LUẬN văn sư PHẠM vật lý cấu tạo NGUYÊN tử và hệ THỐNG TUẦN HOÀN các NGUYÊN tố hóa học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

ĐỀ TÀI

CẤU TẠO NGUYÊN TỬ
VÀ HỆ THỐNG TUẦN HOÀN
CÁC NGUYÊN TỐ HÓA HỌC
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÍ

Giáo viên hướng dẫn:
Thầy HOÀNG XUÂN DINH

Cần Thơ, 2010

Sinh viên thực hiện:

NGUYỄN THỊ KIM ÁNH
Lớp: SP Vật Lí- K32
Mã số SV: 1060101


LỜI CẢM ƠN
‫۝‬
Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và làm việc nghiêm
túc, tôi ñã hoàn thành luận văn của mình. Để ñạt ñược ñiều này,
tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp ñỡ tận tình của thầy Hoàng
Xuân Dinh, quý thầy cô ở bộ môn Vật Lý, cảm ơn sự ñộng viên
khích lệ của gia ñình và bạn bè trong lớp.
Với tất cả mọi sự cố gắng của mình, tôi hi vọng cuốn

luận văn sẽ mang ñến cho người ñọc những ñiều mới mẻ. Mặc
dù vậy, luận văn này chắc hẳn sẽ có nhiều thiếu sót, tôi rất mong
ñược sự góp ý của quý thầy cô và các bạn bè ñể ñề tài này ngày
càng hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Cần Thơ, ngày 11 tháng 3 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn vật lí nguyên tử và hạt nhân là một môn học rất quan trọng bởi lẽ mọi vật xung
quanh ta ñều ñược xây dựng từ những“viên gạch”- nguyên tử. Nhưng phải chăng ñó là
những viên gạch cuối cùng của lâu ñài vật chất? Phải chăng nguyên tử giống như một
hòn bi thu nhỏ ñến kích thước 10-8 cm và không thể phân chia ra nhỏ hơn nữa? Muốn trả
lời hết những câu hỏi trên thì ta phải hiểu ñược cấu tạo của nguyên tử. Hơn thế nữa, sau
khi hiểu cấu tạo của nguyên tử thì vấn ñề khó khăn trong việc tìm hiểu quy luật tuần hoàn
của các nguyên tố ñã ñược giải quyết. Khi tôi còn học ở trường phổ thông, tôi thường ñặt
nhiều câu hỏi. Chẳng hạn như: khi cầm bảng tuần hoàn trên tay ta hiểu gì về nó? Các
nguyên tử cấu tạo như thế nào ñể các nguyên tố có ñược sự tuần hoàn như vậy? Bây giờ
khi học môn vật lí nguyên tử và hạt nhân tôi rất thích thú vì những câu hỏi trên sẽ ñược
giải ñáp.
Những thắc mắc của bản thân, cộng với nhu cầu cần làm quen dần với phương pháp tự
nghiên cứu ñể bổ sung kiến thức, một ñiều rất cần thiết cho sinh viên sau khi ra trường.
Tôi ñã quyết ñịnh chọn ñề tài “cấu tạo nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố”.

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và giải thích ñược quy luật tuần hoàn của các
nguyên tố hóa học.

3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố là vấn ñề
sâu và rộng. Vì thế ñối với nguyên tử nhiều ñiện tử tôi chỉ dừng lại ở phần tìm năng
lượng của hàm sóng.

4. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
-Nghiên cứu lí thuyết, phân tích và tổng hợp các tài liệu.
-Sử dụng sách, báo, khai thác thông tin trên Internet ñể tìm hiểu về vấn ñề cấu tạo
nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố.

5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
-Bước 1: nhận ñề tài.
-Bước 2: nghiên cứu tài liệu liên quan ñến ñề tài.
-Bước 3: tiến hành viết ñề cương và trao ñổi với giáo viên hướng dẫn.
-Bước 4: viết luận văn.

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 1

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

NỘI DUNG
Phần I: CẤU TẠO NGUYÊN TỬ
I.1. Sự phức tạp của nguyên tử
Khái niệm nguyên tử ñã ñược Democritus ñề ra từ thế kỉ thứ 5 trước công nguyên,
tuy nhiên ñó mới chỉ là một khái niệm triết học. Đến ñầu thế kỉ 19 học thuyết nguyên tử
do Dalton ñề xuất mới trở thành một nền tảng vững chắc của khoa học hóa học. Sau ñó
người ta ñã xác ñịnh ñược khối lượng nguyên tử tương ñối của các nguyên tố theo chiều
tăng dần khối lượng nguyên tử. Tuy nhiên trong thế kỉ 19 các nhà hóa học vẫn coi
nguyên tử là hạt nhỏ nhất của vật chất, không thể phân chia ñược. Đến cuối thế kỉ 19 các
nhà khoa học mới phát hiện ra nhiều hiện tượng thực nghiệm chứng tỏ nguyên tử có cấu
tạo phức tạp.
I.1.1. Các hạt cơ bản tạo thành nguyên tử

I.1.1.1. Sự khám phá ra electron
Sự khám phá ra electron, mở ñầu cho quá trình nghiên cứu cấu tạo nguyên
tử, gắn liền với các thí nghiệm phóng ñiện qua khí loãng ñược tiến hành vào nửa sau thế
kỉ thứ 19. Trong một ống thủy tinh có gắn hai ñiện cực, ñã ñược hút chân không rất tốt
(áp suất ñạt tới dưới một vài phần trăm Torr). Khi tạo ra một hiệu ñiện thế rất cao (cỡ vài
vạn vôn trở lên) giữa hai ñiện cực thì cực âm (catôt) phát ra một chùm tia không nhìn
thấy ñược nhưng khi chùm tia ñập vào thành thủy tinh thì phát sáng, khi ñập vào màn
chắn có phủ ZnS thì trên màn chắn xuất hiện màu xanh lục. Chùm tia này ñược gọi là tia
âm cực hay tia catot. Chùm tia âm cực có thể làm quay cái chong chóng nhẹ ñặt trên
ñường ñi của nó và nó bị lệch trong một từ trường hay ñiện trường chứng tỏ ñó là một
dòng hạt vật chất. Đó là những hạt nhỏ mang ñiện âm (dựa vào chiều lệch trong từ trường
và ñiện trường). Các hạt tạo thành dòng tia âm cực ñược gọi là electron.
Vào những năm bản lề giữa thế kỉ 19 và thế kỉ 20, nhà vật lí học người Anh
Thomson ñã tiến hành những thí nghiệm ño ñộ lệch của tia âm cực trong ñiện trường và
từ trường. Nhờ vậy ông ñã xác ñịnh ñược vận tốc của hạt trong tia âm cực là vào khoảng

2.107 ms-1 và tỉ số ñiện tích so với khối lượng của hạt ñó bằng -1,76.108 c.g-1. Sau ñó
trong một loạt thí nghiệm tiến hành từ những năm 1908 ñến 1917, nhà vật lí học Mỹ
Millikan ñã xác ñịnh ñược ñiện tích electron tức là ñiện tích sơ cấp bằng -1,6.10-19 C.
Như vậy khối lượng của electron là:
m=

e
− 1,6.10 −19
=
= 9,09.10 − 28 g
8
e
− 1,76.10
m

Khi dùng các kim loại khác làm âm cực người ta ñều thu ñược tia âm cực tức là electron
có mặt trong tất cả các nguyên tử của mọi nguyên tố.

I.1.1.2. Sự khám phá ra proton
Hạt này do Rutherford khám phá ra năm 1911 theo phản ứng sau:
4
2

17
1
He + 14
7 N → 8 O +1 H

Bằng các phép ño chính xác Rutherford ñã xác ñịnh ñược khối lượng của proton là
mp=1,00728 ñvC. Proton mang ñiện dương (proton có một phần lõi nặng ở tâm, mang

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 2

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

khoảng 10% ñiện tích). Phần ñiện tích còn lại phân bố ở phần giữa và ở phần ngoài (cả 3
phần ñều mang ñiện dương).

