Nghiệm viscosity của bài toán điều khiển với thời gian thoát ra (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

LÊ THỊ HƯƠNG

NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI
Demo Version - Select.Pdf SDK

TOÁN ĐIỀU KHIỂN VỚI THỜI
GIAN THOÁT RA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế, Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HƯƠNG

NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU
KHIỂN VỚI THỜI GIAN THOÁT RA

Chuyên
ngành: TOÁN SDK

GIẢI TÍCH
Demo Version
- Select.Pdf
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN HOÀNG

Huế, Năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu ghi trong Luận văn là trung thực. Tôi
hoàn toàn chịu trách nhiệm trước khoa và nhà
trường về sự cam đoan này.

Lê Thị Hương

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, xin gửi đến PGS.TS Nguyễn Hoàng lời cảm ơn sâu sắc về sự tận
tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tại lớp
Cao học K23 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ
ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế.
Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt là các
Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải Tích và cũng như tất cả bạn bè của tôi đã
luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi, những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận văn
được hoàn chỉnh hơn.

Demo Version - Select.Pdf SDK
Lê Thị Hương

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Bảng các ký hiệu

2

Mở đầu

3

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Tập lồi, hàm nửa lồi, hàm nửa lõm. . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi
1.4 Bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

6
6
9
10
12

Demo Version - Select.Pdf SDK
2 NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN VỚI
THỜI GIAN THOÁT RA
15
2.1
2.2
2.3
2.4

Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian thoát ra . . . . . . . . .
Tính liên tục Lipschitz và tính nửa lõm của hàm giá trị . . . . .
Tính nửa lồi của hàm thời gian tối tiểu T trên hệ điều khiển tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 15
. 26
. 47
. 52

Kết luận

65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1


BẢNG CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu
Rn
Ω

Rn×n

Tập hợp các ma trận vuông thực cấp n.
Không gian các hàm liên tục trên Ω.
Không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω.
Không gian các hàm khả vi liên tục
và có đạo hàm riêng liên tục Lipschitz trên Ω.
Không gian các hàm khả vi liên tục, có đạo hàm

C(Ω)
C 1 (Ω)
C 1,1 (Ω)
1,1
Cloc
(Ω)

SCLloc (Ω)
L1 (Ω)
L1loc (Ω)

Ý nghĩa ký hiệu
Không gian vector thực n-chiều.
Miền mở trong không gian Rn .

riêng liên tục Lipschiz địa phương trên Ω.
Không gian các hàm nửa lõm
với modun tuyến tính địa phương trên Ω.
Không gian các hàm thực đo được trên Ω
sao cho |f | khả tích theo nghĩa Lebesgue.
Không gian các hàm thực đo được trên Ω
sao cho |f | khả tích địa phương theo nghĩa Lebesgue.

∂K

Demo Version
- Select.Pdf
Biên của
tập hợp K.SDK

Đạo hàm riêng của hàm L theo biến x.
∇u
Gradient của hàm u theo biến x.
Br (x) hoặc B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r.
x.y hoặc < x, y >
Tích vô hướng trong Rn .
Lx

[x, y]
|x|

||x||∞

Đoạn thẳng nối hai điểm x và y với mọi x, y ∈ Rn .
Chuẩn Euclid trong Rn .
Chuẩn maximum trong Rn .

2


MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển tối ưu xuất hiện từ những năm 50 của thế kỷ 20
với một loạt công trình tiêu biểu của các nhà toán học Xô viết đứng đầu là
L.C. P ontryagin về nguyên lý cực đại để tìm điều kiện cần các quá trình tối ưu.
Lý thuyết này được phát triển từ những bài toán tối ưu hóa cổ điển như bài
toán biến phân, bài toán quy hoạch động. Bài toán điều khiển tối ưu là bài toán
tìm các quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả bởi các phương trình toán
học, có thể bắt nguồn từ việc sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin (điều kiện
cần) hoặc bằng cách giải phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman (điều kiện đủ).
Ta có thể mô tả bài toán điều khiển tối ưu một cách giải tích như sau. Xét
hệ điều khiển



y (t) = f (t, y(t), u(t)),




t ∈ I = (a, b) ⊆ R,

y(t0 ) = x, y(t) ∈ X = Rn ,





u(t) ∈ U ⊆ Rm ,
trong đó u(t) thuộc một lớp hàm đặc biệt như lớp hàm L1 ([t0 , T ], U ), f (t, y(t), u(t)) :
Version
Select.Pdf
SDK
I × X × U →Demo
X là hàm
mô tả -quá
trình chuyển
động của trạng thái. Phiếm hàm
mục tiêu được định nghĩa bởi
f 0 (t, y, u)dt,

J(u) =
I

trong đó f 0 (t, y, u) : I × X × U → R là hàm cho trước. Bài toán điều khiển tối
ưu đặt ra là tìm điều khiển chấp nhận được u∗ (t) ∈ U sao cho cùng với quỹ đạo
tương ứng y ∗ (t) của hệ điều khiển, phiếm hàm mục tiêu sẽ đạt cực tiểu tại điều
khiển u∗ (t). Điều khiển u∗ (t) sẽ được gọi là điều khiển tối ưu cho bài toán tối ưu,
cặp (u∗ (t), y ∗ (t)) gọi là quá trình tối ưu của hệ điều khiển. Người ta phân loại
bài toán điều khiển tối ưu theo cấu trúc của hàm mục tiêu. Nếu hàm mục tiêu
có dạng như trên thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Lagrange. Nếu hàm mục

tiêu có dạng
J(u) = g(T, y(T )),

trong đó T là thời gian cuối cố định trước của thì ta có bài toán điều khiển tối
ưu Mayer. Còn nếu hàm mục tiêu có dạng
f 0 (t, y, u)dt + g(T, y(T )),

J(u) =
I

3


thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Bolza. Lagrange, Bolza, Mayer là tên ba nhà
toán học đã có những nghiên cứu đầu tiên về bài toán tối ưu với các hàm mục
tiêu đó.
Ta định nghĩa hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu có dạng
V (t, x) = inf{J(u) : u ∈ L1 ([t0 , T ], U )}.

Xét phương trình quy hoạch động sau:


−∂t V (t, x) + H(x, ∇V (t, x)) = 0,

t ∈ I = [0, T ],
∀x ∈ Rn ,


V (T, x) = g(x),

với H(x, .) là hàm Hamilton liên kết với bài toán điều khiển tối ưu tương ứng.
Đối với bài toán Mayer thì H(x, p) = max −p.f (t, x, u), còn đối với bài toán Bolza
u∈U

thì H(x, p) = max[−p.f (t, x, u) − f 0 (t, x, u)]. Các định lý đã được chứng minh cho
u∈U

thấy rằng hàm giá trị V (t, x) là nghiệm viscosity của phương trình quy hoạch
động tương ứng với mỗi bài toán điều khiển tối ưu cho trước. Khái niệm nghiệm
viscosity được M.G. Crandall và P.L. Lions đưa ra vào những năm đầu của thập
kỷ 80, mở ra một hướng nghiên cứu hiệu quả trong việc nghiên cứu phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, cấp 2, trong đó có phương trình Hamilton-Jacobi.
Demo Version - Select.Pdf SDK
Thay vì buộc nghiệm phải thỏa mãn phương trình và khả vi cấp k , các tác giả
chỉ đòi hỏi nghiệm liên tục, thỏa mãn các bất đẳng thức vi phân thông qua hàm
thử đủ trơn hoặc qua khái niệm trên vi phân, dưới vi phân.
Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian thoát ra là một dạng của bài toán
điều khiển tối ưu Bolza, trong đó thời gian cuối của hệ là không cố định mà phụ
thuộc vào mục tiêu được cho trước. Một trường hợp đặc biệt của bài toán thời
gian thoát ra là bài toán thời gian tối tiểu với mong muốn là cực tiểu hóa thời
gian cuối để quá trình tối ưu đạt mục tiêu cho trước.
Xuất phát từ những kiến thức tìm hiểu được, chúng tôi chọn đề tài:
"Nghiệm viscosity của bài toán điều khiển với thời gian thoát ra" để
nghiên cứu với hy vọng có thể hiểu sâu hơn một số kết quả trong lý thuyết của
phương trình đạo hàm riêng.
Luận văn chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một
số kiến thức cơ bản của giải tích làm nền tảng cho các chứng minh ở chương
sau. Trong chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả của bài toán điều khiển
tối ưu với thời gian thoát ra có cấu trúc như sau. Mục 2.1 chúng tôi giới thiệu
về bài toán thời gian thoát ra và một số kết quả về sự tồn tại của điều khiển

4


tối ưu. Mục 2.2 chúng tôi xem xét hàm giá trị tương ứng của bài toán, chỉ ra
rằng hàm giá trị là liên tục Lipschitz địa phương và là hàm nửa lõm với modun
tuyến tính. Mục 2.3 chúng tôi nghiên cứu một vài kết quả của hàm thời gian
tối tiểu trên hệ tuyến tính. Và cuối cùng, mục 2.4 nghiên cứu điều kiện tối ưu
của bài toán thời gian thoát ra, các kết quả của nguyên lý cực đại Pontryagin
trong trường hợp của mục tiêu trơn và dưới những giả thiết thích hợp, chúng
tôi chỉ ra rằng quỹ đạo tối ưu là nghiệm của hệ Hamilton liên kết và tương ứng
một-một với reachable gradients của hàm giá trị.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình
bày khó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn được
hoàn thiện hơn.

Demo Version - Select.Pdf SDK

5