THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

PHẦN 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
Thể tích khối chóp: V  S đáy .h
3
 S đáy : Diện tích mặt đáy.


h : Độ dài chiều cao khối chóp.
1
VS . ABCD  d  S ,  ABCD   .S ABCD
3

Thể tích khối lăng trụ: V  Sđáy .h


S đáy : Diện tích mặt đáy.

 h : Độ dài chiều cao khối lăng trụ.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c

Thể tích khối lập phương: V  a 3

* Chú ý:
 Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 .
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3 .
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b , c là
a 3
 Đường cao của tam giác đều cạnh a là
.

2

1

a2  b2  c2 .


CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
1.

Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH .






AB 2  AC 2  BC 2 .
AB 2  BH .BC .
AC  CH .BC .
2



AH 2  BH .HC .



AH .BC  AB. AC .

1
1
1


.
2
2
AH
AB
AC 2



AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B .

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c ; độ dài các trung tuyến là ma , mb , mc ; bán kính đường tròn
ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r ; nửa chu vi p .
 Định lý hàm số cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A ; b 2  a 2  c 2  2ac cos B ; c 2  a 2  b 2  2ab cos C .
a
b
c


 2R .
 Định lý hàm sin:
sin A sin B sin C
b2  c2 a2
a2  c2 b2

a 2  b2 c 2
 ; mb2 
 ; mc2 
 .
2
4
2
4
2
4
2.
Các công thức tính diện tích
a) Tam giác

 Độ dài trung tuyến: ma2 


S


1
1
1
a.ha  b.hb  c.hc .
2
2
2
abc
S
.

4R

ABC vuông tại A : S 



1
1
1
ab sin C  ac sin B  bc sin A .
2
2
2
S  pr .



Công thức Hê-rông: S 



S

1
1
AB. AB  AH .BC .
2
2

a 3

a3 3
ABC đều cạnh a : AH 
; S
.
2
4
b) Hình vuông: S  a 2 ( a : cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S  a.b
( a , b : hai kích thước)

d) Hình bình hành: Sđáy.cao

AB
 AD
.

e) Hình thoi: S  AB. AD.sin BAD 
f) Hình thang: S 

1
 a  b h
2

.sin
BAD

.

1
AC.BD .

2

( a , b : hai đáy; h : chiều cao)
2

p  p  a  p  b  p  c .


g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S 

1
AC .BD .
2

PHƯƠNG PHÁP CHUNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Phương pháp trực tiếp: Sử dụng trực tiếp công thức
PHƯƠNG PHÁP
TÍNH THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN

Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Phương pháp gián tiếp

Tính thể tích bằng cách bổ sung
Tính thể tích bằng tỉ số thể tích

DẠNG 1. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
1.

Phương pháp
Bước 1: Tính các yếu tố cần thiết: Chiều cao, diện tích đáy,…
 Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích
+ Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp),
nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở
lớp 11 (chiều cao cho gián tiếp). Hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện
để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng…
+ Việc tính độ dài đường cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức
lượng trọng tam giác,…
+ Đôi khi ta phải sử dụng cách gián tiếp: chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
* Nếu AB //  P  thì d  A,  P    d  B,  P  
* Nếu AB � P    I  thì

d  A,  P  
d  B,  P  



IA
IB

 Tính diện tích đáy bằng các công thức quen biết: Nhìn chung dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi
hỏi tính toán cẩn thận và chính xác (có thể dùng phương pháp phần bù để tính).
Bước 2: Sử dụng công thức tính thể tích

CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông
góc với đáy
Ví dụ 1: Hình chóp S . ABCD có cạnh bên SA   ABCD  � h  SA .

3


Hình lăng trụ đứng: Chiều cao của hình lăng trụ là độ dài cạnh bên
B C � h  AA�
 BB �
 CC �
Ví dụ 2: Hình lăng trụ đứng ABC. A���

Cho biết vị trí chân đường cao
Ví dụ 3: Hình chóp S . ABC , hình chiếu S trên  ABC  là trung điểm H của cạnh AC � h  SH .

B C D có đáy là hình chữ nhật và hình chiếu A�trên  ABCD 
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD. A����
O.
trùng với giao điểm O của AC và BD � h  A�

Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy Chiều cao hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên
cùng vuông góc với đáy
4


Ví dụ 5: Hình chóp S . ABCD có hai mặt bên  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy  ABCD 
� h  SA

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác
chứa trong mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 6: Hình chóp S . ABCD có mặt bên  SAB  vuông góc với mặt đáy  ABCD  thì chiều cao của
hình chóp là chiều cao của SAB (hay h  SH với H là hình chiếu của S trên AB ).

Hình chóp đều Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy
Ví dụ 7: Hình chóp đều S . ABC (hoặc hình chóp đều S . ABCD ) có O là tâm của ABC (hình vuông
ABCD ) � h  SO
Tâm của đa giác đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

2.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:
Cho hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , �
ACB  60�, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với đáy một góc bằng 45�
. Thể tích khối chóp
S . ABC là:
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
18

9
12
5


Ví dụ 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , đáy ABCD có diện tích là 16cm2 , diện tích một mặt
bên là 8 3cm2 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
A.