I.1.1.3. Sự khám phá ra notron

Năm 1930 Bothe thấy rằng dùng hạt α bắn phá vào hạt nhân Berili (4Be9)
thì sinh ra những tia có khả năng ñâm xuyên sâu rất lớn. Lúc ñầu người ta cho rằng
những tia ấy là tia γ cứng ñược phát ra khi hạt nhân mới sinh ra là 6C13 chuyển từ trạng
thái kích thích về trạng thái bình thường. Phương trình phản ứng biểu diễn như sau:
9
4
13
13
4Be +2He →(6C )*→(6C )+γ
Trong giả thiết này thì photon (γ) sinh ra có năng lượng khoảng 7 Mev.
Năm 1932 ông bà Joliot Curie thấy rằng tác dụng ion hóa của các tia mới
tìm thấy này tăng lên rất nhiều nếu chúng ñi qua lớp paraphin (chứa nhiều nguyên tử
hydro). Từ thí nghiệm này họ tính toán năng lượng của photon(γ) khoảng 55 Mev chứ
không phải là 7 Mev như nói ở trên.

Để giải quyết mâu thuẩn trên, năm 1932 Chadwick giả thiết rằng tia sinh ra
khi ñập vào Be không phải là tia γ (photon) mà là các hạt trung hòa, có khối lượng bằng
khối lượng của proton và ông ñặt tên là notron (kí hiệu n)
9
4
12
1
4Be +2He →6C +0n
Notron không mang ñiện (vì phần lõi và phần giữa mang ñiện âm, phần
ngoài mang ñiện dương). Về giá trị, hai lượng ñiện tích âm và dương bằng nhau. Do ñó
nơtron trung hòa ñiện, nên ít tương tác với các nguyên tử ở cạnh ñường bay của nó, vì
vậy ñộ ñâm xuyên lớn và khả năng ion hóa kém. Khối lượng của nơtron bằng 1,00867
ñvC.
Hơn nữa còn có những thí nghiệm của W.Rontghen phát hiện ra tia X. Giáo
sư vật lí A. Becquerel ñã phát hiện ra hiện tượng phóng xạ.
Ngoài các phát minh ñã nêu còn có những hiện tượng khác chứng tỏ
nguyên tử rất phức tạp.
I.1.2. Mô hình nguyên tử có hạt nhân
Vào những năm 1900 sự phức tạp của nguyên tử ñã là ñiều hiển nhiên và
mọi người ñều chấp nhận rằng mỗi nguyên tử ñều có electron và ñều trung hòa về ñiện.
Cho ñến 1910, Rutherford ñã quyết ñịnh dùng hạt α ñể thăm dò cấu tạo của nguyên tử.
Ông dùng tia α phát ra từ nguồn phóng xạ bắn vào những lá vàng và các lá
kim loại mỏng. Các nhà nghiên cứu nhận thấy rằng hầu hết các hạt α ñều xuyên qua lá
vàng mà không bị lệch hướng hoặc lệch rất ít , ñiều ñó chứng tỏ không gian trong nguyên
tử phần lớn là không gian trống. Tuy nhiên họ nhận thấy thỉnh thoảng có một hạt bị lệch
rất mạnh, thậm chí có hạt hầu như bị bật trở lại.
Để giải thích kết quả này Rutherford ñã ñoán nhận bên trong nguyên tử phải có một ñiện
trường cực mạnh ñược sinh ra bởi ñiện tích dương tập trung trong một thể tích rất nhỏ và
có khối lượng rất lớn mới có thể làm cho một số hạt α bị lệch với những góc lớn.
Electron phải quay xung quanh hạt nhân theo quỹ ñạo tròn với tốc ñộ phù hợp ñể tạo ra

lực li tâm cân bằng với lực tĩnh ñiện.
Mô hình nguyên tử có hạt nhân của Rutherford tuy ñã giải thích ñược thí
nghiệm tán xạ α nhưng lại gặp khó khăn ñó là electron quay ñều ñặn xung quanh hạt
nhân giống như một dao ñộng ñiện nên sẽ phát ra sóng ñiện từ, tức là mất năng lượng và
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 3

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

cuối cùng electron phải rơi vào hạt nhân. Để giải quyết khó khăn ấy cần phải có mô hình
mới.
I.2. Mô hình của nguyên tử Bohr
I.2.1. Lượng tử năng lượng
Theo vật lí học kinh ñiển thì tự nhiên không có những bước nhảy vọt. Trong
trường hợp chung, các ñại lượng vật lí ñều có thể biến thiên một cách liên tục, nghĩa là
có thể nhận bất cứ giá trị nào ñó. Đối với trường hợp bức xạ ñiện từ thì một dao ñộng tử
tích ñiện có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng một cách liên tục, nghĩa là với bất cứ giá
trị năng lượng nào. Để ñưa vật lí học ra khỏi sự bế tắc về sự “khủng hoảng tử ngoại”,
Max Plank ñã ñưa ra một quan ñiểm khác với quan ñiểm trên và cho rằng một dao ñộng
tử dao ñộng với tần số υ chỉ có thể bức xạ hay hấp thụ năng lượng từng ñơn vị gián ñoạn,
từng lượng tử nhỏ một nguyên vẹn, gọi là lượng tử năng lượng ε; lượng tử năng lượng
này tỉ lệ với tần số υ của dao ñộng tử:
ε=hυ
Hệ số tỉ lệ h gọi là hằng số Planck.

h= 6,6256.10-27éc.s=6,6256.10-34 J.s
Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Planck là ñã phát hiện ra tính chất gián
ñoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của ñiện tử
trong nguyên tử, năng lượng quay, năng lượng dao ñộng của các nguyên tử hay nhóm
nguyên tử trong phân tử, v.v…Tiếp theo thuyết lượng tử Planck, người ta còn phát hiện
ra là tính chất gián ñoạn hay tính chất lượng tử không phải chỉ là ñặc tính riêng của năng
lượng mà là tính chất chung của nhiều ñại lượng vật lí khác. Thí dụ, ñối với chuyển ñộng
của ñiện tử trong nguyên tử thì ngoài năng lượng, các ñại lượng vật lí khác như momen
ñộng lượng, hình chiếu của momen ñộng lượng ñều nhận những giá trị gián ñoạn xác
ñịnh.
Riêng ñối với trường hợp dao ñộng trên, theo thuyết lượng tử Planck thì năng
lượng của dao ñộng tử dao ñộng với tần số υ chỉ có thể nhận những giá trị gián ñoạn:
0,hυ, 2hυ, 3hυ, 4hυ…
Nghĩa là bội số nguyên lần lượng tử năng lượng ε=hυ;
E=nε=nhυ
(n=0,1,2,3…)
Mô hình nguyên tử của Rutherford không thể giải thích ñược quang phổ vạch
của nguyên tử hydro cũng như của các nguyên tử khác, chứng tỏ mô hình ñó còn chưa
phản ánh ñược những ñặc ñiểm quan trọng của cấu tạo nguyên tử. Để giải quyết vấn ñề
này nhà bác học Đan Mạch Niels Bohr, học trò của Rutherford ñã áp dụng quan niệm
lượng tử của Planck vào lí thuyết cấu tạo nguyên tử, nhờ vậy ñã giải thích thành công
quang phổ nguyên tử hydro.
I.2.2. Mô hình nguyên tử Bohr
Trong nguyên tử electron không thể quay trên quỹ ñạo bất kì mà chỉ có thể
quay trên những quỹ ñạo xác ñịnh gọi là quỹ ñạo dừng. Khi quay trên quỹ ñạo dừng năng
lượng electron ñược bảo toàn (ñiều này trái với lí thuyết ñiện ñộng lực học cổ ñiển).
Nguyên tử chỉ hấp thụ hay giải phóng năng lượng khi electron chuyển dời từ
quỹ ñạo dừng này sang quỹ ñạo dừng khác. Nếu gọi E n , E n là năng lượng của electron
1

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 4

2

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

trên quỹ ñạo trước và sau khi chuyển dời, ∆E là hiệu của hai mức năng lượng thì lượng tử
năng lượng của bức xạ ñiện từ ñơn sắc bị hấp thụ hay giải phóng sẽ là:
(2-1)
∆E= En - En = hυ
Ta hãy áp dụng lí luận của Bohr cho nguyên tử hydro và các ion tương tự hydro như một
hệ gồm electron mang ñiện tích –e và hạt nhân mang ñiện tích +Ze.
Khi áp dụng giả thiết thứ nhất Bohr cho rằng quỹ ñạo dừng là quỹ ñạo mà momen
ñộng lượng của một vòng quay là bội số nguyên của lượng tử của momen ñộng lượng,
tức là h.
1

