LUẬN văn sư PHẠM vật lý bức xạ NHIỆT và ĐỊNH đề PLANCK

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

BỨC XẠ NHIỆT VÀ ĐỊNH ĐỀ PLANCK


Giáo viên hướng dẫn:
TS. Nguyễn Thanh Phong

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Thị Kim Ngân
MSSV: 1070242
Lớp: Sư Phạm Vật Lý 01 K33

Cần Thơ- 2011


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

LỜI CẢM TẠ

Sau 4 năm sinh sống và học tập ở trường Đại Học Cần Thơ, được sự dạy bảo
tận tình của thầy cô trong Bộ Môn Sư Phạm Vật Lý và trong trường, kiến thức và kĩ
năng sống của tôi được mở mang rất nhiều.

Khi nhận đề tài luận văn: “ Bức xạ nhiệt và định đề Planck”, tôi cứ lo sợ
không biết mình có hoàn thành được hay không? Nhưng với sự giúp đỡ tận tình của
thầy Nguyễn Thanh Phong, sự động viên của các thầy cô, gia đình, bạn bè cùng sự
hỗ trợ của bản thân là động lực to lớn giúp tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Thanh Phong đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Sư Phạm Vật Lý 01K33 đã động viên tinh thần cho tôi vững tin để thực hiện tốt luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng do hạn chế về
thời gian và kiến thức nên đề tài của tôi còn tồn tại thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự đóng góp của quý thấy cô và các bạn để tôi hoàn thiện luận văn và mở rộng
hơn kiến thức.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Cần Thơ, ngày …… tháng……năm 2011
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Kim Ngân

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 2

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Cần Thơ, ngày……tháng……năm 2011
Gíao Viên Hướng Dẫn

Nguyễn Thanh Phong

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 3

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 1:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….......
.............................................................................................…………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Cần Thơ, ngày……tháng……năm 2011
Gíao Viên Phản Biện 1

Trần Minh Quý

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 4

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….......…
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Cần Thơ, ngày……tháng……năm 2011
Gíao Viên Phản Biện 2

Nguyễn Thị Thúy Hằng

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 5

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

MỤC LỤC

TÓM TẮT ĐỀ TÀI................................................................................... Trang 07
PHẦNMỞĐẦU .................................................................................................. 08
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 08
2. Mục đích của đề tài .................................................................................. 08
3. Giới hạn của đề tài ................................................................................... 08
4. Phương pháp và phương tiện thực hiện đề tài.......................................... 08
5. Các bước thực hiện đề tài......................................................................... 08
6. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài....................................................... 08
PHẦN NỘI DUNG............................................................................................. 09
I.
Giới thiệu ........................................................................................... 09
II.
Bức xạ nhiệt ....................................................................................... 09
1. Bức xạ nhiệt và tính chất ............................................................... 09
2. Vật đen.......................................................................................... 10
3. Phổ bức xạ .................................................................................... 11
4. Các định luật về bức xạ cân bằng .................................................. 11
III.
Thuyết cổ điển về bức xạ hốc ............................................................. 14
1. Sóng điện từ trong một hốc ........................................................... 14
2. Mật độ năng lượng ........................................................................ 17
IV. Thuyết Planck về bức xạ hốc… .......................................................... 21
1. Phân bố Boltzmann ....................................................................... 21
2. Công thức Planck .......................................................................... 23
V.
Việc sử dụng Định luật bức xạ Planck trong Nhiệt biểu học ............... 28
1. Sự bức xạ của vật không đen ......................................................... 28
2. Hỏa kế quang học.......................................................................... 29

3. Bức xạ cân bằng 3K và BigBang................................................... 31
VI. Định đề Planck và hệ quả của nó ........................................................ 32
1. Định đề Planck.............................................................................. 32
2. Con lắc vĩ mô ................................................................................ 33
3. Hiện tượng quang điện và hiệu ứng Compton................................ 34
VII. Đôi nét về lịch sử lượng tử.................................................................. 35
PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................. 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 38

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 6

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

TÓM TẮT ĐỀ TÀI LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài: “ Bức xạ nhiệt và định đề Planck”
GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân
MSSV: 1070242

Luận văn được chia làm 4 phần:
Phần mở đầu: gồm 01 trang giới thiệu về đề tài: lý do chọn đề tài, mục đích
của đề tài, giới hạn đề tài, phương pháp và phương tiện thực hiện, các bước thực

hiện, các thuật ngữ quan trọng của đề tài.
Phần nội dung: gồm 28 trang được trình bày từ trang 09 đến trang 36. Phần
nội dung gồm 7 chương:
Từ I đến III: giới thiệu sơ lược và trình bày những lý thuyết cơ bản về bức xạ
nhiệt.
Từ IV đến VI: trình bày lý thuyết và ứng dụng của định luật Planck.
VII: trình bày sơ lược về lịch sử lượng tử.
Phần kết luận: được trình bày trong trang 37. Đây là phần tổng kết quá trình
thực hiện đề tài và các kết quả thu được.
Tài liệu tham khảo.

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 7

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Vật lý học là một ngành khoa học nghiên cứu về các quy luật chuyển động
của tự nhiên từ mức độ vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) đến mức độ vĩ mô (thiên
hà, vũ trụ,...). Cùng với sự phát triển của xã hội và công nghiệp hóa đang bùng nổ,
nhiều thành tựu to lớn của Vật lý học đã có ứng dụng và tác động sâu sắc đến mọi
hoạt động của con người và xã hội, giúp cho chất lượng cuộc sống của nhân loại
được nâng cao hơn với các phát minh vĩ đại trong nhiều lĩnh vực.

Vật lý hiện đại đang trên đà phát triển với khái niệm “Vật lý lượng tử”. Đây
là một thành tựu lớn của nhiều nhà vật lý đầu thế kỉ XX đã làm thay đổi sự hiểu biết
của con người. Bước đầu của sự thay đổi này là sự nghiên cứu bức xạ nhiệt trong
một hốc của Planck, và định luật Planck đã nêu lên tính gián đoạn của năng lượng
bức xạ, là một phát hiện mới đối với Vật lý cổ điển. Hai khái niệm này có liên quan
và ứng dụng mật thiết với các lĩnh vực như quang học, điện từ học, nhiệt động lực
học,... Việc nghiên cứu hai khái niệm này đã mang lại nhiều bước tiến mới trong
lịch sử hiện đại.
2. Mục đích của đề tài:
Đề tài này được xây dựng để trả lời các câu hỏi: Bức xạ nhiệt của vật đen
được mô tả như thế nào? Định luật Planck được xây dựng trên những cơ sở lý
thuyết nào? Định luật này có những ứng dụng quan trọng nào?
3. Giới hạn của đề tài:
Các nghiên cứu về bức xạ nhiệt và định luật Planck được kiểm tra trong
nhiều kết quả thực nghiệm. Việc đi sâu nghiên cứu đề tài cần rất nhiều thời gian và
công sức. Tôi không có cơ hội và điều kiện để kiểm tra lại các kết quả thực nghiệm.
Vì thế, đề tài của tôi chỉ dừng lại ở mức độ tìm hiểu mang tính lý thuyết.
4. Phương pháp và phương tiện thực hiện đề tài:
Phương pháp: thu thập, chọn lọc, hệ thống hóa thông tin thu được.
Phương tiện: các nguồn sách báo về kiến thức vật lý, tài liệu trên Internet.
5. Các bước thực hiện đề tài:
- Nhận đề tài và tìm hiểu đề tài.
- Lập đề cương tổng quát.
- Thu thập, tìm kiếm tài liệu.
- Thực hiện đề tài.
- Viết bài.
- Nộp bản thảo cho giáo viên và xin ý kiến.
- Chỉnh sửa và hoàn tất nội dung đề tài.
- Báo cáo.
6. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài:

