Đề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài Đức

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: Toán – Lớp 11
Ngày thi:
01/3/2016
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1)

sin x  cos x  2 sin 3 x .

2)

sin 2 x  2tanx  3.

Bài 2 (4 điểm)
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ
số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.
2) Cho  n là số nguyên dương, chứng minh
Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3  ...  Cnn1Cnn  C2nn1.
Bài 3 (4 điểm)
u1  1
�
�
�
2
u

1
u


n

1




u


�
n
n

1
Cho dãy số n thỏa mãn:

n �1.

n2
�un �n  1, n �1.
1) Chứng minh n  1

lim
2) Tính

n.un .
(n  1) 2

Bài 4 (4 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân.
0
Chứng minh tam giác ABC không có hai góc lớn hơn 60 .
2) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam
giác ABC sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 ( 4 điểm)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ

trên cạnh SC ( M không trùng với S và C ). Mặt phẳng   chứa đường thẳng
AM và song song với đường thẳng BD cắt  SB, SD lần lượt tại E , F .
1) Chứng minh mặt phẳng

   luôn chứa một đường thẳng cố định.


2) Chứng minh biểu thức

T

SB SD SC


SE SF SM có giá trị không đổi.

---------------- HẾT ---------------Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11
Bài

Bài 1
Câu 1

HƯỚNG DẪN CHẤM
Giải pt…
Giải pt:
Pt tương đương
Pt có hai nghiệm ; với

Câu 2

Giải pt:
Điều kiện: hay
Đặt , ta có
Pt trở thành :
Với nên là nghiệm của pt.

Bài 2
Câu 1

Câu 2

Có bao nhiêu chữ số…..
Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập.
Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất
số liền sau lớn hơn số liền trước,
Số số lập được là số
Chứng minh rằng:.
Xét khai triển:
với .

1,0
1,0
2 điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
4 điểm
2 điểm
0,5
1,0
0,5
2 điểm
0,5

Hệ số của trong khai triển là:

0,5

Do nên hệ số của là
Cân bằng hệ số cùng 1 khai triển ta được
(ĐPCM)

0,5

Bài 3
Câu 1

Điểm

4 điểm
2 điểm

Chứng minh rằng . Ta dùng PP quy nạp toán học.
Với n=1 bài toán đúng

0,5
4 điểm
3 điểm
0,5


Giả sử bài toán đúng với ta có (1)
Ta CM bài toán đúng với túc là: .
Thật vậy, do giả thiết ta có:
nên
Ta lại có do (1)
nên
Bài toán đúng với
Câu 2

Do đó,
Bài 4

1,0

0,5
0,5
4 điểm

Cmr tam giác ABC…

2 điểm

Vai trò 3 cạnh của tam giác bình đẳng, nên ta giả sử nên ta có . Ta cần
CMR góc .
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có:
Do, 3 cạnh lập thành cấp số nhân nên do đó,

1,0

Suy ra . Mà nghịch biến trên
Nên . Bài toán được CM.

0,5

Câu 2

0,5

1 điểm
Do tam giác ABC nhọn nên nếu tam giác đều thì M là trọng tâm tam
giác.
Xét phép quay tâm B góc quay là biến điểm M thành điểm N, điểm C
thành điểm P.
Ta có tam giác BMN, BPC là những tam giác đều và nên:

1,0

Để F nhỏ nhất cần A, M, N, P thẳng hàng.

Do tam giác BMN đều nên góc và .
Nên điểm M là điểm được xác định thuộc miền trong tam giác ABC
và nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới 1 góc .

1,0

Bài 5

Câu 1

1,0

1 điểm
Từ trên ta có:
mà

Câu 1

0,5

4 điểm

CMR mặt phẳng chứa một đường thẳng cố định.

2 điểm


Câu 2

Do mặt phẳng cắt hai mặt phẳng và theo 2 giao tuyến và có nên

Do là điểm chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến của hai mặt
phẳng và là đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng
Nên mặt phẳng chứa đường thẳng là đường thẳng cố định .
CMR: biểu thức có giá trị không đổi.
Do nên .
Vậy nên,
Xét tam giác SOC. Áp dụng định lý Menelaus với đường thẳng AC
cắt 3 cạnh của tam giác SOC, ta có: hay
Vậy không đổi.

1,0
1,0
2 điểm
0,5
1,0
0,5