2

mνr=n ℏ ⇒mνr=n
Trong ñó: ℏ =

h

2π

(2-2)

h
, ν là vận tốc của electron, n là số nguyên, về sau là lượng tử số chính, r
2π

là bán kính quỹ ñạo. Khi n=1 electron quay ở quỹ ñạo gần hạt nhân nhất.
Khi quay trên quỹ ñạo như vậy electron cũng chịu tác dụng của hai lực cân
bằng là lực li tâm bằng

mv 2
Ze 2
và lực hút tĩnh ñiện bằng
. Z là ñiện tích hạt nhân khi
r
4πε 0 r 2

lấy trị tuyệt ñối của ñiện tích dương (e) làm ñơn vị, ε 0 là hằng số ñiện môi của chân
không.
mv 2
Ze 2
Ze 2
2
=
⇒
mv
r=
4πε 0 r 2

r
4πε 0

(2-3)

Bình phương phương trình (2-2) rồi chia cho (2-3), sau ñó sắp xếp lại ta sẽ ñược biểu
thức tính bán kính rn của quỹ ñạo electron trong nguyên tử khi số lượng tử chính là n:
2
2 ε 0h
rn = n
(♣)
mZe 2π
Đối với nguyên tử hydro, Z=1, bán kính của quỹ ñạo gần nhân nhất khi n=1,
thay ε 0 = 8,85419.10 −12 J-1c2m-1 và π=3,14159, khối lượng electron m=9,10939.10-31 kg,
năng lượng của electron khi quay trên quỹ ñạo (thứ n) gồm ñộng năng và thế năng:
En=Eñ+Et
mv 2
2
− Ze 2
Thế năng Et =
4πε 0 r

Động năng Eñ =

Khi cân bằng, lực li tâm bằng lực hút tĩnh ñiện nên:
mv 2
Ze 2
=
r
4πε 0 r 2

(2-4)

Ze 2
Nên E ñ =
8πε 0 r

r ñược tính từ (♣), do ñó năng lượng toàn phần của electron khi chuyển ñộng quay trên
quỹ ñạo thứ n là:
En =

− 1 mZ 2 e 4
.
n 2 8ε 02 h 2

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

(2-5)
Trang 5

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Khi n hữu hạn En có giá trị âm. Khi n→∞ thì En→0. Do ñó mức 0 là mức năng
lượng của electron tự do.
Khi quay trên quỹ ñạo thứ nhất của nguyên tử hydro, electron có năng lượng là:

E1 =

− me 4
8ε 02 h 2

(2-6)

Thay giá trị của các hằng số vào ta sẽ ñược: E1 = −2,17987.10 −18 J.
Áp dụng giả thiết thứ hai của Borh ta có thể tính ñược tần số hoặc bước sóng
hoặc số sóng của các vạch trong phổ phát xạ của nguyên tử hydro. Khi ñó ta chú ý rằng
bình thường khi không bị kích thích electron trong nguyên tử hydro quay trong quỹ ñạo
dừng với n=1, nguyên tử hydro ở trạng thái bền nhất gọi là trạng thái cơ bản. Khi ta
phóng ñiện nguyên tử hydro nhận năng lượng và chuyển sang trạng thái kích thích.
Electron chuyển sang các quỹ ñạo xa nhân hơn có số lượng tử lớn hơn 1. Tuy nhiên trạng
thái kích thích là trạng thái kém bền chỉ tồn tại trong một thời gian rất ngắn, khoảng 10-9
ñến 10-8 s, rồi electron trở về quỹ ñạo có n=1 bằng nhiều cách, ñồng thời phát ra bức xạ
ñiện từ mà ta thu ñược dưới dạng các vạch phổ.
Ngoài nguyên tử hydro, những hệ có một electron và một hạt nhân như các ion
+
2+
He , Li ,Be3+,…cũng ñược nghiên cứu theo lí luận của Bohr và cho kết quả phù hợp
giữa thực nghiệm và lí thuyết.
Như vậy thuyết Bohr ñã thành công trong việc tính toán quang phổ của hệ nguyên tử có
một electron.
Sau ñó vào những năm 1916-1925 A.Sommerfeld (Đức) và những người khác
ñã xây dựng lí thuyết cấu tạo nguyên tử nhiều electron. Ngoài quỹ ñạo tròn, Sommerfeld
còn giả thiết có những quỹ ñạo elip. Khi ñó kích thước và cách phân bố các quỹ ñạo cũng
tuân theo quy tắc lượng tử hóa, nhờ vậy ñã giải thích ñược một số hiện tượng trong quang
phổ (cấu tạo tinh tế, sự tách vạch khi có từ trường, ñiện trường…).
Tuy nhiên thuyết Bohr- Sommerfeld thể hiện nhiều thiếu sót không ñáp ứng

các yêu cầu của khoa học hiện ñại. Trước hết quy tắc lượng tử này có tính chất áp ñặt,
không ñược rút ra từ các ñịnh luật chung của cơ học và ñiện ñộng lực học. Kết quả tính
toán của thuyết này về cường ñộ và ñộ bội của vạch quang phổ không hoàn toàn phù hợp
với kết quả thực nghiệm. Một thiếu sót quan trọng nữa là thuyết Bohr-Sommerfeld không
thể giải thích ñịnh lượng liên kết hóa học.
Mặt khác sự phát hiện ra lưỡng tính sóng –hạt của vật chất và sự hình thành cơ
học lượng tử ñã tạo ra một cơ sở mới vững vàng cho việc khảo sát nguyên tử và phân tử,
do ñó khoa học bước vào một thời ñại mới.
I.3. Tính chất của hạt vi mô. Cách miêu tả trạng thái vi mô. Khái niệm cơ học
lượng tử
I.3.1.Tính chất của hạt vi mô
Đối với hạt vi mô (như electron chẳng hạn) thì có tính chất là lưỡng tính sóng hạt.

I.3.1.1. Tính chất sóng của hạt vi mô
Để hiểu rõ hơn về tính chất sóng của hạt vi mô ta làm thí nghiệm như sau:

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 6

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

P12=P1+P2

P12

x

P2

P1

x

Bia

1

2

H.3-1
Dùng một khẩu súng máy bắn ñạn thật vào một tấm bia như hình (H.3-1),
số lượng ñạn ñược phân bố ñều theo mọi phương. Khi bắn qua khe 1 (bịt khe 2) ta ñược
ñường cong P1, biểu diễn số ñạn trúng vào bia. Khi bắn qua khe 2 (bịt khe 1) ta ñược
ñường cong P2. Khi ñồng thời bắn qua cả hai khe ta ñược ñường cong P12, thí nghiệm
chứng tỏ P12= P1+P2.
Vậy số ñạn ñi qua hai khe ñộc lập nhau, chứng tỏ xác suất có tính tổng.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 7

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Thay súng bằng nguồn sáng ñơn sắc và thay bia bằng màn chắn sáng như
hình (H.3-2). ψ1,ψ2 biểu diễn hàm sóng của ánh sáng ñi qua từng khe.
| ψ1 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng qua màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe
1.
| ψ2 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe
2.
| ψ12 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñồng thời
ñi qua 2 khe.
Thí nghiệm chứng tỏ | ψ12 |2 ≠| ψ1 |2 +| ψ2 |2, ñiều này gây nên bởi sự giao
thoa của hai chùm ánh sáng ở phía sau khe. Ánh sáng tổng hợp là ψ12 =ψ1+ψ2 nhưng do
sự lệch pha về dao ñộng giữa 2 chùm tia nên:
| ψ12 |2 ≠| ψ1 |2+| ψ2 |2