32 2 3
cm .
3

B.

32 13 3
cm .
3

C.

32 11 3
cm .
3

D. 4cm3 .

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC  a 2 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên  SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc 45�
. Thể tích
6V
khối chóp S . ABC bằng V . Giá trị 3 là
a
B. 3 .

A. 1.

C.

2
.
2

D.

3 2
.
2

Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB  và
�  45�, �
 SBC  vuông góc với nhau, SB  a 3 , BSC
ASB  30�. Thể tích khối chóp S . ABC là V .

Ví dụ 4:

Tỉ số

A.

a3
là:
V

8
.
3

B.

8 3
.
3

C.

2 3
.
3

Tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

D.

4
.
3

 ABC  , hai

mặt phẳng  SAB  và

SB3 sin 2 tan 
�  , �
vuông góc với nhau, BSC
.
ASB   . Thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC 
12
Chứng minh:
+ Xét SAB vuông tại A có: AB  SB sin  , SA  SB cos  .
1
1 2
+ Xét SBC vuông tại B có: BC  SB tan  � SABC  AB. AC  SB sin  tan  .
2
2

 SAC 

1
1 1
SB 3 sin 2 tan 
Vậy VS . ABC  S ABC .SA  . SB 2 sin  .tan  .SB.cos  
.
3
3 2
12
Ví dụ 5:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên ( SAB) là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi N , M , P lần lượt là trung điểm các cạnh
SD ,CD , BC . Thể tích khối chóp S.ABPN là x , thể tích khối tứ diện CMNP là y . Giá trị x, y
thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây.
A. x 2  2 xy  y 2  160 .
B. x 2  2 xy  2 y 2  109.
C. x 2  xy  y 2  145.

D. x2 - xy + y4 > 125.

� = 1500 , đường thẳng
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AC = 3a, BC = a, ACB
1
B ' C tạo với mặt phẳng ( ABB' A ') một góc  thỏa mãn sin a = . Thể tích khối trụ
4
ABC.A ' B'C ' là:

Ví dụ 6:

A.

a 3 105
.
28

B.

a3 105
.
14

C.

6

a3 339
.
14

D.

a 3 339
.
28


� = 1200 , cạnh AA ' = a,
Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' tam giác ABC cân tại A và BAC
hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm của AC , góc tạo bởi BB' với
( ABC) bằng 600 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B'C ' là:

Ví dụ 7:

a3
A. .
8

3a3
B.
.
8

C.

a3 3
.
4

D.

a3 3
.
8

� = 600 , hình chiếu vuông góc của
Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB = a, BC = 2a, ABC
B' lên mặt phẳng ( ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC , góc tạo
bởi AB ' với  ABC  bằng 450 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B'C ' là:

Ví dụ 8:

a3
a3
3a3
3a3
B. .
C.
D.
.
.
.

2
4
4
2
Ví dụ 9:
Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo 1
1
của lăng trụ hợp với đáy ABCD góc  thỏa mãn tan a = . Thể tích khối lăng trụ là:
2

A.

A.

a3 2
.
2

B.

a3 6
.
3

C.

a3 6
.
9

D.

a3 2
.
6

4a 3
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A ' B'C ' D ' , khoảng cách từ C ' đến ( A ' BD) bằng
. Thể
2
tích khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' là:
A. a 3 .
B. 6a 3 .
C. 8a 3 .
D. 27a 3 .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

1
Khối đa diện nào sau đây có công thức tính thể tích là V  B.h ( B là diện tích đáy; h là độ dài
3
chiều cao).
A. Khối lăng trụ.
B. Khối chóp.
C. Khối lập phương. D. Khối hộp chữ nhật.

Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương
ứng sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A. 2 lần.
B. 4 lần.
C. 6 lần.
D. 8 lần.
Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 25 cm và các cạnh đáy có độ dài lần lượt là
20cm; 21cm; 19cm . Thể tích của khối chóp là:

A. 150cm3 .

B. 5250cm3 .

C. 420cm3 .

D. 2537,5cm3

Câu 4:

B C D có AC �
Cho hình lập phương ABCD. A����
 5 3cm . Thể tích của khối lập phương đó là:

Câu 5:

A. 50cm 3 .
B. 75cm3 .
C.100cm3 .
D. 125cm3
Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác

đều cạnh a và  SBC  vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp đó là:
a3 3
a3 3
.
C.
.
8
12
Khối lăng trụ tam giác đều cạnh a ,chiều cao a 3 có thể tích là:

A.
Câu 6:

3a 3
.
4
Cho hình vẽ:

A.
Câu 7:

a3 3
.
4

B.

B.

a3

.
4

C.
7

3a 3
.
8

D.

a3 3
.
24

D.

a3
.
8


Khối chóp trên có thể tích là:
1
A. abc .
B. abc .
2
Câu 8:

1
1
C. abc .
D. abc .
3
6
� = 1200 ; ASC
� = 900 . Thể tích khối
Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a , �
ASB = 900 ; BSC
chóp là:

a3
a3
a3 3
a3 3
.
B. .
C.
.
D.
.
2
6
4
12
Câu 9: Cho ABCD là hình vuông cạnh a , gọi M là trung điểm của AB . Qua điểm M dựng đường
a 5
thẳng vuông góc  ABCD  và trên đó lấy điểm S sao cho SM 
. Thể tích khối chóp

3
1
1
2
S . ADCM , khối chóp S .BCM và khối chóp S .BCD lần lượt là x, y, z . Giá trị 2  2  2  150
x
y
z
là:
A. 17, 2 .
B. 247, 6 .
C. 8, 4 .
D. 5, 2 .
Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh AB  a 3 , �
ACB  600 . Hình
chiếu vuông góc của S lên  ABC  là trọng tâm tam giác ABC , gọi E là trung điểm của AC , góc

A.

giữa SE và mặt đáy là 300 . Thể tích khối chóp S . ABC là:
a3
a3
a3
.
B. .
C. .
6
18
9
Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD như hình vẽ, đáy ABCD là hình vuông.

A.

A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
6

C.

8

a3 2
.
6

D.

a3
.
12

D.

a3 2
.
3


� = 600 . Hình chiếu vuông góc
Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAC
của S trên mặt đáy trùng với trong tâm tam giác ABC . Mặt phẳng  SAC  hợp với đáy một góc
6V
450 . Gọi V là thể tích khối chóp S . ABCD . Giá trị 3 là:
a
1
1
3
2
A.
.
B. .
C. .
D.
.
6
2
2
2
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  2a, AD  a . Hình chiếu vuông góc
của S trên  ABCD  là trung điểm H của đoạn AB , SC tạo với đáy một góc 300 . Thể tích khối
V
gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

a3
A. 0,5 .
B. 1 .
C. 1,5 .
D. 2 .
Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm ABC , góc giữa
SG và  SBC  bằng 300 . Thể tích khối chóp S . ABC là:

chóp S . ABCD là V thì tỉ số

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
8
12
24
Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt
a3
bên SCD là tam giác vuông cân tại S . Thể tích khối chóp S . ABCD là V . Tỉ số
gần nhất với
V

giá trị nào sau đây?
A. 5 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh AB  3a, AD  2a; AA'  2a như hình vẽ.

A.

Thể tích khối chóp A '. ACD ' là:
A. a3 .
B. 2a 3 .

C. 3a3 .

D. 6a 3 .

Câu 17: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC = 12cm, �
ACB = 600 .
Đường chéo BC ' của mặt bên  BB ' C ' C  tạo với mặt phẳng  AA ' C ' C  một góc 300 .Thể tích
B C gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:
khối lăng trụ ABC. A���
3
A. 2117cm .
B. 1411cm3 .
C. 4233cm3 .
D. 8466cm3 .
Câu 18: Cho lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A' cách đều các điểm
A, B, C , cạnh bên AA' tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B 'C ' là:
a3 3

a3 3
a3 3
.
C.
.
D.
.
2
6
4
Câu 19: Cho lăng trụ đều ABC. A' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng 5cm . Thể tích khối lăng trụ đều
ABC. A' B 'C ' là:

A. a 3 3 .

B.

9


A.

125 3
(cm3 ) .
4

B.

125 2
(cm3 ) .

12

C.

125 3
(cm3 ) .
12

D.

125 2
(cm3 ) .
4

Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có AD  a, AB  2a, AC '  a 7 . Thể tích khối hộp chữ
nhật ABCD. A' B 'C ' D ' là:
A.

a3 2
.
3

B. 2 2a 3 .

C.

2 2a 3
.
3

D.

2a 3
.
6

Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AA'  2a , mặt phẳng  A ' BC  hợp với đáy một góc
C hợp với đáy một góc 300 . Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' là:
600 , A�
A.

8 2a 3
.
3

B.

16 2a 3
.
3

C.

16 2a 3
.
9

D.

8 2a 3

.
9

Câu 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có AB  a 3, AD  AA'  a, O  AC �BD . Thể tích khối
chóp O. A' B 'C ' D ' là x , thể tích khối chóp O.B B 'C ' là y . Giá trị x  y là:
5 3a 3
5 3a 3
5 3a 3
3a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
8
4
12
Câu 23: Hình vẽ bên là bản vẽ thiết kế làm cái dốc để dắt xe từ sân vào trong nhà theo tỉ lệ 1: 25

A.

Thể tích của vật liệu cần dùng là:
A. 75000cm3 .
B. 120cm3 .
C. 360cm3 .
D. 225000cm3 .
Câu 24: Một vật có hai mặt là hai tam giác vuông cân bằng nhau, năm mặt hình chữ nhật như hình vẽ.

Thể tích của cật thể đó là:
A.1440cm3 .
B. 1504cm3 .
C.1632cm3 .
D. 1824cm3 .
Câu 25: Một khối có bốn mặt tam giác cân bằng nhau, năm mặt hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ.

10


Thể tích khối vật thể nói trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A.1410cm3 .
B. 1420cm3 .
C. 780cm3 .
D. 2350cm3 .
Câu 26: Một tờ giấy được cắt sẵn để gấp thành một hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Thể tích của khối hộp chữ nhật là:
A. 40cm3 .
B. 120cm3 .
C. 80cm3 .
D. 140cm3 .
Câu 27: Một phòng họp có chiều dài 12m , chiều rộng 8m và chiều cao 4m . Người thiết kế phòng họp tư
vấn cần phải mở rộng thêm chiều dài phòng họp tối thiểu là x mét nữa để phòng họp có thể chứa
100 người, biết mỗi người cần có 4, 48m3 không khí để đảm bảo sức khỏe. Giá trị của x là:
A.1m .
B. 2m .
C. 3m .
D. 4m .

Câu 28: Một bể nước có dạng hình hộp chữ nhật, chiều dài là 2,5m , chiều rộng là 1, 6m và chiều cao là
1, 4m , biết rằng bề dày thành bể và đáy bể là 10cm . Thể tích nước có trong bể khi bể chứa đầy
nước là:
A. 35, 64m3 .
B. 31,556m3 .
C. 31,878m3 .
D. 40m3 .
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

D

A

D

D

A

D

D

C

B

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp án

A

C

B

D

B

B

C

D

A

B

Câu

21

22

23

24

25

26

27

28

Đáp
án

B

A

D

C

B

B

B

C

11


DẠNG 2. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI HOẶC SO
SÁNH KHỐI (TỈ SỐ)
1. Phương pháp
Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
 Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng.
 Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.
Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào khối đa
diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.
Tính thể tích bằng tỉ số thể tích
So sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích. Trong
phương pháp này, ta thường sử dụng kết quả của bài toán:
Bài toán: Cho hình chóp S . ABC . Lấy A ', B ', C ' tương ứng trên cạnh SA, SB, SC .
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '


.
.
Khi đó:
.
VS . ABC
SA SB SC
Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A ', B ', C ' có thể có điểm A �A ', B �B ', C �C ' .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho hình vẽ với E , F là trung điểm các cạnh bên SB và SC .

Khối S . AEF có thể tích là:
1
1
1
11
abc .
abc .
abc .
A.
B.
C. abc .
D.
24
12
8
12
Ví dụ 2:

Cho hình chóp S . ABC , trên AB, BC , SC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho
AM  2MB , BN  4 NC , SP  PC . Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S .BMN và A.CPN là
4
8
5
A. .
B. .
C. .
D. 1 .
3
3
6
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S . ABC có
�
� = 600 , ASC
� = 900 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng V . Tỉ
SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC
6V
số 3 là
a
4 6
3
A.
.
B. 2 .
C. 3 .
D.
.
3

3
� =b , �
Tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA  a , SB  b , SC  c và �
ASC = g . Thể
ASB = a , BSC
abc
1  cos 2   cos 2   cos 2   2cos  cos  cos  .
tích khối chóp S . ABC là VS . ABC 
6
12


Ví dụ 4:

Cho hình chóp S . ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB  a, BC  a 3 , SA vuông

góc với mặt phẳng  ABC  và SA  2a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
các cạnh SB và SC .Thể tích của khối chóp A.BCKH là V . Tỉ số

a3
gần giá trị nào nhất trong
V

các giá trị sau:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Ví dụ 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , góc giữa mặt bên

1
và mặt phẳng đáy là  thỏa mãn cos   . Mặt phẳng  P  qua AC và vuông góc với mặt phẳng
3
 SAD  chia khối chóp S . ABCD thành hai khối đa diện. Tính tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần
nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:
A. 0,11 .
B. 0,13 .
C. 0, 7 .
D. 0,9 .
Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , góc giữa mặt bên và
mặt phẳng đáy là  . Mặt phẳng  P  qua AC và vuông góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp S . ABCD
V1
 cos 2  .
thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là
V2
Ta có:
1
a
1
a
2
SD = SN 2 + ND 2 = ON 2 .
+
ND
=
+
1
=
cos2 a +1 .
2

2 �
2
cos
a
2cos
a
cos SNO
1
1
Ta có: S SCD  CM .SD  SN .CD
2
2
a
1
. 2 .a
SN .CD
a
2 cos 
� CM 


.
a
SD
1  cos 2 
cos 2   1
2.cos 

� DM  CD 2  CM 2  a 2 

a2
a.cos 

.
2
1  cos 
1  cos 2 

VMACD
V
1 DM DA DC 1 DM 1
 M . ACD  .
.
.
 .
 .
VS . ABCD 2VS . ACD 2 DS DA DC 2 DS 2

� VMACD 
Do vậy:

cos 2 
VS . ABCD � VSABCM
1  cos 2 

a cos 

1  cos 2 



cos 2 
.
1  cos 2 

a
1  cos 2 
2 cos 
2
� cos  �
1
�
1
VS . ABCD 
VS . ABCD .
�
2
1  cos 2 
� 1  cos  �

VMACD
 cos 2  .
VSABCM

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích là V . Thể tích khối chóp ACB ' D ' là
A.

Câu 2:

V
.
4

B.

V
.
3

C.

3V
.
4

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có thể tích là V .

13

D.

2V
.
3


Trong các hình dưới đây, hình có thể tích

A. A. A ' B ' C ' .
Câu 3:

2V
là
3

B. C '. ABC .

C. I . ABB ' A ' .

Cho hình vẽ với E , F là trung điểm các cạnh bên SB và SC .

Khối ABCFE có thể tích là
1
1
abc .
abc .
A.
B.
24
12
Câu 4:

D. A '.BCC ' B ' .

Cho hình chóp S . ABC

C.

1
abc .
8

có SA  2cm , SB  3cm , SC  4cm ,

D.

1
abc .
3

�
ASB = 600 ,

� = 900 ,
BSC

�
ASC = 1200 . Thể tích của khối chóp S . ABC là
A. 2 2 .
Câu 5:

B. 3 2 .

C. 2 3 .

D. 3 3 .

Cho hình chóp S . ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm , cạnh SA  30cm và

vuông góc với đáy. Gọi B ', D ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Mặt phẳng

 AB ' D '

cắt SC tại C ' . Thể tích khối chóp S . AB ' C ' D ' gần nhất giá trị nào dưới đây

A. 2120 cm3 .

B. 2770 cm3 .

C. 1440 cm3 .

14

D. 1470 cm3 .


Câu 6:

Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng  P  chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC
cắt SC , SD lần lượt tại M , N .Tỉ lệ T 
A.

Câu 7:

1
.
2

B.

VS . ABMN
có giá trị là
VS . ABCD

3
.
8

C.

1
.
4

D.

3
.
4

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng 15cm . Gọi M là điểm thuộc AA ' sao cho

AM  10cm . Mặt phẳng  P  chứa CM và song song với BD chia khối lập phương thành hai
phần. Thể tích của phần lớn hơn là
A. 1687,5cm3 .
Câu 8:

C. 2250 cm3 .

D. 1125cm3 .

Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh AA '  2a và tạo
với đáy một góc 450 . Thể tích khối tứ diện ACA ' B ' là
A.

Câu 9:

B. 2531, 25cm3 .

a3 6
.
12

B.

a3 6
.
8

C.

a3 6
.
4

D.

a3 6
6

Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  4cm , BC  8cm , AA '  6cm . Lấy E , F lần
lượt là trung điểm của BC và CD . Mặt phẳng

 A ' EF 

chia khối hộp thành hai phần. Gọi

x  cm3  là thể tích phần nhỏ, y  cm3  là thể tích phần lớn. Giá trị 5 x  7 y là

A. 160 .

B. 512 .

C. 544 .

D. 128 .

Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , góc
giữa SG và mặt phẳng  SBC  là 300 . Mặt phẳng  P  chứa BC và vuông góc với SA chia khối
chóp S . ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là
A.

1
.
6

B.

1

.
7

C.

6
.
7

D.

2
.
3

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

D

C

A

D

B

C

A

C

A

DẠNG 3: BÀI TOÁN THỂ TÍCH KẾT HỢP VỚI VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT
1. Phương pháp.
Nội dung bài toán Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó ( tham số có
thể là góc, hoặc độ dài cạnh ). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc  hoặc cạnh thích hợp trong khối đa
diện.
+ Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của khối đa
diện theo các phương pháp đã biết.

15


+ Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “ kết thúc ”. Ta có một hàm số f  x  , x �D
mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức cổ điển ( AM-GM hay CaushySchwarz ) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ấy.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng 16. Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh
đạt giá trị nhỏ nhất là:
A. 8 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 16 .
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c với a, b, c  0. Ta có
V  a.b.c  16
Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh a  b  c
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM : a  b  c �3 a.b.c  12

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c , hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.
� Chọn đáp án C.
Ví dụ 2:
Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là S . Thể tích lớn nhất của khối hợp chữ nhật
là:
S S
S S
S 6S
S 3S
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
36
36
9
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a, b, c với a, b, c  0 . Ta có
S  2ab  2ac  2bc.
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM : S  2ab  2ac  2bc �3 3 2ab.2ac.2bc  6 3 a 2b 2c 2 .
S3
S3
S 6S
6 a b c S � a b c
abc

216
216
36
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c , hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.
� Chọn đáp án C.
Ví dụ 3:
Trên ba tia Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi, lấy lần lượt các điểm A, B, C sao cho
OA  a, OB  b, OC  c. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa
OA  OB  OC. Thể tích khối tứ diện OABC lớn nhất là:
a3
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
8
24
32
Hướng dẫn giải
3

2 2 2

2 2 2

2

VOABC

1
1
1 �b  c � a 3
 abc  a.  bc  � a. �
� .
6
6
6 � 2 � 24

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: b  c 
Ví dụ 4:

a
� Chọn đáp án C.
2





Cho hình chóp S . ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA  x, x � 0; 3 , các cạnh

còn lại đều bằng 1. Thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị lớn nhất là:
1

1
1
A. .
B. .
C.
.
4
8
12
Hướng dẫn giải
16

D.

1
.
16


3
.
4
Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA và BC.
Ta có SAB và SAC là hai tam giác cân tại B và C nên SA  BM , SA  CM .
Ta có tam giác ABC đều � SABC 

� SA   BCM  � SA  BC.
Mặt khác:
x2
4

� BMC cân tại M � MN  BC
BM  CM  AB 2  AM 2  1 

� BC   SAN  . Kẻ SH  AN . Do BC   SAN  � BC  SH � SH   ABC  .
Ta có: MN  SN 2  SM 2 

3 x2 1


3  x2 .
4 4 2

1
1
SA.NM
x 3  x2
S SAN  .SA.NM  SH . AN � SH 
� SH 
2
2
AN
3
1
x 3  x2
1 �x 2  3  x 2
VS . ABC  SABC .SH 
� .�
3
12
12 � 2

�1
�
�8

1
3
6
đạt được khi và chỉ khi: x 2  3  x 2 � x 2  � x 
.
8
2
2
� Chọn đáp án B.
Ví dụ 5:
Tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA  x, x � 0; a 3 , các

Vậy MaxVS . ABC 





a3
cạnh còn lại đều bằng a ( a là hằng số ). Thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị lớn nhất là VS . ABC  .
8
Cho tứ diện ABCD, có AB  CD  6, khoảng cách giữa AB và CD là 8, góc giữa AB và CD là  . Thể
tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất là:
A. 48 .
B. 52 .

C. 64 .
D. 36 .
Hướng dẫn giải

17


Dựng hình bình hành BCDE.
Ta có: �
AB, CD   �
AB, BE   
1
� S ABE  . AB.BE.sin   18.sin 
2
CD //  ABE  � d  D , ABE    d  AB ,CD   8
1
VABCD  VABED  .S ABE .d D , ABE    48.sin 
3

Do sin  �1 đẳng thức �   .
2
Vậy MaxVABCD  48 � Chọn đáp án A.

Ví dụ 6:
Cho tứ diện S . ABC , có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh
BC  a, SB  b, SC  c. Thể tích khối tứ diện S . ABC đạt giá trị lớn nhất là:
A.

abc 2
.

4

B.

abc 2
abc 2
.
C.
.
8
12
Hướng dẫn giải

2
2
2
Ta có: BC  AB  AC  1

SB 2  SA2  AB 2  2 
SC 2  SA2  AC 2  3
SB 2  SC 2  BC 2 b 2  c 2  a 2

 2    3 � SA 
2
2
2

18

D.

abc 2
.
24


 1   2  � AB 2 

BC 2  SB 2  SC 2 a 2  b 2  c 2

2
2

 1   3 � AC 2 

BC 2  SC 2  SB 2 a 2  c 2  b 2

2
2

VS . ABC

1
1
 .SA. AB. AC  .
6
6

b

2

 c 2  a 2   a 2  b2  c 2   a 2  c 2  b2 
8

Ta có:  b 2  c 2  a 2   a 2  b 2  c 2   b 4   a 2  c 2  �b 4
2

2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
Tương tự:  a  b  c   a  c  b  �a ,  b  c  a   a  c  b  �c

�  b2  c 2  a 2 
 VS . ABC

2

a

2

 b2  c 2 

1 a 2 .b 2 .c 2
.
6
8

2

a

2

 c 2  b 2  �a 4b 4c 4
2

abc 2
.
24

abc 2
� Chọn đáp án D.
24
C D có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính
Ví dụ 7:
Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B���
�   , tam giác A�

AC đều. Hình chiếu vuông góc của A�trên  ABCD 
BD  a 3, �
ABD   , CBD
C D đạt giá trị lớn nhất là:
là trung điểm H cạnh AC . Thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B���
3
3
3
3a
9a
a 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
4
4
12
4
Hướng dẫn giải
AC
Ta có: �  2 R  BD � AC  3a sin     
ABC
Dấu đẳng thức � a  b  c. Vậy MaxVS . ABC 

A ' AC đều A�
H

AC 3 3a sin     

2
2

+ BAD vuông tại A � AB  BD.cos 

1
1
3a 2
3a 2
AB.BD.sin   BD 2 .sin  .cos  
sin  .cos  
sin 2
2
2
2
4
+ BCD vuông tại C � BC  BD.cos 
�S

ABD 

� S BCD 

1
1

3a 2
3a 2
BC.BD.sin   BD 2 .sin  .cos  
.sin  .cos  
.sin 2 
2
2
2
4
19


� SABCD  SABD  S BCD

3a 2 .sin      .cos     
3a 2

 sin 2  sin 2   
4
2

3a 2 .sin      .cos      3a sin      9a3 .sin 2      .cos     
VABCD. A����
.

B C D  S ABCD . A ' H 
2
2
4
Ta có: sin 2    �


 .cos  

 1

VABCD. A����
BCD

9a 3
.
4

 
�

�
Dấu đẳng thức � �
 �  
4
  
�
�
2
9a 3
� Chọn đáp án C.
4
Ví dụ 8:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cho SC  a, mặt phẳng  SBC  tạo với mặt đáy một góc  . Thể tích khối chop
S . ABC đạt giá trị lớn nhất là:

a3
a3 3
a3 3
a3 2
A. .
B.
C.
D.
.
.
.
16
27
48
24
Hướng dẫn giải
� 
+ �
SC , AC   SCA
 SBC  ,  ABC    �
Vậy MaxVABCD. A����
BCD 

�SA  SC .sin   a.sin 
+ SAC vuông tại A có �
�AC  SC.sin   a.cos 

� VS . ABC

1

1 �1
1
a3
2
2�
 S ABC .SA  . � AC �
.SA  . a cos   .a sin   cos 2  .sin 
3
3 �2
6
6
�

VS . ABC đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức P  cos 2  .sin    1  sin 2   .sin  đạt giá trị lớn nhất.
Cách 1:
Vì 0    90�� sin   0 � P 2   1  sin 2   .sin 2  
2

 1  sin   . 1  sin   . 2sin  
2

2

2

Áp dụng AM  GM cho ba số dương: 1  sin  ,1  sin  , và 2sin 2  , ta được:
2

2

�
1  sin 2     1  sin 2     2sin 2   � 8

�
 1  sin    1  sin    2sin   ��
3
27
�
�
�
�
2

2

2

20

2


 1  sin    1  sin    2sin  
� �
2

2

2

2

4
27

2
Pmax

4
27

Đẳng thức xảy ra khi: 1  sin 2   2sin 2  � sin  
Vậy MaxVS . ABC 

Pmax

2 3
9

3
3

a3
a 3 2 3 a3 3
.Pmax  .

� Chọn đáp án B.
6
6 9
27

Cách 2:
Đặt t  sin  . Vì 0    90�nên 0  sin   1 � 0  t  1

2
3
Ta có: P  f  t    1  t  .t  t  t xác định và liên tục trên  0;1 .

� 3
t
 tm 
�
3
2
�
f�
 t   3t  1 � f '  t   0 �
�
3
t
 loai 
�
3
�
Bảng biến thiên:

2 3
3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Maxf  t   9 khi t 
3

 0;1

a3
a3 2 3 a3 3
3
khi và chỉ khi sin  
.Pmax  .

� Chọn đáp án B.
6
6 9
27
3
Ví dụ 9:
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt phẳng bên và
��
0; �. Thể tích khối chóp S . ABCD đạt giá trị lớn nhất là:
mặt phẳng đáy là a với a ��
� 2�
4a 3 7
4a 3 3
2a 3 3
4a 3 15
A.
B.
C.
D.
.
.
.

.
49
27
9
75
Hướng dẫn giải
Vậy MaxVS . ABC 

21


AC �BD   O � SO   ABCD 
Gọi M là trung điểm CD
�  60�
� �
 SCD  ,  ABCD    SMO
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x
+ Tam giác SMC vuông tại M có:
x2
SM  SC  CM  a 
4
+ Tam giác SOM vuông tại O có:
2

2

2

2
2

2
x2 � 2
2
�  1 . a 2  x � x  cos  . a 2  x � x  �
OM  SM .cos SOM
a

.cos 
�
�
2
4
12
4
4 �
4 �
1
4a 2 .
2
2
4
a
cos

4a 2
2a
4a 2
1  tan 2  
� x2 


�
x

�
S

ABCD
1
1  cos 2 
2  tan 2 
2  tan 2 
2  tan 2 
1
1  tan 2 
x
a.tan 
�
Ta có: SO  OM .tan SOM  .tan  
2
2  tan 2 

1
1
4a 2
a.tan 
4a3 .tan 
VS . ABCD  S ABCD .SO  .
.

3

3 2  tan 2 a 2  tan 2 a 3 2  tan 2 a 3


4
��
0; �� tan   0. Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi 3 .
Do a ��
� 2�
Ta xét f  a  

 2  tan a 

tan 2 

 2  tan a 
2

3

Áp dụng AM  GM cho ba số dương
f  a 

a 3 .tan 

tan 2 

 2  tan  
2

3



tan 
1
1
;
;
ta có:
2
2
2  tan  2  tan  2  tan 2 

tan 2 
1
1
.
.
2
2
2  tan  2  tan  2  tan 2 
3

�
� 1
�
1 � tan 2 
1
1
�� �



�
�
2
2
2
3 �2  tan  2  tan  2  tan  �
�
� 27
22

2

3

đạt giá trị lớn nhất.


f  a 

1
tan 2 
1

�

� tan 2   1 �  
2
2

27
2  tan  2  tan 
4

Vậy MaxVS . ABCD 

4a 3
3

 2  1

3



4a 3 3
� Chọn đáp án B.
27

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP PHẦN THỂ TÍCH
DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
Câu 1:

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a,SA vuông góc với mặt phẳng

 ABC  , SA  a

3. Thể tích khối chóp S . ABC là:

Câu 2:

A. a 3 .
Cho tứ

Câu 3:

AB  3a, BC  4a, AC  5a, AD  6a. Thể tích khối tứ diện S . ABCD là:
A. 6a 3 .
B. 12a 3 .
C. 18a 3 .
D. 36a 3 .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt

diện

B. 2a 3 .
ABCD có cạnh

AD

C. 6a 3 .
vuông góc

với

D. 12a 3 .
mặt phẳng

phảng đáy và có độ dài là a. Thể tích khối chóp S . ABD bằng V . Giá trị

 ABC 

và

6V
là:
a3

1
1
2
.
B. .
C. .
D. 1 .
3
2
3
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  2a, SA  3a. Thể tích khối
tứ diện ABCD là:
A. a 3 .
B. 2a 3 .
C. 6a 3 .
D. 12a 3 .
Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD vuông góc với nhau từng đôi một và
AB  2, AC  4, AD  6. Thể tích khối tứ diện ABCD là:
A. 4 .
B. 6 .
C. 8 .

D. 12 .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  AB  a, AD  3a. Gọi M là trung điểm cạnh BC . Thể tích khối chóp S . ABMD là:
3a 3
9a 3
3a 3
9a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
2
2
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC  3a, AC  a 10, cạnh bên SA vuông

A.
Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

. Thể tích khối chóp S . ABC
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy bằng 30�
là:
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D. a 3 3 .
6
3
2
�  30�
�  45�và
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có BAC
, SA  a, SCA
A.
Câu 8:

SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S . ABC bằng V . Tỉ số
các giá trị sau?
A. 0,01 .

B. 0,05 .

C. 0,08 .

23

V
gần giá trị nào nhất trong
a3

D. 1 .


Câu 9:

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân BA  BC  a.SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 30�. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng V . Tỷ số

3a 3
có giá trị là:
V
A. 24 .
B. 18 .
C. 8 .
D. 6 .
Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy,
AB  a, BC  a 3, SA  a 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích khối chóp S .GBC
bằng V . Tỉ số

a3
là:
V

6

6
.
B. 3 6 .
C. 6 .
D.
.
2
3
Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  CD  2a, cạnh bên BC vuông góc với mặt phẳng
A.

 ACD  . Thể tích khối tứ diện là:
a3 3
2a 3 3
.
D.
.
3
3
Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , �
ABC  60�
, SA vuông góc với mặt
A. a 3 3 .

B. 2a 3 3 .

C.

phẳng đáy, SC  2a . Thể tích khối chóp S . ABCD là:
a3

a3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
6
2
6
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thnag vuông tại A và D , cạnh bên SD vuông góc
với đáy, cho AB  AD  a, CD  3a, SA  a 3. Thể tích khối chóp S . ABCD là:

2a 3
4a 3
a3 2
2a 3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

3
3
3
3
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  , góc
a3 6
giữa BD và mặt phẳng  DAC  là 30�. Thể tích khối tứ diện ABCD là V . Tỉ số
là:
V
A. 3 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 12 .
Câu 15: Cho tứ diện S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB  và  SBC 

�  60�
vuông góc với nhau, SB  a 2, BSC
,�
ASB  45�
. Thể tích khối tứ diện S . ABC là:
a3 3
A.
.
2
Câu 16: Cho hình chóp

a3 3
B.
.
6

S . ABCD có đáy

2a 3 6
a3 6
C.
.
D.
.
3
12
ABCD là hình thang vuông tại A

và

D

có

AB  2a, AD  CD  a, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp

a3
gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
V
A. 1,75 .
B. 1,15 .
C. 3,5 .
D. 4, 2 .
�  120�
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD
, cạnh bên SA vuông góc với

S .BCD là V . Tỉ số

mặt đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , cạnh SM tạo với mặt phẳng đáy một góc 30�. Thể
tích khối chóp S . AMCN là:
24


3a 3 3
a3 3
3a 3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
16
16
8
8
�  120�
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , BAC
, BC  2a, SA vuông góc
A.

với đáy, góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 30�. Thể tích khối chóp S . ABC là:

a3
a3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
18
6
18
�  60�
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  a, AD  2a, BAD
.SA vuông
A.

. Thể tích khối chóp S . ABCD là V . Tỷ số
góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 45�

3V
là:
a3

A. 2 3 .
B. 2 7 .
C. 3 7 .

D. 21 .
Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, AC  2a, BD  3a, AC  BD và SA vuông
1
góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc  thỏa mãn tan   . Thể
3
tích khối chóp S . ABCD là:
2a 3
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
4
12

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp
án

A

B

D

B

C

A

A

C

B

B

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp
án

D

A

D

D

D

C

B

B

D

A

DẠNG 2. HÌNH CHÓP ĐỀU
1. Phương pháp
Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+ Đáy là 1 đa giác đều.
+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy là tâm của đáy (chân đường cao trùng với tâm của đáy)
+ Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau. Đường cao vẽ từ đỉnh của 1 mặt bên được gọi là trung

đoạn của hình chóp đều.
+ Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
+ Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , và
SA  SB  SC  SD  a . Thể tích khối chóp S . ABCD là:
A.

Câu 2:

a3 6
.
3

B.

a3 2
.
2

C.

a3 2
.
6

D.

a3 3
.
3

Cho hình chóp đều S . ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a , SA  a 2 Thể tích khối chóp
S . ABC là
25