- Bức xạ nhiệt, vật đen, bức xạ vật đen, phổ bức xạ, định luật Stefan Boltzmann, hằng số Boltzmann, định luật Wien, bức xạ hốc, mật độ năng lượng,
định luật Kirchhoff.
- Sóng (điện từ đứng), sự phân bố đều của năng lượng, phổ Rayleigh – Jeans.
- Hàm phân bố Boltzmann, năng lượng gián đoạn, định luật Planck, hằng số
Planck.
- Hỏa kế quang học, bức xạ cân bằng ở 3K, BigBang.
- Lượng tử hóa năng lượng, trạng thái lượng tử, số lượng tử, con lắc vĩ mô.

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 8

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

PHẦN NỘI DUNG:
BỨC XẠ NHIỆT VÀ ĐỊNH ĐỀ PLANCK
I. Giới thiệu:
Ngày 14-12-1900, tại hội nghị của hội Vật lý Đức, Max Planck đọc bài báo
cáo của mình “Về lý thuyết của định luật phân bố năng lượng của Quang phổ thông
thường”. Lúc đầu, bài báo cáo rất ít được quan tâm, nhưng nó bắt đầu cuộc cách
mạng trong vật lý. Ngày nay, người ta xem đó là ngày ra đời của Vật lý lượng tử,
mặc dù khoảng 25 năm sau đó, cơ học lượng tử hiện đại, nền tảng cho sự hiểu biết
của chúng ta hiện nay về thế giới vi mô, mới được phát triển bởi Schrodinger và
những người khác. Có nhiều con đường để đi đến sự hiểu biết đó, mỗi con đường là
một lĩnh vực để phủ nhận vật lý cổ điển. Ở luận văn này, tôi xem xét một trong

những khía cạnh đó, bức xạ nhiệt và định đề Planck, mà ngày nay ta xem đó là lý
thuyết lượng tử cổ điển.
Thuyết lượng tử cổ điển trải dài tất cả các lĩnh vực của vật lý cổ điển: cơ học,
nhiệt động lực học, cơ học thống kê, điện từ học. Chúng tái diễn sự mâu thuẫn của
vật lý học cổ điển và sự giải quyết của những mâu thuẫn này dựa trên nền tảng của
quan điểm lượng tử, cho chúng ta thấy sự cần thiết của cơ học lượng tử. Và dĩ
nhiên, những hiểu biết của chúng ta về vật lý lượng tử cổ điển sẽ giúp ích ta rất
nhiều trong việc nghiên cứu Cơ học Lượng tử.
Vật lý lượng tử trình bày sự tổng quát vật lý cổ điển, và nó bao gồm cả các
định luật cổ điển trong những trường hợp đặc biệt. Nếu như lý thuyết tương đối mở
rộng phạm vi ứng dụng của các định luật vật lý đối với những chuyển động với vận
tốc cực lớn (so sánh được với vận tốc ánh sáng), còn lý thuyết lượng tử được vận
dụng cho những vật có kích thước nhỏ (thế giới phân tử, nguyên tử,…). Do đó, vận
tốc ánh sáng là hằng số phổ biến, đặc trưng cho lý thuyết tương đối; còn hằng số
Planck, được Planck đưa ra để giải thích những thuộc tính quan sát được của bức xạ
nhiệt mà Planck trình bày trong hội nghị vào năm 1900, là hằng số phổ biến đặc
trưng Vật lý lượng tử.
Tôi sẽ trình bày những vấn đề về bức xạ nhiệt, từ đó dẫn đến sự xuất hiện
của hằng số Planck và sự kỳ thú của nó đó là nó liên hệ với khái niệm lượng tử về
sự gián đoạn của năng lượng. Chúng ta cũng sẽ thấy được tầm quan trọng của bức
xạ nhiệt, chẳng hạn như lịch sử hình thành của vũ trụ cũng một phần dựa trên lý
thuyết về bức xạ nhiệt, và gần đây nhất là công nghệ pin nhiệt điện…
II. Bức xạ nhiệt:
1. Bức xạ nhiệt và tính chất:
Sự phát tia bức xạ từ một vật như là hiệu ứng nhiệt của nhiệt độ của vật được
gọi là bức xạ nhiệt. Tất cả các vật đều phát các tia bức xạ ra xung quanh chúng và
cũng có thể hấp thụ tia bức xạ này. Nếu một vật thể có nhiệt độ cao hơn môi trường
xung quanh nó, nhiệt độ của vật sẽ giảm đi bởi vì năng lượng mà vật phát xạ lớn
hơn năng lượng vật hấp thu. Khi sự cân bằng nhiệt được đạt tới, tỉ số giữa phát xạ
và hấp thụ bằng nhau.

Vật chất trong một trạng thái có mật độ cao (chẳng hạn như chất rắn, lỏng)
phát ra bức xạ có quang phổ liên tục. Quang phổ của những vật nóng sáng hầu như
không phụ thuộc vào thành phần vật chất cấu thành của vật, nhưng chúng phụ thuộc

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 9

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

mạnh vào nhiệt độ. Ở
nhiệt độ bình thường,
hầu hết các vật thể
chúng ta nhìn thấy
không bằng ánh sáng
phát xạ của chúng mà
bằng ánh sáng chúng
phản xạ. Nếu không
có ánh sáng chiếu lên
chúng,
chúng
ta
không thể thấy chúng.
Tuy nhiên, ở nhiệt độ
Hình 1

rất cao, vật thể có thể
tự phát sáng. Chúng
ta có thể thấy chúng phát sáng trong phòng tối, tuy nhiên ở nhiệt độ cao vài ngàn
Kelvin, hơn 90% sự phát bức xạ nhiệt là không nhìn thấy (đối với con người) bởi vì
thành phần không nhìn thấy này thuộc vùng hồng ngoại của phổ điện từ. Do đó, vật
thể tự phát sáng là khá nóng.
Khi một thanh sắt được nung nóng (chẳng hạn như trong lò lửa của một
người thợ rèn) để cho nhiệt độ của nó tăng dần lên. Một cách có chu kỳ, ta đem
thanh sắt ra khỏi lò lửa và quan sát đặc điểm của nó. Khi nhiệt độ của thanh còn khá
thấp, nó bức xạ nhiệt nhưng không gây cảm giác nóng cho chúng ta. Với sự tăng
nhiệt độ, lượng bức xạ mà thanh sắt phát ra tăng rất nhanh và kết quả là hiệu ứng
phát sáng sẽ được ghi nhận. Lúc đầu thanh sắt có màu đỏ tối, sau đó đỏ chói,… và ở
nhiệt độ rất cao nó phát ra ánh sáng trắng xanh. Điều đó có nghĩa là với sự gia tăng
nhiệt độ, vật thể phát ra nhiều bức xạ nhiệt hơn và tần số của hầu hết các bức xạ cao
là cao hơn. Mối quan hệ giữa nhiệt độ của vật thể và tần số của quang phổ bức xạ
được ứng dụng trong một thiết bị gọi là hỏa kế quang học. Thiết bị này cho phép
ước lượng nhiệt độ của vật thể nóng (chẳng hạn như các ngôi sao) bằng cách quan
sát màu sắc, thành phần (tần số) của bức xạ nhiệt mà vật phát ra.
2. Vật đen:
Một cách tổng quát, nội dung chi tiết của phổ bức xạ nhiệt phát ra bởi một
vật nóng phụ thuộc một phần vào thành phần của vật thể. Tuy nhiên thực nghiệm
cho thấy tồn tại một lớp của vật nóng phát ra phổ nhiệt có cùng một tính chất phổ
biến. Các vật này được gọi chung là các vật đen, là vật mà bề mặt có thể hấp thụ tất
cả các bức xạ nhiệt chiếu lên chúng. Tên gọi vật đen là phù hợp bởi vì những vật thể
như vậy không phản xạ ánh sáng và xuất hiện màu đen khi nhiệt độ của chúng đủ
thấp để chúng không tự phát sáng. Các ví dụ về vật đen (tuyệt đối, hay vật đen lý
tưởng) như là than bạch kim, bồ hóng. Những cửa sổ nhỏ của các lò luyện kim,
của lò than nhà máy điện,… được coi là gần đúng là mặt phát xạ của vật đen tuyệt
đối.
Các vật đen ở cùng nhiệt độ phát ra bức xạ nhiệt với phổ giống nhau,

không phụ thuộc vào thành phần của chất tạo thành chúng.
Kirchhoff đã chỉ ra cách tạo ra một vật có tính chất rất gần với vật đen tuyệt đối
bằng cách dùng một bình kín chỉ có một lỗ nhỏ để “giam” trong đó tất cả các bức xạ
từ ngoài lọt vào trong bình qua lỗ nhỏ đó.

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 10

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

RT() (10-9 W/ m2 – Hz)

Ở nhiệt độ cao vật đen tuyệt đối sẽ phát ra những bức xạ trong miền quang
phổ thấy được: từ khoảng 5000C nó bắt đầu phát ra ánh sáng đỏ đến 10000C nó phát
ra ánh sáng vàng và tới khoảng 12000C nó sẽ phát ra ánh sáng trắng.
Những vật có hệ số hấp thụ rất nhỏ gọi là vật trắng. Ở bất kì nhiệt độ nào
chúng cũng không thể phát sáng được, ví dụ như miếng sứ trắng, miếng bạc hay
nhôm đánh nhẵn bóng,…
3. Phổ bức xạ:
Bức xạ điện từ do một vật đen lí tưởng phát ra được gọi là bức xạ vật đen. Sự
phân bố quang phổ của bức xạ vật đen được đặc trưng bởi RT   , gọi là phổ bức xạ,
bằng năng lượng phát ra trong một đơn vị thời gian khi tần số bức xạ nằm trong
khoảng  đến   d , từ một đơn vị diện tích bề mặt của vật ở nhiệt độ tuyệt đối T.
Giá trị chính xác sớm nhất của đại lượng này được đo bởi Lummer và Pringsheim

vào 1899. Họ sử dụng một dụng cụ có tác dụng tương tự với quang phổ kế lăng
kính, chỉ khác ở chỗ các vật liệu đặc biệt được dùng để làm cho lăng kính, thấu
kính,… gần như trong suốt đối với các bức xạ nhiệt có tần số thấp. Kết quả thực
nghiệm về sự phụ thuộc của RT   vào  và
T biểu diễn trên hình 2.
2000K
Hàm phân bố RT   giảm theo qui
2
luật hàm số mũ. Hình 2 biểu diễn kết quả
thực nghiệm của hàm phân bố phổ bức xạ
1
1500K
của một vật đen với một diện tích bề mặt
cho trước và ở một vài nhiệt độ cao xác
1000K
định. Từ hình vẽ, chẳng hạn như ở 1000K,
0
1
2
3
4
ta thấy rằng:
Hình 2
- Công suất bức xạ trong một khoảng
 (10 Hz)
tần số cố định d là rất nhỏ nếu tần số bức
xạ là rất nhỏ so với 10 14 Hz. Công suất bức
xạ bằng 0 khi  = 0.
- Công suất bức xạ trong khoảng tần số d tăng nhanh khi  tăng lên từ giá
trị rất nhỏ. Nó lớn nhất khi tần số có giá trị   1,1. 1014 Hz. Công suất bức xạ lớn

nhất ở tần số này.
- Trên tần số   1,1. 1014 Hz công suất bức xạ giảm chậm nhưng tiếp tục
giảm khi  tăng. Nó bằng 0 một lần nữa khi  đến giá trị vô hạn.
Hai hàm phân bố cho giá trị cao của nhiệt độ: 1500 K và 2000 K được biểu
diễn trên hình cho chúng ta thấy tần số có công suất bức xạ mạnh nhất sẽ tăng với
sự tăng của nhiệt độ. Sự khảo sát chứng tỏ tần số tăng tuyến tính với sự tăng của
nhiệt độ. Năng lượng bức xạ toàn phần ở mọi nhiệt độ tăng với sự tăng nhiệt độ, và
nó tăng nhanh hơn mức tăng tuyến tính.
Tích phân của phổ bức xạ RT   trên mọi  là lượng năng lượng phát xạ toàn
phần trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt của vật đen ở nhiệt
độ T. Nó được gọi là năng suất phát xạ toàn phần RT .
14



RT 

 R  d
T

(1)

0

4. Các định luật về bức xạ cân bằng:

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 11

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

RT tăng nhanh với sự tăng nhiệt độ, và đó chính là nội dung của định luật

Stefan được trình bày đầu tiên vào 1879 với dạng công thức thực nghiệm. Năm
1884, Boltzmann cũng thiết lập được công thức này bằng lý thuyết nhiệt động học,
và người ta gọi chung là định luật Stefan - Boltzmann: “ Năng suất phát xạ toàn
phần của vật đen tuyệt đối tỉ lệ thuận với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt
đối của nó”:
(2)
RT   T 4
-8
2 4
 = 5,67.10 W/m K : hằng số Stefan – Boltzmann
Định luật Stefan – Boltzmann được áp dụng để xác định nhiệt độ T của vật đen
tuyệt đối, nếu đo được năng suất phát xạ toàn phần RT của nó. Chính nhờ áp dụng
định luật này đối với mặt trời (coi như vật đen tuyệt đối) người ta tính được nhiệt độ
của bề mặt mặt trời là 5950 K.
Năm 1894, Wien (1864-1928), xuất phát từ lí thuyết nhiệt động lực học đã
rút ra một định luật quan trọng tên là định luật dịch chuyển Wien: “Tích của nhiệt
độ vật đen tuyệt đối với bước sóng ứng với cường độ bức xạ cực đại là một
lượng không đổi”
T max  const
(3a)
Như vậy, khi nhiệt độ vật đen tuyệt đối tăng thì cực đại của bức xạ dịch chuyển về

phía các bước sóng ngắn hơn, tức là tần số cao hơn,
 max ~ T
(3b)
 max là tần số khi RT   có giá trị lớn nhất cho một nhiệt độ cao T, kết quả này phù
hợp với thực nghiệm.