ψ122

x

|ψ1|2

|ψ2|2

x

Tường có 2 khe
1

2

Nguồn sáng ñơn sắc
H.3-2

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 8

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Thay nguồn sáng bằng nguồn electron, thay màn chắn sáng bằng màn phát
quang. Mỗi electron ñập lên màn phát quang sẽ cho một chấm sáng. Cường ñộ sáng tại
một ñơn vị diện tích trên màn phát quang tỉ lệ với số electron ñập vào ñơn vị ñó trong
một ñơn vị thời gian. Thí nghiệm chứng tỏ số electron phân bố trên màn phát quang tỉ lệ
với số electron ñập vào ñơn vị ñó trong một ñơn vị thời gian. Thí nghiệm chứng tỏ số
electron ñược phân bố trên màn phát quang giống như sự phân bố cường ñộ sáng trên
màn chắn sáng và | ψ12 |2 ≠| ψ1 |2+| ψ2 |2. Tìm cách giảm số lượng electron ñi qua từng
khe ñến mức chỉ còn từng electron lần lượt ñi qua khe ta thấy: khi số electron ñi qua khe
còn ít thì các chấm sáng tản mạn trên màn, chỉ khi số lượng electron ñập lên trên màn ñủ
lớn thì mới quan sát ñược ñầy ñủ hình ảnh nhiễu xạ.
Kết quả thí nghiệm trên cho phép ta kết luận:
-Quy luật chuyển ñộng của các electron khác với quy luật chuyển ñộng
của các viên ñạn, nghĩa là quy luật chuyển ñộng của các hạt vi mô khác với quy luật
chuyển ñộng của các hạt vĩ mô.
-Xác suất tìm thấy hạt ñược biểu thị bằng bình phương modun của hàm
sóng. Xác suất tìm thấy hạt qua khe 1 hoặc khe 2 là kết quả giao thoa của các hàm sóng

ψ1 và ψ2.
-Số lượng electron tại một vị trí nào ñó trong không gian tỉ lệ với bình
phương mô ñun của hàm sóng, quan niệm này cũng phù hợp với các photon.

I.3.1.2. Tính chất hạt của hạt vi mô
Vật lí cổ ñiển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm ñối với các hiện tượng
vật lí mà người ta ñã biết ñến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống hoàn chỉnh và chặt chẽ
trong phạm vi ứng dụng của nó.
Theo cổ ñiển thì các loại bức xạ như tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại,
tia Rơntghen, tia γ ñều là sóng ñiện từ lan truyền trong không gian. Năng lượng của sóng
thì tỉ lệ với bình phương biên ñộ nên chúng có thể có giá trị liên tục. Nghĩa là một vật có
thể phát ra hay thu vào (dưới dạng bức xạ) những lượng năng lượng tùy ý. Do ñó giá trị
năng lượng của một vật là tùy ý (giá trị ñó lắp ñầy trục số). Quan niệm này không thể
chấp nhận ñược trong vật lí học hiện ñại, nó không giải thích ñược một số hiện tượng vật
lí mà ta gặp, chẳng hạn như bức xạ của vật ñen.
Ta hãy dùng giả thuyết của Planck ở trên ñể giải thích hiệu ứng quang ñiện sau
ñây:

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 9

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

A

V

E
C

H.3-3
Sơ ñồ thí nghiệm ñược bố trí như hình vẽ (H.3-3). Chiếu ánh sáng ñơn sắc vào
catot (K) thì có thể làm bật electron ra khỏi kim loại và có dòng ñiện trong mạch, ñó là
dòng quang ñiện. Thí nghiệm cho biết ñối với kim loại làm catot ta có:
Nếu ω< ω0 thì không có electron phát ra.
Nếu ω>ω0 thì có electron phát ra.
Trong ñó ω: tần số góc dao ñộng ñiều hòa của electron, ω0: giới hạn quang ñiện (giới hạn
ñỏ của kim loại làm catot.
Động năng ban ñầu của electron phát ra phụ thuộc tuyến tính vào tần số ω chứ
không phụ thuộc vào cường ñộ ánh sáng.
Số electron phát ra phụ thuộc vào cường ñộ ánh sáng.
Hiện tượng trên gọi là hiệu ứng quang ñiện. Einstein ñã dựa vào giả thuyết của
Planck và giải thích mĩ mãn hiện tượng này như sau:
Ông cho rằng ánh sáng là một dòng hạt photon, mỗi hạt mang một năng lượng
bằng lượng tử ε.
Nếu năng lượng của photon lớn hơn công thoát A ñể làm thoát electron ra khỏi
kim loại thì có sự phát ra electron ra khỏi catot và có dòng quang ñiện chạy trong mạch.
Ta có:
ε= hυ = ℏω > A ⇒ ω >

A
= ω0
ℏ

Mỗi photon chỉ tương tác với một electron và trao toàn bộ năng lượng của nó cho

electron này. Một phần năng lượng này làm công thoát A, còn bao nhiêu làm ñộng năng
ban ñầu cho electron. Suy ra:
ε= hυ = ℏω = A +

me v 2
m v2
⇒ e = ℏω − A
2
2

Nghĩa là ñộng năng phụ thuộc tuyến tính vào tần số của ánh sáng.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 10

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Vì mỗi photon chỉ tác dụng với một electron nên khi cường ñộ ánh sáng tăng (mật
ñộ hạt lớn) thì số electron bứt ra khỏi catot cũng tăng. Tức số electron bứt ra khỏi catot
thì tỉ lệ với cường ñộ ánh sáng.
Nếu ω<ω0 thì không có electron bứt ra khỏi catot, vì ℏω < A , do ñó không có dòng
quang ñiện, dù cho cường ñộ ánh sáng có mạnh ñến mấy ñi chăng nữa.
Vậy ta thừa nhận ánh sáng là một dòng hạt photon, mỗi photon mang một năng lượng là
8
ℏω và chuyển ñộng với vận tốc c=3.10 m/s trong chân không.

Nếu ánh sáng là hạt photon thì photon cũng phải có xung lượng.Ta hãy tính xung
lượng của photon.
Theo Einstein thì mỗi hạt có năng lượng là ε và có hệ thức:
ε2=p2c2+m02c4
Với photon thì khối lượng nghỉ m0=0, do ñó ε=pc.
Từ ñó ta suy ra:
ε hυ ℏω
h
p= =
=
với ℏ =
(3.1)
c
c
c
2π
→

Ánh sáng có tính chất sóng nên có vectơ sóng k , có ñộ lớn là:
→
2π 2π ω
| k |=
=
=
λ
cT c
Kết hợp (3.1) và (3.2) ta suy ra
→

(3.2)

→

p=kℏ

Là xung lượng của photon
→

Vậy chùm sáng có tần số ω, vectơ sóng là k , coi như một dòng hạt photon có năng lượng
và xung lượng là:
→

→

ε = hυ = ℏω ; p = k ℏ
Giả thuyết về photon giải thích ñược nhiều hiện tượng và ñược công nhận cho ñến ngày
nay.

I.3.2. Cách miêu tả trạng thái vi mô
Theo cơ học cổ ñiển người ta ñã vẽ quỹ ñạo của hạt ñể mô tả trạng thái của hạt
tức là hoàn toàn xác ñịnh ñược tọa ñộ và vận tốc của hạt và khi ñó ta cũng xác ñịnh ñược
giá trị của tất cả các ñại lượng khác tại trạng thái ñã cho.
Đối với hạt vi mô do có tính chất sóng trong chyển ñộng của chúng nên có thể
chứng minh ñược rằng tọa ñộ và vận tốc của hạt không thể xác ñịnh ñược ñồng thời và
chính xác, do ñó không thể vẽ ñược quỹ ñạo chuyển ñộng của hạt. Điều này ñược biểu
diễn qua công thức:
∆x.∆Px ≥

h
2π

Trong ñó: ∆x là ñộ bất ñịnh hay sai số của phép ño tọa ñộ theo trục x.
∆Px là ñộ bất ñịnh hay sai số của phép ño thành phần ñộng lượng theo trục x.
Vì vậy nếu ∆x chính xác thì ∆Px không chính xác và ngược lại.
Từ ñó ñể mô tả trạng thái của hạt chuyển ñộng trong cơ học lượng tử người ta
dùng tiên ñề sau:“ trạng thái chuyển ñộng của một hạt vi mô (hay một hệ hạt vi mô) ñược
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 11

