Nghiệm viscosity đối với bài toán điều khiển tối ưu (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

BÙI THỊ KIM HOA

NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN HOÀNG

Huế, năm 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong Luận văn là trung thực, được đồng
tác giả cho phép và chưa từng công bố trong
bất kì một công trình nào khác.

Bùi Thị Kim Hoa

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp, tôi đã nhận được sự khích
lệ và hỗ trợ của nhiều thầy cô, bạn bè và người thân. Tôi thành thật cảm kích.
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Hoàng.
Thầy không những là người định hướng đề tài, tận tình hướng dẫn mà còn tạo
cho tôi động lực vượt qua những khó khăn trong học tập, luôn nhắc nhở tôi giữ
gìn sức khỏe để học tốt.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ
ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế.
Chân thành cảm ơn các Bạn, Anh Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt là
các Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải tích và cũng như tất cả bạn bè của tôi đã
luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập.

Demo
Version
Select.Pdf
SDK
Cuối cùng
tôi xin
cảm ơn -Ba,
Mẹ và toàn
thể gia đình tôi-những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận văn
được hoàn chỉnh hơn.

Bùi Thị Kim Hoa

iii


Mục lục

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Danh mục các kí hiệu

3

Lời nói đầu

4

Chương 1.
1.1

1.2

1.3

6

Các khái niệm cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Hàm nửa liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Hàm liên tục Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tập lồi và hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Demo
Version
1.1.4
Hàm
nửa lõm.- Select.Pdf
. . . . . . . SDK
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Hàm đa trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Trên vi phân và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Vi phân một phía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Vi phân trên của hàm nửa lõm. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3

Hàm marginal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1

Nghiệm cổ điển của phương trình vi phân thường . . . . . 12

1.3.2

Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi . . . . 13

Chương 2.
2.1

Kiến thức chuẩn bị

Những bài toán điều khiển tối ưu

15

Bài toán Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Giới thiệu bài toán Mayer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1


2.2

2.1.3

Hàm giá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4

Những điều kiện tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bài toán Bolza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3.

Một số ví dụ áp dụng

70

3.1

Giới thiệu bài toán Bolza dạng đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2

Một vài ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kết luận

77

Tài liệu tham khảo

78

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa ký hiệu

R

Tập hợp các số thực

Rn

Không gian Euclid n-chiều

X

Tập con của Rn

Ω

Tập con mở của Rn

p, q hay p.q

Tích vô hướng của hai vector p và q trong Rn

| . | hay .

Chuẩn Euclid thông thường trong Rn

∂Ω

Biên của tập Ω

BR

Hình cầu mở tâm 0, bán kính R

[x, y]

Đoạn [x, y] = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}

coS

Bao lồi của tập S

Du(x)

Gradient của hàm u tại x

Demo Version
- Select.Pdf SDK
Vi phân trên và vi phân dưới của hàm u tại x

D+ u(x), D− u(x)
∇V (t, x)

∇V (t, x) = (Vx1 (t, x), Vx2 (t, x), . . . , Vxn (t, x))

l.s.c

Nửa liên tục dưới

u.s.c

Nửa liên tục trên

h.k.n

Hầu khắp nơi

C(X)

Tập các hàm liên tục từ X vào R

C 1 (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục từ X vào R

Lip(Rn )

Tập các hàm Lipschitz trên Rn

SC(Ω)

Tập các hàm nửa lõm trên Ω

SCL(Ω)

Tập các hàm nửa lõm với môđun tuyến tính trên Ω

C 1,1 (Ω)

Tập các hàm thuộc C 1,1 (Ω) và có đạo hàm cấp 1 Lipschitz

L1 (Ω)

Tập các hàm khả tích trên Ω

3

LỜI NÓI ĐẦU

Lịch sử phát triển điều khiển tự động được ghi nhận từ trước công nguyên,
bắt đầu từ đồng hồ nước có phao điều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp. Hệ điều chỉnh
nhiệt độ đầu tiên do Cornelis Drebble (1572-1633) người Hà Lan sáng chế. Hệ
điều chỉnh mức đầu tiên là của P olzunou người Nga (1756). Hệ điều chỉnh tốc
độ ứng dụng trong công nghệ đầu tiên là của Jame W att (1769). Thế chiến lần
thứ hai đòi hỏi sự phát triển về lý thuyết và ứng dụng để có những máy bay lái
tự động, những hệ điều khiển vị trí của pháo, điều khiển các loại vũ khí khác,
điều khiển tự động rada . . .
Những năm 1950, các phương pháp toán học và phân tích đã phát triển và
ứng dụng nhanh chóng. Các nguyên lý cực đại P ontryagin (1956), phương pháp
quy hoạch động Bellman (1957) của lý thuyết điều khiển tối ưu hiện đại là
những phương pháp rất hiệu quả để giải quyết nhiều bài toán. Vào năm 1766,

Demo Version - Select.Pdf SDK

Euler và Lagrangre đưa ra phương pháp biến phân cổ điển. Từ những năm
1980, máy tính số bắt đầu sử dụng rộng rãi, cho phép điều khiển các đối tượng
khác nhau. Các nguyên tắc điều khiển thích nghi, điều khiển bền vững, điều
khiển mở, các “hệ thông minh” . . . ra đời và được áp dụng hiệu quả vào thực
tiễn.
Lý thuyết điều khiển tối ưu là một phần mở rộng của phép tính biến phân, là
một phương pháp tối ưu hóa cho các lý thuyết điều khiển phát sinh. Điều khiển
tối ưu có thể được xem như là một chiến lược điều khiển trong lý thuyết điều
khiển tự động. Lý thuyết điều khiển tối ưu có quan hệ mật thiết với phương
trình Hamilton - Jacobi; hàm giá là nghiệm viscosity của bài toán Cauchy của
phương trình Hamilton - Jacobi.
Các nghiên cứu ngày càng trở nên quan trọng và bức thiết hơn do nhu cầu
ứng dụng của lý thuyết điều khiển tối ưu vào các lĩnh vực khác như điều khiển

4


học, khoa học-kỹ thuật, quản lý kinh tế-tài chính . . . nên việc nghiên cứu các
mô hình điều khiển tối ưu mới cùng với phương pháp giải trong từng lĩnh vực
đã và đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.
Dựa vào phương pháp tiếp cận trên, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Nguyễn Hoàng, tôi chọn đề tài “Nghiệm viscosity đối với bài toán điều
khiển tối ưu”.
Trong luận văn này tôi sẽ mô tả cách tiếp cận bài toán điều khiển, tập trung
chú ý tính nửa lõm và kì dị của nghiệm. Điều khiển tối ưu có ứng dụng rộng
rãi, đa dạng, tôi không đưa ra cách giải quyết trọn vẹn bài toán mà chọn một
vài bài toán mẫu và phát biểu định lý trong trường hợp đó. Tôi sẽ trình bày về
bài toán điều khiển tối ưu với thời gian hạn chế và không hạn chế về mặt không
gian, đó là các bài toán Mayer và Bolza.
Cuốn luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày ngắn gọn các kiến thức cơ bản về hàm liên tục Lipschitz,

Demo Version - Select.Pdf SDK

hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; trên vi phân và dưới vi phân của hàm nửa
lõm và các kết quả về nghiệm cổ điển của phương trình vi phân thường, nghiệm
viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi nhằm phục vụ cho những chứng
minh ở chương sau.
Chương 2. Những bài toán điều khiển tối ưu
Chương này dành để trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất của điều
khiển tối ưu, tính chất của hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin của bài
toán điều khiển tối ưu với thời gian giới hạn và không gian không hạn chế đó là
các bài toán Mayer và Bolza.

Chương 3. Một số ví dụ áp dụng
Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để tồn tại
điều khiển tối ưu cho bài toán Bolza dạng đơn giản và khảo sát ví dụ minh họa.

5