Nghiên cứu tính duy nhất nghiệm β nhớt của phương trình hamilton jacobi trong không gian banach (tt)

1
DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1. ThS Nguyễn Kế Tam; Khoa Sư phạm Tiểu học - Mầm non; Trường Đại học
Quảng Bình
2. ThS Nguyễn Lê Trâm; Khoa Khoa học Tự nhiên; Trường Đại học Quảng Bình


MỤC LỤC

Phần A. Mở đầu

6

1. Tính cấp thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3. Mục tiêu, nội dung và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4. Tổng quan các vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Phần B. Nội dung

10

Chương 1. β−đạo hàm và β -dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1. Tính β− khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Dưới vi phân β−nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi . . . . . . . .

22

2.1. Nguyên lý biến phân trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton - Jacobi . . . . . . . . . .

27

Phần C. Kết luận và kiến nghị

31

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Các công trình liên quan đến đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2


UBND TỈNH QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
• Tên đề tài: Nghiên cứu tính duy nhất nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-

Jacobi trong không gian Banach
• Mã số: CS.10.2017
• Chủ nhiệm: Th.S Phan Trọng Tiến
• Cơ quan chủ trì: Đại học Quảng Bình
• Thời gian thực hiện: 1 năm

2. Mục tiêu
* Mục tiêu tổng quát
Bổ sung về lý thuyết dưới vi phân và tính duy nhất của nghiệm β−nhớt của
phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach.
* Mục tiêu cụ thể
- Nghiên cứu về mối quan hệ của các dưới vi phân và tính chất đặc trưng của dưới

vi phân β−nhớt. Nhằm đưa ra các mối quan hệ thường gặp của dưới vi phân (dưới
vi phân của tổng hai hàm, hàm khả vi và dưới vi phân, . . . ).
- Nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi. Cụ thể trong một
số điều kiện của Hamilton thì thu được kết quả tính duy nhất nghiệm β−nhớt.
3. Tính mới và sáng tạo
Kết quả nghiên cứu của đề tài là cơ sở khoa học cho việc nghiên cứu vưới vi phân
và phương trình đạo hàm riêng.
Đề tài là đưa ra một số kết quả mới:
- Mối quan hệ của các dưới vi phân và tính chất đặc trưng của dưới vi phân.
3


- Chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình Hamilton-Jacobi. Các kết
quả này được công nhận trên các tạp chí khoa học uy tín.
4. Kết quả nghiên cứu
Đề tài đã đạt được một số kết quả nghiên cứu sau:
- Công bố về mối quan hệ của các dưới vi phân và tính chất đặc trưng của dưới
vi phân β−nhớt; Các mối quan hệ thường gặp của dưới vi phân (dưới vi phân của
tổng hai hàm, hàm khả vi và dưới vi phân, . . . ).
- Đưa ra tính duy nhất của nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi.
Cụ thể trong một số điều kiện của Hamilton thì thu được kết quả tính duy nhất
nghiệm β−nhớt.
5. Sản phẩm
- 02 bài báo về toàn bộ kết quả nghiên cứu của đề tài, cụ thể:
+ 01 bài báo về tính chất, mối quan hệ của dưới vi phân β−nhớt.
+ 01 bài báo về tính duy nhất nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi
trong không gian Banach.
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng
ứng dụng
6.1. Hiệu quả

Việc thực hiện đề tài sẽ góp phần nâng cao trình độ chuyên môn của cán bộ giảng
viên Trường Đại học Quảng Bình, khích lệ phong trào học tập và nghiên cứu khoa
học trong giảng viên và sinh viên, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và hướng
dẫn sinh viên nghiên cứu khoa học. Góp phần quản bá hình ảnh của Nhà trường trên
các diễn đàn khoa học. Báo cáo tổng kết của đề tài sau khi nghiệm thu là một tư liệu
có chất lượng, có thể phục vụ cho việc giảng dạy các chuyên đề khi đào tạo sau đại
học, đặc biệt là các chuyên đề về giải tích và ứng dụng.
Kết quả nghiên cứu là cơ sở lý thuyết đồng thời tạo ra mô hình học tập và nghiên
cứu, bổ sung các nghiên cứu lý thuyết cho sinh viên và giảng viên trường Đại học
Quảng Bình và vùng lân cận.
6.2. Phương thức chuyển giao và khả năng ứng dụng
Bài báo khoa học sau khi công bố, báo cáo tổng kết đề tài sau khi nghiệm thu
4


sẽ là những tài liệu tham khảo bổ ích cho cán bộ, giảng viên và sinh viên trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
Ngày 27 tháng 11 năm 2017
Chủ nhiệm đề tài

Th.S Phan Trọng Tiến

5


PHẦN A. MỞ ĐẦU
1. TÍNH CẤP THIẾT
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng đã xuất hiện từ đầu
những năm 80 của thế kỷ trước, trong bài báo của Crandall M. G và Lions P.-L. đã
cung cấp một khái niệm nghiệm suy rộng quan trọng cho các phương trình đạo hàm

riêng phi tuyến đó là nghiệm nhớt. Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu
về nghiệm nhớt và ứng dụng của chúng phương trình đạo hàm riêng trong không gian
hữu hạn chiều và về phương trình đạo hàm riêng trong không gian vô hạn chiều...
Lý thuyết về dưới vi phân ra đời rất sớm, để nghiên cứu các hàm không khả vi (theo
nghĩa cổ điển). Cho đến nay đã xuất hiện một số khái niệm dưới vi phân khác nhau
như: Frechet, Clarke, Gâteaux, Mordukhovich, ... Một trong những đặc trưng quan
trọng của dưới vi phân là đặc trưng thông qua nguyên lý cực trị. Đặc trưng này là
cầu nối giữa lý thuyết dưới vi phân và lý thuyết nghiệm nhớt. Ứng dụng của dưới
vi phân Frechet trong lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi đã
được các nhà toán học chỉ ra trong những công trình của Crandall và Lion, ứng dụng
của một số loại dưới vi phân khác thì chưa nhiều. Vì vậy chúng tôi nhận thấy có thể
tìm được một số kết quả mới về nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi.
2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Để thực hiện đề tài chúng tôi tập trung nghiên cứu các đối tượng liên quan sau:
- Không gian Banach, dưới vi phân trong không gian Banach, một số dưới vi phân
thường gặp, dưới vi phân β−nhớt.
- Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng và tính duy nhất nghiệm của
phương trình này.
2.2. Phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi tập trung nghiên cứu về dưới vi phân β−nhớt và tính duy nhất nghiệm
phương trình đạo hàm riêng cấp 1, chúng tôi không đặt vấn đề nghiên cứu tính tồn
tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp cao hơn.
3. MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6


3.1. Mục tiêu nghiên cứu
+ Mục tiêu tổng quát
Bổ sung về lý thuyết dưới vi phân và tính duy nhất của nghiệm β−nhớt của

phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach.
+ Mục tiêu cụ thể
- Nghiên cứu về mối quan hệ của các dưới vi phân và tính chất đặc trưng của dưới
vi phân β−nhớt. Nhằm đưa ra các mối quan hệ thường gặp của dưới vi phân (dưới
vi phân của tổng hai hàm, hàm khả vi và dưới vi phân, . . . ).
- Nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi. Cụ thể trong một
số điều kiện của Hamilton thì thu được kết quả tính duy nhất nghiệm β−nhớt.
3.2. Nội dung nghiên cứu
Các tác giả Crandall M. G. và Lions P.-L. đã sử dụng dưới vi phân Frechet để
nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi tổng quát H (x, u, Du) = 0
trong không gian Banach thỏa mãn điều kiện Radon-Nikodym. Trong Borwein đã sử
dụng dưới vi phân tổng quát để nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình HamiltonJacobi dạng u + H (x, Du) = 0 trong không gian Banach có chuẩn tương đương trơn.
Đây là cơ sở để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các tính chất của dưới vi phân β−nhớt,
cũng như các loại dưới vi phân khác và mở rộng ứng dụng cho lớp phương trình
Hamilton-Jacobi tổng quát hơn.
- Nghiên cứu về mối quan hệ của các dưới vi phân và tính chất đặc trưng của dưới
vi phân: khái niệm tính β−khả vi; dưới vi phân β−nhớt;
- Chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình Hamilton-Jacobi: khái niệm
nghiệm β−nhớt; tính tương thích nghiệm β−nhớt với nghiệm cổ điển, tính duy nhất
nghiệm.
3.2. Phương pháp nghiên cứu
- Trong đề tài chúng tôi sử dụng phương pháp dùng hàm thử để nghiên cứu dưới
vi phân, phân tích tổng hợp những tài liệu liên quan đến nội dung đề tài. Nghiên cứu
và công bố các kết quả đạt được trên các tạp chí khoa học làm cơ sở để báo cáo tổng
kết đề tài.
- Sử dụng các phương pháp của giải tích không trơn và phương trình đạo hàm
7


riêng phi tuyến cấp 1.

4. TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
4.1. Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng đã xuất hiện từ đầu
những năm 80 của thế kỷ trước, nó được đề xuất bởi Crandall M. G và Lions P. L.
trong bài báo [9]. Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về nghiệm nhớt
và ứng dụng của chúng như: [1], [9] về phương trình đạo hàm riêng trong không gian
hữu hạn chiều; [2], [8], [6], [7], [11] về phương trình đạo hàm riêng trong không gian
vô hạn chiều...
Đạo hàm là một công cụ quan trọng của giải tích, có nhiều khái niệm đạo hàm như
đạo hàm Fréchet, đạo hàm Hadamard, đạo hàm Hadamard yếu, đạo hàm Gâteaux.
Tùy theo đặc điểm nghiên cứu mà ta quan tâm đến các đạo hàm tương ứng. Trong
ứng dụng (lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi và lý thuyết điều
khiển tối ưu, ...) lớp hàm trơn thỏa mãn yêu cầu là rất ít vì vậy người ta mở rộng
các khái niệm đạo hàm bằng các khái niệm trên và dưới vi phân tương ứng. Cho đến
nay, đã có rất nhiều các kết quả, công trình về các tính chất định tính của các khái
niệm này (xem [10], [12], [5], [6], [14], [4], [13]). Vai trò quan trọng của dưới vi phân
còn được khẳng định qua các ứng dụng ý nghĩa của chúng đối với lý thuyết tối ưu,
lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng, ... ( xem [1], [7], [9], [10] và
các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy nhiên dưới vi phân lại là một khái niệm tương
đối xa lạ đối với sinh viên chuyên ngành toán và cả học viên cao học.
4.2. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở nước ta, nghiệm nhớt được nghiên cứu nhiều bởi nhóm các tác giả Nguyễn
Hoàng [Nguyen Hoang, (2012), Hopf-type formula defines viscosity solution for Hamilton–Jacobi equations with-dependence Hamiltonian, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, (75), 3543- 3551], Trần Văn Bằng [Tran Van Bang, (2006), The
uniqueness of viscosity solutions of second order nonlinear partial differential equations in a hilbert space of two-dimensional functions, Acta mathematica Vietnamica
(31), 149-165]. Các tác giả đã nghiên cứu tính duy nhất nghiệm nhớt, sự tồn tại của
nghiệm nhớt, nghiệm nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu, công thức Hopf-Lax
8


bằng cách sử dụng dưới vi phân Frechet và thu được một số kết quả nhất định. Nghiên

cứu về nghiệm β−nhớt thì chưa nhiều và cũng chưa có những kết quả nổi bật.
Trong [6] các tác giả Borwein và Zhu đã đưa ra khái niệm borno-β nó là sự tổng
quát hóa cho các tô pô thường gặp trọng giải tích không trơn. Việc sử dụng nó hết
sức uyển chuyển đối với từng lớp hàm khả vi và các dưới vi phân khác nhau của hàm
số nhằm đáp ứng những yêu cầu khác nhau của dưới vi phân và phương trình đạo
hàm riêng phi tuyến cấp 1 và lý thuyết điều khiển tối ưu.

9


PHẦN B. NỘI DUNG

Chương 1
β−đạo

hàm và β -dưới vi phân

Cho X là không gian Banach với hình cầu đóng đơn vị B và X ∗ là không gian đối
ngẫu của nó. Ta ký hiệu x∗ , x để chỉ giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x tức là x∗ , x = x∗ (x).
Trên không gian X nếu chuẩn không trơn nhưng có một chuẩn tương đương với chuẩn
β−trơn thì ta sử dụng chuẩn tương đương này. Với mỗi hàm số nhận giá trị thực mở

rộng và quy ước là nửa liên tục dưới (trên) thì không đồng nhất bằng +∞ (−∞) và
không nhận giá trị bằng +∞ (−∞). Trong bài viết này, khi nói đến một hàm thì được
hiểu là hàm đó xác định trên không gian Banach X và nhận giá trị trong tập số thực
mở rộng R.

1.1.

Tính β− khả vi

Định nghĩa 1.1.1. [[6], trang 1569] Một borno β trên X là một họ các tập con đóng,
bị chặn và đối xứng tâm của X thỏa mãn ba điều kiện sau:
1) X =

B,
B∈β

2) họ β đóng kín đối với phép nhân với một vô hướng,
3) hợp của hai phần tử bất kỳ trong β đều chứa trong một phần tử của β.
10


- Giả sử fm , f ∈ X ∗ . Ta nói fm hội tụ về f đối với borno β nếu fm → f đều trên
mọi phần tử của β , có nghĩa là với mọi tập M ∈ β và mọi ε > 0 cho trước có một số
n0 sao cho với mọi m ≥ n0 , mọi x ∈ M thì |fm (x) − f (x)| < ε.

- Ký hiệu Xβ∗ là không gian véc tơ tôpô (X ∗ , τβ ).
Ta dễ dàng kiểm tra được:
1) Họ F tất cả các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X là một borno và gọi
là borno Fréchet; được ký hiệu τF .
2) Họ H tất cả các tập con compact, đối xứng tâm của X là một borno và gọi là
borno Hadamard; được ký hiệu τH .
3) Họ W H tất cả các tập con compact yếu, đóng, đối xứng tâm của X là một borno
và gọi là borno Hadamard yếu; được ký hiệu τW H .
4) Họ G tất cả các tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là một borno và gọi là
borno Gâteaux; được ký hiệu τG .
Định nghĩa 1.1.2 ([6], trang 1569). Cho hàm f xác định trên X, ta nói rằng f là
β−khả vi tại x ∈ X và có β−đạo hàm ∇β f (x) ∈ X ∗ nếu f (x) là hữu hạn và
f (x + tu) − f (x) − t ∇β f (x), u

→0
t

khi t → 0 đều trên u ∈ V với bất kỳ V ∈ β. Ta nói rằng hàm f là β−trơn tại x
nếu ∇β f : X → Xβ∗ là liên tục trong lân cận của x. Khi borno β được thay bởi các
họ: F, H, W H, G thì ta có các khái niệm đạo hàm tương ứng: Fréchet, Hadamard,
Hadamard yếu, Gâteaux.
Theo định nghĩa ta có: nếu β1 ⊂ β2 thì tính β2 −khả vi kéo theo tính β1 −khả vi. Nói
riêng nếu β là borno bất kỳ và f là β−khả vi tại x thì f Gâteaux-khả vi tại x, f
Fréchet-khả vi tại x thì f là β−khả vi tại x.
Nhận xét 1.1.1. Ta dễ dàng có được các kết quả sau:
1) Nếu f, g là hai hàm β−khả vi tại x thì f + g là β−khả vi tại x và ∇β (f + g )(x) =
∇β f (x) + ∇β g (x).

11


2) Với α ∈ R, f là một hàm khả vi tại x ∈ X thì hàm αf cũng khả vi tại x và
∇β (αf )(x) = α∇β f (x).

Nhận xét 1.1.2.
1) Ta có bao hàm thức τG ⊂ τH ⊂ τW H ⊂ τF .
Vì mọi tập hữu hạn đều là tập compact, mọi tập compact là tập compact yếu, mọi
tập compact yếu đều bị chặn.
Từ đây ta có: tính Fréchet-khả vi ⇒ tính Hadamard yếu-khả vi ⇒ tính Hadamardkhả vi ⇒ tính Gâteaux-khả vi.
2) Nếu X là không gian phản xạ thì tính Fréchet-khả vi ⇔ tính Hadamard-khả vi
yếu. Vì trong không gian phản xạ tập đóng và bị chặn khi và chỉ khi compact yếu.
3) Nếu X = Rn là không gian hữu hạn chiều thì tính Fréchet-khả vi ⇔ tính Hadamardkhả vi yếu ⇔ tính Hadamard-khả vi. Vì trong không gian hữu hạn chiều một tập
đóng và bị chặn khi và chỉ khi nó là tập compact.
4) Nếu X = R thì tính Gâteaux-khả vi và tính Fréchet-khả vi trùng nhau. Vì khi đó

hàm f khả vi bên trái và bên phải tại điểm x nên nó Fréchet-khả vi tại x.
Dưới đây là các ví dụ để chiều ngược lại của 1) trong Nhận xét 1.1.2 là không
đúng.
Ví dụ 1.1.1. (Hàm Gâteaux-khả vi nhưng không Fréchet-khả vi)
Cho hàm số f : R × R → R với
 2

 xy
6
2
f (x, y ) = x + y

0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì

nếu (x, y ) = (0, 0)
nếu (x, y ) = (0, 0).

f ((0, 0) + t(x, y )) − f (0, 0)
= 0.
t

Nếu x = 0 và y = 0 thì
f ((0, 0) + t(x, y )) − f (0, 0)
|tx2 y|
|tx2 y|
x2
= 2
≤
=

|t|
.
t
y + t4 x6
y2
|y|

12


Do đó với (x, y ) thuộc một tập hữu hạn nào đó, với mọi ε > 0 thì ta tìm được δ > 0
2

x
sao cho với mọi t ∈ (0, δ ) thì |t| |y|
< ε. Theo định nghĩa, hàm f là Gâteaux-khả vi tại

(0, 0) và ∇G f (0, 0) = (0, 0). Nhưng
f ((0, 0) + (x, y )) − f (0, 0)
x2 + y 2

=

|x2 y|

(y 2 + x6 ) x2 + y 2

.

Chọn (xn , yn ) = ( n1 , n1 ) thì

1
2

f ((0, 0) + (xn , yn )) − f (0, 0)

→ √ = 0 khi n → ∞.

x2n + yn2

Do đó f không Fréchet-khả vi tại (0, 0).
Theo Nhận xét 1.1.2 thì f không Hadamard-khả vi yếu và cũng không Hadamardkhả vi vì hàm f xác định trên không gian hữu hạn chiều R2 .
Ví dụ 1.1.2. (Một hàm Hadamard-khả vi nhưng không Hadamard-khả vi yếu)
Xét trên không gian Hilbert l2 = {x = (xn )n : xn ∈ R,

∞
2
n=1 xn

< +∞}.

Xét hệ các vector {en , n ∈ N} ⊂ l2 với en = (0, ..., 0, 1n , 0, ...). Ta xác định một hàm
f : l2 → R được cho bởi
f (x) = sup 2 en , x −
n≥1

1
n

.

Ta có f (0) = 0 và |f (x) − f (y )| ≤ supn≥1 {|2 en , x − 2 en , y |} ≤ 2 x − y với mọi
x, y ∈ l2 . Nên f là hàm liên tục Lipschitz trên l2 .

Với x = (xn )n ∈ l2 thì

∞
2
n=1 xn

< +∞ nên lim xn = 0 mà | en , x | ≤
n→∞

nên lim en , x = 0, ta có f (x) ≥ 2 en , x −
x

n→∞
∈ l2 .

1
n

xn

với mọi n ∈ N nên f (x) ≥ 0 với mọi

Ta sẽ chứng minh f là Hadamard-khả vi tại 0 và f (0) = 0, xét tập con compact
V của l2 . Với mọi ε > 0, tồn tại hữu hạn các điểm u1 , ..., um trong l2 sao cho V ⊂
2
∪m
i=1 B (ui , ε/2) trong đó B (u, r ) là hình cầu mở tâm u và bán kính r > 0 trong l .

Với mỗi i = 1..m, tồn tại n(i, ε) sao cho | en , ui | ≤ ε/2 với mọi n > n(i, ε). Lấy
n(ε) = max1≤i≤m n(i, ε). Với mọi n > n(ε) và với mọi v ∈ V. Ta có
| en , v | ≤ | en , v − ui | + | en , ui | < ε.

13


Do đó
2 en , tv −

1
n

< 2ε|t|

với mọi t ∈ R, v ∈ V và n ≥ n(ε).
Đặt K = 1 + sup{ v : v ∈ V }, với v ∈ V và |t| ≤
2 en , tv −
Do đó, khi |t| ≤

1
2Kn(ε)

1
n

< 2 v |t| −

1

2Kn(ε)

ta có

1
≤ 0.
n(ε)

và v ∈ V thì
f (tv ) = sup 2 en , tv −
n≥1

1
n

≤ 2ε|t|.

Suy ra
0≤
1
và v ∈ V.
2Kn(ε)
(0)
lim f (0+tv)−f
=
t
t→0

f (0 + tv ) − f (0)
f (tv )

=
≤ 2ε,
t
t

nếu |t| ≤
Hay

0 đều trên v ∈ V. Vậy hàm f Hadamard-khả vi tại u = 0 và

f (0) = 0.

Ta thấy rằng (en )n hội tụ yếu về 0 trong l2 , xét dãy (tn )n với tn =

1
n

, n ∈ N∗ , rõ

ràng tn → 0. Nếu f là Hadamard-khả vi yếu tại u = 0 thì
f (0 + tn en ) − f (0)
f (tn en )
=
→ 0 khi n → ∞.
tn
tn

Nhưng
f (tn en )
= nf

tn

en
n

= n sup 2 em ,

≥ n 2 en ,

m≥1

en
n

−

1
n

en
n

−

1
m

= 1, với mọi n ≥ 1.

Do đó f không Hadamard-khả vi yếu tại u = 0. Vì l2 là không gian phản xạ nên f

cũng không Fréchet-khả vi tại u = 0.
Ví dụ 1.1.3. (Hàm Hadamard-khả vi yếu nhưng không Fréchet-khả vi)
Xét X = l1 (N) với hàm chuẩn được xác định x = (xn )n ∈ l1 (N), x =

∞
n=0 |xn |.

Theo

Ví dụ 1.6, c) trong [11] thì hàm chuẩn . được xác định như trên là Gâteaux-khả vi
tại các điểm x ∈ l1 (N) mà xn = 0, n ∈ N và không Fréchet-khả vi tại bất kì điểm nào.
14


Theo tính chất của chuẩn thì . là một hàm Lipschitz, vậy theo Nhận xét 1.1.2
thì Gâteaux-khả vi và Hadamard-khả vi của chuẩn . trùng nhau. Vậy hàm chuẩn
. là Hadamard-khả vi nhưng không Fréchet-khả vi.

Theo [[3], trang.1124] thì trên không gian l1 tính Gâteaux-khả vi và Hadamardkhả vi yếu của một hàm số trùng nhau. Như vậy hàm chuẩn . là Hadamard-khả vi
yếu nhưng không Fréchet-khả vi.
Dưới đây là kết quả về tính Gâteaux-khả vi và Hadamard-khả vi của hàm Lipschitz.
Định nghĩa 1.1.3. Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X nếu
tồn tại δ > 0 và hằng số K sao cho
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ K. x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ B (x, δ ).

Trong đó B (x, δ ) là hình cầu mở tâm x bán kính δ.
Ví dụ 1.1.4. Nếu f : X → R là hàm Lipschitz địa phương tại x thì hàm f Gâteauxkhả vi tại x khi và chỉ khi Hadamard-khả vi tại x. Thật vậy, nếu f Hadamard-khả vi
tại x thì hiển nhiên f Gâteaux-khả vi tại x.
Ngược lại giả sử rằng f là hàm Gâteaux-khả vi tại x.
Vì f là hàm Lipschitz địa phương tại x nên tồn tại δ1 > 0 sao cho

|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ K. x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ B (x, r1 ).
ε
. Vì V ⊂ ∪x∈V B (x, r2 )
2(K + ∇G f (x) )
nên tồn tại hữu hạn hình cầu B (xi , r2 ), i = 1, 2, ..., n sao cho

Với V là tập compact trong X, ε > 0 đặt r2 =

V ⊂ ∪ni=1 B (xi , r2 ).

Lấy tập hữu hạn, đối xứng tâm U chứa x1 , x2 , ..., xn , theo giả thiết f là Gâteaux-khả
vi tại x nên tồn tại δ0 > 0 sao cho, với mọi t ∈ (−δ0 , δ0 ), mọi y ∈ U thì
f (x + ty ) − f (x)
− ∇ G f (x), y
t

15

<

ε

2

.


Nói riêng
f (x + txi ) − f (x)
− ∇G f (x), xi

t

Đặt δ = min r1 , r2 , δ0 , 1+r2 +max{r1xi

,i=1,..,n}

<

ε

2

, i = 1, ..., n.

(1.1.1)

, với mọi u ∈ V thì tồn tại i0 sao cho

u ∈ B (xi0 , r2 ).

Với mọi t ∈ (−δ, δ ) ta có đánh giá
x + tu − x = t(u − xi0 ) + txi0 ≤ |t|.(r2 + max{ xi , i = 1, .., n}) < r1

và txi0 < r1 . Ta phân tích
f (x + tu) − f (x + txi0 )
f (x + tu) − f (x)
− ∇G f (x), u =
+ ∇G f (x), xi0 − u
t
t

f (x + txi0 ) − f (x)
+
− ∇G f (x), xi0 .
t

Do tính Lipschitz của hàm f nên
f (x + tu) − f (x + txi0 )
≤ K u − xi0 ≤ K.r2 ;
t

lại có đánh giá
∇G f (x), xi0 − u

≤ ∇G f (x) .r2

nên
f (x + tu) − f (x)
− ∇ G f (x), u
t

≤ r2 (K + ∇G f (x) ) +

ε

2

<

ε

2

+

ε

2

= ε.

Vậy f là Hadamard-khả vi tại x.

1.2.

Dưới vi phân β−nhớt

Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa 2.1, [6]). Cho f : X → R là một hàm nửa liên tục
dưới và f (x) < +∞. Ta nói rằng f là khả dưới vi phân β−nhớt và x∗ là một dưới đạo
hàm β−nhớt của f tại x nếu tồn tại một hàm Lipschitz địa phương g : X → R sao
cho g là β−trơn tại x, ∇β g (x) = x∗ và f − g đạt cực tiểu địa phương tại x. Ta ký hiệu
tập tất cả các dưới đạo hàm β−nhớt của f tại x là Dβ− f (x) và gọi là dưới vi phân
β−nhớt của f tại x.

16


Cho f : X → R là một hàm nửa liên tục trên và f (x) > −∞. Ta nói rằng f là khả
trên vi phân β−nhớt và x∗ là một trên đạo hàm β−nhớt của f tại x nếu tồn tại một
hàm Lipschitz địa phương g : X → R sao cho g là β−trơn tại x, ∇β g (x) = x∗ và f − g
đạt cực đại địa phương tại x.

Ta ký hiệu tập tất cả các trên đạo hàm β−nhớt của f tại x là Dβ+ f (x) và gọi là
trên vi phân β−nhớt của f tại x.
Nhận xét 1.2.1. Trong [[6], Chú ý 2.2] các tác giả đã đưa ra một định nghĩa theo
giới hạn của trên vi phân β−nhớt của f tại x là tập ∂β f (x) như sau:
x∗ ∈ ∂β f (x) nếu với mọi ε > 0, với mọi V ∈ β, tồn tại η > 0 sao cho
f (x + th) − f (x)
− x∗ , h > −ε, ∀t ∈ (0, η ), h ∈ V.
t

Ta có thể kiểm tra được rằng Dβ− f (x) ⊂ ∂β f (x). Trong [11] các tác giả chỉ ra rằng
DF− f (x) = ∂F f (x) trong trường hợp không gian X tồn tại một hàm bump là Lipschitz

và Fréchet-khả vi. Tuy nhiên hai khái niệm này là khác nhau.
Xét hàm f trong Ví dụ 1.1.1, đặt hàm g : R2 → R,
g (h) = −|f (h) − f (0) − ∇G f (0)h| = −|f (h)|.

Khi đó
1) ∂G g (0) = {0};
−
2) DG
g (0) = ∅.
−
Thật vậy, ta kiểm tra được ∇G g (0) = 0 do đó ∂G g (0) = {0}. Ta luôn có DG
g (0) ⊂
−
−
−
∂G g (0) nên hoặc DG
g (0) = {0} hoặc DG
g (0) = ∅. Nếu DG

g (0) = {0} thì tồn tại

hàm Lipschitz địa phương và Gâteaux-khả vi k sao cho k (0) = g (0) = 0, ∇G k (0) =
∇G g (0) = 0, và k ≤ g trong một lân cận của 0. Vì k là một hàm Lipschitz địa phương

và không gian R2 hữu hạn chiều nên k là Fréchet-khả vi tại 0. Như vậy
|f (0 + h) − f (0) − ∇G f (0)h|
k (h) − k (0)
|k (h) − k (0)|
≤−
=
.
h
h
h

Do đó f là Fréchet-khả vi tại 0, điều này mâu thuẫn với kết quả của Ví dụ 1.1.1.
17


Định lý 1.2.2.
−
1) Nếu β1 ⊂ β2 thì Dβ−2 f (x) ⊂ Dβ−1 f (x) nói riêng DF− f (x) ⊂ Dβ− f (x) ⊂ DG
f (x) với mọi

borno β .
2) Nếu f là hàm nửa liên tục dưới, f (x) hữu hạn và Dβ− f (x), Dβ+ f (x) là hai tập khác
rỗng thì f là β -khả vi tại x.
Thật vậy, giả sử x∗1 ∈ Dβ+ f (x) và x∗2 ∈ Dβ− f (x). Khi đó tồn tại các hàm g1 , g2
Lipschitz địa phương và β−trơn tại x, x∗1 = ∇β g1 (x) và x∗2 = ∇β g2 (x), f − g1 đạt

cực đại địa phương tại x, f − g2 đạt cực tiểu địa phương tại x. Khi đó, tồn tại
δ1 , δ2 > 0 sao cho
f (y ) − g1 (y ) ≤ f (x) − g1 (x), ∀y ∈ B (x, δ1 )
f (y ) − g2 (y ) ≥ f (x) − g2 (x), ∀y ∈ B (x, δ2 )

lấy δ = min(δ1 , δ2 ) ta có g2 (y ) − g1 (y ) ≤ g2 (x) − g1 (x), ∀y ∈ B (x, δ ) hay g2 − g1 đạt
cực tiểu địa phương tại x. Theo định nghĩa dưới vi phân β−nhớt ta có x∗2 ∈ {x∗1 }
hay x∗2 = x∗1 gọi phần tử này là x∗ .
Vì g1 , g2 là β−khả vi tại x nên với mọi V ∈ β, mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với
mọi t ∈ (−δ, δ ), mọi y ∈ V thì
g1 (x + ty ) − g1 (x)
− x∗ , y
t

≤ ε và

g2 (x + ty ) − g2 (x)
− x∗ , y
t

≤ ε.

Suy ra
g1 (x + ty ) − g1 (x)
f (x + ty ) − f (x)
− x∗ , y ≤
− x∗ , y < ε
t
t

và
f (x + ty ) − f (x)
g2 (x + ty ) − g2 (x)
− x∗ , y ≥
− x∗ , y > −ε
t
t

suy ra
f (x + ty ) − f (x)
− x∗ , y
t

< ε.

3) Nếu β1 ⊂ β2 và f là β1 -khả vi tại x và f khả dưới vi phân β2 -nhớt tại x thì
Dβ−2 f (x) = {∇β1 f (x)}.

Điều này là hiển nhiên vì nếu x∗ ∈ Dβ−2 f (x) thì x∗ ∈ Dβ−1 f (x). Theo định nghĩa dưới
18


vi phân β−nhớt, tồn tại hàm g Lipschitz địa phương, β1 −trơn tại x, ∇β1 g (x) = x∗ .
Và g là β1 −khả vi tại x nên với mọi ε > 0, mọi V ⊂ β1 , tồn tại δ > 0 sao cho
−ε <

g (x + ty ) − g (x)
− x∗ , y < ε.
t

Mặt khác f (x + ty ) − f (x) ≥ g (x + ty ) − g (x) nên
f (x + ty ) − f (x)
g (x + ty ) − g (x)
− x∗ , y ≥
− x∗ , y > −ε.
t
t

Do đó
x∗ , y <

f (x + ty ) − f (x)
+ ε.
t

Hàm f là β1 −khả vi tại x nên
∇β1 f (x), y >

f (x + ty ) − f (x)
− ε.
t

Suy ra
x∗ , y − ∇β1 f (x), y < 2ε

do đó x∗ = ∇β1 f (x).
4) Dβ− f (x) + Dβ− g (x) ⊂ Dβ− (f + g )(x).
Thật vậy, lấy p ∈ Dβ− f (x), q ∈ Dβ− g (x) khi đó tồn tại hai hàm Lipschitz địa phương
h1 , h2 sao cho h1 , h2 là β−trơn tại x, ∇β h1 (x) = p, ∇β h2 (x) = q, và f − h1 , g − h2 đạt

cực tiểu địa phương tại x. Suy ra f + g − (h1 + h2 ) đạt cực tiểu địa phương tại x.
Do đó ∇β (h1 + h2 )(x) = p + q ∈ Dβ− (f + g )(x).
5) Dβ− f (x) là một tập lồi. Thật vậy, với p, q ∈ Dβ− f (x), α ∈ (0, 1). Khi đó tồn tại
hai hàm g, h : X → R Lipschitz địa phương tại x sao cho g, h là β−trơn tại x,
∇β g (x) = p, ∇β h(x) = q và f − g, f − h đạt cực tiểu địa phương tại x.
f (y ) − g (y ) ≥ f (x) − g (x), ∀y ∈ B (x, r),

(1.2.2)

f (y ) − h(y ) ≥ f (x) − h(x), ∀y ∈ B (x, r)

(1.2.3)

với r > 0 nào đó.

19


Nhân bất đẳng thức (1.2.2) với α và (1.2.3) với 1 − α rồi cộng theo vế ta có
f (y ) − [αg + (1 − α)h](y ) ≥ f (x) − [αg + (1 − α)h](x), ∀y ∈ B (x, δ ).

Suy ra ∇β [αg + (1 − α)h](x) ∈ Dβ− f (x), hay αp + (1 − α)q ∈ Dβ− f (x).
Theo Nhận xét 1.1.2 ta có các kết quả sau:
Nhận xét 1.2.2.
−
−
−
1) DF− f (x) ⊂ DW
H f (x) ⊂ DH f (x) ⊂ DG f (x).
−

2) Nếu X là không gian phản xạ thì DF− f (x) = DW
H f (x).
−
−
3) Nếu X = Rn thì DF− f (x) = DW
H f (x) = DH f (x).
−
4) Nếu X = R thì DF− f (x) = DG
f (x).

Dưới đây là một số nhận xét về dưới vi phân của hàm lồi. Trước hết ta nhắc lại
khái niệm quen thuộc về dưới vi phân của hàm lồi.
Định nghĩa 1.2.3 ([15], Định nghĩa 1.9). Nếu f là một hàm lồi xác định trên tập
lồi C và x ∈ C, dưới vi phân của hàm f tại x là tập ∂f (x) gồm tất cả các phần tử
x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn
x∗ , y − x ≤ f (y ) − f (x),

∀y ∈ C.

Định lý 1.2.4. Nếu f là một hàm lồi xác định trên tập lồi C và x ∈ C, với mọi borno
β thì ta có
−
Dβ− f (x) = DG
f (x) = ∂f (x).
−
Chứng minh. Theo 1) trong Nhận xét 1.2.2 thì Dβ− f (x) ⊂ DG
f (x). Ngược lại, nếu
−
x∗ ∈ DG
f (x) thì tồn tại một hàm Lipschitz địa phương g sao cho g là β−trơn tại x,

∇G g (x) = x∗ và f − g đạt cực tiểu địa phương tại x (ta có thể xem f (x) = g (x)). Với

mọi y ∈ C ta có
x∗ , y − x = lim

t→0+

g (x + t(y − x)) − g (x)
f (x + t(y − x)) − f (x)
≤ lim
.
+
t
t
t→0

20

(1.2.4)


Mặt khác, với t ∈ (0, 1) ta có biểu diễn x + t(y − x) = (1 − t)x + ty và do f là hàm lồi
nên
f (x + t(y − x)) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y )
⇔ f (x + t(y − x)) − f (x) ≤ t(f (y ) − f (x))
⇔

f (x + t(y − x)) − f (x)
≤ f (y ) − f (x).

t

Suy ra
lim+

t→0

f (x + t(y − x)) − f (x)
≤ f (y ) − f (x).
t

(1.2.5)

Từ (1.2.4) và (1.2.5) ta có
x∗ , y − x ≤ f (y ) − f (x) ∀y ∈ C.

Do đó x∗ ∈ ∂f (x).
Nếu x∗ ∈ ∂f (x) thì chọn hàm g (x) = x∗ , y − x + f (x), khi đó g là một hàm
Lipschitz địa phương g sao cho g là β−trơn tại x, ∇β g (x) = x∗ và f − g đạt cực tiểu
địa phương tại x. Hay x∗ ∈ Dβ− f (x) nên ∂f (x) ⊂ Dβ− f (x).

21


Chương 2

Nghiệm

β−nhớt

của phương

trình Hamilton-Jacobi

2.1.

Nguyên lý biến phân trơn

Dưới vi phân β−nhớt Định lí dưới đây cho chúng ta thông tin về sự liên hệ giữa
các dưới đạo hàm β−nhớt của hàm bị chặn, nửa liên tục dưới. Kết quả này được
sử dụng trong việc chứng minh tính duy nhất nghiệm β−nhớt của phương trình
Hamilton-Jacobi. Định lý này lấy kỹ thuật chứng minh ở [Theorem 2.9, [6]] và ý
tưởng ở [Lemma III.6, [5]]. Trong [6] thì họ hàm (f1 , ..., fN ) thỏa tính chất nửa liên
tục dưới địa phương đều còn trong Định lí này các hàm f1 , ..., fN bị chặn.
Định lí 2.1.1. Cho X là một không gian Banach với chuẩn tương đương với chuẩn
β−trơn và f1 , ..., fN : X → R là N hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới.

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại xn ∈ X, n = 1, ..., N và x∗n ∈ Dβ− fn (xn ) thỏa mãn
i)
diam(x1 , ..., xN ). max(1, x∗1 , ..., x∗N ) < ε,

22

(2.1.1)


ii)
N

N

fn (xn ) < inf

x∈X

n=1

fn (x) + ε,

(2.1.2)

n=1

iii)
N

x∗n < ε.

(2.1.3)

n=1

Chứng minh. Với mỗi số thực t > 0, ta xác định hàm wt : X N → R cho bởi
N

wt (x1 , ..., xN ) =

N

xn − xm 2 .

f n (xn ) + t
n=1

n,m=1

Đặt Mt = inf wt , khi đó Mt đơn điệu tăng theo t và bị chặn trên bởi
N

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

α := lim inf
η→0

.

n=1

Thật vậy, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại η0 > 0 sao cho với mọi 0 < η < η0 thì
N

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

inf

< α + ε.

n=1

Chọn η ∈ (0, η0 ) thỏa mãn t.N 2 .η 2 < ε. Khi đó, tồn tại y1 , ..., yN sao cho

diam(y1 , ..., yN ) < η
và

N

N

fn (yn ) < inf
n=1

+ ε.

n=1

Theo cách chọn η ở trên ta có t
N

N
n,m=1

yn − ym

2

< ε nên

N

fn (yn )+t
n=1

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

yn − ym

2

n,m=1
N

< inf

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

+ 2ε < α + 3ε.

n=1

Do đó Mt < α + 3ε, mà ε > 0 bất kỳ nên Mt ≤ α. Đặt M = limt→+∞ Mt . Với
mỗi t > 0 áp dụng nguyên lí biến phân trơn [?] cho hàm wt tồn tại một hàm φt

23


lồi, C 1 và xtn , n = 1, ..., N sao cho wt + φt đạt cực tiểu địa phương tại (xt1 , ..., xtN ),
∇β φt (xt1 , ..., xtN ) < ε/N và
wt (xt1 , ..., xtN ) < inf wt +

1

1

≤M+ .
t
t

(2.1.4)

Với mỗi n, hàm
y → wt (xt1 , ..., xtn−1 , y, xtn+1 , ..., xtN ) + φt (xt1 , ..., xtn−1 , y, xtn+1 , ..., xtN )

đạt cực tiểu địa phương tại y = xtn . Như vậy, với n = 1, ..., N thì
N

x∗nt

:=

∇β . 2 (xtn − xtm ) ∈ Dβ− fn (xtn ).

−∇βxn φt (xt1 , ..., xtN ) − 2t
m=1

Do đó

N

N

x∗nt

n=1

N

N

∇βxn φt (xt1 , ..., xtN ) − 2t

=−
n=1

∇β . 2 (xtn − xtm ).
n=1 m=1

Vì

N

∇βxn φt (xt1 , ..., xtN ) < ε

−
n=1

và
∇β . 2 (xtn − xtm ) + ∇β . 2 (xtm − xtn ) = 0

nên

N

x∗nt < ε.
n=1

Theo Định nghĩa Mt , kết hợp với (2.1.4) ta có
Mt/2 ≤ wt/2 (xt1 , ..., xtN )

=

wt (xt1 , ..., xtN ) −

≤ Mt +

Do đó

1
t

−

xtn − xtm
n,m=1

xtn − xtm
n,m=1

xtn − xtm 2 .
n,m=1

N

t

2

N

N

t

2

t

2

1

≤ 2(Mt − Mt/2 + )
t

24

2

(2.1.5)


và từ đó ta có kết luận
N

xtn − xtm

lim t

t→+∞

2

= 0.

n,m=1

Suy ra
lim diam(xt1 , ..., xtN ) = 0.

t→+∞

Mặt khác ta có đánh giá ∇β . 2 (x) ≤ 2 x nên từ công thức (2.1.5) ta có
N

x∗nt

− ∇xn φt (xt1 , ..., xtN )

≤

∇ . 2 (xtn − xtm )

+ 2t

m=1

≤

suy ra lim

t→+∞

ε
+ 2t
N

N

2 xtn − xtm ≤
m=1

ε
+ 4tN diam(xt1 , ..., xtN )
N

x∗nt = 0 do đó

lim diam(xt1 , ..., xtN ). max( x∗1t , ..., x∗Nt ) = 0.

t→+∞

và
lim diam(xt1 , ..., xtN ). max(1, x∗1t , ..., x∗Nt ) = 0.

t→+∞

Như vậy, vì α là một chặn trên của Mt nên ta có
N

M ≤ lim inf

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

η→0

n=1
N

≤ lim inf
t→+∞

N

fn (xtn )
n=1

nên

wt (xt1 , ..., xtN ) ≤ M

= lim inf
t→+∞

n=1

N

M = lim inf
η→0

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

.

n=1

Với η > 0 bất kỳ ta có
N

inf

N

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η

≤ inf

n=1

x∈X

f n (x)
n=1

suy ra
N

M = lim inf
η→0

N

fn (xn ) : diam(x1 , ..., xN ) ≤ η
n=1

25

≤ inf

x∈X

f n (x).
n=1