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

mô tả bằng một hàm của tọa ñộ, kí hiệu là ψ(q) trong ñó q là kí hiệu tổng quát chỉ tọa ñộ
của hạt. Hàm số này ñược gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái.
Ý nghĩa vật lí của hàm sóng: bình phương trị tuyệt ñối của hàm sóng tại một tọa ñộ xác
ñịnh |ψ(q)|2 biểu thị mật ñộ xác suất tìm thấy hạt (hay hệ hạt), tại một tọa ñộ q ñã cho.
Từ việc tìm ra tính chất lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô cộng với tất cả
những thiếu sót ñã dẫn ñến những mâu thuẩn và bế tắc cho lí thuyết Bohr ñã mở ñường
cho một lí thuyết mới. Đó là cơ học lượng tử- một lí thuyết có khả năng giải quyết chính
xác và ñúng ñắn mọi hiện tượng và quy luật của thế giới vi mô xảy ra trong nguyên tử và
hạt nhân. Tuy thuyết Bohr chỉ tồn tại trong mười lăm năm, nhưng với những ý tưởng và
thành công ñộc ñáo của mình, thuyết Bohr vẫn xứng ñáng là chiếc cầu nối không thể
thiếu ñược của hai giai ñoạn phát triển của vật lí học, từ vật lí cổ ñiển sang vật lí lượng
tử.
I.3.3. Khái niệm về cơ học lượng tử

Đối với các hạt vi mô, do tính chất sóng nên không còn khái niệm quỹ ñạo,
mặt khác việc xác ñịnh tọa ñộ và vận tốc của hạt luôn luôn nằm trong một tọa ñộ bất ñịnh
nào ñó nên kết quả khảo sát mang tính chất thống kê. Vì vậy cơ học lượng tử dùng
phương pháp khảo sát khác dựa vào những khái niệm sau ñây:

I.3.3.1. Hàm sóng
Theo ĐơBrơi một hạt chuyển ñộng tự do ứng với một sóng phẳng. Do ñó
trước tiên cần nhắc lại biểu thức của sóng phẳng.
Trong cơ học ta biết một sóng phẳng lan tuyền trong không gian theo
phương x với vận tốc v ñược biểu diễn bằng một hàm tuần hoàn dạng sin hoặc cosin:
x
v

u= A cosω(t- )
thay ω = 2πυ và ν = λυ , ta có:
u= A cos 2π (υt-

x

)
λ
ñể thuận tiện trong tính toán, người ta sử dụng biểu thức sóng phẳng qua biểu thức hàm
phức:
u = Ae

x
± 2 iπ (υt − )

λ

Trong ñó chỉ có phần thực là có ý nghĩa.
Đối với sóng ĐơBrơi, mặc dù ta chưa xác ñịnh bản chất của nó nhưng có
thể áp dụng một cách hình thức biểu thức sóng phẳng trong cơ học của nó:
x
± 2 iπ (υt − )

ψ(x,t)=A e
Từ công thức ĐơBrơi ta có:
υ=
λ=

λ

E
h

h
thay vào trên ta ñược:
p

ψ(x,t)=A e

E p
±i ( t − x )
ℏ
ℏ

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 12

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí
i
± ( Et − p x )

ψ(x,t)=A e ℏ
(3.3)
Cần chú ý rằng trong cơ học lượng tử dùng hàm sóng dưới dạng phức là bắt
buộc chứ không phải do thuận tiện, hay nói cách khác hàm sóng trong cơ học lượng tử
ñều là phức.
Mở rộng công thức (3.3), cho hạt chuyển ñộng tự do theo phương bất kì ta có biểu thức
tổng quát của hàm sóng là:
Hay

→

ψ ( r , t ) = Ae

→→
i
− ( Et − p r )
ℏ

Hoặc:
i

− Et

i

( xp x + yp y + zp z )

ψ ( x, y, z, t ) = Ae ℏ .e ℏ
Nếu hạt chuyển ñộng trong trường trọng lực ta chỉ xét trường hợp trường
lực thế dừng (thế năng U không phụ thuộc vào t). Ví dụ như electron chuyển ñộng trong
nguyên tử dưới tác dụng của trường lực của hạt nhân. Đương nhiên sóng ĐơBrơi không
phải là sóng phẳng nữa. Nhưng do trường lực là dừng nên trong biểu thức của hàm sóng,
phần phụ thuộc vào thời gian ñược giữ nguyên. Do ñó hàm sóng bây giờ có dạng:

ψ ( x, y, z, t ) = A.e

i
− Et
ℏ

.ψ ( x, y, z )

(3.4)

(3.4) là nghiệm của phương trình Schrodinger.
Hàm ψ(x,y,z) ñược gọi là hàm sóng chứa mọi thông tin về hệ, vì thế người
ta nói trạng thái của hệ ñược ñược mô tả bởi hàm sóng. Bản thân hàm ψ không có ý
nghĩa vật lí cụ thể, nhưng bình phương của nó |ψ(x,y,z)|2 thì có ý nghĩa là mật ñộ xác suất
có mặt của hệ tại tọa ñộ (x,y,z).
Đại lượng |ψ(x,y,z)|2 dxdydz là xác suất có mặt của hệ tại nguyên tố thể
tích dV=dx.dy.dz bao quanh ñiểm (x,y,z).

I.3.3.2. Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lý
Đối với các hạt vi mô có tính chất sóng trong chuyển ñộng vì không thể xác
ñịnh chính xác ñồng thời vận tốc và tọa ñộ của hạt nên cách mô tả trạng thái chuyển ñộng
của hạt trở nên kém chi tiết. Do ñó ta chỉ có thể xác ñịnh chính xác một số ñương lượng
vật lí ñặc trưng cho trạng thái của hệ.
Trong chương này ta xét cấu tạo nguyên tử tức là xác ñịnh ñược trạng thái
của ñiện tử ở trong nguyên tử. Trong nguyên tử, ñiện tử chuyển ñộng trong trường ñối
xứng tâm do ñiện tích dương của hạt nhân gây ra. Nên bộ ñầy ñủ các ñại lượng vật lí ñặc
trưng cho trạng thái của ñiện tử là: năng lượng, ñộ lớn của momen ñộng lượng, hình
chiếu của momen ñộng lượng và hình chiếu của momen ñộng lượng spin.

I.3.3.3. Phương trình Schrodinger
Cơ học lượng tử ñược xây dựng từ một số cơ sở (hàm sóng, toán tử,
phương trình hàm riêng trị riêng, nguyên lí chồng chất) ñòi hỏi phải có sự chuẩn bị toán
học công phu. Ở ñây chỉ giới thiệu phương trình sóng và kết quả áp dụng phương trình
sóng khảo sát một số hệ ñơn giản và nguyên tử.
Trong cơ học lượng tử, các quy luật chuyển ñộng của hạt vi mô ñược biểu
diễn bằng phương trình sóng. Phương trình này có vai trò như các ñịnh luật Newton trong
cơ học cổ ñiển. Phương trình sóng ñược thiết lập vào năm 1926 bởi Erwin Schrodinger,

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 13

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

nhà bác học người Áo giảng dạy tại trường ñại học tổng hợp Berlin, bằng cách so sánh sự
tương ñồng giữa sóng liên kết của hạt chuyển ñộng với quá trình truyền sóng quang học.
Phương trình sóng của Schrodinger là phương trình vi phân ñạo hàm riêng.
Đối với một hạt chuyển ñộng trong không gian ba chiều, dưới tác dụng của một trường
ngoài (ví dụ ñiện trường), phương trình Schrodinger có dạng:
− h2  ∂ 2
∂2
∂2 

ψ + Vψ = Eψ (ở ñây hệ chỉ có một hạt)
+
+
8π 2 m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 

Trong ñó m là khối lượng hạt, V là thế năng của hạt, E là năng lượng toàn phần của hạt,
nghiệm của phương trình ψ là hàm của tọa ñộ (x,y,z).
Kí hiệu:
∂2
∂2
∂2
+
+
= ∇2
2
2
2
∂x
∂y

∂z

ñược gọi là toán tử Laplace, ñó là phép toán lấy ñạo hàm bậc hai ñối với hàm sóng.
Phương trình Schrodinger có thể viết gọn thành:
∧

H ψ = Eψ

Được gọi là toán tử Hamilton hay toán tử năng lượng.
∧

H=

− h2 2
∇ +V
8π 2 m

Hay viết gọn hơn:
∧

H=

Trong ñó ℏ =

− ℏ2 2
∇ +V
2m

h
2π

∧

Số hạng thứ nhất trong biểu thức của H là

− ℏ2 2
∇ tương ứng với ñộng
2m

năng của hạt (gọi là toán tử ñộng năng), V là toán tử thế năng (chỉ là phép nhân với thế
năng).
∧

Tùy theo từng hệ số cụ thể, toán tử thế năng và do ñó toán tử H có dạng
tương ứng, khi ñó có phương trình Schrodinger tương ứng của hệ. Giải phương trình
Schrodinger ta sẽ ñược nghiệm là hàm ψ(x,y,z) cùng với năng lượng E tương ứng.
Như vậy cấu tạo nguyên tử theo quan ñiểm cơ học lượng tử là hoàn thiện
nhất. Bây giờ ta bắt ñầu nghiên cứu các nguyên tử từ ñơn giản ñến phức tạp.
I.4. Nguyên tử một electron
Trong trường hợp gần ñúng có thể coi như hạt nhân ñứng yên vì có khối lượng
lớn, trọng tâm của hệ nguyên tử trùng với tâm của hạt nhân và lấy tâm hạt nhân làm gốc
tọa ñộ. Khi ñó ta chỉ xét chuyển ñộng của electron trong không gian dưới tác dụng của
ñiện trường gây ra bởi ñiện tích của hạt nhân (trường Culông). Xét hạt có khối lượng m0
chuyển ñộng trong một trường lực có thế năng V(r) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ
gốc tọa ñộ. Bây giờ ta tìm phương trình chuyển ñộng của electron này.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 14

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh

Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

I.4.1. Phương trình Schrodinger
Ta ñã biết toán tử năng lượng có dạng:
∧

H=

− ℏ2 2
∇ + V (r )
2mo

Dùng tọa ñộ cầu (r,θ,ϕ) thay cho tọa ñộ Descartes. Quan hệ giữa hai tọa ñộ như sau:
x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
Ta có công thức của biểu thức toán tử Laplaxơ:
∇2 = ∆ =

1
[ ∂ ( h2 h3 ∂ ) + ∂ ( h3 h1 ∂ ) + ∂ ( h1h2 ∂ )
h1 h2 h3 ∂q1 h1 ∂q1
∂q 2 h2 ∂q 2
∂q3 h3 ∂q3

]

Trong ñó:
h1,h2, h3: ñược gọi là các hệ số Lame với công thức:
hi2 = (

∂x 2
∂y 2
∂z 2
) +(
) +(
)
∂q i
∂q i
∂qi

qi: là biến số.
Áp dụng công thức trên ta tìm ñược biểu thức ∇ 2 trong hệ tọa ñộ cầu.

∧

∂
∂2
1 ∂ 2 ∂
1 1 ∂
1
r
+
+
(
)
(sin

)
)
θ
∂r
∂θ
r 2 ∂r
r 2 sin θ ∂θ
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
1 ∂
∂
1
= 2 (r 2 ) + 2 ∇ 2 (θ , ϕ )
∂r
r ∂r
r

Vậy H trong tọa ñộ cầu là:
∧

H=

ℏ2 1 2
− ℏ2 1 ∂ 2 ∂
(
r
)
−
∇ (θ , ϕ ) + V (r )
2m0 r 2 ∂r
∂r

2m 0 r 2
∧

Do ñó phương trình trị riêng của H là:
 − ℏ2 ∂ 2 ∂

ℏ2
(
r
)
−
∇ 2 (θ ,ϕ ) + V (r )ψ (r ,θ ,ϕ ) = Enψ (r ,θ ,ϕ )

2
2
∂r
2m0 r
 2m0 r ∂r


Đây là phương trình Schrodinger cho nguyên tử một electron.
I.4.2 .Giải phương trình Schrodinger ñể tìm năng lượng của hàm sóng
Ta ñã biết:
∧

L2 = −ℏ 2 ∇ 2 (θ , ϕ )
∧
∂
L z = −iℏ
∂ϕ

∧

∧

So sánh hai toán tử này với toán tử H ta thấy cả ba số hạng của H ñều giao
hoán ñược với nhau, do ñó chúng có chung hàm riêng. Gọi hàm riêng chung ứng với các
trị riêng En, l (l + 1)ℏ 2 , m ℏ của 3 toán tử trên là ψ n ,l ,m = Rn,l (r )Yl m (θ , ϕ ) (*). Trong ñó Rn , l là
∧

phần phụ thuộc r của hàm sóng. Ta hãy viết lại phương trình trị riêng cho H với chú ý
∧

biểu thức của L2 trong tọa ñộ cầu thì phương trình như sau:
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 15

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí
∧

− ℏ2 1 ∂ 2 ∂
L2
m
(r
) Rn,l Yl +

Rn ,l Yl m + V (r ) Rn ,l Yl m = E n Rn,l Yl m
2
2
2m0 r ∂r
∂r
2 m0 r
Ở vế trái ta thấy trong số hạng ñầu toán tử chỉ tác dụng lên Rn , l . Các số hạng khác trong

phương trình chỉ là phép nhân của các hàm số, do ñó ta có thể bỏ phần Yl m ở cả hai vế của
phương trình. Khi ñó phương trình trở thành:
∧

− ℏ2 1 ∂ 2 ∂
L2
(r
) Rn, l +
Rn, l + V (r ) Rn, l = En Rn ,l
2m0 r 2 ∂r
∂r
2m0 r 2

Ta ñặt Rn,l =

χ n,l
r

(4.1)

. Với Rn ,l , χ n,l là hàm của r.

Sau ñây ta chỉ viết R,χ cho ñơn giản chú ý rằng:
1 ∂  2 ∂ χ  1 ∂  2 1 ∂χ χ 
r
r (
( ) =
− )
r 2 ∂r  ∂r r  r 2 ∂r  r ∂r r 2 

Tiếp tục biến ñổi ta ñược:
1 ∂  2 ∂ χ 

1 ∂  ∂χ

r
( )  = 2 ( r
− χ ) =

r ∂r  ∂r r  r ∂r  ∂r

2

1 ∂χ
∂ 2 χ ∂χ
(
+
r
− )
r 2 ∂r
∂r 2 ∂r
1 ∂2χ

=
r ∂r 2

=

Do ñó phương trình (4.1) trở thành:
− ℏ 2 ∂ 2 χ l (l + 1)ℏ 2 χ
2m0 r ∂r

2

+

2m0 r

2

r

+ V (r )

χ
r

= En

χ
r

Hay:

− ℏ2 d 2χ
l (l + 1)ℏ 2  χ
− [En − V (r ) −
 =0
2m0 r dr 2
2m0 r 2  r

Hay:

d 2 χ 2m0
l (l + 1)ℏ 2  
{
E
V
(
r
)
χ =0
+
−
+

n
2 
dr 2
2
m
r
ℏ2


0




Đặt Vl (r ) = V (r ) +

(4.2)

l (l + 1)ℏ 2
thì phương trình trên trở thành:
2m0 r 2

d 2 χ 2m0
+ 2 [En − Vl (r )]χ = 0
dr 2
ℏ

Đây là phương trình Schrodinger một chiều với thế năng Vl (r ) . Ta giả thiết rằng khi r→0
thì Vl (r ) →∞ chậm hơn

1
r2

Do ñó khi r≈0 thì thế năng ñã bằng vô cùng rồi. Tức là hạt không bao giờ tới
ñược trường (r=0). Nghĩa là hàm sóng χ(r)=rR(r)=0 khi r=0. Như vậy bài toán xuyên tâm
trở thành bài toán một chiều với ñiều kiện χ(r)=0 khi r=0.

