ta có: ⇔ 
⇔
2
 f −x = 1 − 2x − x
 f ( − x ) + xf ( x ) = 1 − x
(
)

1 + x2
2x + 1 − x2
Vậy hàm số f ( x ) =
1 + x2
 x 
c) f ( x ) + xf 
=2
 2x −1 
1
Tập xác định: D = ℝ /  
2

Đặt:

x
a
=a⇔x=
→ phương trình trở thành:
2x − 1
2a − 1

 a 
a
f
+
. f (a) = 2 ⇔

 2a − 1  2a − 1

 x 
x
f
+
. f ( x ) = 2 ( ∗)

 2x − 1  2x − 1

 x 
1
Ta lại có: f ( x ) + xf 
= 2 ⇔ f ( x) +

x
 2x − 1 
Kết hợp với ( ∗) , giải hệ ta được: f ( x ) =
Vậy hàm số f ( x ) =

 x  2
f
=

 2x − 1  x

4x − 2
x −1

4x − 2
x −1

1
 1 
d) f ( x ) + f 
 = x + 1 − (∗)
x
 1− x 
Tập xác định: D = ℝ / {0;1}

Đặt:

1
a −1
=a⇔x=
→ phương trình trở thành:
1− x
a

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

 a −1
a 2 − 3a + 1
f
a
⇔ f
+
=
( ) a a −1 ⇔

( )
 a 

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

 x −1
x2 − 3x + 1
f
f
x
+
=
( ) x2 − x (∗∗)

 x 

 1 
Trừ vế theo vế ( ∗) & ( ∗∗) ta được: f 
−
 1− x 

 x − 1  2x3 − x4 − x2 − 2x + 1
f
=
2
 x 
x ( x − 1)

 1  −5a4 + 6 a 3 − 3a + 1
 1  6 x3 − 5 x4 − 3x + 1
⇔ f (a) − f 
⇔ f ( x) − f 
(∗∗∗)
=
=
a 2 ( a − 1)
x 2 ( x − 1)
 1− a 
 1− x 
6x4 − 4x4 − 2x2 − 2x + 1
Lấy ( ∗) + ( ∗∗∗) ta được: f ( x ) =
2 x 2 ( x − 1)
6x4 − 4x4 − 2x2 − 2x + 1
Vậy hàm số f ( x ) =
2 x 2 ( x − 1)

Bài 8*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) và g(x) biết:

f

a) 

f


( x + 1) + x.g ( x + 1) = 2 x
 x +1 
 x +1

+ g
 = x −1
 x −1 
 x −1 

Tập xác định: D = ℝ / {1}
 f ( a ) + ( a − 1) g ( a ) = 2 a − 2
 f ( x ) + ( x − 1) g ( x ) = 2 x − 2
a = x + 1



Đặt: 
⇔
x + 1 ⇒ hệ tương đương: ↔ 
2
2
b = x − 1
 f (b) + g (b) =
 f ( x) + g ( x) =

b−1
x −1



2x2 − 4x
2x
Trừ từng vế 2 phương trình ta được: ⇔ ( x − 2 ) g ( x ) =
⇔ g ( x) =
⇒ f ( x ) = −2
x −1
x−1
Vậy ta có các hàm số phải tìm như trên.
f

b) 
f


( 2 x − 1) + g (1 − x ) = x − 1
 x 
 1 

 + 2g 
=3
 x +1
 2x + 2 

Tập xác định: D = ℝ / {−1}
Đặt: 2 x − 1 =

a
2a + 1

1
⇔x=
⇔ 1− x =
a+1
2a + 2
2a + 2

 a 
 1  4a + 3
 x 
 1  4x + 3
Khi đó phương trình 1 ⇔ f 
+ g
=
⇔ f
+ g



=
 a+1
 2a + 2  2a + 2
 x+1
 2x + 2  2x + 2
Suy ra hệ tương đương:

  x 
  x 
 1  4x + 3
x

+ g
=
=
f 
f



  x +1
  x +1 x +1
 f ( x ) = x
 2x + 2  2x + 2
⇔
⇔
⇔
 g ( x ) = x + 1
 f  x  + 2g  1  = 3
 g  1  = 2x + 3 = 1 + 1






  x + 1 
  2 x + 2  2 x + 2
2x + 2
 2x + 2 
Vậy: f ( x ) = x; g ( x ) = x + 1

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !