LUẬN văn sư PHẠM TOÁN TOÁN tử TUYẾN TÍNH bị CHẶN TRONG các KHÔNG GIAN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài :

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN
TRONG CÁC KHÔNG GIAN



GVHD : Th.S Lê Hồng Đức

SVTH : Lê Thị Tuyết Nhân
MSSV : 1090101
Lớp : Sư Phạm Toán – Tin K35

Cần Thơ, 2013


LỜI CẢM TẠ
L uận văn là một công trình nghiên cứu của sinh viên với
một đề tài khoa học cụ thể. Và với những kiến thức đã tích lũy được
trong những năm đại học, em đã chọn đề tài luận văn của mình thuộc
mảng Giải tích hàm do Thạc sĩ Lê Hồng Đức hướng dẫn.

Người ta thường nói “vạn sự khởi đầu nan”, quả thật là như vậy, khi bắt

tay vào thực hiện đề tài luận văn em đã gặp không ít khó khăn trở ngại,
một phần do thời gian hạn hẹp, hơn nữa đây là lần đầu tiên em nghiên
cứu một đề tài lớn nên chưa có nhiều kinh nghiệm. Nhưng nhờ vào
những kiến thức mà Thầy Cô trong Bộ môn Toán đã trang bị cho em,
đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy Lê Hồng Đức cùng với sự
cố gắng nổ lực của bản thân và sự giúp đỡ của bạn bè, cuối cùng luận
văn của em cũng đã hoàn thành.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn cùng
với các Thầy Cô trong Bộ môn Toán và các bạn sinh viên lớp Sư Phạm
Toán – Tin K35 đã giúp đỡ và ủng hộ tinh thần cho em.
Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện đề tài và rất cẩn thận trong việc trình
bày luận văn nhưng chắc sẽ có chỗ sơ sót, rất mong nhận được sự đóng
góp quý báu từ quý Thầy Cô và độc giả.

Cần Thơ, 05/2013
SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


MỤC LỤC


Trang
Chương I:
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1: Không gian định chuẩn .......................................................................... 1
§2: Không gian Hilbert..................................................................................4
Chương II:
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

§1: Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn ................................... 8
§2: Toán tử compact và toán tử hữu hạn chiều ..........................................15
§3: Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn ...........................21
§4: Phổ của toán tử tuyến tính ....................................................................22
§5: Bài tập ..................................................................................................24
Chương II:
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
§1: Phép đẳng cấu trong không gian Hilbert .............................................36
§2: Phiếm hàm tuyến tính liên tục và song tuyến tính trong không gian
Hilbert .........................................................................................................38
§3: Toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ............................................42
§4: Bài tập ..................................................................................................62
PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................85


PHẦN MỞ ĐẦU

-----1. Lý do chọn đề tài
Nếu các không gian tuyến tính đơn thuần (không gian vectơ, không gian các
ma trận…) là đối tượng nghiên cứu của Đại Số Tuyến Tính thì trong Giải Tích
Hàm, người ta chú ý đến những không gian tuyến tính nào đồng thời cũng là
không gian mêtric. Vì vậy, để có một kiến thức phong phú, mà các sự kiện kết
hợp chặt chẽ các khái niệm đại số với các khái niệm mêtric, người ta đưa ra một
lớp không gian vừa mêtric vừa tuyến tính, đó là không gian định chuẩn; hơn nữa
khi đưa tích vô hướng vào không gian định chuẩn thì ta được một không gian
mới – không gian Hilbert. Do đó, nội dung kiến thức về không gian định chuẩn
và không gian Hilbert là hai vấn đề trọng tâm của lý thuyết Giải tích hàm.
Khi nghiên cứu về hai không gian trên, người ta có đưa ra mảng kiến thức về
toán tử tuyến tính bị chặn. Vậy toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian

trên có những đặc trưng, tính chất gì riêng biệt hay không, đó là vấn đề có thể
tìm hiểu sâu, đồng thời được sự gợi ý của Thầy hướng dẫn, em đã chọn đề tài:
“Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian” làm nội dung nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài “Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian” giúp ta
hiểu sâu hơn những đặc trưng của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
định chuẩn và không gian Hilbert. Qua đó, có thể thấy được sự giống nhau và
khác nhau của toán tử tuyến tính bị chặn trong hai không gian trên. Ngoài ra,
việc đưa ra một số bài tập liên quan có trình bày lời giải giúp ta vận dụng lý
thuyết và củng cố thêm kiến thức.

3. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài của mình, bước đầu tiên là tìm tài liệu tham khảo, sau khi
đã có tài liệu, em tiến hành nghiên cứu, phân loại lý thuyết và bài tập. Trên cơ sở
phân tích, phân loại em tiến hành so sánh, đối chiếu để tìm ra những đặc trưng,
những tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong hai không gian. Từ việc
phân tích, so sánh này em tổng hợp lại các kiến thức và trình bày lại theo một
trình tự phù hợp.


4. Nội dung nghiên cứu
Nội dung chính của luận văn hướng đến những đặc trưng của toán tử tuyến
tính bị chặn trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert. Vì vậy, luận
văn là sự hệ thống hóa có tổ chức, có chọn lọc những kiến thức về toán tử tuyến
tính bị chặn trong hai không gian trên. Cụ thể luận văn trình bày những nội dung
sau:
Chương I: Trình bày một số định nghĩa và định lý cơ bản về không gian
định chuẩn và không gian Hilbert là cơ sở bước đầu chuẩn bị cho việc nghiên
cứu những đặc trưng của “Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian”. Ở

chương này, đa số các định lý không được chứng minh vì các định lý này được
trình bày chi tiết trong các tài liệu giải tích hàm.