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 16

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Bây giờ ta giải phương trình (4.2) với trường hợp r nhỏ. Khi ñó so với số hạng
l (l + 1)ℏ
thì ta có thể bỏ qua các số hạng Envà V(r). Ta ñược phương trình:
2m0 r 2
2

d 2 χ l (l + 1)
−
χ =0
dr 2
r2
d2
l (l + 1)
⇔ 2 (rR) −
(rR) =0
dr
r2
d d
l (l + 1)
⇔
(rR ) −

R=0
dr dr
r
d
d
l (l + 1)
⇔ (R + r
R) −
R=0
dr
dr
r
d
d
d 2 R l (l + 1)
R=0
⇔ R+
R+r 2 −
dr
dr
dr
r
d
d 2 R l (l + 1)
⇔2 R + r 2 −
R=0
dr
dr
r

Nhân hai vế của phương trình trên với r và biến ñổi ta ñược:
d
d 2R
R + r 2 2 − l (l + 1) R = 0
dr
dr
d
d
⇔ (r 2 R) − l (l + 1) R = 0
dr
dr
2r

(4.3)

Giả sử rằng nghiệm tìm ñược có dạng Rn ,l (r ) =const.rs. Thay vào phương trình (4.3) ta
ñược:
d  2 d (r s ) 
s
r
 − l (l + 1)r = 0
dr 
dr 
d
( sr s +1 ) − l (l + 1)r s = 0
dr
s(s+1)rs= l (l + 1) rs
s(s+1)= l (l + 1)
⇒s= l
Và s=-( l +1), nghiệm này không thỏa mãn ñiều kiện vật lí. Vì khi ñó

const
χ (r ) = l +1 = ∞ khi r→0 trái với ñiều kiện ñã ñưa ra ở trên là hàm sóng bằng 0 khi r=0.
r
Vậy Rn, l (r ) =const r l

Ta ñã tìm ñược phần phụ thuộc r của hàm sóng dưới dạng tổng quát.
Nguyên tử hydro và các ion tương tự mang ñiện tích +Ze ở hạt nhân và có
một electron bay xung quanh hạt nhân. Lực tương tác giữa electron và hạt nhân là lực hút
tĩnh ñiện có biểu thức tính là:
Ze 2
F= 2
r

Lực này có thế năng là V(r). Ta hãy tìm hiểu biểu thức của V(r).
→

Vì F là lực thế chỉ phụ thuộc vào r nên ta có
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 17

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

→

F =-gradV=→

∂V →
r0
∂r

→

→ -Fdr=-dV( F ngược chiều với r0 )
Hay
Ze 2
dr = dV
r2
0
r
1
2
⇔ KZe ∫ 2 dr = ∫ dV
r
0
∞
K

⇔ −K

Ze 2
=V
r

Vì hạt nhân có khối lượng lớn hơn khối lượng của electron nhiều nên ta coi hạt nhân

ñứng yên. Vậy bài toán chuyển ñộng của electron trong nguyên tử hydro và các ion tương
tự là bài toán chuyển ñộng trong trường xuyên tâm với thế năng có biểu thức như trên.
Do ñó phương trình mô tả chuyển ñộng của electron như sau:
2m
l (l + 1) 
1 d 2 d
(r
) + 2 0 [En − V (r )] −
 2
 R(r ) = 0
ℏ
dr
r2 
 r dr

(4.4)

Ta hãy xét chuyển ñộng của electron lúc nguyên tử chưa bị ion hóa, năng lượng của
electron (cũng như năng lượng của nguyên tử) có giá trị âm.
Tức là:
En= -|En|
Để giải phương trình trên ta hãy ñưa vào một biến số mới và các hằng số phụ sau:
q=αn.r (αn là hằng số)
8m0 | En |
ℏ2
Ze 2 2m0
λn = K
ℏ 2 | En |

α n2 =

Thay các biến số mới vào vế phải của phương trình (4.4) rồi quy về các hằng số phụ ta
ñược phương trình:
1 2 d
q2 d
2m0 
Ze 2  l (l + 1)α n2  q
α
α
α
αn  −
(
)
+
E
+
K
 2 n
R( ) = 0
n
n
n
α n2 dq
ℏ 2 
dq
q
q2

q
 αn

1
⇔ 2
q
 1
⇔ 2
 q
1
⇔ 2
q

2m
d 2 d
(q
) + 2 02
dq
dq ℏ α n


Ze 2  l (l + 1)  q
E
+
K
αn  −
 R( ) = 0
 n
q
q2  αn



d 2 d
1 
Ze 2 2 2m0 En  l (l + 1)  q
(q
)−
 En − K
−
R( ) = 0
dq
dq 4 En 
q
ℏ
q 2  α n

d 2 d
1
Ze 2
(q
)− +K
dq
dq 4
qℏ

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

m0 l (l + 1)  q
−
R( ) = 0
2 En
q2  α n

Trang 18

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

1 d 2 d
1 λ l (l + 1)  q
(q
)− + n −
⇔ 2
R( ) = 0
dq 4 q
q2  αn
 q dq

(4.5)

Ta ñã giải phương trình khi r nhỏ. Bây giờ ta hãy giải cho trường hợp r lớn, tức là q lớn.
Khi ñó ta có thể bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao

1 1
,
thì phương trình (4.5) trở
q q2

thành:
1 d 2 d
1
(q
) − R = 0
 2
dq 4 
 q dq
1
dR
d 2R
R
⇔ 2 ( 2q
+ q2 2 ) − = 0
q
dq
dq
4
⇔

2 dR d 2 R R
+
− =0
q dq dq 2 4

Vì q lớn nên ta bỏ qua số hạng ñầu và ñược:
1
2

R’’-( ) 2 R=0

±

q
2

Phương trình này có nghệm là R= e . Để ñảm bảo R hữu hạn và vì 0−

q

nghiệm R= e 2
Kết hợp cả khi r nhỏ, ta có thể ñặt nghiệm tổng quát hữu hạn dưới dạng:
−

q

R n ,l = q l e 2 V n ,l ( q )

Trong ñó Vn,l (q) là hàm ta phải tìm, hàm này phải thỏa mãn các ñiều kiện Vn,l (q) hữu hạn
khi r→0 và Vn,l (q) =∞ không nhanh hơn một ña thức của q khi r→∞, tức Vn,l (q) vẫn hữu
hạn.
−

q
2

Thay biểu thức của Rn,l = q e Vn ,l (q) vào (4.5) ta ñược:
l

⇔ qV n'',l (q ) + ( 2 + 2l − q )Vn',l ( q ) + (λ n − l − 1)Vn ,l ( q ) = 0

(4.6)
Giải phương trình này ta tìm ñược Vn,l (q) và thay vào biểu thức của Rn, l (r ) ta tìm ñược
hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro ñối với phần phụ thuộc r.
Muốn giải ta phải ñặt:
∞

Vn ,l (q ) = ∑ ai q i
i =0

Với ñiều kiện khi q→∞ thì Vn ,l (q) →∞ chậm hơn một ña thức của q. Như vậy chuỗi
∞

∑a q
i =0

i

i

không thể kéo dài ñến vô hạn ñược. Điều này ñòi hỏi các hệ số của phương trình

vi phân trên phải thỏa mãn những ñiều kiện nhất ñịnh. Ta phải nghiên cứu các ñiều kiện
ấy.
Ta có:
∞

Vn',l (q ) = ∑ ia i q i −1
i =1

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 19

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí
∞

Vn'',l (q ) = ∑ i (i − 1)ai q i − 2
i=2

Thay vào (4.6) ta ñược:
∞

∞

∞

i=2
∞

i =1
∞

∞

∞

i=2

i =1

i =1

i =0

∑ i(i − 1)ai q i −1 + ∑ iai (2 + 2l − q)q i −1 + (λn − l − 1)∑ ai q i = 0
i =0

⇒ ∑ i (i − 1)ai q i −1 + ∑ iai (2 + 2l )q i −1 − ∑ iai q i + ∑ (λn − l − 1)ai qi = 0

(4.7)

Ta hãy ñổi cận cho các tổng trên ñể chúng có cùng cận. Muốn thế ta ñặt i=k+1. Suy ra
i=2 thì k=1 và i=1 thì k=0. Do ñó các số hạng của tổng trên là:
Số hạng ñầu:
∞

∞

i=2

k =1
∞

∑ i(i − 1)ai q i −1 = ∑ k (k + 1)ak +1q k

= ∑ k (k + 1)ak +1q k
k =0

Số hạng thứ 2:
∞

∑ (k + 1)a
k =0

k +1

(2l + 2)q k

Số hạng thứ 3:
∞

∞

∞

i =1

k =1

k =0

− ∑ iai q i = −∑ kak q k = −∑ kak q k

(i cũng như k mà thôi)
Số hạng thứ tư:

∞

∑ (λ
k =0

n

− l − 1)ak q k (i cũng như k)

Do ñó phương trình (4.7) trở thành:
∞

∑ [k (k + 1)a
k =0

k +1

+ (k + 1)ak +1 (2l + 2) − kak + (λn − l − 1)ak ]qk = 0

Các qk là ñộc lập, khác không nên các hệ số của từng số hạng phải bằng 0. Tức là:
a( k +1) [k (k + 1) + (k + 1)(2l + 2)] = ak [k − (λn − l − 1)]
→ a( k +1) =

ak [k − (λn − l − 1)]
[k (k + 1) + (k + 1)(2l + 2)]

Đây là công thức truy toán ñể tìm hệ số ak.
Như trên ta ñã ñưa ra ñiều kiện vật lí là chuỗi ak phải ngắt ở một số hạng nào ñó chứ
không kéo dài ñến vô cùng ñược. Chẳng hạn chuỗi bị ngắt ở số hạng k=p. Khi ñó a(p+1)=0
p-(λn- l -1)=0

→ λn=p+ l +1 là một số nguyên dương (p, l là các số nguyên), ta ñặt là n.
Vậy n=p+ l +1→n≥( l +1) ñối với mỗi giá trị l ñã cho.
Từ ñó suy ra
n= λn = K

Ze 2
ℏ

m0
2 | En |

Z 2e 4 m0
→|En|= K
2n 2 ℏ 2
2

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 20

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Đó là mức năng lượng của electron trong nguyên tử hydro (cũng là của nguyên tử) và các
ion tương tự. Ta thấy rằng các mức năng lượng này bị lượng tử hóa theo các số nguyên n.
Với: k=

1
4πε 0

,ℏ =

h
2π

Vậy En= −

1 Z 2e 4m0
n 2 8ε 02h 2

Trong quá trình giải xuất hiện các biến số lượng tử, ta sẽ ñi tìm hiểu các biến số lượng tử
này.
I.4.3. Các số lượng tử- Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lí
Việc tìm những nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ñơn trị, giới nội và liên tục của
hàm sóng làm xuất hiện những tham số nguyên, gọi là các số lượng tử:
- Số lượng tử chính: n=1,2,3…
- Số lượng tử phụ: l =0,1,2…,n-1
- Cuối cùng là số lượng tử từ m. Bây giờ ta ñi tìm giá trị của m mà nó có thể
ñạt ñược qua việc tìm trị riêng của momen ñộng lượng.
∧

Để tìm trị riêng của momen ñộng lượng ( L z chẳng hạn), ta phải giải phương trình
∧

trị riêng của chúng. Gọi ψ(r,θ,ϕ) là hàm riêng của toán tử L z , thì ta có phương trình trị
riêng là:

L 2π
→ z
= 2πm
ℏ

Trong ñó m là một số nguyên dương, âm hay bằng 0 (m=0,±1,±2,…) và hàm riêng
∧

của L z phụ thuộc vào số nguyên m nên ta có thể viết hàm riêng dưới dạng:
ψ(r,θ,ϕ)=C(r,θ). e imϕ
∧

Ta cũng có thể tìm ñược trị riêng của toán tử L2 bằng cách như sau:
Ta có:
∧ ∧
∧
 L + , L z  = − ℏ L+





Hay:
∧

∧

∧

∧

∧

L + L z − L z L+ = − ℏ L+
∧

∧

∧

∧

∧

→ L+ L z + ℏ L+ = L z L +
∧

Cho 2 vế của phương trình toán tử này tác dụng lên hàm riêng ψm(r,θ,ϕ) của L z và cũng
∧

là của L ta ñược:
∧

∧

∧

∧

∧

L+ ( Lz ψ m ) + ℏ ( L+ ψ m ) = Lz ( L+ ψ m )
∧

∧

∧

∧

→ mℏ ( Lz ψ m ) + ℏ ( L+ ψ m ) = Lz ( L+ ψ m )
∧

∧

∧

→ Lz ( L+ ψ m ) = ℏ (m + 1)( L+ ψ m )

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 21

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

∧

∧

Nghĩa là ( L+ ψ m ) là hàm riêng ứng với trị riêng ℏ(m + 1) của L z là hàm riêng ψ m +1 . Suy ra
∧

ψ m +1 và L+ ψ m cùng biểu diễn một trạng thái vật lí nên chỉ khác nhau một hằng số nhân.
Nghĩa là:
∧

L+ ψ m =constψ m +1
∧

Vì m ℏ là trị riêng của L z nên m không thể bằng vô cùng ñược. Nghĩa là m phải ngắt ở
giá trị lớn nhất nào ñó. Gọi l là giá trị lớn nhất của m thì:
∧

L+ ψ l = constψ ( l +1) = 0

→ψ (l +1) =1. Nếu ψ (l +1) ≠0 thì sẽ tồn tại giá trị m=( l +1)> l . Điều này trái với giả thiết ở
trên.
Vậy m có thể nhận các giá trị 0;±1;±2;…± l
Bây giờ ta xét từng số lượng tử ñể biết ñược ý nghĩa cũng như quan hệ với các ñại lượng
vật lí xác ñịnh trạng thái của electron trong nguyên tử.

I.4.3.1. Số lượng tử chính n
n=1,2,3,…, xác ñịnh năng lượng En của electron trong nguyên tử.
En= −

1 Z 2 e 4 m0
n 2 8ε 02 h 2

Đối với nguyên tử hydro Z=1, ta có:
En= −

1 e 4 m0
n 2 8ε 02 h 2

Nếu biểu diễn ra eV ta có công thức sau ñây:
En=

− 13,6
n2

Từ công thức này ta suy ra ñược các hệ quả sau:
Vì n là những số nguyên dương nên năng lượng của electron trong nguyên tử chỉ
có thể nhận những giá trị gián ñoạn. Ứng với mỗi giá trị n ta có một mức năng lượng, khi
n càng lớn trị số En càng cao (càng gần 0) và hiệu giữa hai mức năng lượng càng nhỏ,
người ta kí hiệu:
n: 1
2
3
4
5…
Mức En M
N
O
P
Q

Bình thường electron ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp (E1) khi ñó
nguyên tử ở trạng thái cơ bản. Khi cung cấp năng lượng cho electron (ví dụ như bằng
cách chiếu sáng, phóng ñiện, nung nóng…) thì electron nhận thêm năng lượng và chuyển
lên mức cao hơn (En), nguyên tử chuyển sang trạng thái kích thích.
Tuy nhiên trạng thái kích thích kém bền, chỉ tồn tại trong khoảng thời gian rất
ngắn (cỡ phần triệu giây) sau ñó electron chuyển về mức năng lượng thấp E1 ñồng thời
giải phóng năng lượng ∆E dưới dạng bức xạ ñiện từ. Ví dụ khi electron chuyển từ mức
năng lượng n’ về mức n, sẽ phát ra một bức xạ có lượng tử năng lượng:
hυ=∆E = En' − En
Vì ∆E là những giá trị gián ñoạn (n và n’ là những giá trị gián ñoạn), nên υ sẽ là
những giá trị gián ñoạn và ta có thể giải thích ñược quang phổ vạch của các nguyên tử.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 22

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

E∞
n=∞
E4
n=4
Dãy Bracket
E3
n=3
Dãy Pasen

E2
n=2
Dãy Banme

E1

n=1
Dãy Laiman

I.4.3.2. Độ lớn của momen ñộng lượng orbital:
∧

∧

∧

∧

∧

Ta có: L2 = L− L+ + L2z + ℏ Lz
Ta cho 2 vế của phương trình toán tử tác dụng lên hàm ψ l ta sẽ ñược:
∧

∧

∧

∧

∧

∧

L2 ψ l = L− ( L+ψ l )+ L z ( L z ψ l ) + ℏ ( L z ψ l )

Chú ý số hạng ñầu của vế phải bằng 0, do ñó ta ñược:
∧

L2 ψ l = (l 2 ℏ 2 + lℏ 2 )ψ l = ℏ 2 (l 2 + l )ψ l

Nên ta có:
∧
2

L ψ l = L2ψ l → L2 = ℏ 2 (l 2 + l )
→ L = l (l + 1)ℏ
l nhận những giá trị bằng 0,1,2,3,..n-1 gọi là lượng tử số momen ñộng lượng orbital (số
lượng tử phụ). Như vậy ứng với mỗi giá trị của số lượng tử chính n ta có n giá trị của l .

Để tiện người ta thay các số lượng tử chính n=1,2,3,… bằng các kí hiệu chữ cái
K,L,M,N,O,P…
Ứng với các giá trị của l =0,1,2,3…người ta kí hiệu là s,p,d,f,g…Ta thấy ñộ lớn
momen ñộng lượng orbital cũng là những giá trị gián ñoạn.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 23

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh