TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 11 - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN
BÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn .
*Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu
n
u
có thể nhỏ
hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:limu
n
= 0 hay u
n
0
→

khi
+∞→
n
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi
+∞→
n
nếu lim(u
n
-a)=0
Kí hiệu:limu
n
=a hay un
a

→
khi
+∞→
n

2. Định nghĩa giới hạn vô cực .
*Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn +
∞
khi
+∞→
n
,nếu u
n
có thể lớn hơn một số
dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:limun=+
∞
hay u
n
+∞→

khi
+∞→
n
.
Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn -

∞
khi
+∞→
n
,nếu lim(-u
n
)=+
∞
Kí hiệu:limu
n
=-
∞
hay u
n
−∞→

khi
+∞→
n
.
3.Các giới hạn đặc biệt.
a/lim
n
1
=0 ;lim
n
k
1
=0;limn
k

=+
∞
với k là số nguyên dương.
b/limq
n
=0 nếu
q
<1;limq
n
=+
∞
nếu
q
>1.
c.limc=c (clà hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn.
Định lí 1.
a/nếu limu
n
=a và limv
n
=b,thì:
*lim(u
n
+v
n
)=a+b lim(u
n
-vn)=a-b
*limu

n
v
n
=ab lim
b
a
v
u
n
n
=
b/Nếu u
n
0
≥
với mọi n và limu
n
=a thì a
0
≥
và lim
au
n
=
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
Định lí 2.
a/Nếu limu
n
=a và limv
n

=
∞±
thì lim
0
=
n
n
v
u
b/Nếu limu
n
=+
∞
và limv
n
=a>0 thì limu
n
v
n
=+
∞
c/Nếu limu
n
=a>0,limv
n
=0 và v
n
>0 với mọi n thì lim
+∞=
n

n
v
u
6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn
q
<1
*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u
1
+u
2
+u
3
+...=
q
u
−
1
1
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I..Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NHỜ VÀO
CÁC ĐỊNH LÍ1, 2 VỀ GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí 1,2.
*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho n
k
,trong đó k là
số mũ cao nhất của n(hoặc q
n
với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)

*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:
+Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
+Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thức
chứa biến n dưới dấu căn.
Ví dụ1.Tính lim
3
3
21
523
n
nn
+
+−
.
Ta có:lim
3
3
21
523
n
nn
+
+−
=lim
)2
1
(
)
52
3(

3
3
32
3
+
+−
n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32
=
+
+−
n
nn
Ví dụ 2.Tính lim
14
3.25
+
+
n

nn
Ta có :lim
14
3.25
+
+
n
nn
=lim
)
5
1
)
5
4
((5
))
5
3
.(21(5
n
nn
nn
+
+
=lim
+∞=
+
+
n

n
n
5
1
)
5
4
(
)
5
3
.(21
(vì lim(1+2.(
1))
5
3
=
n
>0,lim((
0)
5
1
)
5
4
=+
n
n
và
0

5
1
)
5
4
(
>+
n
n
)
Ví dụ 3. Tính lim
n
nn
21
14
2
+
−+
Ta có : lim
n
nn
21
14
2
+
−+
=lim
n
n
n

n
21
1
4
2
+
−+
=lim
2
1
2
1
1
1
4
2
=
+
−+
n
n
Ví dụ 4. Tính lim(n-
1
73
2
+
−+
n
nn
)

Ta có :
lim(n-
1
73
2
+
−+
n
nn
)=lim
2
1
1
7
2
lim
1
72
lim
1
)73()(
22
−=
+
+−
=
+
+−
=
+

−+−+
n
n
n
n
n
nnnn
Ví dụ 5. Tính lim(2n
3
+3n-1)
Ta có lim(2n
3
+3n-1)=limn
3
(2+
32
13
nn
−
)=+
∞
Ví dụ 6. Tính lim(-2n
2
+n
n
-n+4)
Ta có : lim(-2n
2
+n
n

-n+4)=limn
2
(-2+
−∞=+−
)
411
2
n
n
n
.
Ví dụ 7. Tính lim(
)1
22
nnn
−++
Ta có : lim(
)1
22
nnn
−++
=limn(
+∞=−++ )
1
1
1
1
2
n
n

Ví dụ 8. Tính lim(
)1
22
nnn
−−+
Ta có : lim(
)1
22
nnn
−−+
=lim
nnn
nnnnnn
−++
−++−−+
22
2222
1
)1)(1(
=lim
nnn
nnn
−++
−−+
22
22
1
)()1(
=lim
nnn

n
−++
+
22
1
1
=lim
2
1
1
1
1
1
1
1
2
=
−++
+
n
n
n
Chú ý : khi gặp các dạng sau(ta gọi là các dạng vô định)thì ta phải biến đổi để đưa về
dạng thích hợp để vận dụng các định lí để giải.

∞±
.0
;
∞
∞

;
)(
+∞−∞+
;
)(
+∞+∞−
;
0
0
II.Vấn đề 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Phương pháp : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn(nếu bài
toán chưa cho giả thiết này).Sau đó tính tổng bằng công thức :
S=
q
u
−
1
1
Ví dụ 1. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau :
1,-
,...)
3
1
(,...,
27
1
,
9
1
,

3
1
1
−
−−
n

Giải. Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u
1
=1,công bội q=
3
1
−
Do đó, S=1-
4
3
3
1
1
1
...)
3
1
(...
27
1
9
1
3
1

1
=
+
=+−++−+
−
n

Ví dụ 2. Tính tổng S=
...
)2(
)1.(3
...
4
3
22
3
2
3
2
3
1
+
−
++−+−
+
n
n
Dãy số:
,...
)2(

)1.(3
,...,
4
3
,
22
3
,
2
3
,
2
3
1
n
n
+
−
là một cấp số nhân lùi vô hạng với công
bội q=
2
1
−
và u
1
=
2
3
.Vì
1

2
1
2
1
<=−=
q
nên(u
n
) là một cấp số nhân lùi vô hạng.Do
đó ta có:
S=
...
)2(
)1.(3
...
4
3
22
3
2
3
2
3
1
+
−
++−+−
+
n
n

=
21
3
2
1
1
2
3
+
=
+
C.BÀI T ẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài1.Tính các giới hạn sau:
1. lim
2
2
1
132
nn
nn
+−
+−
2. lim
12
7
3
34
−
+−
n

nn
3.lim
5
2
2
+
−
n
nnn
4. lim
5
32
1
)43()21(
n
nn
+
+−
5. lim
n
nn
41
234
1
+
+−
+

6. lim
)

4
3
3
2
(
1
n
n
n
n
+
−
7. lim
73
54
23
2
++
−+
nn
nn
8. lim
964
23
23
45
++
−−+
nn
nnn

9. lim
32
232
2
4
+−
−+
nn
nn
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1. lim(-n
3
+2n-1) 2. lim(3n
2
-5n
n
-9)
3.lim(3
n
+2
n
+5)
4. lim(3n
3
-7n+11) 5. lim
22
24
++−
nnn
6.lim

3 3
21 nn
−+
7.lim
13
4
2
+
+−
n
nnn
8.lim(
)1123
22
++−+
nnn

9.lim(
)1123
22
+−−+
nnn

Bài 3.Tìm các giới hạn sau.
1. lim(
)1
2
nnn
−++
2.lim

12
1
+−+
nn

3.lim
)12
2
+−++
nnn
4.lim
1223
1
+−+
nn

5.limn(
)1 nn
−+
6.lim
23
11
2
+
+−+
n
nn
Bài 4.Tính các giới hạn sau.
1.lim(
)

1
...
1
2
1
1
222
+
++
+
+
+
n
n
nn

2.lim(
)
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn

3.lim(
)
1
1)...(
3
1
1)(
2
1
1
222
n
−−−
4.lim
n
n
3...2793
2....8421
++++
+++++
Bài 5.Tính các tổng sau:
1.A=
1
1
2
)1(
...
8
1
4

1
2
1
1
−
−
−
++−+−
n
n
+…
2.B=cosx+cos
2
x+cos
3
x+...+cos
n
x+...
3.C=
...
2
)1(
...
2
1
2
1
12
2
+

−
+−+−+−
−
n
n
BÀI 2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số.
*Cho khoảng K chứa điểm x
o
và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\(x
o
)
Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x
0
) khi x dần tới x
o
nếu với dãy số (x
n
)
bất kì,x
n
K∈
\(x
o
) và x
n
→
x
o

ta có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu
Lxf
o
xx
=
→
)(lim
hay f(x)

→
L khi x
→
x
o
• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (x
0
;b)
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x
→
x
o
nếu với dãy số
(x
n

) bất kì,x
o
<x
n
<b v à x
n
→
x
o
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf
o
xx
=
+
→
)(lim
• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;x
0
)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x
→

x
o
nếu với dãy số
(x
n
) bất kì,a<x
n
<x
o
v à x
n
→
x
o
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf
o
xx
=
−
→
)(lim

• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;+
∞
)
Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x
→
+
∞

nếu với dãy số
(x
n
) bất kì x
n
>a v à x
n
→
+
∞
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf
x
=

+∞→
)(lim
• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (-
∞
;a)
Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x
→
-
∞

nếu với dãy số (x
n
)
bất kì x
n
<a v à x
n
→
-
∞
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf

x
=
−∞→
)(lim
2.Định nghĩa gi ới hạn vô cực của hàm số
*Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+
∞
).
Hàm số y=f(x) được gọi là có giới hạn -
∞
khi x
→
+
∞
nếu với dãy số (xn)
bất kì,xn>a v à x
n
→
+
∞
,ta có f(x
n
)

→
-
∞

Kí hiệu:
−∞=

+∞→
)(lim xf
x
*Chú ý:
+∞=
+∞→
)(lim xf
x

−∞=
−∞→
)(lim xf
x

+∞=
−∞→
)(lim xf
x

+∞=
→
)(lim
0
xf
xx

−∞=
+→
)(lim
0

xf
xx
... được định nghĩa tương tự.
*Nhận xét:
+∞=
+∞→
)(lim xf
x

−∞=−⇔
+∞→
))((lim xf
x
3.Các giới hạn đặc biệt.
a/
0
0
lim xx
xx
=
→
; b/
cc
xx
=
→
0
lim
;c/
cc

x
=
±∞→
lim
; d/
0lim
=
±∞→
x
c
x
;(c là hằng số)
e/
+
+∞→
∈+∞=
Zkx
k
x
,lim
;f/
−∞=
−∞→
k
x
xlim
,nếu k là số lẻ.
g/
+∞=
−∞→

k
x
xlim
, nếu k là số chẵn
4.Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a/Nếu
Lxf
o
xx
=
→
)(lim
và
Mxg
o
xx
=
→
)(lim
thì:
*
MLxgxf
o
xx
±=±
→
))()((lim
*
MLxgxf

o
xx
.)().(lim =
→
*
M
L
xg
xf
o
xx
=
→
)(
)(
lim
(nếu M
0
≠
)
b/Nếu f(x)
0
≥
và
Lxf
o
xx
=
→
)(lim

thì L
0
≥
và
Lxf
o
xx
=
→
)(lim
Chú ý: Định lí vẫn đúng khi
+∞→−∞→→→
−+
xxxxxx ;;;
00
Định lí 2.
LxfLxf
xxxx
xx
o
==⇔=
+−
→→
→
00
lim)(lim)(lim
5.Quy tắc về giới hạn vô cực
a/Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x).

Lxf

o
xx
=
→
)(lim


)(lim xg
o
xx
→


)().(lim xgxf
o
xx
→

L>0

+
∞
+
∞
-
∞
-
∞

L<0

+
∞
-
∞
-
∞
+
∞

b/Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(
)(
xg
xf

)(lim xf
o
xx
→
)(lim xg
o
xx
→
Dấu của g(x)
)(
)(
lim
xg
xf

o
xx
→
L
∞±
Tuỳ ý 0
L>0
0
+ +
∞
- -
∞
L<0 + -
∞
- +
∞
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn,với
0
xx
≠
)
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I.Vấn đề 1.Tính giới hạn của hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lí 1,2 hay quy
tắc về giới hạn vô cực.
Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau.
a/
1
2
lim
2

2
−
+
→
x
xx
x

Ta có:
1
2
lim
2
2
−
+
→
x
xx
x
=
10
12
22.2
2
=
−
+

b/

)13(lim
3
3
−+−
−
→
xx
x

Ta có:
)13(lim
3
3
−+−
−
→
xx
x
=
)13.33(
3
−+−
=-19
c/
2
1
)1(
23
lim
+

+
−→
x
x
x

Ta có:
0)1(lim,01)23(lim
2
11
=+<−=+
−→−→
xx
xx
và (x+1)
2
>0 với mọi
1
−≠
x
.
Do đó
2
1
)1(
23
lim
+
+
−→

x
x
x
=-
∞

d/
x
x
x
−
−
+
→
5
112
lim
5
Vì
0)5(lim,01)112(lim
55
=−<−=−
++
→→
xx
xx
và (5-x)<0 với mọi x>5
Do đó
x
x

x
−
−
+
→
5
112
lim
5
=+
∞
e/
)24(lim
24
xxx
x
+−
+∞→

Ta có:
)24(lim
24
xxx
x
+−
+∞→
=
)
12
4(lim

32
4
xx
x
x
+−
+∞→
= +
∞

f/
)152(lim
3
+−−
−∞→
xx
x
Ta có:
)152(lim
3
+−−
−∞→
xx
x
=
)
15
2(lim
32
3

xx
x
x
+−−
−∞→
==+
∞
II.Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
PHƯƠNG PHÁP:
Tuỳ từng dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp.
*Dạng
0
0
(tính
)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
khi
0)(lim)(lim
00
==
→→
xvxu
xxxx
).

-Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.Cụ thể ta biến đổi:

)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
=
)(
)(
lim
)()(
)()(
lim
00
0
0
xB
xA
xBxx
xAxx
xxxx
→→
=
−
−
-Tính

)(
)(
lim
0
xB
xA
xx
→
(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rồi giản ước).
*Dạng
∞
∞
( tính
)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
khi
±∞==
→→
)(lim)(lim
00
xvxu
xxxx
).

-Chia tử số và mẫu số cho x
n
với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân tích
tử và mẫu chứa nhân tử x
n
rồi giản ước).
-Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu căn thức thì đưa x
k
ra ngoài dấu căn(với k là
số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x.
*Dạng
∞
-
∞
(Tính
)]()([lim
0
xvxu
xx
−
→
khi

+∞==
→→
)(lim)(lim
00
xvxu
xxxx
hoặc

−∞==
→→
)(lim)(lim
00
xvxu
xxxx
Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức)hoặc
quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(nếu chứa nhiều phân thức).
Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau:
a/
23
55
lim
2
1
++
+
−→
xx
x
x
Ta có:
5
2
5
lim
)2)(1(
)1(5
lim
23

55
lim
11
2
1
=
+
=
++
+
=
++
+
−→−→−→
xxx
x
xx
x
xxx
b/
2
314
lim
2
−
−+
→
x
x
x

Ta có:
)314)(2(
)2(4
lim
)314)(2(
9)14(
lim
2
314
lim
222
++−
−
=
++−
−+
=
−
−+
→→→
xx
x
xx
x
x
x
xxx
=
3
2

314
4
lim
2
=
++
→
x
x

c/
32
3
3
22
lim
xx
xx
x
−
−+
−∞→
.Ta có:
3
2
3
1
21
2
lim

3
22
lim
32
32
3
−=
−
−+
=
−
−+
−∞→−∞→
x
xx
xx
xx
xx
d/
2
1
lim
4
45
+
++−
+∞→
x
xx
x

Ta có:
−∞=
+
++−
=
+
++−
+∞→+∞→
5
5
4
45
21
11
1
lim
2
1
lim
x
x
x
x
x
xx
xx
e/
72
31
lim

2
+
+−−
−∞→
x
xxx
x
Ta có:
72
3
11
1
lim
72
31
lim
2
2
+
+−−
=
+
+−−
−∞→−∞→
x
x
x
x
x
x

xxx
xx

72
3
11
1
lim
2
+
+−−−
=
−∞→
x
x
x
x
x
x

1
7
2
3
11
1
lim
2
=
+

+−−−
=
−∞→
x
x
x
x
f/
xxx
x
++
−∞→
2
lim
Ta có:
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+
−+++
=++
−∞→−∞→
2
22
2
))((
limlim
=
xxx

x
x
−+
−∞→
2
lim
=
2
1
1
1
1
1
lim
1
1
lim
−=
−+−
=
−+−
−∞→−∞→
x
x
x
x
x
xx
g/
)

1
1
2
(lim
2
xx
x
x
−
+
−∞→
Ta có:
)
1
1
2
(lim
2
xx
x
x
−
+
−∞→
=
+∞=
+
−−
=
+

−−
−∞→−∞→
2
32
2
3
11
11
2
lim
12
lim
x
x
xx
xx
xx
xx
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các giới hạn sau:
1.
4lim
2
3
−
→
x
x
2.
1

53
lim
1
+
+
→
x
x
x
3.
2
2
)2(
45
lim
+
+
−→
x
x
x
4.
3
17
lim
3
−
−
+
→

x
x
x
5.
3
17
lim
3
−
−
−
→
x
x
x
6.
3
17
lim
3
−
−
−
−→
x
x
x
7.
)12(lim
3

+−
−∞→
xx
x
8.
73lim
2
−+
+∞→
xx
x
9.
14lim
2
−+
−∞→
xx
x
Bài 2.Tính các giới hạn sau.

1.
2
2
lim
2
2
−
−−
→
x

xx
x
2.
1
352
lim
2
1
−
+−
→
x
xx
x
3.
3
34
lim
2
3
−
+−
→
x
xx
x
3.
13
143
lim

2
3
1
−
+−
→
x
xx
x
4.
4
22
lim
2
23
2
−
+−−
→
x
xxx
x
5.
x
xx
x
−−+
−∞→
11
lim

2
6.
21
21
lim
3
−−
−+
→
x
x
x
7.
1
12
lim
3
1
−
−−
→
x
xx
x
8.
x
xx
x
3
11

lim
2
0
−++
→
9.
2
3
0
3
33
lim
x
x
x
−
+
→
Bài 3.Tính giới hạn các hàm số sau khi
−∞→+∞→
xx ,
1.f(x)=
xxxx
−−+
44
2.g(x)=
xx
++
1
2

3.h(x)= x(
xx
++
1
2
) 4.
xxx
xk
224
1
)(
2
+−
=
BÀI 3:HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
I. Định nghĩa hàm số liên tục:
*Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x
0
K
∈
.

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x
0
nếu
)()(lim
0
0
xfxf

xx
=
→
.
*Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó.
* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục
trên khoảng (a;b) v à
)()(lim afxf
ax
=
+
→
,
)()(lim bfxf
bx
=
−
→
.
Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền
trên khoảng đó.
II.Các định lí.
1. Định lí 1.
a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R.
b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác
định của nó.
2. Định lí 2 .
Giả sử y=f(x) và y=g(x)là hai hàm số liên tục tại x
0

.Khi đó :
a/Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại x
0

b/Hàm số y=
)(
)(
xg
xf
liên tục tại x
0
nếu g(x
0
)
0
≠
.
3. Định lí 3 . Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại
ít nhất một điểm c
( )
ba;
∈

sao cho f(c)=0.
Mệnh đề tương đương :
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) .f(b)<0 thì phương trình
f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x
0
( )
ba;

∈

4.Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a)
≠
f(b)thì với số thực M
nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm c
( )
ba;
∈

sao cho f(c)=M.