Chương II: Chương này thể hiện những đặc trưng của toán tử tuyến tính bị
chặn trong không gian định chuẩn. Đầu tiên là trình bày định nghĩa toán tử tuyến
tính làm cơ sở để trình bày các định nghĩa, định lý và tính chất của toán tử bị
chặn, toán tử ngược, toán tử song tuyến tính, toán tử liên hợp, toán tử compact,
toán tử hữu hạn chiều …Đồng thời, chương này cũng đề cập đến phiếm hàm
tuyến tính và phổ của tuyến tính trong không gian định chuẩn. Hơn nữa, ở cuối
chương có đưa ra một số bài tập liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian định chuẩn nhằm củng cố lại các kiến thức đã trình bày trong
chương.

Chương III: Chương này thể hiện cụ thể sự ảnh hưởng của tích vô hướng đến
toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Sự ảnh hưởng này được thể
hiện chi tiết qua phép đẳng cấu, phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử liên
hợp trong không gian Hilbert. Đồng thời, chương này còn cho ta thấy những tính
chất đặc trưng mà chỉ có toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert mới
có. Ngoài ra, ở cuối chương có trình bày một số bài tập liên quan đến toán tử bị
chặn trong không gian Hilbert với mục đích là củng cố lý thuyết. Đồng thời,
thông qua các bài tập ta sẽ thấy rõ hơn sự ảnh hưởng của tích vô hướng đối với
toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert.


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

PHẦN NỘI DUNG


CHƢƠNG I – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K ( K là trường số thực R
hoặc trường số phức C ).
Ánh xạ . : X  R được gọi là chuẩn trên không gian X nếu thỏa các tính chất:
1.1.

x  0  x  0 x  X

(a)

(b) x   . x

x  X ,   K

(c) x  y  x  y

x , y  X

Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định
chuẩn. Ký hiệu: (X , . )
Tùy theo trường K là R hay C mà ta gọi (X , . ) là không gian định chuẩn thực hay
phức.
1.1.2. Ví dụ
1
2 2

n

(a) R là không gian định chuẩn với chuẩn x  ( | x | ) với
n

i 1

x  ( x1 , x2 ,..., xn )  R .
n

(b) Ta định nghĩa B(T )  {x : T  K | với x là hàm số, sup x (t )  
tT

}

B(T) là không gian định chuẩn với chuẩn x  sup | x (t ) | .
tT







(c) Gọi l2   x  1 , 2 ,...,n ,..., n  N , n  K :  n    . l2 là không gian định


n 1







chuẩn với chuẩn: x    n 
 n 1

-

-

2

1
2

2



x   n   l2



Dễ dàng chứng minh được l2 là không gian tuyến tính với hai phép toán:
x  y  1  1 ,...,n  n 
x  n   l2 , y  n   l2
x  n   l2 ,   K
x  1 ,...,n ,...
Mặt khác, ta có:

-1-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

1

 
2 2
+ x    n   0
 n 1



x   n   l2

x  0   n  0  n  0  x  0
2

n 1

1

1

 

2 2
2 2
+ x    n      n    . x
 n 1

 n 1

n

+

n



 n  n   k  2 k .k  k
k 1

2

k 1
n

2

  k  2
2

k 1

n


k 1

2
k

2



n


k 1

x  X ,   K

k

2

n

  k
k 1

2






n


k 1

2
k



n


k 1

k

2






2

Cho n   , ta được: x  y  x  y x, y  l2 . Như vậy:

2
x    n 
 n 1



1
2

x   n   l2 là một chuẩn trên l2 .

Vậy l2 là một không gian định chuẩn.
1.2.

SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.2.1. Định nghĩa
Dãy x n  trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x  X nếu :
lim xn  x  0 .
n 

1.2.2. Các tính chất
a. Nếu x n  x0 thì xn  x0 , nói cách khác chuẩn x là một hàm liên tục của
x.
b. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu dãy x n  hội tụ thì M sao cho
xn  M

n

c. Nếu xn  x0 , y n  y0 thì xn  yn  x0  y0 . Nếu xn  x0 , n  0
 n xn   0 x0 . Nói cách khác, các phép toán x  y và x là liên tục.

thì

1.2.3. Định nghĩa
Dãy x n  trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản)
nếu lim xn  xm  0 . Tức là   0, N 0  0 : n, m  N 0 ta có:
m ,n  

xn  xm  

-2-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

1.3.

KHÔNG GIAN BANACH
1.3.1. Định nghĩa
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ.

1.3.2. Ví dụ
a) Mọi dãy Cauchy trong R n đều hội tụ nên R n là không gian Banach.
b) B(T) là không gian Banach. Thật vậy:
 B(T) đã là không gian định chuẩn.
 Lấy dãy Cauchy x n  của B(T), khi đó:
  0, N 0  0, n, m  N 0  xn  xm    sup xn t   xm t   
tT

 xn (t )  xm (t )   , t  T

Vậy với mỗi t  T ,dãy xn (t ) là một dãy Cauchy trong K , vì K là không gian đầy
nên dãy xn (t ) hội tụ trong K .
Đặt x0 (t )  lim xn (t ) , ta có x0 (t ) là một hàm số từ T vào K .
n

Hơn nữa, lim xn (t )  xm (t )    xn (t )  x0 (t )   , t  T
m

nên sup ( x n  x0 )(t )   .
tT

Vậy hàm số ( xn  x0 ) thuộc B(T ) , do đó: x0  xn  ( xn  x0 ) thuộc B(T ) .
Mặt khác: lim sup xn (t )  x0 (t )  0 nên lim xn  x0  0 .
n   tT

n 

Vậy B(T) là không gian Banach.
CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH
1.4.1. Định nghĩa

Cho X là không gian định chuẩn, x n  là một dãy trong X . Xét dãy các tổng:
1.4.

S1  x1 , S 2  x1  x2 ,...,S n  x1  x2  ...  xn ,...

Khi đó, Sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi



 xn . Chuỗi
n 1

dãy Sn hội tụ. Nếu ta đặt S  lim Sn thì
n



x
n 1

n



x
n 1

n

hội tụ khi

S.

1.4.2. Định lý
Cho X là không gian Banach. Nếu




n 1

xn hội tụ thì



x
n 1

n

hội tụ.

1.5.

KHÔNG GIAN CON
1.5.1. Định nghĩa
Giả sử X , .  là một không gian định chuẩn và L là không gian con của X .
Ta thấy hàm số .

L

:X R
x x

L

 x

-3-

x  L

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

là một chuẩn trên L . Khi đó, không gian tuyến tính định chuẩn L, . L  được gọi là
không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X , . .

1.5.2. Nhận xét
- Không gian con đóng của không gian Banach là không gian Banach.
- Không gian con đầy đủ của không gian định chuẩn X là một không gian con đóng
của X .
1.6. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN HỮU HẠN CHIỀU
1.6.1. Định nghĩa
Cho X không gian định chuẩn. Nếu không gian tuyến tính X có số chiều hữu hạn
thì X được gọi là không gian hữu hạn chiều.

n

1.6.2. Ví dụ
là không gian định chuẩn n – chiều với cơ sở {e1 ,...,en } trong đó

R
e1  (1,0,...,0); e2  (0,1,0...,0);....;en  (0,...,0,1)

---******---

§2: KHÔNG GIAN HILBERT
2.1. KHÔNG GIAN HILBERT
2.1.1. Định nghĩa tích vô hƣớng
Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số K ( K là trường số thực R hoặc
trường số phức C ). Tích vô hướng xác định trên X là ánh xạ:
< .,. > : X  X  K
( x, y )  x, y 

thỏa các điều kiện sau:

a)  x  y, z  x, z    y, z 
b)  x, y    x, y 

x, y, z  X
x, y  X ,   K

c )  y , x   x, y 
x, y  X
x  X

d )  x, x   0
 x, x  0  x  0
Trong đó  x, y  là số phức liên hợp của số  x, y  .

2.1.2. Không gian tiền Hilbert
a. Định nghĩa
Không gian tuyến tính X cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền
Hilbert.

-4-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Nhận xét:
Không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn với chuẩn :
1
2

, x  X
Do đó các kết quả đã xây dựng trong lý thuyết không gian định chuẩn đều áp dụng
được cho không gian tiền Hilbert.
x  x, x

Ví dụ:
l 2 là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng:



 x, y    nn với x  (1 ,...,n ,...), y  (1 ,...,n ,...) l2
n 1

b. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarts và đẳng thức hình bình hành
Cho X là không gian tiền Hilbert. Khi đó, ta có:
 Bất đẳng thức Cauchy-Schwart :
x, y  X

 x, y   x . y

 Đẳng thức hình bình hành :
x y  x y
2

2



2 x  y
2

2



x, y  X

Nhận xét :

- Tích vô hướng  .,.  là hàm liên tục xác định trên X  X .
- Vì không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn nên nó có thể đầy đủ
hoặc không đầy đủ.
2.1.3. Không gian Hilbert
a. Định nghĩa
Không gian tiền Hilbert X đầy đủ được gọi là một không gian Hilbert.
b. Ví dụ
Không gian l 2 trong ví dụ ở mục 2.1.2.a. là không gian đầy đủ nên là không gian
Hilbert.
2.2. TÍNH TRỰC GIAO, HÌNH CHIẾU TRỰC GIAO
2.2.1. Vectơ trực giao
a. Định nghĩa
- Hai vectơ x, y của không gian Hilbert X được gọi là trực giao với nhau nếu
 x, y  0 . Ký hiệu : x  y
- Vectơ x được gọi là trực giao với tập M nếu x  y , y  M . Ký hiệu: x  M .
- Tập M được gọi là trực giao với tập N nếu x  y , x  M , y  N . Ký hiệu:
M N.
- Hệ S  X được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao với nhau
từng đôi một.

-5-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

b. Tính chất

- Nếu x  y thì y  x . Ta có x  x khi và chỉ khi x  0 . Vectơ 0 trực giao với mọi
vectơ.
- Nếu x  y1 , y 2 ,..., y n thì x  1 y1   2 y2  ...   n y n
- Nếu x  y n , yn  y

(n  ) thì x  y .

