Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 và bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần
Văn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản
luận văn này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả
Chu Thanh Vân
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của cá nhân
tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả
Chu Thanh Vân
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 6
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Hàm lề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Tính liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Tính nửa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 32
2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn . . . . . . 32
2.1.1 Hệ điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Nguyên lý quy hoạch động . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman . . . . . . . 34
2.1.4 Định lý kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài toán điều khiển tối
ưu với thời gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Nguyên lý quy hoạch động và phương trình Hamilton-
Jacobi-Bellman đối với nghiệm nhớt . . . . . . . . . 40
2.2.2 Định lý kiểm định qua nghiệm nhớt . . . . . . . . . 53
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán điều khiển tối ưu xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khoa học
cũng như thực tiễn (xem [1, 4, 5]). Một trong những phương pháp tiếp cận
quan trọng của lý thuyết các bài toán điều khiển tối ưu là phương pháp
quy hoạch động. Theo phương pháp đó hàm giá trị của bài toán (nếu khả
vi) sẽ là nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman liên
kết, đó là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một. Tuy nhiên
trong đa số các tình huống thì hàm giá trị nói chung không khả vi, vì thế
một vấn đề quan trọng đặt ra là: hàm giá trị có thỏa mãn phương trình
Hamilton-Jacobi-Bellman hay không? Nếu có thì thỏa mãn theo nghĩa nào?
Đầu những năm 80 của thế kỉ trước, M. G. Crandall đã đề xuất một
khái niệm nghiệm suy rộng mới cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
cấp một, đó là nghiệm nhớt. Cho đến nay khái niệm này đã được chứng
minh là đặc biệt hữu dụng đối với lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết
trò chơi vi phân, (xem [7, 6, 3]).

Xuất phát từ lý do trên và được sự định hướng của TS. Trần Văn Bằng
em chọn đề tài:
“Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 và
bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn”
Nội dung của Luận văn gồm hai chương:
Chương 1, trình bày các kiến thức chuẩn bị về nghiệm nhớt của phương
trình đạo hàm riêng cấp một, bao gồm: khái niệm, các tính chất, các phép
toán,
Chương 2, tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn
trong lý thuyết cổ điển và những ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài
5
toán đó.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu Nghiên cứu ứng dụng của nghiệm nhớt liên tục của
phương trình đạo hàm riêng cấp 1 đối với bài toán điều khiển tối ưu thời
gian vô hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Tìm hiểu về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng
cấp 1;
-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu nói chung;
-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Các điều kiện tối
ưu cho bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn.
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tất
định với hàm giá trị liên tục. số không gian hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, phương trình đạo
hàm riêng và lý thuyết điều khiển tối ưu.
6. Đóng góp mới của luận văn

+ Luận văn là một tài liệu tổng quan về ứng dụng của nghiệm nhớt
của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 vào bài toán điều khiển tối ưu thời
gian vô hạn.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [3]-[7].
1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến cấp 1
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Mục này trình bày khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm
riêng (ĐHR) cấp một và một số tính chất cơ bản dựa vào nguyên lý so sánh
nghiệm cũng như mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển của phương
trình đó.
Cho Ω ⊂ R
N
là một tập mở, F : Ω ×R ×R
N
→ R là một hàm liên tục
của ba biến (x, r, p). Kí hiệu:
C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;
C
k
(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạo
hàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω.
Với một hàm u ∈ C
1
(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω.
Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình
Hamilton-Jacobi):
F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω. (HJ)

Định nghĩa 1.1.1. Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương
trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C
1
(Ω) ta có:
F (x
0
, u(x
0
), Dϕ(x
0
)) ≤ 0 (1.1)
tại mọi điểm cực đại địa phương x
0
∈ Ω của u − ϕ.
7
Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu với
mọi ϕ ∈ C
1
(Ω) ta có:
F (x
1
, u(x
1
), Dϕ(x
1
)) ≥ 0 (1.2)
tại mọi điểm cực tiểu địa phương x
1
∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là

nghiệm nhớt dưới của phương trình đó.
Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử.
Ví dụ 1.1.2. Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
−|u

(x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1).
Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x = 0 là một cực trị địa phương
của u − ϕ thì ϕ

(x) = u

(x) = ±1. Vì vậy tại những điểm này điều kiện
nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn.
Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u −ϕ, thì ta tính được |ϕ

(0)| ≤ 1 nên
điều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng. Bây giờ ta chứng minh 0 không thể
là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C
1
([0, 1]). Thật vậy, nếu 0 là cực
đại địa phương của u −ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u −ϕ)(x) trong một lân
cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có:
ϕ

(0) = lim
x→0
+
ϕ(x) − ϕ(0)
x − 0
≥ lim

x→0
+
u(x)
x
= 1
và
ϕ

(0) = lim
x→0
−
ϕ(x) − ϕ(0)
x − 0
≤ lim
x→0
+
−
u(x)
x
= −1.
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u −ϕ.
Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương
trình:
|u

(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1).
Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x
0
= 0 là điểm cực
tiểu địa phương của |x| − (−x

2
).
8
Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:
u
t
(t, y) + H(t, y, u(t, y), D
y
u(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × D
thì ta chỉ việc đặt:
x = (t, y) ∈ Ω = (0, T) ×D ⊆ R
N+1
, F(x, r, p) = q
N+1
+ H(x, r, q
1
, , q
N
)
với q = (q
1
, , q
N
, q
N+1
) ∈ R
N+1
.
Nhận xét 1.1.3. Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả
sử rằng x

0
là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u −ϕ (nếu không ta
có thể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x
0
|
2
). Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào
giá trị của Dϕ tại x
0
, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
u(x
0
) = ϕ(x
0
). Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét
tương tự.
Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện
nghiệm nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u.
Ta cũng chú ý rằng không gian C
1
(Ω) các hàm thử trong Định nghĩa
1.1.1 có thể được thay thế bằng C
∞
(Ω).
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt
và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:
Mệnh đề 1.1.4. (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ)
trong Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω

, với mọi tập con mở

Ω

⊂ Ω;
(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vi
tại mọi điểm x ∈ Ω và:
F (x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω. (1.3)
Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);
(c) Nếu hàm u ∈ C
1
(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổ
điển của phương trình đó.
9
Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương. Vì
vậy ta có thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) là một C
1
−hàm trên
R
N
hoặc trên một hình cầu bất kỳ B(x, r) với tâm x ∈ Ω.
Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được
nêu trong lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý
cực đại và nguyên lý so sánh. Với phương trình (HJ) hai tính chất này
được xây dựng tương ứng như sau.
Định nghĩa 1.1.5. Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với
các nghiệm nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C
1
(Ω) và tập mở O ⊂ Ω
sao cho
F (x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂O
thì u ≤ ϕ trong O.

Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi
ϕ ∈ C
1
(Ω) và tập mở O ⊂ Ω sao cho:
F (x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈ O
thì u −ϕ không thể có cực đại không âm trong O.
Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó
thỏa mãn nguyên lý so sánh. Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm
nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u
là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Ngược lại, nếu u là một
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F (x, r, p) là một hàm
không giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so
sánh.
Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên. Khi đó ta chỉ cần
đổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại
và thay cực đại không âm bởi cực tiểu không dương.
10
Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu
của phương trình. Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ
đều là cực tiểu địa phương của −u −(−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới của
phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của phương
trình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm nhớt trên
của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt dưới của
phương trình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω.
Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) thông qua trên vi phân và dưới vi phân. Cho hàm số u ∈ C(Ω) và
x ∈ Ω, xét các tập hợp:
D
+

u(x) :=

p ∈ R
N
: lim sup
y→x,y∈Ω
u(y) − u(x) −p.(y − x)
|y −x|
≤ 0

,
D
−
u(x) :=

p ∈ R
N
: lim inf
y→x,y∈Ω
u(y) − u(x) −p.(y − x)
|y −x|
≥ 0

.
Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọi
chung là bán vi phân) của u tại x.
Ví dụ 1.1.7. Cho u(x) = |x|, x ∈ R. Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được:
D
+
u(0) = ∅, D

−
u(0) = [−1, 1].
Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D
+
u(x) và D
−
u(x) qua các hàm thử và
một số tính chất của chúng:
Bổ đề 1.1.8. Cho u ∈ C(Ω). Khi đó:
(a) p ∈ D
+
u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C
1
(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u −ϕ đạt cực đại địa phương tại x;
(b) p ∈ D
−
u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C
1
(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u −ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x.
Bổ đề 1.1.9. Cho u ∈ C(Ω), x ∈ Ω. Khi đó:
(a) D
+
u(x) và D
−
u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể rỗng) của R
N
;
(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D

+
u(x) = D
−
u(x);
11
(c) Các tập A
+
= {x ∈ Ω : D
+
u(x) = ∅} và A
−
= {x ∈ Ω : D
−
u(x) = ∅}
là trù mật trong Ω.
Như một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1.8, ta có đặc trưng sau của
nghiệm nhớt.
Định lý 1.1.10. Hàm số u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình
(HJ) trong Ω khi và chỉ khi:
F (x, u(x), p) ≤ 0, ∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D
+
u(x); (1.4)
là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) trong Ω khi và chỉ khi:
F (x, u(x), p) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D
−
u(x). (1.5)
Sử dụng đặc trưng này, ta có thể chứng minh một số tính chất quan
trọng sau đây của nghiệm nhớt.
Mệnh đề 1.1.11. (a) Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) thì:

F (x, u(x), Du(x)) = 0
tại mọi điểm mà u khả vi.
(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớt
của (HJ) thì:
F (x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Nhận xét 1.1.12. Phần (b) của Mệnh đề 1.1.11 thể hiện rằng mọi nghiệm
nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là
nghiệm tổng quát nếu:
F (x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω.
Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không
phải là nghiệm nhớt. Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:
12
Ví dụ 1.1.13. Ta thấy hàm u(x) = |x| thỏa mãn:
|u

(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) \ {0}
do đó u là nghiệm tổng quát của |u

(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) nhưng nó
không phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1.2).
1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt
Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép
toán trên các nghiệm nhớt. Để trình bày các kết quả trong phần này chúng
ta cần tới khái niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:
Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì ρ : [0, +∞) → [0, +∞)
thỏa mãn ρ(0) = 0.
Mô đun liên tục của một hàm u ∈ C(Ω) là một mô đun ρ
u
sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ ρ

u
(|x − y|), ∀x, y ∈ Ω.
Nếu u(x, y) ∈ C(Ω
1
× Ω
2
) thì mô đun liên tục (địa phương) của u là
hàm hai biến liên tục ρ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là mô đun theo
từng biến và
|u(x
1
, y
1
)−u(x
2
, y
2
)| ≤ ρ(|x
1
−y
1
|, |x
2
−y
2
|), ∀(x
1
, y
1
), (x

2
, y
2
) ∈ Ω
1
×Ω
2
.
Ví dụ 1.1.14. Nếu u là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Định
nghĩa 1.1.24) thì ta có thể chọn mô đun liên tục của u là ρ
u
(r) = Lr.
Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω). Ta ký hiệu:
(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},
(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)}.
Mệnh đề 1.1.15. Ta có các khẳng định sau:
(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
Khi đó u ∨ v cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u∧v
13
cũng là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ).
(c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ v
với mọi nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ). Khi đó u là nghiệm
nhớt trên và do đó là nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Mệnh đề 1.1.16. [Tính ổn định của nghiệm nhớt] Cho u
n
∈ C(Ω)(n ∈ N)
là một nghiệm nhớt của phương trình:
F
n

(x, u
n
(x), Du
n
(x)) = 0 trong Ω. (1.6)
Giả sử rằng:
u
n
→ u hội tụ đều trong Ω,
F
n
→ u hội tụ đều trong Ω ×R × R
n
.
Khi đó u là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ω.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ C
1
(Ω) và x
0
là cực đại địa phương của u−ϕ. Không
mất tính tổng quát ta có thể giả sử:
u(x
0
) − ϕ(x
0
) > u(x) − ϕ(x)
với x = x
0
trong một lân cận của x
0

. Từ tính hội tụ đều ta có với n đủ lớn
u
n
− ϕ đạt cực đại địa phương tại x
n
→ x
0
(xem Bổ đề 1.1.18). Khi đó
F
n
(x
n
, u
n
(x
n
), Dϕ(x
n
)) ≤ 0.
Từ x
n
→ x
0
, qua giới hạn bất đẳng thức trên khi n → +∞ ta được:
F
n
(x
0
, u(x
0

), Dϕ(x
0
)) ≤ 0.
vậy u là nghiệm nhớt dưới. Chứng minh tương tự ta cũng có u là nghiệm
nhớt trên.
Ví dụ sau đây cho thấy Mệnh đề 1.1.16 không đúng với nghiệm tổng
quát của phương trình (1.6).
14
Ví dụ 1.1.17. Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm u
n
được xác định bởi:
u
1
(x) = 1 − x và với n ≥ 2 thì
u
n
(x) =

x −
2j
2
n
, nếu x ∈ [2j/2
n
, (2j + 1)/2
n
]
2j+2
2
n

− x, nếu x ∈ [(2j + 1)/2
n
, (2j + 2)/2
n
] ,
trong đó j = 0, 1, , 2
n−1
−1. Với x ∈ [0, 1] rõ ràng là |u

n
(x)|−1 = 0 hầu
khắp nơi trong [0, 1], mặc dù u
1
là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm
nhớt) nhưng u
n
không phải là nghiệm nhớt với n ≥ 2. Giới hạn của dãy
hàm là bằng 0 và không thỏa mãn phương trình |u

