KN giải toánQH

A. MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán THPT ta hay gặp các bài toán chứng minh
phương trình f(x) = 0 có nghiệm hoặc có một số nghiệm thuộc khoảng nào đó,
nói chung với mức độ các bài toán dành cho học sinh đại trà, ta chỉ cần sử
dụng định lí: "Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên
[ ; ]a b
và
( ) ( ) 0f a f b <
thì
tồn tại ít nhất một điểm
(a;b)c∈
sao cho
( ) 0f c =
" hoặc sử dụng đạo hàm
(chỉ cần đạo hàm cấp 1) để lập bảng biến thiên (hoặc vẽ đố thị hàm số) từ đó
thường rút ra được lời giải cho bài toán. Tuy nhiên trong thực tế ở các kì thi
đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh có rất nhiều các bài toán ở dạng trên, nếu
chỉ đơn thuần sử dụng kiến thức trên, mà không sáng tạo thì chắc không đi tới
kết quả. Để giải được các bài toán tương đối khó ở những kì thi này này, chắc
chắn hs phải nắm vững những kiến thức nói trên kết hợp với các kiến thức
toán học khác, cùng với kinh nghiệm giải toán (tích lũy được) và phải biết
sáng tạo thì mới có kết quả. Trong Bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày lời giải
cho một vài ví dụ bài toán dạng trên đã gặp trong các kì thi đại học, kì thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, để minh họa việc sử dụng sáng tạo giới hạn, tính liên tục,
đạo hàm cấp 1, 2, 3 ,… và cả định lí Lagrange. Vấn đề này không mới nhưng
trong chương trình SGK ít đề cập, hơn nữa lại hay có trong các đề thi nên tôi
đã giảng dạy cho học sinh và mạnh dạn viết thành KN nhỏ của mình với tên
"Rèn luyện thêm kĩ năng chứng minh phương trình có nghiệm" góp phần nâng
cao tư duy cho học sinh.

(Các kí hiệu hàm số f(x) và (1) , (2) ,… ở phần nội dung chỉ dùng cho từng ví dụ)
1
B. NỘI DUNG
I. Sử dụng tính liên tục và sự biến thiên của hàm số để chứng minh phương
trình có nghiệm hay chỉ ra số nghiệm của phương trình theo yêu cầu.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi số a, b, c cho trước, phương trình:
cos3 cos2 cos sin 0a x b x c x x+ + + =
(1)
luôn có nghiệm trong đoạn
[0;2 ]
π
(Đề thi ĐH Quốc gia Hà Nội khối A – 1999).
Nhận xét: Ở bài toán này nếu đơn thuần bằng cách tìm ra hai số
,
α β
cụ thể
thuộc
[0;2 ]
π
sao cho
( ) 0f
α
≥
,
( ) 0f
β
≤
sẽ rất khó khăn, thậm chí không
tìm nổi. Tuy nhiên vẫn suy nghĩ theo hướng đó nhưng ta chứng minh trên đó

tồn tại hai số
,
α β
mà
( )f
α
,
( )f
β
không cùng dấu thì ta có kết quả, sau đây
là lời giải.
Giải:
Đặt
( ) cos3 cos2 cos sinf x a x b x c x x= + + +
rõ ràng
( )f x
liên tục trên
¡

suy ra trên
[0;2 ]
π
hàm số liên tục
Ta có
3
(0) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 0
2 2
f f f f a b c b a b c b
π π
π

   
+ + + = + + + − + + − + − + − − =
 ÷  ÷
   
Suy ra trong bốn số
3
(0); ; ( );
2 2
f f f f
π π
π
   
 ÷  ÷
   
chắc chắn có ít nhất một số
không âm, một số không dương (chẳng hạn
(0) 0; ( ) 0f f
π
≥ ≤
khi đó
(0) ( ) 0f f
π
≤
suy ra phương trình (1) có nghiệm thuộc
[0; ]
π
)
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc
[0;2 ]
π

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình
5 2
4 4 1x x x− − =
có đúng một nghiệm và
nghiệm đó dương.
2
(Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2007)
Nhận xét: Việc chứng minh phương trình trên có nghiệm rất đơn giản. Ở đây
cái khó là chứng minh phương trình trên có đúng một nghiệm và nghiệm đó
phải dương. Việc này rõ ràng phải khảo sát sự biến thiên của hàm số, tuy
nhiên nếu chỉ dùng đạo hàm cấp 1 thì chưa có kết quả, ta phải dùng thêm đạo
hàm cấp 2.
Giải: PT :
5 2
4 4 1x x x− − =
(1)
(1)
5 2
4 4 1x x x⇔ = + +
5 2
(2 1)x x⇔ = +
(2)
Dễ thấy 0x ≤ thì (2) không đúng.
Nếu 0 1x< ≤ thì (2) cũng không đúng vì khi đó
5
0 1x< ≤
còn
2
(2 1) 1x + >

Vậy chỉ cần xét 1x ≥
 (1)
5 2
4 4 1 0x x x⇔ − − − =
Đặt
5 2
( ) 4 4 1f x x x x= − − −
4
'( ) 5 8 4f x x x= − −
3
''( ) 20 8f x x= −
Các hàm số f(x), f'(x),f''(x) đều liên tục trên ¡ và đều dần đến +∞ khi x dần
đến +∞
 Khi x > 1 thì f"(x) > 0 ta có bảng biến thiên của hàm số f'(x) trên
[1; +∞)
x 1
+∞
f''(x) +
f'(x)
+∞
-7
3
Từ bảng trên suy ra hàm số f'(x) có nghiệm duy nhất x
0
> 1
Và f'(x) > 0 khi x > x
0

-7 < f'(x) < 0 khi 1 < x < x

0
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [1; +∞)
x 1 x
0
+∞
f'(x) – 0 +
f(x)
+∞
-8
f(x
0
)
Với f(x
0
) < -8
Từ bảng biến thiên trên suy ra hàm số f(x) có nghiệm duy nhất x
1
với
1< x
0
< x
1

Chứng tỏ trên (1; +∞) phương trình (1) có nghiệm duy nhất từ đó suy ra
bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3:
Giải phương trình:
3 5 6 2
x x
x+ = +

(1)
(Đề thi ĐH Sư phạm Hà Nội khối A - 2001)
Nhận xét: Rõ ràng ở bài toán này khó có phương pháp biến đổi đại số nào để
rút ra nghiệm của phương trình ; chắc chắn ta nghĩ đến việc "mò" ra nghiệm
và chứng minh phương trình chỉ có các nghiệm đó.
Giải:
Phương trình (1)
3 5 6 2 0
x x
x⇔ + − − =
Ta thấy phương trình nhận
0, 1x x= =
là nghiệm.
Bây giờ ta chứng minh phương trình (1) chỉ có 2 nghiệm đó. Tức là
chứng minh trên
¡
phương trình (1) chỉ có hai nghiệm (hay chỉ cần
chứng minh trên ¡ phương trình có không quá hai nghiệm).
Thật vậy:
Đặt
( ) 3 5 6 2
x x
f x x= + − −
. Hàm số f(x) liên tục trên
¡
.
4
Có đạo hàm
'( ) 3 ln3 5 ln5 6
x x

f x = + −
2 2
"( ) 3 (ln3) 5 (ln5) 0
x x
f x x= + > ∀ ∈ ¡

và
lim '( ) ; lim '( ) 6
x x
f x f x
→+∞ →−∞
= +∞ = −
. Do f'(x) liên tục đồng biến, nhận cả giá
trị âm và giá trị dương nên phương trình
'( ) 0f x =
có nghiệm duy nhất x
0

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x
–∞
x
0
+∞
f'(x) – 0 +
f(x)
+∞ +∞

Từ bảng biến thiên trên suy ra phương trình
( ) 0f x =

hay phương trình (1) có
không quá hai nghiệm.
Vậy phương trình (1) có đúng hai nghiệm
0, 1x x= =
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng phương trình
5 4 3 2
2 8 9 1 0x x x x x− − − − + =
(1)
có hai nghiệm dương và ít nhất một nghiệm âm.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2005)
Giải:
Đặt
5 4 3 2
( ) 2 8 9 1f x x x x x x= − − − − +
4 3 2
3 2
2 2
'( ) 5 8 24 2 9
"( ) 2(10 12 24 1)
'''( ) 2(30 24 24) 12(5 4 4)
f x x x x x
f x x x x
f x x x x x

= − − − −

⇒ = − − −



= − − = − −

Cả f(x); f'(x); f"(x); f'''(x) đều xác định và liên tục trên R.
Và chúng đều → +∞ khi x → +∞
 Ta chứng minh trên (-∞; 0); f(x) có ít nhất một nghiệm:
ta có f(0) = 1;
lim ( ) ( ;0)
x
f x a
→−∞
= −∞ ⇒ ∃ ∈ −∞
để
5