- Nếu tập M trù mật trong X thì M  gồm một phần tử duy nhất là 0 , nghĩa là
x  M  x  0.
c. Định lý
Giả sử S là hệ trực giao gồm các vectơ khác vectơ không. Khi đó, S là hệ độc lập
tuyến tính và ta có đẳng thức Pytago:
x1  ...  xn

2

 x1  ...  xn
2

2

x1 ,...,xn  S 

2.2.2. Hình chiếu trực giao
a. Định lý
Cho X là không gian Hilbert, M  X . Khi đó, M   x  X : x  M  là không gian
con đóng của X .
b. Định nghĩa
Giả sử X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X . Khi đó, không
gian con đóng M  được gọi là phần bù trực giao của M .

c. Định lý (Định lý về hình chiếu trực giao)
Cho X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X . Khi đó, X là
tổng trực tiếp của M và M  . Tức là, x  X đều biểu diễn được duy nhất dưới
dạng: x  y  z với y  M , z  M  . Khi đó, y được gọi là hình chiếu của x lên
không gian con đóng M .
d. Định lý
Giả sử X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X . Khi đó, phần

bù trực giao của M  là M , tức là M    M .
2.2.3. Hệ trực chuẩn
a. Định nghĩa
Hệ S  X được gọi là một hệ trực chuẩn nếu S là hệ trực giao và mọi x  S có
x  1.
Ví dụ:
Trong không gian Hilbert R n , xét S  e1 ,...,en  với e1  1,0,...,0
, e2  0,1,...,0,...,en  0,0,...,1 đây là một hệ trực chuẩn. Vì:
1, i  j
ei , e j   ij  
với i, j  1, n
0, i  j

-6-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

b. Định lý

Giả sử en : n  N  là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
x  X chuỗi




n 1

x, en en luôn luôn hội tụ và




n 1

x, en

2

X . Khi đó,

 x . Bất đẳng thức này
2

gọi là bất đẳng thức Bessel.
2.2.4. Cơ sở trực chuẩn
a. Định nghĩa
Hệ trực chuẩn en : n  N  của không gian Hilbert X được gọi là một cơ sở trực

chuẩn đếm được, hay một hệ trực chuẩn đếm được và đầy đủ của không gian
Hilbert X nếu không gian con sinh bởi hệ en : n  N  trù mật trong X . Tức là
M  en : n  N  X .

b. Định lý
Giả sử en : n  N  là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert X . Khi đó, các
mệnh đề sau là tương đương :
 en : n  N  là cơ sở trực chuẩn.





x   x, en en
n 1


x   x, en
2

x  X
2

x  X

(*)

n 1

Đẳng thức (*) được gọi là đẳng thức Parseval.

c. Ví dụ
Trong không gian Hilbert l2 , xét hệ en : n  N  với en  0,...,1n ,0,...
1, i  j

+ Vì ei , e j   ij  
nên en : n  N  là một hệ trực chuẩn trong l2 .
0, i  j
n  N
+ Mặt khác, với x  n   l2 ta có x, en  n
Đặt x n  1 , 2 ,....,n ,0,...  l2
Ta có x  x n 
n



 k  0 khi n   ( do
2

k  n 1
n




n 1

2
n

  )

Mà x n  i ei   x, ei ei
i 1

i 1

Cho n   ta được x n  x hay




n 1

x, en en  x

Theo định lý trên ta có en : n  N  là cơ sở trực chuẩn của l2 .
d. Định lý
Giả sử X là không gian Hilbert. Khi đó, X có một cơ sở trực chuẩn đếm được khi
và chỉ khi X vô hạn chiều và khả ly.

-7-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

CHƢƠNG II – TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
§1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn.
1.1. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
1.1.1. Định nghĩa
Ánh xạ A : X  Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu:
a) Ax1  x2   Ax1  Ax2
x1 , x2  X
b) Ax   Ax
x  X ,   K
Chú ý
Điều kiện a) và b) tương đương với
A1 x1  ...   k xk   1 x1  ...   k Axk
x1 ,...,xk  X , 1 ,..., k  K
1.1.2. Ví dụ
a) Toán tử biến mỗi phần tử x  X thành phần tử 0 (toán tử không) và toán tử
biến phần tử x  X thành chính nó (toán tử đồng nhất) là những toán tử
tuyến tính.
b) Trong không gian định chuẩn R n , ánh xạ A : Rn  Rn
x  Ax  x

trong đó   0 là một toán tử tuyến tính.
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.2.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính A : X  Y được gọi là liên tục nếu lim xn  x0  0 thì:
1.2.

n

lim Axn  Ax0  0 .

n 

1.2.2. Ví dụ
Xét A : R  Rn
n

x  Ax  x

(  0)
+ Theo 1.1.2 b) toán tử A là toán tử tuyến tính.

+ Lấy xn  Rn : xn  x0 n
0 . Khi đó, ta có:

Axn  Ax0  xn  x0   . xn  x0 n
0 nên A liên tục.

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục.

-8-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

1.2.3. Định lý
Toán tử tuyến tính A : X  Y liên tục tại một điểm x0  X thì nó liên tục trên toàn
không gian X .
Chứng minh
x

X
+ Lấy bất kỳ
ta sẽ chứng minh A liên tục tại x .
Thật vậy:
Giả sử xn   X và xn  x  xn  x   0
 xn  x   x0  x0

Do A liên tục tại x0  X nên lim Axn  x  x0   Ax0
n 

 lim Axn  Ax  Ax0  Ax0
n 

 lim Axn  Ax
n 

Do đó A liên tục tại x . Vậy A liên tục trên X .
1.2.4. Các tính chất của toán tử tuyến tính liên tục
 Định lý Banach
Giả sử X và Y là các không gian Banach, A là song ánh tuyến tính liên tục từ X
vào Y . Khi đó, A1 liên tục.
 Định lý đồ thị đóng
Cho X và Y là các không gian Banach, A : X  Y là một toán tử tuyến tính. Toán
tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi đồ thị GrA  x, Ax : x  X  là một tập đóng

trong X  Y .
TOÁN TỬ BỊ CHẶN
1.3.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính A : X  Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một hằng số
M  0 sao cho x  X thì Ax  M x .
1.3.

