Về mở rộng của nửa môđun (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TÂN

VỀ MỞ RỘNG CỦA NỬA MÔĐUN

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TÂN

VỀ MỞ RỘNG CỦA NỬA MÔĐUN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN

Thừa Thiên Huế, 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Lê Thị Tân.

Demo Version - Select.Pdf SDK

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường ĐHSP Huế, dưới sự hướng dẫn của
PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến. Thầy đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên
quan tâm giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy, cô trong tổ Đại số nói riêng và
toàn thể thầy, cô trong khoa Toán nói chung đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập tại đây.
Tác giả cũng xin cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học, các phòng ban của Trường
ĐHSP Huế đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị cùng lớp Cao học đã
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Huế, tháng 9 năm 2017.

Demo Version - Select.Pdf SDK

Học viên thực hiện

Lê Thị Tân.

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

1

MỞ ĐẦU

3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Phạm trù và hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Nửa môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Khái niệm nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2
NửaVersion
môđun, nửa
môđun conSDK
. . . . . . . . . . . . . . . .
Demo
- Select.Pdf

10

1.2.3

Nửa môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Các quan hệ tương đẳng trên nửa môđun và nửa môđun
thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.5

Đồng cấu nửa môđun

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.6

Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.7

Λ-nửa môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2

Mở rộng của vị nhóm nhờ nửa môđun

16

2.1

Mở rộng bậc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Mở rộng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 3
3.1

Mở rộng của nửa môđun nhờ nửa môđun

Mở rộng bậc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

29
29


3.1.1

3.2

Khái niệm mở rộng nửa môđun . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2

Các ánh xạ cảm sinh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3

Song hàm tử EΛ (−, −) và ExtΛ (−, −)

29
32

. . . . . . . . .

42

Mở rộng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

KẾT LUẬN

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO

62

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


MỞ ĐẦU
Những công trình đầu tiên về nửa vành ra đời vào những thập niên đầu của
thế kỷ XX, còn về nửa môđun phải đến giữa thế kỷ XX mới xuất hiện. Năm 1926
O. Schreier đã nêu và giải quyết vấn đề mở rộng nhóm nhờ hệ thương, và kế đó
được đề cập bởi R. Baer (1934). Sau hơn một thập niên, nhờ ứng dụng phương
pháp đồng điều, S. Eilenberg và S. Maclane (1947), D.K. Faddeev (1947), H.
Cartan (1951), N. Yoneda (1954) đã liên tục cho ra những thành tựu nỗi bật
về mở rộng nhóm. Từ năm 1942 với công trình "An extension theory for rings"
của J. Everett về mở rộng vành đã nảy nở hàng loạt công trình nghiên cứu về
vấn đề mở rộng Schreier của các cấu trúc đại số khác nhau. Lý thuyết mở rộng
nhóm, cũng như của môđun đã được phát triển khá hoàn thiện, đạt được những
thành tựu rực rỡ, và nó được tổng quát hóa một cách tự nhiên vào lĩnh vực nửa
nhóm và nửa môđun; chẳng hạn, tổng quát hóa về khái niệm mở rộng nhóm là
mở rộng Schreier của nửa môđun do L. Redei (1952) nêu ra lần đầu, kế đó, do
R. Wiegandt (1958), V.R. Hancock (1964) nhưng không sử dụng phương pháp

Demo Version - Select.Pdf SDK

đồng điều. Với quan điểm đồng điều, mở rộng bậc 1 của nửa nhóm lần đầu được
nghiên cứu bởi H. Inassaridze (1964,1965, 1966). Với ý tưởng mở rộng Schreier
của vị nhóm nhờ nửa môđun, A. Patchkoria (1976) đã xét vị nhóm E 1 (M, A)
các lớp mở rộng bậc 1 của vị nhóm M nhờ M-nửa môđun A; kế đó, N.X. Tuyen
(1976, 1997) xét mở rộng bậc n của M nhờ A và chứng minh đẳng cấu của các
vị nhóm E n (M, A), H n+1 (M, A). Đồng thời, A. Patchkoria (1977, 2003) và M.
Takahashi (1982,1983) cũng đã tiếp tục nghiên cứu các mở rộng của nửa môđun.
Luận văn của tôi dựa trên hai bài báo "Extensions of semimodules I" và "Extensions of semimodules II" của M.Takahashi để trình bày những kiến thức cơ
sở về mở rộng nửa môđun và đi sâu vào tìm hiểu các tính chất của các mở rộng
nửa môđun.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Một số kiến thức liên quan chuẩn bị cho hai chương sau.
Chương 2: Trình bày về khái niệm và một vài tính chất của mở rộng vị nhóm
3


nhờ nửa môđun. Xét trường hợp khi A là M -môđun, khi đó ta đưa phép toán
Bear vào tập E(M, A) các lớp mở rộng tương đương và E(M, A) trở thành một
vị nhóm. Sử dụng vị nhóm E 1 (M, A) và E 2 (M, A) để lần lượt biểu diễn vị nhóm
đối đồng điều H 2 (M, A) và H 3 (M, A).
Chương 3: Đây là nội dung trọng tâm của luận văn. Trước hết, tôi trình bày
về khái niệm và một vài tính chất quan trọng của mở rộng nửa môđun nhờ
nửa môđun. Sau đó luận văn trình bày các kết quả đáng chú ý về song hàm tử
EΛ (A, B), ExtΛ (A, B) và mối quan hệ của chúng.
Huế, tháng 9 năm 2017.
Học viên thực hiện

Lê Thị Tân.

Demo Version - Select.Pdf SDK

4