De thi hoc ki 2 (1)

TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
ĐỀ TỰ LUYỆN THI THPT QUÓC GIA 2015
TỔ: TOÁN
MÔN: TOÁN
ĐỀ SỐ 1:
Thời gian làm bài: 180 phút (K.K.P.Đ)
3
2
Câu 1 (2,0 đ) : Cho hàm số: y = − x − 3x + 4 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C), tìm tham số m để phương trình: x 3 − 2 x 2 + m = 2 x3 + x 2 + 1 có ba
nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng - 9
Câu 2(1,0đ) :
a/ Giải phương trình sau:

3 sin 2 x − cos 2 x = −1

2 
3π 
2 tan 2 α − 3cot 2 α
cos
α
=
−
,
π
<
α
<
A

=
− sin 2 α
b/ Cho
. Tính giá trị biểu thức sau:
3 
2 ÷
3cos α −1
c/ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i ) . Tìm phần thực và phần
2

ảo của z.
Câu 3 (1,0đ) :
1/ Giải phương trình sau: a/

x+ 1 x+1
16 2 + 4
− 8= 0

b/ log9(x + 8) − log3(x + 26) + 2 = 0

3
2/ Giải bất phương trình sau: x 2 + 3 − 2 x 2 − 3 x + 2 ≥ ( x + 1)
2
Câu 4:(1,0đ):
π
2

1/ Tính tích phân sau: K = ∫ ( 2 x −1) cos xdx
0

2/ Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi : y =

−3 x − 1
với các trục tọa độ.
x −1

Câu 5(1,0đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5 .
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB. Góc giữa
đường thẳng SC và (ABC) là 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6(1,0đ): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
HDHS: ,+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
uuur
HK = (−1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0. Ta cũng dễ có: ( BK ) : 2 x + y − 2 = 0 .

+ Do A ∈ AC , B ∈ BK nên giả sử A(2a − 4; a), B(b; 2 − 2b).
Mặt khác M (3;1) là trung điểm của AB nên ta có hệ:
-1-


 2a − 4 + b = 6
2a + b = 10
a = 4
⇔
⇔
. Suy ra: A(4; 4), B(2; − 2).

 a + 2 − 2b = 2
 a − 2b = 0

b = 2
uuur
+ Suy ra: AB = (−2; − 6) , suy ra: ( AB) : 3 x − y − 8 = 0 .
uuur
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra:
( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0.

KL: Vậy : ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0, ( AB) : 3 x − y − 8 = 0 , ( BC ) : 3x + 4 y + 2 = 0.
Câu 7(1,0đ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x −1 y +1 z −1
=
=
, điểm
2
1
1

A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0.
1/ Lập phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, ∆ nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách
giữa d và ∆ bằng 2 3 .
HDHS: Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng 2 3 . Do (Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d
nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)
⇔ (5b + c ) 2 = 12(a 2 + b 2 + c 2 ) d ( A,( Q )) = 2 3 ⇔

a (1 − 1) + b(4 + 1) + c(2 − 1)
a2 + b2 + c2

=2 3

⇔ 12a 2 − 13b 2 + 11c 2 − 10bc = 0 (3) Thay (2) vào (3) có 7 a 2 + 8ab + b 2 = 0 .

Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a =

−1
7

+ Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0. Đường thẳng ∆ qua A và song
r

 − 1 − 1 − 1 1 1 −1 
,
,
÷ = −4(1, 2, −1)
 −1 3 3 5 5 −1 

song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP u = 
nên ∆ có phương trình:
+ Với b = 1 , a =

x −1 y − 4 z − 2
=
=
1
2
−1

−1

thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0
7

Đường thẳng ∆ qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP
r
x −1 y − 4 z − 2
=
=
u (−8,11,17) nên ∆ có phương trình:
−8
11
17

Câu 8(1,0đ): Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hàng dọc đi vào lớp. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẻ 3 học sinh nữ.
HDHS: : 3 HS nữ được xếp cách nhau 1 ô. Vậy 3 HS nữ có thể xếp vào các vị trí là: (1;3;5); (2;4;6);
(3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)
+ Mổi bộ 3 vị trí có 3! cách xếp 3 HS nữ.

-2-


+ Mổi cách xếp 3 HS nữ trong 1 bộ, có 6! cách xếp 6 HS nam vào 6 vị trí còn lại
Vậy có tất cả là: 5.3!.6!=21600 (cách) theo YCBT.
a3
b3
c3
+
+
= 1 . Tìm giá

Câu 9(1,0đ): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 2
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

trị lớn nhất của biểu thức: S = a + b + c.
Câu 10(0,5đ): Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

5 − x + x − 1 + −5 + 6 x − x 2 = m

HDHS: + Đặt t = 5 − x + x − 1 ⇒ t 2 = 4 + 2 −5 + 6 x − x 2
PT ⇔ t +

(

t2 − 4
= m t ∈  2;2 2 
2

+ Xét hàm số f (t ) = t +

t2 − 4
2

)
( t ∈ 2; 2

)

2  ⇒ f ′ (t ) = t + 1 ⇒ f ′ (t ) = 0 ⇔ t = −1∉  2;2 2 

⇒ f(t) = m có nghiệm ⇔ 2 ≤ m ≤ 2 ( 1 + 2 ) .

HẾT./.

-3-