1.3.2. Định lý
Toán tử tuyến tính A : X  Y liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Chứng minh


Giả sử A liên tục. Khi đó, với   1,   0 sao cho x  X mà x  0   thì
Ax  A0  1 .

Vậy khi x   thì Ax  1.
x
 u 
+ Với x  0 , ta đặt u 
x

 x 
 1

 x 

Vậy Au  1  A

-9-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp




x

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Ax  1

 Ax 

Đặt M 

1



x

1

, ta được: Ax  M x

+ Với x  0 ta có Ax  A0  M 0

(hiển nhiên)

Vậy Ax  M x x  X

 Giả sử

A bị chặn, ta sẽ chứng minh A liên tục.

Thật vậy:

Giả sử xn  x0 , khi đó: Axn  Ax0  Axn  x0   M xn  x0 n
0 (với M thỏa
Ax  M x ).

Suy ra lim Axn  Ax0  0
n 

 A liên tục tại x0  X
 A liên tục trên X .

1.3.3. Định nghĩa
Cho A : X  Y là toán tử bị chặn. Số A  inf M : x  X , Ax  M x  gọi là chuẩn
của toán tử A .
1.3.4. Định lý
Giả sử A : X  Y là toán tử bị chặn. Khi đó :
x  X
a) Ax  A . x
b) A  sup Ax  sup Ax  sup
x 1

x 1

x 0

Ax
x

x  X

Chứng minh
a) Từ định nghĩa A  inf M : x  X , Ax  M x 
 M n  0 sao cho lim M n  A và Ax  M n x
n 

 lim Ax  lim M n x
n 

n 



 Ax  A . x

b) Từ bất đẳng thức trong câu a) ta suy ra :
(1.1)
Ax  A , x  X mà x  1 (hoặc x  1 )
Mặt khác từ định nghĩa chuẩn của toán tử ta suy ra rằng với một số dương  bất
kỳ, u  X sao cho : Au   A    u

-10-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

Đặt v 

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Au
u
. Khi đó: v  1 và Av 
 A   . Kết hợp với (1.1) ta suy ra:
u
u
sup Ax  A (hoặc x  1 )
x 1

 x 
Ax
Ax
Ta cũng có: sup Ax  sup A   sup
. Do đó: A  sup
.
x 1

x 0

 x 

x 0

x

x 0

x

KHÔNG GIAN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.4.1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y được ký hiệu là L X ,Y  .
Vậy L X , Y   { f : X  Y f là toán tử tuyến tính liên tục }.
1.4.

Chú ý:
+ Nếu Y  X thì tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X được ký hiệu
là L X  .
+ Nếu Y  K thì tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào K được ký hiệu
là X * được gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K . Khi đó, X * được gọi
là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X (sẽ được nghiên cứu trong
§3 ).
+ Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L X ,Y  gọi là sự hội tụ đều của dãy toán
tử liên tục.
+ Dãy An   L X ,Y  gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A  L X ,Y  , nếu với mỗi
x  X , lim An x  Ax  0 trong không gian Y .
n

+ Một dãy toán tử An   L X ,Y  hội tụ đều tới toán tử A  L X ,Y  thì dãy An  hội
tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y .

Ví dụ:
LR n   { f : R n  R n f x    xi f ei  và f là toán tử tuyến tính liên tục}.
n

i 1

1.4.2. Định lý
a) L X ,Y  là không gian định chuẩn với chuẩn

A  sup

x X , x  0

Ax
, trong đó
x

A  L X ,Y  .
b) Nếu Y là không gian Banach thì L X ,Y  là không gian Banach.

1.4.3. Định nghĩa
a) Dãy toán tử An   L X ,Y  được gọi là hội tụ theo chuẩn đến toán tử
A  L X ,Y  nếu lim An  A  0 .
n 

-11-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

b) Dãy toán tử An   L X ,Y  được gọi là hội tụ đơn giản hay hội tụ từng điểm
đến toán tử A  L X ,Y  nếu x  X thì lim An x  Ax .
n 

Nhận xét:
An  hội tụ theo chuẩn  An  hội tụ đơn giản nhưng chiều ngược lại không
đúng.
Ví dụ:
An : l1  l1
Xét
x  1 ,...,n , n 1 ,...  An x   1 ,...,n ,0,...

n  1, 
- Dễ thấy An  Ll1 
I : l1  l1
- Xét
x  1 ,...,n , n 1 ,...  I x   x
+ x  l1 ta có lim An x  x  Ix  An hội tụ đơn giản đến I .
n 

+ Tuy nhiên, ta có:  An  I x  0,...,0,n 1 ,n  2 ,...
  An  I x  sup  i  sup  i  1. x
n 1i  

1i  

 An  I  1

(1.2)

Mà An  I  sup ( An  I ) x   An  I 0,...,1n 1,0,...  1

(1.3)

xl1 , x 1

Từ (1.2) và (1.3) suy ra An  I  1 n
Vậy An  không hội tụ theo chuẩn đến I .
TOÁN TỬ SONG TUYẾN TÍNH
1.5.1. Định nghĩa
a) Cho X , Y , Z là ba không gian định chuẩn, A : X  Y  Z
1.5.

x, y   z  Ax, y 
Ta gọi A là toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định Ax, y  là một toán tử
tuyến tính từ X vào Z và với mỗi x cố định Ax, y  là một toán tử tuyến tính từ Y
vào Z .
b) Toán tử A gọi là liên tục nếu với mọi dãy xn  x, yn  y ta có:
Axn , yn   Ax, y  .
c) Toán tử A gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho x  X , y Y
thì Ax, y   M . x . y

-12-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân

Luận văn tốt nghiệp

1.6.