(x)| − 1 = 0 tại mọi
điểm.
Trong chứng minh Mệnh đề 1.1.16 chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản
sau:
Bổ đề 1.1.18. Cho v ∈ C(Ω) và giả sử rằng x
0
∈ Ω là một điểm cực đại
địa phương ngặt của v trong B(x
0
, δ) ⊆ Ω. Nếu v
n

∈ C(Ω) hội tụ đều địa
phương tới v ∈ Ω, thì khi đó tồn tại dãy {x
n
} thỏa mãn:
x
n
→ x
0
, v
n
(x
n
) ≥ v
n
(x), ∀x ∈
¯
B(x
0
, δ). (1.7)
Mệnh đề 1.1.19. (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)
Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ ∈ C
1
(R) thỏa
mãn Φ

(t) > 0. Khi đó v = Φ(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:
F (x, Ψ(v(x)), Ψ

(v(x))Dv(x)) = 0, x ∈ Ω, (1.8)
trong đó Ψ = Φ

−1
.
Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ) tiến
hóa đó là:
Mệnh đề 1.1.20. Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)
và Φ : Ω ×R → R thuộc C
1
thỏa mãn:
Φ
r
(x, r) > 0, ∀(x, r) ∈ Ω ×R.
15
Khi dó hàm v ∈ C(Ω) được xác định bởi
Φ(x, v(x)) = u(x),
là một nghiệm nhớt của phương trình

F (x, v(x), Dv(x)) = 0 trong Ω, (1.9)
với

F (x, r, p) = F (x, Φ(x, r), D
x
Φ(x, r) + Φ
r
(x, r)p).
Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các
trường hợp thông dụng.
Mệnh đề 1.1.21. [xem [2], Proposition 2.7] Cho u ∈ C(Ω). Khi đó
(i) với v(x, r) = ϕ(r)u(x) (x ∈ Ω, r ∈ R) và ϕ ∈ C
1
(R), ϕ(r) ≥ 0, với mọi

r ∈ R; ta có
D
+
v(x, r) =

(q, ) ∈ R
n+1
: q ∈ ϕ(r)D
+
u(x),  = ϕ

(x)u(x)

;
(ii) với u(x) = v(T (x)), v ∈ C(

Ω); ta có (công thức đổi biến)
p ∈ D
+
v(y
0
) nếu và chỉ nếu (DT (x
0
))
t
p ∈ D
+
u(x), trong đó T : Ω →

Ω là

một vi phôi, A
t
là chuyển vị của A và y
0
= T (x
0
);
(iii) với η(r) = u(y(x)), y ∈ C
1
(R, Ω) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)
D
+
η(r) ⊇ D
+
u(y(r)) · ˙y(r).
Nhận xét 1.1.22. Các kết quả tương tự vẫn đúng với D
−
. Từ công thức
“đổi biến” (ii) ta có u là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω
nếu và chỉ nếu v(ˆx) = u(T
−1
(ˆx)) là một nghiệm dưới của phương trình:
F (T
−1
(ˆx), v(ˆx), DT (T
−1
(ˆx))Dv(ˆx)) = 0, ˆx ∈

Ω.
Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh

thỏa mãn phương trình (HJ) là nghiệm nhớt của phương trình trên.
Bổ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình
tiến hóa.
16
Bổ đề 1.1.23. Ta giả sử rằng
p
1
→ F (¯x, ¯r, p
1
, ¯p
2
, , ¯p
N
) (1.10)
là không giảm với mọi điểm ¯x, ¯r, ¯p
2
, , ¯p
N
. Cũng giả sử rằng Ω = (a, b]×Ω

,
với Ω

là tập con mở của R
N−1
. Nếu u ∈ C(
¯
Ω) là một nghiệm nhớt dưới
(tương ứng nghiệm nhớt trên) của phương trình (HJ) thì
F (¯x, u(¯x), Dϕ(¯x)) ≤ 0, (tương ứng ≥ 0) (1.11)

tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) ¯x của
u − ϕ trên (a, b] × Ω

với mọi ϕ ∈ C
1
((a, b] ×Ω

).
1.1.3 Hàm lề
Định nghĩa 1.1.24. Cho hàm số g : Ω ×B → R
N
, Ω ⊆ R
n
là một tập mở
và B là một không gian topo. Hàm số u(x) được xác định bởi:
u(x) = inf
b∈B
g(x, b), (1.12)
được gọi là hàm lề.
Một số ví dụ rất cơ bản về hàm lề: đó là hàm khoảng cách đến một tập
hợp S ⊆ R
N
được xác định bởi:
d(x, S) := inf
s∈S
|x − s|.
Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phép
chập-inf của một hàm u được xác định bởi:
u
ε

