giáo án phương trinh đường elip

§3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I. Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS
1. Về kiến thức
- Hiểu được định nghĩa đường elip
- Hiểu được phương trình chính tắc và hình dạng của elip
- Hiểu được mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip
2. Về kỹ năng
- Lập được phương trình chính tắc của elip khi biết hai trong ba yếu tố
trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự
- Từ phương trình chính tắc của elip xác định được trục lớn, trục nhỏ,
tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh…
- Thông qua phương trình chính tắc của elip để tìm hiểu tính chất hình
và giải một số bài toán cơ bản về elip
3. Về tư duy, thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, trách nhiệm trong học tập
- Tích cực chủ động, sáng tạo trong học tập
- Thấy được mối liên hệ giữa toán học và thực tế
4. Định hướng phát triển năng lực
- Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
- Năng lực tìm tòi, tư duy logic
- Năng lực hoạt động nhóm
- Năng lực ngôn ngữ
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Giáo viên: Đồ dùng và thiết bị dạy học, hai đinh và một đoạn dây
buộc vào nhau để vẽ hình elip
- Học sinh: SGK, đồ dùng học tập, tấm bìa cứng( 15*30), đóng sẵn hai
đầu đinh cách nhau 10cm và một sợi dây chỉ dài khoảng 35cm
III. Tố chức hoạt động dạy học
1. Ổn đinh tổ chức lớp
1

2. Kiểm tra bài cũ


Đặt vấn đề vào bài mới: Quan sát hình ảnh cốc nước thủy

tinh. Khi cốc nước đặt thẳng đứng thì đường giao giữa mặt nước và
thành cốc là đường gì ta đã được học? khi nghiêng cốc nước các em
quan sát nó có còn là đường tròn nữa không?
=> Đường có hình dạng như trên gọi là đường elip
+ Đưa thêm một số hình ảnh đường elip để HS quan sát: bóng của một
đường tròn trên mặt phẳng, quỹ đạo của các hành tinh chuyển động
quanh hệ mặt trời, bóng của một quả bóng dá trên mặt sân..
+ Vậy đường elip được định nghĩa như thế nào? Và nếu đặt nó trong
hệ trục tọa độ Oxy thì phương trình của nó ra sao? Đó chính là nội
dung bài học ngày hôm nay
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa đường elip
- Hướng dẫn học sinh vẽ
- HS thực hiện vẽ
đường elip: Đóng hai chiếc
đinh cố định tại hai điểm và .
Lấy một vòng dây kín không
đàn hồi có độ dài lớn hơn 2.
Quàng vòng dây đó qua hai
chiếc đinh và kéo căng tại
một điểm nào đó. Đặt đầu
bút chì tại điểm rồi di

chuyển sao cho dây luôn
căng. Đầu bút chì vạch nên
một đường mà ta gọi là
đường elip.
- Ba điểm lập thành tam
giác M

- HS quan sát và trả lời:
2

Ghi bảng – Trình chiếu
I-Định nghĩa đường elip


- Khi thay đổi thì có nhận

- Chu vi không đổi vì nó

xét gì về chu vi tam giác M?

luôn bằng độ dài của sợi

- Tổng như thế nào có thay

dây

đồi không? Tại sao?
- NX: Tập hợp những điểm

- Tổng không đồi do

như thế sẽ tạo nên một đường khoảng cách không đổi
gọi là đường elip
- Một em phát biểu theo ý
hiểu định nghĩa đường elip

1. Định nghĩa:

- Giáo viên nhận xét, chính

- HS phát hiện định nghĩa

Cho hai điểm cố định và độ dài

xác hóa định nghĩa

đường elip

không đổi 2 lớn hơn .

- Từ định nghĩa ta có 

- HS phát biểu theo ý hiểu

-Tại sao ?

: các tiêu điểm

- Tại sao , nếu

gọi là tiêu cự

thì sao?

2. Chú ý:

-HS suy nghĩ trả lời
- Độ dài luôn dương

+)

- vì trong một tam giác
tồng hai cạnh luôn có độ
dài lớn hơn cạnh còn lại.
Nếu thì vi phạm bất
đẳng thức tam giác

Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình chính tắc của elip
HDTP1: GV giới thiệu
II- Phương trình chính tắc của
Phương trình tắc của đường

- HS quan sát chú ý nghe

elip

giảng, thao tác vẽ vào vở

- Cho elip có các tiêu
điểm . 

3

elip


Chọn hệ trục tọa độ sao cho
và .
Khi đó với điểm nằm trên
ta sẽ tìm mối liên hệ giữa và
bằng cách đi tính theo hai
cách

Cho elip có các tiêu điểm ,

+) Tính

Người ta chứng minh được rằng:

+) Tính rồi sử dụng định
nghĩa

Trong đó

để tính từ đó suy ra ,

Phương trình (1) gọi là phương

Từ hai cách tính rút ra biểu

trình chính tắc của elip

 Chú ý:

thức liên hệ giữa và
Ta có



Đặt ta được
Phương trình (1) gọi là
phương trình chính tắc của
elip.
- Vì sao ta luôn đặt được ?

-Các em chú ý từ biểu thức
=>
=>
HDTP2: Nhận dạng và thể
hiện phương trình chính tắc
của elip

- HS suy nghĩ, trả lời
4


- Trong các phương trình sau

-Vì  

phương trình nào là phương

Vậy ta có thể đặt

trình chính tắc của elip? tại
sao? Hãy xác định các hệ số
VD 1: Trong các phương trình
sau phương trình nào là phương

trình chính tắc của elip? Hãy xác
định hệ số
a)
- HS dựa vào phương

b)

trình chính tắc của elip

c)

trả lời

Giải:+) Pt a là pt chính tắc của

+) a là phương trình

elip với

chính tắc của elip

+) Pt b không là pt chính tắc của

Vì nên

elip vì

Vì nên

+) Pt c là pt chính tắc của elip

-GV nhận xét câu trả lời của

+) b không là phương

HS

trình chính tắc của elip vì
+) c là pt chính tắc của

- Vậy muốn viết phương trình elip
chính tắc của elip ta cần biết



những yếu tố nào?
- GV chia lớp làm 4 Nhóm 1:
Viết pt :
Nhóm 2: Viết pt :

- HS: cần biết hai trong 3

Nhóm 3: Viết pt :

yếu tố và

Nhóm 4: Viết pt :

5

với


- Các nhóm thảo luận:

VD2: Viết phương trình chính

Nhóm 1:

tắc của elip

Pt:

:

Nhóm 2:

:

=>

:

Pt:

:

Nhóm 3:

Giải:

=>

:

Pt:

+) :

-GV kiểm tra kết quả và

Nhóm 4:

+) :

nhận xét

=>

+) :

Pt:

Hoạt động 3: Tìm hiểu hình dạng của elip
- GV hướng dẫn học sinh
- HS quan sát, suy nghĩ

3. Hình dạng của elip

nhận xét

trả lời

Cho elip có phương trình: (1)

- Điểm

- Có, vì tọa độ đều thỏa

Các điềm , , có thuộc

mãn phương trình (1)

không?
- NX: quan hệ giữa và ?
- NX: quan hệ giữa và ?

- và đối xứng nhau qua

- NX: quan hệ giữa và

trục
- và đối xứng nhau qua

trục
- và đối xứng nhau qua

- Tìm tọa độ các giao điểm

+) có các trục đối xứng là , tâm
đối xứng là gốc

của với các trục tọa độ?

+) là các đỉnh của elip

+) Giao với trục => thay vào

+) gọi là trục lớn của
6


pt (1) ta được gì? Vậy

cắt

trục tại mấy điểm?
+) Giao với trục

+) gọi là trục bé của
+) => => cắt trục tại

=>

2 điểm

thay vào pt (1) ta được gì?

+) =>

Vậy

tại 2 điểm

cắt trục tại mấy

=> cắt trục

điểm?
+)
- Tính độ dài ,
- VD 3: Cho :
- HS:
- GV: Từ phương trình chính

=>

tắc chỉ ra

=> ,

Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài
các trục, tọa độ các tiêu
điểm, tiêu cự của

-

- Tọa độ các đỉnh =?

Giải:
+)

-,
-,

- Độ dài các trục =?
-Tọa độ các tiêu điểm?

+) ,

)

+) ,

-

)
+)

-Tiêu cự

Ví dụ 4: Viết pương trình chính
tắc của elip biết:

a, Elip đi qua hai điểm A( 4;0) và
B( 3; )

b, Độ dài trục lớn là 10, tiêu cự là
- HS quan sát trả lời câu
hỏi
- GV hướng dẫn học sinh làm +)
ýa

+)

+) phương trình chính tắc



(1)

6
Giải:

a, Phương trình chính tắc của elip
có dạng
đi qua hai điểm A( 4;0) và
B( 3; ) nên ta có:

7


của elip có dạng ?
+) thay tọa độ điểm A( 4;0)



+)

và B( 3; ) vào phương trình
(1) ta có hệ nào?

+) Vậy phương trình chính
tắc của elip có dạng như thế
nào?

Vậy phương trình chính tắc của

- HS lên bảng trình

elip là:

bày

b, Ta có a = 5, c = 3

ta có a = 5, c = 3
=>

=>
=>

=>

- GV gọi một học sinh lên
bảng trình bày ý b

- GV nhận xét và chính xác
hóa nếu cần
Hoạt động 4: Tìm hiểu mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip
4.Liên hệ giữa đường tròn và
- GV hướng dẫn HS nhận xét

-HS quan sát trả lời câu

đường elip

hỏi

- Từ hệ thức
khi tiêu cự của elip càng
nhỏ thì b càng gần bằng a,

HS:
- Elip có dạng gần như

tức là trục nhỏ càng gần bằng đường tròn
trục lớn, có nhận xét gì về
a) Tiêu cự cự càng nhỏ => có

hình dạng elip?

dạng gần như đường tròn
8

b) Trong mặt phẳng cho đường
-Trong mặt phẳng cho đường

tròn có phương trình

tròn có phương trình
, xét phép biến đổi với
, xét phép biến đổi với

(

(

Khi đó, tọa độ điểm thỏa mãn

-Ta có

phương trình

=>

là một elip. Ta nói đường

Vậy khi thay vào biểu thức

tròn co thành

trên ta được gì?

là một elip. Ta nói đường
tròn co thành
HS:
=>
=>
=>

=>
-HS chú ý chép bài vào
vở
Hoạt động 5: Củng cố và dặn dò
 Củng cố
HS suy nghĩ tổng hợp
-Để khăc sâu bài học ngày

kiến thức trả lời

Câu 1: Elip () có tiêu cự , thì
phương trình chính tắc của elip

hôm nay lớp mình sẽ trả lời

là …

các câu hòi nhanh

ĐA:

()

Câu 2: Cho :
Đỉnh:
ĐA:

9


Tiêu điểm: ,
ĐA: ,
Tiêu cự:

ĐA:
Độ dài trục lớn: …
ĐA:
Độ trục dài trục nhỏ:…
ĐA:
Câu 3: Cho có phương trình
1, Tọa độ các tiêu điểm:
ĐA: C
A) ,
B) ,
C) ,
D) ,
2, Độ dài trục nhỏ là: ĐA: D
A, 20
B, 16
C, 6
D, 12
3, Độ dài trục lớn là: ĐA: A
A, 20

B, 16
C, 6
D, 12

- Vậy qua bài học ngày hôm

- HS chú ý lắng nghe
10


nay các em cần hiểu và nhớ :
+ Thế nào là đường elip, các
hình có dạng elip
+ Phương trình chính tắc của
elip
+ Các yếu tố của elip
+ Mối liên hệ giữa đường
tròn và đường elip
 Dặn dò
- Học bài và Làm các tập
trong sgk( 88)
- Đọc bài đọc thêm “Ba
đường cô nic và quỹ đạo của
tàu vũ trụ”

11