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ NGƢỢC

Nếu X , Y là hai không gian định chuẩn và A : X  Y là song tuyến tính liên tục thì
tồn tại toán tử tuyến tính A1 : Y  X , nhưng A1 có thể không liên tục.
1.6.1. Định lý
Giả sử A là một song ánh tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Khi đó :
x  X
A1 liên tục  M  0 : Ax  M . x
1.6.2. Định nghĩa
Cho A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y . Nếu toán tử tuyến tính A1 : Y  X liên tục thì A1 được gọi là
toán tử ngược của A .
Ví dụ:
Ánh xạ A : Rn  Rn
x  Ax  x
  0
Theo ví dụ ở mục 1.2.2 thì A là toán tử tuyến tính liên tục.
Dễ dàng chứng minh được A là một song ánh.
Vậy A là song ánh tuyến tính liên tục nên tồn tại :
A1 : Rn  Rn
x  A1 x 

Ta có: A1 x 

x





1



x  M x với M 

1



x



nên A1 liên tục.

1.6.3. Định lý
Cho A : X  Y là một song ánh tuyến tính bị chặn. Khi đó, nếu tồn tại số m  0 sao
cho m x  Ax thì ánh xạ A1 liên tục.
Chứng minh
Đặt y  Ax  x  A1 y . Ta có: m A1 y  y  A1 y 

1
y nên A1 liên tục.
m

1.6.4. Định nghĩa
Nếu A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y và tồn tại toán tử ngược A1 của A thì A được gọi là phép đồng
phôi tuyến tính từ X lên Y . Khi đó, X và Y được gọi là hai không gian đồng phôi
tuyến tính với nhau.
Ví dụ:
Ánh xạ A : Rn  Rn

x  Ax  x

  0 là một phép đồng phôi tuyến tính.

-13-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ TÍCH
1.7.1. Định nghĩa
Cho hai không gian tuyến tính X , Y , nếu trên tích trực tiếp X  Y của hai tập X , Y
ta xét hai phép toán :
1.7.

x1, y1   x2 , y2   x1  x2 , y1  y2 
 x, y   x,y 

thì ta có một không gian tuyến tính mới gọi là tích trực tiếp của hai không gian
tuyến tính X và Y .
Nếu ta đưa vào đó một chuẩn bằng cách quy định : x, y   x  y thì ta được một
không gian định chuẩn gọi là tích trực tiếp của hai không gian định chuẩn X và Y .
Ký hiệu là X  Y .
Nhận xét:
+ Mỗi cặp có dạng  x,0  với x  X ,0 Y có thể đồng nhất với x  X cho nên X có
thể xem là không gian con của X  Y . Tương tự, Y có thể xem là không gian con
của X  Y .
+ Mỗi phần tử x, y  của không gian tích được biểu diễn một cách duy nhất dưới
dạng : x, y   x,0  0, y 
(1.4)
1.7.2. Định lý
Cho hai không gian tuyến tính X , Y . Mỗi toán tử tuyến tính A từ X  Y vào không
gian tuyến tính Z , đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
Ax, y   A1 x   A2  y 
trong đó, A1 , A2 là các toán tử từ X (Y tương ứng) vào Z .
Nếu X , Y là không gian định chuẩn thì toán tử A liên tục khi và chỉ khi cả A1 và A2

đều liên tục.
Chứng minh
+ Do (1.4) và do A là tuyến tính nên ta có : Ax, y   Ax,0  A0, y 
Đặt A1 x   Ax,0, A2 x   A0, y  ta được Ax, y   A1 x   A2  y  .
Ngược lại, nếu ta có Ax, y   A1 x   A2  y  thì tồn tại Ax,0  A1 x  ,
A0, y   A2 x  . Vậy cách biểu diễn trên là duy nhất.
+ Nếu X , Y là không gian định chuẩn và A liên tục (do đó bị chặn) thì ta có với

mọi x  X : A1 x   Ax,0  A . x,0  A . x
Do đó, A1 bị chặn  A1 liên tục.
Tương tự, ta có A2 liên tục.
+ Ngược lại, nếu cả A1 và A2 đều liên tục thì ta có với mọi x, y   X  Y :

Ax, y   A1 x   A2  y   A1 . x  A2 . y  max A1 , A2   x, y 

Vậy A liên tục.

-14-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ LIÊN HỢP
1.8.1. Định nghĩa
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Toán tử liên hợp của A là một toán tử tuyến tính liên tục
A : Y   X  được xác định bởi công thức:
1.8.

