Đề thi học kì 2 môn toán 9 quận thanh xuân hà nội năm học 2016 2017 (có đáp án)

Bài 4.
4) Trước hết ta chứng minh định lí Ptô-lê-mê:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khi đó: AC. BD = AB. CD + AD. BC

·
·
Chứng minh: Lấy M thuộc đường chéo AC sao cho ABD
.
= MBC
·
·
·
·
Khi đó xét ∆ABD và ∆MBC có ADB
và ABD
⇒ ∆ABD ∼ ∆MBC
= MCB
= MBC

⇒

AD MC
BA BM
·
·
=
⇒ AD. BC = BD. MC (1). Lại có
=
và ABM
= DBC

BD BC
BD BC

nên ∆ABM ∼ ∆DBC ⇒AB. CD = AM. BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC ta có IB = IC. Áp dụng định lí trên ta có
IB. CD + IC. BD = ID. BC ⇒ CD + BD =

BC.ID BC.2 R
≤
không đổi
IB
IB

Dấu = xảy ra khi ID = 2R ⇔ ID là đường kính ⇔ D là điểm chính giữa cung BC (vì I
là điểm chính giữa cung BC lớn)
Bài 5.
1
1
1
2
1
1
1
+
= 2
+
= 2
+

+
2
2
2
x +y
xy x + y
2xy x + y
2xy 2xy
1
1
4
=4
2
Ta có x 2 + y 2 + 2xy ≥
( x + y)
S=

2

2
1
1
1
x+y
Mà xy ≤ 
÷ = ⇒ 2xy ≤ => 2xy ≥ 2
4
2
 2 
Do đó S ≥ 4 + 2 = 6 . Dấu “=” xảy ra  x = y = ½

Vậy Min S = 6  x = y = ½