(x) := inf
y∈Ω

u(y) + |x −y|
2
/2ε

, ε > 0,
Ta ký hiệu M(x) là tập hợp (có thể rỗng):
M(x) = argmin
b∈B
g(x, b) := {b ∈ B : u(x) = g(x, b)}
và giả sử rằng g(x, B) bị chặn với mọi x ∈ Ω và x → g(x, b) là liên tục đều
tại x đối với b ∈ B; tức là:
|g(x, b) − g(y, b)| ≤ ω(|x − y|, R), (1.13)
17
với mọi |x|, |y| ≤ R, b ∈ B với mô đun ω nào đó.
Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phân
của hàm u và các bán vi phân của hàm g theo biến x (ký hiệu là D
±
x
g).
Bổ đề 1.1.25. Cho giả thiết (1.13). Khi đó u ∈ Ω và
D
+
u(x) ⊇ D
+
x
g(x, b),
D

−
x
g(x, b) ⊇ D
−
u(x),
với mọi b ∈ M(x).
Nhận xét 1.1.26. Từ bổ đề trên ta có D
+
u(x) = ∅ tại những điểm x mà
g khả vi và M(x) = ∅.
Để nghiên cứu sâu hơn ta giả sử g(·, b) khả vi đều tại x, tức là với mô
đun ω
1
nào đó,
|g(x + h, b) − g(x, b) −D
x
g(x, b).h| ≤ |h|ω
1
(|h|) (1.14)
với mọi b ∈ B và h đủ nhỏ. Ta cũng giả sử rằng
b → D
x
g(x, b) liên tục (1.15)
b → g(x, b) nửa liên tục dưới. (1.16)
Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:
Y (x) := {D
x
g(x, b) : b ∈ M(x)}
và đạo hàm theo hướng (một phía) của u theo hướng q,
∂u

∂q
(x) := lim
x→0
+
u(x + tq) −u(x)
t
.
Mệnh đề 1.1.27. Cho các giả thiết (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) và B là
tập compact. Khi đó
Y (x) = ∅ (1.17)
D
+
u(x) = coY (x), (1.18)
18
D
−
u(x) =

{y} nếu Y (x) = {y}
∅ nếu Y (x) không phải là tập một điểm.
(1.19)
Đặc biệt, u khả vi tại x nếu và chỉ nếu Y (x) là tập một điểm. Hơn nữa, u
có đạo hàm theo hướng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi
∂u
∂q
(x) = min
y∈Y (x)
y ·q = min
p∈D
+

u(x)
y ·q.
Tiếp theo áp dụng Mệnh đề 1.1.27 ta tính các bán vi phân của hàm
khoảng cách từ tập bất kỳ S ∈ R
N
, S = ∅ xác định bởi
d(x, S) := inf
z∈S
|x − z| = min
z∈
¯
S
|x − z|. (1.20)
Biểu thức sau của d(x) thuận tiện hơn trong tính toán và liên quan đến
việc xét tập hình chiếu của x lên
¯
S có dạng
P (x) := {z ∈ ∂S : d(x) = |x −z|} = ∅.
Mệnh đề 1.1.28. Với S = ∅, d ∈ C(R
n
) bất kỳ và với mọi x /∈
¯
S và vector
đơn vị q. Khi đó
D
+
d(x) = co

x − z
|x − z|

: z ∈ P (x)

,
D
−
d(x) =

x−p(x)
|x−p(x)|
nếu P (x) = {p(x)}
∅ nếu P (x) là tập một điểm,
∂u
∂q
(x) = min
x∈P (x)
x − z
|x − z|
· q.
Nhận xét 1.1.29. Từ Mệnh đề 1.1.28 và Bổ đề 1.1.8 ta có d khả vi tại x
nếu và chỉ nếu hình chiếu của x lên
¯
S là duy nhất. Một kết quả nổi tiếng
trong giải tích lồi (định lý Motzkin) khẳng định rằng tập hình chiếu p(x)
là tập một điểm nếu và chỉ nếu
¯
S là tập lồi. Khi đó
¯
S là tập lồi nếu và
chỉ nếu d khả vi trong R
N

\
¯
S. Trong trường hợp này hình chiếu p(x) phụ
thuộc liên tục trên x do vậy d ∈ C
1
(R
N
\
¯
S).
19
Dễ biết rằng nếu ∂S trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gần ∂S và thỏa
mãn phương trình eikonal
|Du| = 1 trong R
N
\
¯
S (1.21)
một cách địa phương quanh ∂S. Nếu phương trình này xét theo nghĩa nhớt
thì nó là nghiệm toàn cục với mọi S.
Hệ quả 1.1.30. Hàm khoảng cách d đến S là nghiệm nhớt của phương
trình (1.21) trong S. Nó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng không là nghiệm
nhớt trên trong cả R
N
.
Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng
cách đó là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị n(x) của S tại x ∈ ∂S. Trong
trường hợp ∂S trơn, hàm n là mở rộng duy nhất của Dd lên ∂S, với x /∈
¯
S

đủ gần ∂S ta có
x = p(x) + s(x)n(p(x)), Dd(x) = n(p(x)), (1.22)
trong đó p(x) biểu thị hình chiếu duy nhất của x lên
¯
S. Điều này dẫn đến
định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.31. Cho S ⊆ R
N
là một tập không rỗng. Một vector đơn
vị v là một vector pháp tuyến ngoài (suy rộng) của
¯
S tại z ∈ ∂S (ta ký
hiệu là v ∈ N(z)) nếu tồn tại x /∈ S thỏa mãn
x = z + d(x)v và {z} = P(x).
Chú ý rằng từ Mệnh đề 1.1.28 thì công thức thứ hai trong (1.22) trở
thành
Dd(x) ∈ N(p(x)), P (x) = {p(x)}, (1.23)
tại mọi điểm x mà d khả vi.
20
1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm
Trong mục này ta đề cập đến vấn đề tính duy nhất và sự so sánh nghiệm
của nghiệm nhớt. Đây là một vấn đề lớn trong lý thuyết và có mối liên hệ
với các điều kiện đủ trong bài toán điều khiển tối ưu.
Xét hàm F có dạng F (x, r, p) = r + H(x, p).
Định lý 1.2.1. [Sự so sánh nghiệm trên tập bị chặn] Cho Ω là một tập
con mở bị chặn của R
N
. Giả sử u
1
, u

2
∈ C(Ω) tương ứng là nghiệm nhớt
trên và dưới của
u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ Ω, (1.24)
và
u
1
≤ u
2
trên ∂Ω. (1.25)
Cũng giả sử rằng H thỏa mãn:
|H(x, p) −H(y, p)| ≤ ω
1
(|x − y|(1 + |p|)) (H
1
)
với x, y ∈ Ω, p ∈ R
N
, trong đó ω
1
: [0, +∞) → [0, +∞) là liên tục không
giảm với ω
1
(0) = 0. Khi đó u
1
≤ u
2
trong Ω.
Nhận xét 1.2.2. Nếu u
1

, u
2
đều là nghiệm nhớt của (1.24), theo Định
lý 1.2.1 thì điều kiện u
1
= u
2
trên ∂S sẽ kéo theo u
1
= u
2
trên S.
Nhận xét 1.2.3. Khẳng định trong Định lý 1.2.1 cũng đúng với phương
trình
λu(x) + H(x, Du(x)) = 0 x ∈ Ω,
với λ > 0. Mặt khác đối với phương trình H(x, Du(x)) = 0 thì kết quả
trên không đúng. Thật vậy, với phương trình H(x, p) = 0 với mọi x và p
thì hàm u ∈ C(Ω) bất kỳ đều là nghiệm nhớt.
Bây giờ ta xét trường hợp Ω = R
N
và chứng minh kết quả về sự so sánh
nghiệm trong không gian BC(R
N
) của các hàm liên tục bị chặn trong R
N
.
21
Ta giả sử điều kiện sau trên H:
H(y, λ(y −x) + p) −H(x, λ(y − x) + q) ≤ ω
2

(|x − y| + λ |y −x|
2
, R)
+ ω
3
(|p − q|), (H
2
)
với mọi λ ≥ 1, p, q ∈ B(0, 1), x, y ∈ B(0, R), ∀R > 0, trong đó ω
2
, ω
3
là
các mô đun. Dễ thấy rằng (H
1
) và (H
3
) xác định bởi
|H(x, p) −H(x, q)| ≤ ω(|p − q|) ∀x, p, q ∈ R
N
(H
3
)
thỏa mãn (H
2
) với ω
3
= ω và ω
2
(r, R) = ω

1
(2r) với mọi r, R > 0.
Định lý 1.2.4. [Sự so sánh nghiệm trên toàn không gian] Giả sử rằng
u
1
, u
2
∈ BC(R
N
) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và nghiệm nhớt trên của
phương trình
u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ R
N
, (1.26)
với H thỏa mãn (H
2
). Khi đó u
1
≤ u
2
trong R
N
.
Định lý 1.2.4 có thể được khái quát cho trường hợp tập mở Ω ∈ R
N
không bị chặn. Thật vậy, ta có thể chứng minh được rằng nếu u
1
, u
2
∈

BC(Ω) tương ứng là nghiệm nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương
trình
u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ Ω,
với H thỏa mãn H
2
và u
1
≤ u
2
trên ∂Ω thì u
1
≤ u
2
trong Ω.
Nhận xét 1.2.5. Một biến thể rất hữu dụng của Định lý 1.2.4 có được
khi ta thay giả thiết về tính bị chặn của u
1
, u
2
bằng tính liên tục đều của
chúng. Người ta có thể chứng minh được rằng nếu u
1
, u
2
∈ UC(R
N
) tương
ứng là nghiệm nhớt dưới, trên của phương trình (1.26) với H thỏa mãn H
1
và H

3
thì u
1
≤ u
2
trong R
N
,
Một kết quả về sự so sánh nghiệm tiếp theo liên quan phương trình tiến
hóa. Nó cũng dẫn đến một kết quả về tính duy nhất nghiệm của bài toán
22
Cauchy

u
t
(x, t) + H(t, Du(t, x)) = 0 (t, x) ∈ [0, T] × R
N
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ R
N
với điều kiện ban đầu u
0
∈ UC(R
N
).
Định lý 1.2.6. [Sự so sánh nghiệm của phương trình tiến hóa] Giả sử
H ∈ C([0, T ] × R
N
). Cho u

1
, u
2
∈ UC([0, T ] × R
N
) tương ứng là nghiệm
nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình
u
t
(x, t) + H(t, D
x
u(t, x)) = 0 trong [0, T ] ×R
N
.
Khi đó
sup
[0,T ]×R
N
(u
1
− u
2
) ≤ sup
R
N
(u
1
(0, ·) −u
2
(0, ·)).

Nhận xét 1.2.7. Định lý về sự so sánh nghiệm 1.2.6 có thể được mở rộng
cho phương trình
u
t
+ H(t, x, Du) = 0
nếu hàm Hamilton H ∈ UC([0, T] × R
N
× B(0, R)) với mọi R > 0 và H
thỏa mãn (H
1
) với một mô đun ω độc lập của t ∈ [0, T ].
Nhận xét 1.2.8. Nguyên lý so sánh có thể được sử dụng để chỉ ra khoảng
bị chặn của nghiệm nhớt của phương trình (HJ). Để chỉ ra điều này ta xét
u
n
∈ BC(R
N
), n ∈ N là nghiệm nhớt của phương trình
u
n
(x) + H
n
(x, Du
n
(x)) = 0, x ∈ R
N
, (1.27)
trong đó H
n
thỏa mãn (H

1
), (H
3
) với mỗi n ∈ N. Cũng giả sử rằng
sup
x∈R
N
|H
n
(x, 0)| ≤ C < +∞
với hằng số C nào đó rõ ràng là C và −C tương ứng là nghiệm trên và
nghiệm dưới của ( 1.27) với mọi n ∈ N. Khi đó theo Định lý 1.2.4 thì
−C ≤ u
n
(x) ≤ C,
với mọi n ∈ N và x ∈ R
N
.
23
1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt
Trong mục này ta giới thiệu hai kết quả (Mệnh đề 1.3.2 và Mệnh
đề 1.3.3). Chúng chỉ ra rằng với những giả thiết thích hợp trên H thì
nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) λu(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ R
N
là liên tục Lipschitz, cùng với một số tính chất khả vi của hàm liên tục
Lipschitz.
Tiếp đến là một số định lý cơ bản về hàm nửa lõm và mối liên hệ với
phép chập-inf. Kết quả quan trọng trong phần này đó là Định lý 1.3.11,
trong đó khẳng định rằng: với những điều kiện thích hợp trên H thì nghiệm

nhớt liên tục Lipschitz của phương trình (HJ) là nửa lõm và Mệnh đề 1.3.14
chỉ ra rằng một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) có thể được xấp
xỉ đều từ dưới bởi một nghiệm dưới nửa lõm u
ε
của một phương trình xấp
xỉ.
1.3.1 Tính liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử u là một hàm số xác định trên tập mở Ω ∈ R
N
.
u được gọi là hàm Lipschitz (hay hàm liên tục Lipschitz) trên lân cận
V ⊂ Ω (với hằng số Lipschitz K ≥ 0) nếu
|u(x) − u(y)| ≤ K |x − y|, ∀x, y ∈ V.
Hàm u được gọi là hàm Lipschitz địa phương (hay liên tục Lipschitz địa
phương) trên Ω nếu với mỗi x ∈ Ω tồn tại lân cận mở U
x
của x trong Ω
sao cho u là hàm Lipschitz trên U
x
.
Ta giả sử rằng H thỏa mãn điều kiện sau
H(x, p) → +∞ khi |p| → +∞. (H
4
)
Khi H có dạng
H(x, p) = sup
a∈A
{−f(x, a).p − l(x, a)}, (1.28)
24
điều kiện đủ để (H

4
) đúng là tính bị chặn của l cùng với giả thiết
∃r > 0 : B(0, r) ⊆ cof(x, A), ∀x ∈ R
N
. (1.29)
Mệnh đề 1.3.2. Cho điều kiện (H
4
). Khi đó mọi nghiệm nhớt dưới u ∈
BC(R
N
) của phương trình (HJ) là liên tục Lipschitz.
Một điều kiện khác trên H đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệm
nhớt đó là
∃C > 0 : H

x, C
x − y
|x − y|
) − H(y, C
x − y
|x − y|

≥ −C |x − y|, ∀x, y ∈ R
N
.
(H
5
)
Với H có dạng (1.28), điều kiện (H
5

) đúng với C ≥ M/(1 − L), trong đó
f, l thỏa mãn
(f(x, a) − f(y, a)).(x −y) ≤ L |x − y|
2
, L ≥ 1,
|l(x, a) −l(y, a)| ≤ M |x − y|, ∀x, y, a.
Mệnh đề 1.3.3. Cho các điều kiện (H
1
), (H
3
), (H
5
), λ > 1 và u ∈ UC(R
N
)
là nghiệm nhớt của phương trình (HJ). Khi đó
|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|.
Bây giờ ta nêu một cách ngắn gọn một số tính chất khả vi của hàm
liên tục Lipschitz địa phương. Theo định lý Rademacher, mọi hàm liên
tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn
địa phương. Do đó, nếu u ∈ Lip
loc
(Ω) (tập các hàm liên tục Lipschitz địa
phương trong Ω), thì tập hợp
D
∗
u(x) =

p ∈ R
N

: p = lim
n→+∞
Du(x
n
), x
n
→ x

là tập không rỗng và đóng với mọi x ∈ Ω. Ký hiệu coD
∗
u là bao lồi của
nó. Một kết quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là
coD
∗
u(x) = ∂u(x), ∀x ∈ Ω, (1.30)
25
trong đó ∂u(x) là gradient tổng quát hay gradient Clarke của u tại x được
xác định bởi
∂u(x) :=

p ∈ R
N
: u
0
(x; p) ≥ p.q, ∀q ∈ R
N

=

p ∈ R

N
: u
0
(x; p) ≤ p.q, ∀q ∈ R
N

.
Với u
0
(x; p) và u
0
(x; p) là các đạo hàm theo hướng tổng quát được xác định
bởi
u
0
(x; q) : = lim sup
y→x,t→0
+
u(y + tq) − u(y)
t
u
0
(x; q) : = lim inf
y→x,t→0
+
u(y + tq) − u(y)
t
.
Một khái niệm liên quan nữa đó là đạo hàm Dini theo hướng, cụ thể là
∂

+
u(x; q) : = lim sup
t→0
+
u(x + tq) −u(x)
t
∂
−
u(x; q) : = lim inf
t→0
+
u(x + tq) −u(x)
t
Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng
u
0
(x; q) ≤ ∂
−
u(x, q) ≤ ∂
+
u(x, q) ≤ u
0
(x; q), ∀x ∈ Ω, q ∈ R
N
, (1.31)
và điều này có nghĩa là với u ∈ Lip
loc
(Ω),
D
−

u(x) ∪ D
+
u(x) ⊆ ∂u(x), ∀x ∈ Ω. (1.32)
Cũng thấy rằng D
+
u(x), D
−
u(x) là các tập bị chặn.
Kết quả tiếp theo về sự tồn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (một
phía) của các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là
∂u
∂q
(x) := ∂u(x, q) := lim
t→0+
u(x + tq) −u(x)
t
, |q| = 1.
Mệnh đề 1.3.4. Cho u ∈ Lip
loc
(Ω). Khi đó, với mọi q mà |q| = 1, tồn tại
∂u
∂q
(x) = min
p∈D
+
u(x)
p · q = u
0
(x; q) (1.33)
tại mọi x ∈ Ω mà D

+
u(x) = ∂u(x, q).