A f x   f  Ax


x  X , f  Y *

1.8.2. Một số tính chất của toán tử liên hợp
Cho X , Y , Z là các không gian định chuẩn. Khi đó,
C  LY , Z ,   K ta có:

A, B  L X ,Y  ,

 A  B   A  B
CA*  AC 
A  A

1.8.3. Định nghĩa
Cho X là không gian định chuẩn, xn  là một dãy trong X . Ta nói dãy xn  hội tụ
yeu
x , nếu f  X * ta có f xn   f x  .
yếu đến x , ký hiệu là: xn 

---******---

§2: TOÁN TỬ COMPACT VÀ TOÁN TỬ HỮU HẠN CHIỀU
2.1. TOÁN TỬ COMPACT
2.1.1. Định nghĩa
Giả sử X , Y là hai không gian Banach. Toán tử A : X  Y gọi là compact nếu nó
thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau:
a) AB  Ax : x  1 là compact tương đối trong Y với B là hình cầu đơn vị đóng
của X . Nói cách khác, bao đóng của AB  là compact trong Y .
b) AE  là compact tương đối, với mọi tập E  X bị chặn.
c) Với mọi dãy bị chặn xn   X tồn tại dãy con xn  để Axn  hội tụ.
k

k

Nhận xét:
A là toán tử compact thì A liên tục.
2.2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ COMPACT
2.2.1. Định lý
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A : X  Y . Nếu A compact thì A ánh xạ
mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh) trong Y .
Chứng minh

-15-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

y eu
yeu
x0 trong X . Vì A liên tục nên Axn 
Ax0 trong Y hay
Giả sử xn 
yeu
yn  Axn  Ax0  y0 .
Mặt khác, xn  hội tụ yếu  xn  bị chặn  Axn  compact tương đối (do A
compact).
Ta chứng minh yn  Axn  y0  Ax0 .
Thật vậy:
Phản chứng: Giả sử yn 

 y0 . Khi đó, tồn tại   0 và dãy con y n  của y n  sao
n
cho: yn  y0  
(*)
Vì dãy Axn  compact tương đối nên yn  compact tương đối.
yeu
Do đó, tồn tại dãy con yn của yn  sao cho yn  z0 nên yn 
z .
0

Mà yn  yn  nên yn  y .
Do đó y0  z0  yn  y0
Mà yn  yn  nên yn  y0  
 yn 
 y0 (mâu thuẫn).
Vậy yn  y0 .
yeu

0

2.2.2. Định lý
Cho X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian định chuẩn . Toán tử tuyến
tính ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ mạnh trong Y . Khi đó, A
là toán tử compact.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử A không là toán tử compact.
Gọi BX là hình cầu đơn vị trong X . Khi đó, ABX  không compact tương đối trong
Y.
 xn   BX : Axn   ABX  không chứa dãy con hội tụ nào cả.

X phản xạ nên BX compact yếu theo dãy  xn  xn  hội tụ yếu
 Axn  hội tụ mạnh (theo giả thiết) (mâu thuẫn)
Vậy A compact.
k

k

2.2.3. Định lý
Giả sử X , Y là hai không gian Banach. A : X  Y là toán tử compact. Khi đó, Im A
là không gian khả ly của Y .
Chứng minh
Gọi BX là hình cầu đơn vị trong X . Do ABX  compact, khả ly nên :
AnBX   nABX  khả ly với mọi n  1 .


Vì vậy, Im A   AnBX  là khả ly.
n 1

-16-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

2.2.4. Định lý
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A, D : X  Y là toán tử compact. Khi đó,
với mọi số  ,  toán tử A  D là compact.

Chứng minh
Lấy dãy xn  của hình cầu đơn vị BX  X .
Vì A compact nên tồn tại dãy con xni   xn  sao cho dãy Axni  hội tụ.
 tồn tại dãy con xmj  xni  sao cho các dãy Axmj  và Dx mj  hội tụ (do D
compact).
 dãy A  D xmj  hội tụ và A  D BX  là tập compact tương đối.
 A  D là compact.
2.2.5. Định lý
Cho X ,Y , Z ,W là các không gian định chuẩn, D : Z  X , C : Y  W là các toán tử
tuyến tính liên tục và A : X  Y là toán tử compact. Khi đó: CAD : Z  W là toán
tử compact.
Chứng minh
Gọi BZ là hình cầu đơn vị trong Z . Khi đó, DBZ  là tập bị chặn trong X .(do D
liên tục).
 ADBZ  là tập compact tương đối trong Y (vì A compact).
 CADBZ  là tập compact tương đối trong W .
2.2.6. Định lý
Cho X là các không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, An  L X ,Y 
n  1,2,... là dãy các toán tử compact, hội tụ trong L X ,Y  đến toán tử A  L X ,Y  ,
tức là lim An  A  0 . Khi đó, A là toán tử compact.
n 

Chứng minh
Lấy dãy xn  trong hình cầu đơn vị BX  X . Ta xét dãy Axn   ABX  .
Vì A1 compact nên A1 BX  compact tương đối  x1n  xn  sao cho dãy A1 x1n  hội
tụ.
A2 compact nên A2 BX  compact tương đối  xn2  x1n  sao cho dãy A2 xn2  hội tụ.
Tiếp tục mãi quá trình này, ở bước thứ k ta thu được dãy con x nk  của xnk 1  sao
cho Ak xnk  hội tụ.
Xét dãy đường chéo x nn  trừ k-1 phần tử đầu thì dãy này là dãy con của dãy x nk .

Do đó với mọi k , dãy Ak xnn  hội tụ.

Với   0, n0 sao cho : An  A 
0

3

Từ đó, ta có: n, m  n1

-17-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Axnn  Axmm  Axnn  An0 xnn  An0 xnn  An0 xmm  An0 xmm  Axmm
 A  An0 . xnn  An0 xnn  An0 xmm  An0  A . xmm 

 Axnn  là dãy Cauchy trong Y .

 Axnn  hội tụ (vì Y là không gian Banach)


3




3




3



 

 

 ABX  compact tương đối ( vì Axnn là dãy con của dãy Axn )
Suy ra A là toán tử compact.

