Không gian căn nghiệm và biểu diễn của đại số lie nửa đơn (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ NHƯ NGỌC

KHÔNG GIAN CĂN NGHIỆM VÀ BIỂU DIỄN
CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Nguyễn Thị Như Ngọc

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu
đáo của Thầy giáo, PGS. TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính
trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế cùng quý Thầy Cô giáo đã tham
gia giảng dạy Cao học Khóa 24, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa
học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của
mình.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè, đặc biệt
là các bạn học viên cao học Toán Khóa 24 - ĐHSP Huế đã quan tâm, giúp đỡ
và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Thừa Thiên Huế, tháng 10 năm 2017
Nguyễn Thị Như Ngọc

Demo Version - Select.Pdf SDK

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời mở đầu

2

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

3

1.1

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2

Đại số con Cartan và không gian căn nghiệm

Demo Version - Select.Pdf SDK

9

2.1

Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Phân tích căn nghiệm và hệ căn nghiệm . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 3

Biểu diễn của đại số Lie nửa đơn

20

3.1

Biểu diễn của đại số Lie đơn sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

g-môđun và tính khả quy đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3

Phân lớp các biểu diễn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Biểu diễn của đại số Lie sl(n, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

1


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết Lie ra đời từ thế kỉ XIX bởi nhà toán học Sophus Lie (1842-1899)
và có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý.
Một trong những hướng phát triển của lý thuyết Lie là khảo sát cấu trúc
và phân lớp các đại số Lie nửa đơn. Đây là một vấn đề đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu như G. Bellamy, A. W. Knapp, W. Ziller,... thể hiện qua một số
công trình tiêu biểu như ở [2], [4], [8].
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu
và làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn. Được sự
gợi ý của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, chúng tôi chọn đề tài "Không gian căn
nghiệm và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn" làm đề tài nghiên cứu của
luận văn.
Về cấu trúc, luận văn được chia thành 3 chương:
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản và các kết quả
liên quan đến đề tài. Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày sơ lược kiến
thức của đại số Lie, đại số Lie nửa đơn và đại số quy để góp phần khảo sát các
khái niệm, tính chất và các kết quả liên quan ở các chương sau.

Demo Version - Select.Pdf SDK

Trong chương 2, chúng tôi khảo sát các khái niệm, tính chất về đại số con
Cartan và không gian căn nghiệm của một đại số Lie phức nửa đơn. Theo đó,

mỗi đại số Lie phức nửa đơn hữu hạn chiều g đều tồn tại một đại số con Cartan
h và thu được một phân tích theo h với các không gian căn nghiệm 1-chiều ứng
với hệ căn nghiệm R. Các tính chất của không gian căn nghiệm cũng được làm
rõ góp phần phân lớp các biểu diễn của đại số Lie nửa đơn ở chương sau.
Chương 3 thể hiện nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi khảo
sát biểu diễn của đại số Lie sl(2, C), thể hiện biểu diễn của đại số Lie theo ngôn
ngữ môđun để khảo sát tính khả quy đầy đủ của đại số Lie đơn, nửa đơn. Từ
đó ứng dụng hệ căn nghiệm trừu tượng được trình bày trong chương 2 để phân
lớp các biểu diễn hữu hạn chiều của các đại số Lie phức nửa đơn.
Hầu hết các kết quả trong luận văn được trích dẫn từ [1], [2], [4] và đã được
trình bày một cách chi tiết, rõ ràng hơn.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn.
2