Josef Stefan (1835 – 1893)

Wilhelm Wien (1864-1928)

Ludwig Boltzmann
(1844-1906)

Xét một vật thể chứa một cái hốc thông ra ngoài bằng một lỗ nhỏ, vật này có
thể xem như một vật đen. Tia bức xạ tới trên lỗ từ bên ngoài vào hốc và bị phản xạ
qua lại giữa các thành hốc, thậm chí bị hấp thụ ở thành hốc. Nếu diện tích của hốc
rất nhỏ so với diện tích của thành trong của hốc, lượng bức xạ bị phản xạ trở ra
ngoài hốc là không đáng kể. Tất cả các tia bức xạ tới chủ yếu trên lỗ bị hấp thụ bởi
vì lỗ có những thuộc tính của bề mặt vật đen. Hầu hết vật đen dùng trong phòng thí
nghiệm thì đều được xây dựng trên nguyên tắc như vậy.
Giả sử thành trong của hốc được nung nóng đồng đều đến nhiệt độ T, khi đó
thành hốc sẽ phát ra bức xạ nhiệt bên trong hốc. Một phần nhỏ bức xạ từ bên trong
GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 12

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

sẽ truyền ra ngoài qua lỗ. Vì vậy lỗ thật sự là một nguồn
phát bức xạ nhiệt. Bởi vì hốc phải có thuộc tính của bề mặt
của vật đen, chùm tia bức xạ phát ra bởi một hốc phải có
quang phổ một vật đen.
Chùm bức xạ được phát qua một lỗ của hốc được đặc
trưng bằng số hạng thông lượng năng lượng (năng thông)
RT   . Tuy nhiên, thông thường để đặc trưng cho phổ bức
xạ trong hốc, còn gọi là bức xạ hốc, người ta sử dụng năng
lượng chứa trong một đơn vị thể tích của hốc, gọi là mật độ
năng lượng  T   , ở nhiệt độ T trong tần số từ khoảng  đến   d , rõ ràng hai
đại lượng này là tỉ lệ với nhau:
(4)
 T   ~ RT  
Do đó sự bức xạ trong một hốc của thành ở nhiệt độ T có các tính chất
giống như bức xạ phát ra bởi bề mặt của vật đen ở nhiệt độ T. Các thí nghiệm về
bức xạ vật đen, để cho thuận lợi, thường thực hiện trên một hốc được nung nóng với
một lỗ thông ra ngoài. Và việc nghiên cứu lý thuyết về bức xạ vật đen, để cho thuận
lợi, cũng bằng việc phân tích bức xạ hốc bởi vì nó cho phép các tham số lý thuyết
để tiên đoán các tính chất của bức xạ hốc.
Định luật Kirchhoff cho bức xạ: “ Tỉ số giữa hệ số phát xạ đơn sắc và hệ số hấp
thụ đơn sắc của một vật bất kì ở trạng thái bức xạ nhiệt cân bằng không phụ
thuộc vào bản chất của vật đó mà chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ T của nó và bước
sóng  của chùm bức xạ đơn sắc”
r ,T
a  ,T

 f ( , T )

(5)

Với r ,T là hệ số phát xạ đơn sắc và a  ,T là hệ số
hấp thụ đơn sắc của một vật.
f (  ,T) là hàm số chung cho mọi vật được gọi là
hàm số phổ biến. Nó chỉ phụ thuộc bước sóng của bức
xạ đơn sắc và nhiệt độ T của bức xạ nhiệt cân bằng.
Ví dụ 1: a. Vì   c , trong đó hằng số c là
vận tốc của ánh sáng trong chân không, định luật dịch
chuyển Wien (3a) cũng có thể khai triển thành công
Gustav Robert Kirchhoff
thức: T max  const ,  max là bước sóng khi phổ bức xạ
có giá trị lớn nhất cho một nhiệt độ T. Thực nghiệm chứng minh giá trị của hằng số
Wien là 2,898.10-3 m.K.
Nếu chúng ta giả sử rằng bề mặt ngôi sao giống vật đen, chúng ta có thể ước
lượng gần chính xác nhiệt độ bề mặt của nó bằng cách đo  max . Cho Mặt Trời có
 max = 5100A0 và sao Bắc Đẩu  max = 3500A0 . Tìm nhiệt độ bề mặt của những ngôi
sao này.
Giải : Đối với Mặt Trời:
T 

2898.10 3 m K
= 5700K.
5100.10 10 m

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 13

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Sao Bắc Đẩu: T 

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

2898.10 3 m K
= 8300K
3500.10 10 m

Ở 5700K bề mặt mặt trời có nhiệt độ gần với nhiệt độ mà phần bức xạ mạnh
nhất nằm ở vùng khả kiến. Điều này cho phép chúng ta kết luận rằng, trong suốt quá
trình tiến hóa của loài người, mắt của chúng ta thích nghi với ánh sáng mặt trời cho
nên trở nên nhạy nhất đối với những bước sóng bức xạ mà mặt trời phát ra mạnh
nhất.
b. Dùng định luật Stefan và nhiệt độ thu được, xác định công suất bức
2
xạ từ 1 cm của bề mặt ngôi sao.
Giải: Đối với mặt trời: RT   T 4
-8
2
4
4
RT = 5,67.10 W/m K . (5700K)
= 5,9.10 7 W/m2  6000 W/cm2
Sao Bắc Đẩu: RT   T 4
-8

2
4
4
RT = 5,67.10 W/m K . (8300K)
= 2,71.108 W/m2  27 000 W/cm2 .
Ví dụ 2: Gỉa sử chúng ta có hai vật mờ nhỏ, đặt cách một khoảng lớn. Vùng
chân không gian xung quanh được hút hết không khí và được bao bọc bởi một thành
đục và được giữ ở nhiệt độ không đổi. Trong trường hợp này hai vật thể và thành
chỉ có thể trao đổi năng thông qua bức xạ nhiệt. Đặt e diễn tả tốc độ của bức xạ của
năng lượng bức xạ bởi một vật và a diễn tả tốc độ hấp thụ của năng lượng bức xạ
của nó. Chứng minh rằng ở điều kiện cân bằng, ta có

e1
e
 2  1 , công thức này
a1
a2

được biết như định luật Kirchhoff cho bức xạ.
Chứng minh: Trạng thái cân bằng là trạng thái mà ở đó nhiệt độ là không
đổi trong toàn bộ hệ kín, và trong trạng thái đó tốc độ bức xạ của vật bằng với tốc
độ hấp thụ của chính nó, tức là: e1 = a1 và e2 = a2. Do đó:

e1
e
1  2
a1
a2

Nếu một trong hai vật là vật đen, chẳng hạn vật 2, ta có a2 > a1 bởi vì một

vật đen thì hấp thụ tốt hơn một vật không đen, do đó e2 > e1, tức là một vật hấp
thụ tốt cũng phát xạ tốt, điều này được tiên đoán bởi định luật Kirchhoff.
III. Thuyết cổ điển về bức xạ hốc:
Rayleigh và Jeans làm phép tính mật độ năng lượng của bức xạ hốc (vật đen)
và tìm thấy có sự mâu thuẫn nghiêm trọng giữa vật lí cổ điển và kết quả thực
nghiệm.
1. Sóng điện từ trong một hốc:
Khảo sát một hốc với những thành hốc kim loại làm nóng ở cùng nhiệt độ T.
Thành hốc phát ra bức xạ điện từ trong dãy tần số nhiệt, vì sự chuyển động có gia
tốc của các electron trong thành kim loại là chuyển động nhiệt, tuy nhiên ta không
cần thiết phải nghiên cứu chuyển động nhiệt của các electron trong thành hốc.
Thay vào đó, Rayleigh và Jeans khảo sát sự diễn biến của sóng điện từ trong
hốc. Trước tiên, thuyết điện tử cổ điển được dùng để thấy rằng sự bức xạ bên trong
hốc phải tồn tại trong dạng sóng đứng với các nút ở bề mặt kim loại (thành hốc).
Bằng cách sử dụng các tham số hình học, người ta đi tính số sóng đứng trong
GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 14

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

khoảng tần số từ  đến   d và xác định xem số sóng đứng này phụ thuộc như thế
nào vào . Kế tiếp, thuyết động học cổ điển được dùng để tính giá trị trung bình của
năng lượng toàn phần của những sóng này. Năng lượng toàn phần trung bình chỉ
phụ thuộc nhiệt độ T trong lý thuyết cổ điển. Mật độ năng lượng  T   được xác

định bằng số lượng sóng đứng trong một khoảng tần số d nhân với năng lượng
trung bình của sóng, chia cho thể tích
của hốc, ta được năng lượng trung
bình trên một đơn vị thể tích trong
khoảng tần số từ  đến   d . Bây
giờ chúng ta sẽ tính đại lượng này.
Để cho đơn giản, giả sử rằng
hốc với thành làm bằng kim loại có
dạng một hình lập phương cạnh a, và
hốc được lấp đầy bởi các bức xạ điện
từ bức ra từ thành hốc. Các tia bức xạ
phản xạ qua lại giữa các thành hốc, và
ta có thể phân tích chúng thành ba
thành phần dọc theo ba hướng vuông
góc từng đôi một, được xác định bởi những cạnh của hốc. Ba thành phần của bức xạ
không trộn, và chúng ta có thể khảo sát chúng một cách riêng biệt.
Chẳng hạn ta đi khảo sát thành phần x và ta cho một thành kim loại tại tọa độ
x = 0. Tất cả các tia bức xạ của thành phần này tới trên thành hốc bị phản xạ bởi
thành này; sóng tới và sóng phản xạ kết hợp thành sóng đứng. Vì bức xạ điện từ là
dao động ngang với véc tơ cường độ điện trường E vuông góc với hướng lan
truyền, và bởi vì phương lan truyền thành phần vuông góc với thành hốc, cường độ
điện trường song song với thành hốc. Một thành hốc bằng kim loại luôn làm triệt
tiêu điện trường song song với bề mặt nó, bởi vì các electron luôn dịch chuyển để
trung hòa thành phần điện trường này. Do đó, véc tơ E cho thành phần này phải
luôn luôn bằng không ở thành hốc. Do đó sóng đứng liên kết với thành phần x của
bức xạ phải có một nút ở hai thành hốc, tức tại x = 0 và x = a. Tương tự cho các
thành phần y và z: thành phần y của bức xạ phải có một nút tại y = 0 và một nút y =
a, thành phần z của bức xạ phải có một nút tại z = 0 và một nút z = a.
Ta đi đếm số sóng đứng với các nút nằm trên bề mặt của hốc, bước sóng của
nó trong khoảng  đến   d tương ứng tần số trong khoảng  đến   d .

Trước tiên ta khảo sát thành phần x, véc tơ cường độ điện trường cho sóng điện từ
đứng một chiều (thành phần x) có thể được biểu diễn bởi
 2x 
E  x, t   E0 sin 
(6)
 sin 2 t 
  
trong đó  là bước sóng,  là tần số, E0 là biên độ cực đại. Bước sóng và tần số quan
hệ nhau bởi công thức
 

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

c


Trang 15

(7)

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

c là vận tốc lan truyền của sóng điện từ. Phương trình (6) biểu diễn một sóng mà
 2x 
biên độ của nó biến thiên theo dạng sin 

 và dao động dạng sin với tần số 
  
giống một dao động điều hòa đơn giản. Vì tại các nút biên độ luôn bằng 0, do đó các
vị trí thỏa mãn điều kiện
2x
 0,1,2,3,....


(8)

n=1

và vị trí các nút là cố định, có nghĩa
là đây là sóng dừng. Để thỏa điều
kiện là sóng có các nút ở hai đầu (là
hai thành hốc) của hốc một chiều, x = 0 Hình 5
chọn gốc tọa độ trên trục x là một
đầu của hốc (x = 0) và đầu còn lại có x = a, ta có

n=2
n=3
x=a

2a
 n


(9)

Điều kiện này quyết định các giá trị cho phép của bước sóng  của các bức xạ điện

từ trong hốc. Với các giá trị cho phép của  , giản đồ biên độ của sóng đứng được
biểu diễn trên hình (5) với các giá trị của n là 1, 2 và 3. Hình dạng đồ thị là hình ảnh
của sóng đứng của dao động của sợi dây với hai đầu cố định, là một hệ vật lý thực
cũng thỏa mãn phương trình (6). Trong trường hợp của chúng ta là sóng điện từ
dừng.
Xem xét tần số cho phép thay vì bước sóng cho phép, ta có  

c
và


2a
 n do đó ta có


 

c.n
,
2a

n = 1,2,3,4,…

(10)

Chúng ta có thể biểu diễn các giá trị cho phép của tần số này dưới dạng một
giản đồ bao gồm một trục mà trên đó ta vẽ đồ thị một điểm ứng mỗi giá trị n. Trong
giản đồ, giá trị của
tần số cho phép 
d = (2a/c) ( d )

tương ứng với một
giá trị của n, bằng
d = (2a/c) 

c
lần khoảng cách
2a

d từ gốc đến mỗi
điểm tương ứng,
hoặc khoảng cách d

0 1 2 3 4…

n
Hình 6

2a
nhân với
c
tần số  . Các quan hệ này được biểu diễn trên hình (6).

bằng

Một giản đồ như vậy sẽ thuận lợi trong việc tính toán số lượng các giá trị cho
phép của tần số trong khoảng tần số từ  đến   d , gọi là N  d . Để ước lượng
đại lượng này chúng ta đếm số điểm trên trục n rơi vào giữa hai giới hạn tương ứng
tần số  và   d . Bởi vì các điểm được phân bố đồng thời dọc theo trục n, số

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 16

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

điểm rơi vào giữa 2 giới hạn đó tỉ lệ với d nhưng không phụ thuộc  . Dễ dàng
tính được, N  d 

2a
d . Tuy nhiên ta phải nhân số hạng này với 2, bởi vì ứng
c

với mỗi tần số cho phép có hai sóng độc lập ứng với hai phân cực khác nhau của
sóng điện từ, do đó ta có
N  d 

4a
d
c

(11)

là số sóng đứng cho phép của hốc một chiều.
Kết quả trên có thể mở rộng để áp dụng cho hệ thực là hốc ba chiều. Tập hợp
các điểm phân bố đồng đều bởi các số nguyên dọc theo trục n được thay thế bởi 1

mảng đồng đều 3 chiều của những điểm mà 3 tọa độ của nó là các giá trị (số
nguyên) dọc theo ba trục tọa độ n vuông góc với nhau từng đôi một. Mỗi điểm của
mảng tương ứng với một sóng đứng 3 chiều. Các giá trị (là những số nguyên) của
nx, ny, n z của mỗi điểm của mảng cho ta biết số lượng các nút của thành phần x, y, z
tương ứng của sóng ba chiều. Quy tắc này tương đương với việc tách 1 sóng 3 chiều
thành 3 thành phần sóng một chiều. Số tần số cho phép trong khoảng tần số từ 
đến   d bằng với số điểm được chứa giữa hai lớp vỏ có bán kính tương ứng tần
số khoảng  đến   d . Nó tỉ lệ với thể tích chứa giữa 2 lớp này, bởi vì những
điểm nút được phân bố đồng đều. Điều này cho thấy N  d tỉ lệ  2 d , trong đó
 2 tỉ lệ với diện tích bề mặt của một lớp và d là khoảng cách giữa hai lớp. Trong ví
dụ tiếp theo, ta sẽ tìm thấy
8V 2
N  d 
 d
(12)
3
c

trong đó V = a 3: thể tích của hốc.
Ta thấy có sự khác nhau rất quan trọng giữa kết quả thu được giữa hốc 3
chiều và hốc một chiều:  2 có trong (12) không có trong (11). Nhân tố này nảy
sinh do chúng ta sống trong không gian 3 chiều, lũy thừa của  nhỏ hơn số chiều
(không gian) một đơn vị.
Bước tiếp theo, ta đi tính năng lượng toàn phần trung bình của mỗi sóng
đứng tần số  . Theo vật lí cổ điển, năng lượng của một sóng bất kì có thể có giá trị
bất kì từ không đến vô cùng, thực tế năng lượng của sóng tỉ lệ bình phương độ lớn
biên độ E0.
2. Mật độ năng lượng:
Các sóng đứng khác nhau có thể
nhanh chóng trao đổi năng lượng khi cần

thiết để duy trì cân bằng nhiệt, điều này
có được là do thành hốc có thể hấp thụ
và bức xạ một phần bức xạ điện từ đến
nó. Lý thuyết động học cổ điển tiên đoán
về sự phân bố đều năng lượng, gọi là
định luật phân bố đều của năng lượng.
Định luật này cho rằng một hệ phân tử
khí trong trạng thái cân bằng nhiệt ở
nhiệt độ T, thì động năng trung bình của

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 17

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

một bậc tự do của phân tử là

Bức xạ nhiệt và định đề Planck
1
kT , trong đó k  1,38.10 23 J / K là hằng số
2

Boltzmann. Định luật này áp dụng đúng cho mọi hệ cổ điển bất kì, ở trạng thái cân
bằng, chứa một số rất lớn các thực thể cùng loại. Trong trường hợp sóng đứng mà ta
đang xét, các thực thể là các sóng đứng có một bậc tự do, đó là các biên độ điện
trường. Do đó, động năng trung bình của chúng đều có cùng giá trị là

1
kT . Tuy
2

nhiên, mỗi sóng đứng dao động hình sin có năng lượng toàn phần gấp 2 lần động
năng trung bình. Đó là một thuộc tính chung của hệ vật lí có một bậc tự do thực
hiện dao động điều hòa theo thời gian. Trường hợp tương tự là con lắc và cuộn lò
xo.
Do đó mỗi sóng đứng trong hốc, theo lý thuyết cổ điển, có năng lượng toàn
phần trung bình:
(13)
  kT
Điều quan trọng nhất cần lưu ý đó là năng lượng toàn phần trung bình 
được suy đoán có giá trị giống nhau với tất cả sóng đứng trong hốc, không phụ
thuộc tần số sóng.
Năng lượng một đơn vị thể tích trong khoảng tần số từ  đến   d của
phổ bức xạ vật đen của hốc ở nhiệt độ T bằng tích số của năng lượng trung bình
cho một sóng đứng với số sóng đứng trong khoảng tần số này, chia cho thể tích của
hốc.
Công thức bức xạ vật đen của Rayleigh – Jeans: từ hai phương trình (12)
và (13) ta rút ra được kết quả sau, được gọi là công thức Rayleigh-Jeans về bức xạ
vật đen
8 2
 T  d 
kT .d
(14)
3
c

Rayleigh (1842 – 1919) coi vật đen tuyệt đối
là một cái hốc kín chứa đầy sóng điện từ là các
sóng đứng của các dao động tử. Mật độ sóng đứng
(số lượng sóng đứng trong một đơn vị thể tích)
trong hốc có tần số trong khoảng từ  đến   d
8
là: N  d  3  2 d
c

Mỗi sóng đứng có thể có một năng lượng
bất kì, và năng lượng trung bình ứng với một sóng
đứng là:   kT , do đó mật độ năng lượng trong
hốc ứng với các tần số trong khoảng từ  đến
  d là:
8 2
dE     T  d  N   .d 
kT .d
3

John William Strutt Rayleigh
(1842 – 1919)

c

Trong hình (7) người ta so sánh giá trị tiên đoán của mật độ năng lượng theo
lý thuyết cổ điển (công thức (14)) với quan sát thực nghiệm. Dễ nhận thấy rằng,
trong giới hạn của tần số thấp, lý thuyết bức xạ cổ điển có kết quả phù hợp với thực
nghiệm, nhưng khi tần số trở nên lớn hơn, dự đoán của thuyết trở nên không chính
xác vì mật độ năng lượng tiến đến vô cực. Kết quả thực nghiệm cho thấy rằng mật
GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 18

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

độ năng lượng luôn có giá trị hữu hạn, và mật độ năng lượng tiến tới không ở tần số
rất cao.
Sự sai lệch của thuyết bức xạ nhiệt cổ điển ở tần số cao so với thực nghiệm
được gọi là “ khủng hoảng vùng tử ngoại”, là sự thất bại của thuyết cổ điển. Nếu lý
thuyết cổ điển đúng thì toàn thế giới bị thiêu hủy. Nhưng trong thực tế thế giới vẫn
tồn tại, điều đó chứng tỏ không thể có tai biến vùng tử ngoại. Nghĩa là công thức
Rayleigh không thể chấp nhận được khi  lớn.
Ví dụ 3: Chứng minh công thức (12), tức là đi tính số sóng (điện từ) đứng
cho phép trong mỗi khoảng tần số cho trường hợp của hốc 3 chiều dạng lập phương
cạnh a với thành bằng kim loại.
Giải: Xét bức xạ có bước sóng  và tần số  

c
, lan truyền trong không gian


theo hướng được xác định bởi 3 góc  ,  ,  , xem hình (8). Bức xạ này phải là sóng
đứng bởi vì cả 3 thành phần của nó là các sóng đứng. Chúng ta xác định các vị trí
của vài nút (là cố định) của sóng đứng bằng các mặt phẳng vuông góc với hướng lan
truyền  ,  ,  . Khoảng cách giữa những mặt phẳng nút của bức xạ này bằng nửa


bước sóng, . Khoảng cách giữa các nút trên 3 trục lần lượt là
2

x



y


;



z


;





2
2 cos 
2
2 cos 
2
2 cos 

Phương trình dao động điện trường của sóng trên ba trục lần lượt là

(15)

 2x 
E  x, t   E0 x sin 
 sin 2 t 
  
 2y 
E  y, t   E0 y sin 
 sin 2 t 
  
 2z 
E  z , t   E0 Z sin 
 sin 2 t 
  

Phương trình dao động theo x diễn tả một sóng với
biên độ cực đại là E0x và biên độ dao động biến đổi
 2x 
theo không gian theo hàm số sin, sin 
 và dao
  
 2x 
  0 thì
động với tần số  . Khi sin 
 x 

James Hopwood Jeans
(1877-1946)

2x
 0,1,2,3,... ; sóng ta đang xét là sóng đứng có bước sóng  x bởi vì nó có các nút
x

cố định cách nhau bởi khoảng cách x  x . Tương tự như vậy, các thành phần
2

điện trường trên trục y và z diễn tả sóng đứng có biên độ cực đại là E0y và E0z với
bước sóng tương ứng là  y và  z , nhưng tất cả ba thành phần sóng đứng này đều dao
động với tần số  của bức xạ. Ghi chú rằng những biểu diễn trên tự động bảo đảm
điều kiện: 3 thành phần x, y, z có một nút ở x = 0, y = 0, z = 0 . Để làm chúng bảo
toàn điều kiện có một nút ở x = a, y = a, z = a thì hệ phải thỏa mãn

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 19

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

 2x
  nx
 x
 2 y
Cho x = a, y = a, z = a

  ny
y
 2z
  nz
  z
trong đó nx = 1,2,3,...; n y = 1,2,3,...; nz = 1,2,3,… Ta sử dụng (15), điều kiện này
trở thành:
2a
2a
2a
cos   n x ;
cos   n y ;
cos   n Z .



Bình phương 2 vế của các biểu thức và cộng lại, ta được:
 2a 
 
  

Vì vậy ta có

2a



n

2

2
x

cos

2

  cos 2   cos 2    n x2  n 2y  n Z2



 n 2y  n z2 , trong đó nx, ny, nz nhận mọi giá trị nguyên.

Công thức này diễn tả giới hạn của các bước sóng cho phép của các bức xạ điện từ
chứa trong hốc.
Xét số hạng của tần số cho phép thay vì bước sóng cho phép
 

c
c


2a

n

2
x

 n y2  n z2



(16a)

Đếm số tần số cho phép trong một khoảng tần số cho trước bằng cách vẽ một mạng
lập phương đều ở một trong tám phần không gian (có ba thành phần tọa độ đều
dương) tạo bởi hệ trục tọa độ Decartes ba chiều, sao cho tọa độ mỗi điểm trên mạng
lập phương này tương ứng với các giá trị cho phép của các số nguyên nx, ny, nz . Khi
đó mỗi điểm mạng tương ứng một tần số cho phép. Hơn nữa, N  d là số tần số
cho phép giữa  và   d và nó bằng với N r dr , là số điểm được chứa giữa hai
lớp đồng tâm bán kính r và r  dr , trong đó
r 

n

2
x



 n 2y  n z2 .

Từ công thức (16a) ta suy ra được
r

2a

c

(16b)

Bởi vì N  d bằng với thể tích giới hạn bởi hai lớp đồng tâm ở trên nhân với mật
độ điểm mạng (mật độ điểm mạng bằng một, theo cách xây dựng của chúng ta), do
đó ta có
1

N  r  dr  4 r 2 dr  r 2 dr
8

2

Cho N  r  dr  N   d và tính r 2 dr từ (16.b), ta có
 2a
N  d  ( ) 3 . 2 d
2 c

Tuy nhiên ta phải nhân vế phải của phương trình trên với hai, bởi vì có hai sóng
thành phần tương ứng với hai trạng thái của sự phân cực của bức xạ điện từ, như vật

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 20

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

ta đã chứng minh được công thức (12). Dễ thấy N   không phụ thuộc hình dạng
của hốc và chỉ phụ thuộc thể tích của hốc.
IV. Thuyết Planck về bức xạ hốc:
1. Phân bố Boltzmann

Trong cố gắng giải quyết sự không phù hợp giữa lí thuyết và thực nghiệm về
bức xạ hốc, Planck đã lần đầu xem xét đến khả năng của sự vi phạm của định luật
về sự phân bố đều của năng lượng của lý thuyết cổ điển. Như đã thấy ở trên, định
luật này phù hợp với kết quả thực nghiệm ở tần số thấp. Vì thế chúng ta có thể cho
rằng
 

 kT
(17)
0
Có nghĩa là năng lượng toàn phần trung bình tiến tới kT khi tần số tiến tới không.
Sự không phù hợp ở tần số cao có thể được loại bỏ nếu, vì một vài lý do, tồn tại một
ngưỡng mà
 
 0
(18)

Nói cách khác, Planck nhận ra rằng trong khoảng phổ biến cho trường hợp bức xạ
vật đen, năng lượng trung bình của sóng đứng là một hàm của tần số    , hàm này
có các tính chất thỏa mãn (17) và (18). Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với định luật
về sự phân bố đều năng lượng là năng lượng trung bình  không phụ thuộc vào
tần số.
Ta đi tìm nguồn gốc của định luật phân bố đều. Định luật này là kết quả của cơ

học thống kê cổ điển, gọi là phân bố Boltzmann. Ở đây ta sử dụng dạng đặc biệt của
phân bố Boltzmann
P 

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong




kT

e
kT

Trang 21

(19)

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

trong đó P  d  là khả năng tìm thấy một thực thể của một hệ vật lý có năng
lượng trong khoảng  và   d , khi mà số lượng các trạng thái năng lượng của
thực thể không phụ thuộc vào  . Hệ vật lý ta xét được cho là chứa một số rất lớn các
thực thể cùng loại ở trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T, và k là hằng số
Boltzmann. Năng lượng của các thực thể trong hệ, chính là các dao động (điện từ

điều hòa) dừng ở trạng thái cân bằng nhiệt bên trong hốc, được xác định bởi (19).
Hàm phân bố Boltzmann có quan hệ sâu xa với hàm phân bố Maxwell cho
năng lượng của một phân tử trong hệ phân tử ở trạng thái cân bằng nhiệt. Hàm số
mũ trong hàm phân bố Boltzmann đặc trưng cho nhân tố hàm số mũ trong phân bố
1

Maxwell.  2 cho biết tồn tại trong phân bố Maxwell kết quả từ trường hợp mà số
trạng thái năng lượng cho một phân tử trong khoảng   d không độc lập với 
1

mà lại tăng tỉ lệ tới  2 .
Hàm phân bố Boltzmann cung cấp đầy đủ các thông tin về năng lượng của
các thực thể trong hệ, trong đó bao gồm cả giá trị trung bình  của năng lượng. Giá
trị trung bình năng lượng có thể tính được từ P   bằng cách sử dụng (19) để tính
các tích phân trong tỉ số:


 P( )d
 

0


.

(20)

 P( )d
0

Hàm dưới dấu tích phân ở tử số chính là năng lượng  nhân với xác suất tìm thấy
một thực thể mang năng lượng này; bằng cách lấy tích phân trên tất cả các mức
năng lượng ta thu được giá trị năng lượng trung bình. Mẫu số là tổng tất cả các khả
năng tìm thấy một thực thể ở một mức năng lượng bất kì và do đó luôn bằng một.
Kết quả tính toán cho thấy, tích phân (20) cho kết quả tuân theo định luật phân bố
đều năng lượng:
  kT
(21)
1
Từ (19), dễ dàng thấy rằng P   có giá trị lớn nhất là
khi  = 0 và giảm dần
kT
theo sự tăng của  . Cuối cùng, P   tiến đến 0 khi  tiến đến  .
2. Công thức Planck:
Đóng góp quan trọng của Planck đó là ông có thể tìm một ngưỡng tần số bức
xạ để   0 (xem công thức (18)), nếu giả sử rằng năng lượng  , thay vì có giá trị
liên tục như trong lý thuyết cổ điển, có thể chỉ nhận từ giá trị gián đoạn. Khi đó tích
phân (20) sẽ được thay bằng tổng.
Planck cho rằng năng lượng  có những giá trị gián đoạn xác định chứ
không thể nhận những giá trị liên tục bất kì. Các giá trị gián đoạn của năng lượng
phân bố một cách đồng đều, Planck cho rằng
 = 0,  , 2  , 3  ,…
(22)
là hệ của những giá trị cho phép của năng lượng, trong đó  là khoảng cách
(đồng đều) giữa các mức kề nhau cho phép của năng lượng.

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 22

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

Planck có thể thu được   kT khi sự khác nhau trong những mức năng
lượng kế cận  là rất nhỏ, và   0 khi  lớn. Bởi vì ông ấy cần thu được kết
quả đầu tiên cho những giá trị nhỏ của tần số  , kết quả thứ hai cho giá trị lớn của
 . Rõ ràng ông phải làm  tăng lên như là một hàm của  . Kết quả tính số cho
thấy ông có thể tìm được một mối quan hệ đơn giản giữa  và  thỏa mãn tính
chất trên, đó là Planck cho rằng hai đại lượng này tỉ lệ với nhau
 ~ 
(23) hay
(24)
  h 
Trong đó: h là hằng số tỉ lệ (sau này được gọi là hằng số Planck), h = 6,63.10-34 Js
Công thức Planck cho  có được bằng sự ước lượng tích phân trong (20)
(xem ví dụ 4 bên dưới):
h
(25)
    h
e kT  1
h

h
h
 0 thì e kT  1+
, do đó dễ thấy  ( )  kT phù hợp với

kT
kT
h
h
(17). Và trong trường hợp
  , ta thấy e kT   , do đó  ( )  0 phù hợp mô
kT

Ta thấy khi

tả (18).
Sử dụng  ( ) ở (25) ta tìm được mật độ năng lượng:
8 2 h
dE     T  d 
.d
3
h
c

e

kT

(26)

1

Công thức này xác định mật độ năng lượng trong quang phổ vật đen, được gọi là
công thức Planck về phổ bức xạ vật đen.
Nhắc lại rằng Planck không thay đổi hàm

phân bố Boltzmann, tất cả những gì Planck làm là
xem năng lượng của sóng điện từ đứng, của dao động
điều hòa theo thời gian, là gián đoạn thay vì là đại
lượng liên tục.
Định luật Stefan (2) và định luật chuyển dời
Wien (3) có thể được rút ra từ công thức Planck.
Bằng việc kết hợp chúng và kết quả thực nghiệm
chúng ta có thể xác định giá trị của h và k :
- Định luật Stefan được thu bởi việc lấy tích
phân định luật Planck (26) trên toàn miền giá trị của
bước sóng (hay tần số)


E 





 dE      T  d 



0

0

Đổi biến số x 

0

8 2
c3

h
h

Max Planck (1858-1947)
.V d

e kT 1

h
h
 dx 
d và áp dụng công thức tích phân định hạn:
kT
kT

Ta được :

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 23

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp


E 

8 2
c3


0

Bức xạ nhiệt và định đề Planck
h

e

h
kT

.V

1

kT
dx 
h




0

4

8h 3  kT   h 
   
c 3  h   kT 

3

V
e

h
kT

dx
1

3

 h 


4 
8h  kT 
8h  kT 
x3
kT
 3     x  V dx  3    x
V dx
c  h  0 e 1

c  h  0e 1
4 



Ước lượng tích phân:


Ta có:

x3
0 e x  1 dx


xn
x n .e  x
dx

0 e x  1 0 1- e -x dx

Khi mẫu số luôn luôn là nhỏ hơn một, chúng ta có thể mở rộng nó để có được

1

e  kx

1 - e -x
k 0








xn
n x
dx

x
.
e
e  kx dx   x n .e  x 1  e -x  e 2 x  ... dx

x

e

1
k 0
0
0
0

















  x n e - x  e  2 x  ... dx   x n  e  kx dx
0

0

k 1

Đặt u = kx =>du = k.dx và u n = xn .kn


un
Ta được: 0 k n



 e u
k 1




du
1
  u n  n1 .e u du 
k
k 1 k
0



k
k 1



1

. u n .e u .du
n 1 
0

  n  1n  1


Hay:



xn

x n -1
dx



n

1



n

1


0 e x  1
0 e x  1 dx   nn 



Vậy:

x3
4
4
dx




4



4


.
3
!

0 e x  1
90
15
1
4


4
15
n 1 n


Thực tế đã sử dụng:

Ta được: E 
Do đó:

8 5 k 4T 4V
8 5 k 4

4

a
T
V
với
a

15c 3 h 3
15c 3 h 3

E
 a T 4 . Đây là định luật Stefan - Boltzmann.
V

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 24

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân


Luận văn tốt nghiệp

Bức xạ nhiệt và định đề Planck

Ta cũng thu được định luật này xuất phát từ cường độ của ánh sáng phát ra từ
bề mặt đen được cho bởi định luật Planck :
I  , T  

2 h 3
c2

1
e

h
kT

1

Trong đó I  , T d là lượng năng lượng trên một đơn vị diện tích bề mặt trong
một đơn vị thời gian trên một đơn vị góc khối phát ra trong dãy tần số giữa ν và ν +
dν bởi một vật đen ở nhiệt độ T . Tích P  I  , T . A.d .d là năng lượng bức xạ của
một bề mặt của khu vực A thông qua một góc khối dΩ trong dải tần số  ,  d  .


P
 I  , T .d  d
A 0

Ta có:

Để thu được định luật Stefan-Boltzmann, chúng ta phải tích phân Ω trên một
nửa hình cầu và tích phân ν từ 0 đến ∞, và trong tọa độ cầu, chúng ta có
dΩ = sin (φ) dφ dθ.
2



P

A

 /2





 I  , T d  d

 cos  sin d    I  , T d 



0

0

0

0

0

2 2
c2

h

h
P
2h  kT 
Đổi biến số x 
 dx 
d ta cũng được :
 2  
kT
kT
A
c  h 

h
e

h
kT

. d

1

4 

x3
0 e x  1 dx



Tương tự như trên, ta cũng có:

Ta được: P 

Do đó:

x3
4
dx

0 e x  1
15

2 5 k 4T 4V
2 5 k 4
4


T
A
với


15c 2 h 3
15c 2 h 3

P
  T 4 : định luật Stefan - Boltzmann
A

Sự bức xạ được tìm thấy sẽ tỉ lệ với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ, hằng số tỉ

2 5 k 4
lệ  
, hằng số Stefan, thực nghiệm tính được hằng số này có giá trị
2 3
-8

15c h

5,67.10 W/ m2K4.
Định luật dịch chuyển Wien có thể tính được bằng cách đặt d T    / d   0 .
Ta thấy T max  0,2014

hc
và ta đồng nhất vế bên phải của công thức này với hằng
k

số Wien được xác định bằng thực nghiệm là 2,898.10-3 mK. Sử dụng hai giá trị thực
GVHD: TS. Nguyễn Thanh Phong

Trang 25

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ngân