2.2.7. Định lý (Định lý Schauder)
a) Giả sử X , Y là các không gian định chuẩn, A : X  Y là toán tử compact. Khi đó:
A : Y   X  là toán tử compact.
b) Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, A là
toán tử compact. Khi đó, A là toán tử compact.
Chứng minh
Ký hiệu BX , BX , BY là các hình cầu đơn vị trong X , X ** và Y * (tương ứng), BX là
hình cầu đơn vị đóng trong X .
a) Giả sử A compact. Khi đó, AB X  compact trong Y .
Đồng thời, f  BY , y  Ax  ABX  , ta có:
**

*

*

f  y   f  Ax  f . A . x  A

x  BX .

Vì ABX  trù mật trong AB X  và f liên tục nên:
f  y   A , y  ABX 
 tất cả các hàm f  BY * bị chặn trên AB X  bởi cùng một số A .

Hơn nữa, y1 , y2  ABX   Y :

f  y1   f  y2   f . y1  y2  y1  y2

 các hàm f  BY * đồng liên tục đều trên AB X  .





 BY * là tập compact tương đối trong không gian C ABX  gồm các hàm liên tục

trên A BX  .
Bây giờ lấy dãy A* f n  A* BY  . Ta có:
*

 f n   BY

 tồn tại dãy con



f   f  hội tụ trong không gian C AB , tức là
nj

n

hội tụ đều trên AB X   f nj  hội tụ đều trên A BX  ( vì ABX   A BX  )
 f nj  hội tụ đều trên ABX  .

X

 lim sup f ni  Ax  f nj  Ax  0
i , j   xB

X

 lim A f ni  A f nj  lim A  f ni  f nj   lim sup A  f ni  f nj x 


i , j 

i , j 

i , j   xB

 lim sup f ni  Ax   f nj  Ax   0
i , j   xB

X

X

-18-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

 A f ni  là dãy Cauchy trong X  .

 A f ni  là dãy hội tụ (vì X  đầy đủ).

 

 A BY * compact tương đối.


 A là toán tử compact.

b) Giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, A : Y   X  là
toán tử compact.
 A : X   Y  là toán tử compact (theo câu a).
 A BX  compact tương đối trong Y  .


Vì X và Y có thể đồng nhất với các không gian con của X  và Y  , nên có thể coi
BX  BX . Do đó, ABX   A BX , bởi vì A X  A .




Lấy dãy yn  ABX   tồn tại dãy con yni   yn  hội tụ trong Y  (vì A BX
compact tương đối).
 yni   Y là dãy Cauchy  yni  hội tụ trong Y (vì Y đầy đủ).
 tập ABX  compact tương đối trong Y .
 A là toán tử compact.





2.3. TOÁN TỬ HỮU HẠN CHIỀU
2.3.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính A : X  Y được gọi là hữu hạn chiều nếu miền giá trị của A là
hữu hạn chiều.
2.3.2. Định lý
A là toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều  A là toán tử compact.
Chứng minh
Gọi BX  S 0,1 là hình cầu đơn vị trong X .
Khi đó, A liên tục nên x  BX  S 0,1 , ta có: Ax  A . x  A (vì x  1 )

 AS 0,1 bị chặn trong không gian hữu hạn chiều A X   K n
Mà mọi dãy xn   AS 0,1 đều là dãy bị chặn trong không gian n -chiều A X  .

 Mọi dãy xn   AS 0,1 đều trích được được một dãy con hội tụ.

 AS 0,1 compact tương đối.
 A là toán tử compact.

2.4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ĐỒNG PHÔI TUYẾN TÍNH GIỮA
CÁC KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
2.4.1. Định nghĩa
Cho hai không gian định chuẩn X , Y . Nếu toán tử tuyến tính liên tục A : X  Y có
toán tử ngược A1 liên tục thì A được gọi là phép đồng phôi tuyến tính từ không
gian X lên không gian Y .

-19-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

2.4.2. Định nghĩa
Hai không gian định chuẩn được gọi là đồng phôi tuyến tính, nếu tồn tại phép đồng
phôi tuyến tính từ không gian này lên không gian kia.
2.4.3. Định lý
Mọi không gian định chuẩn n -chiều đều đồng phôi tuyến tính với không gian K n .
2.5. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
2.5.1. Định nghĩa
Cho không gian Banach C a, b các hàm liên tục trên a, b với chuẩn supremum :
x  supxt  : a  t  b, x  Ca, b . Giả sử K t , s  là hàm liên tục trên hình vuông
Q  t, s  : a  t  b, a  s  b. Toán tử

A : Ca, b  Ca, b xác định bởi
b

 Axt    K t, s xs ds được gọi là toán tử tích phân.
a

2.5.2. Nhận xét
a) A là toán tử tích phân thì A tuyến tính liên tục.
Thật vậy, vì A  supAxt  : a  t  b
b

 sup K t , s x s ds : a  t  b 
a

 supK t, s  : t, s  Qb  a  x  M b  a  x

Trong đó M  supK t, s  : t, s  Q 

b) A là toán tử tích phân thì A compact.
Thật vậy:
Với B  x  Ca, b: x  1. Do A liên tục nên AB  bị chặn.
Mặt khác, cho   0, vì K liên tục đều trên Q , tồn tại  sao cho:
K t, s   K t, s     t  t  
b

Khi đó:

Axt   Axt    K t , s K t , s . x s ds   b  a 

x  B

a

Do đó AB  liên tục. Vậy A compact.

---******---

-20-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân