Sách tư duy hàm (DEMO số phức)

LỜI NÓI ĐẦU
Kính gửi các quý thầy cô và các bạn độc giả thân mến!
Tôi vẫn thường tâm sự với học trò của mình: “Cuộc đời mỗi chúng ta không ai đủ
thời gian để giải hết tất cả các bài toán. Vì vậy khi giải toán hãy cố gắng đi tìm cội
nguồn của nó để từ một bài toán chúng ta biết cách giải của 100 bài toán, đừng
học toán bằng cách làm điều ngược lại.”
Cũng chính vì lẽ đó tôi luôn mong muốn mang đến cho độc giả những dạng bài tập
toán đặc sắc, có tính thời sự cùng với hệ thống những phương pháp giải toán,
cách tiếp cận khi đứng trước những bài toán trong cuốn sách “TƯ DUY HÀM
TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TOÁN 12” dự kiến xuất bản vào năm 2018.
Bản DEMO thuộc chủ đề Số phức trong cuốn sách “TƯ DUY HÀM TRONG ĐỀ THI
TRẮC NGHIỆM TOÁN 12” mà bạn đọc đang có trên tay dù vẫn đang trong quá
trình hoàn thiện, nhưng tôi đã và đang cố gắng để mang đến cho các bạn một
cách nhìn toàn diện nhất về tư duy giải bài toán số phức trong đề thi trắc nghiệm.
Vì Tết nguyên đán Mậu Tuất – 2018 đang đến cận kề tôi xin phép được dừng lại
nghỉ ngơi, đồng thời mạn phép gửi lời chúc năm mới anh khang – hạnh phúc –
bình an đến tất cả các bạn độc giả.
Bản DEMO vẫn đang còn dang dở và sẽ không tránh khỏi những sai sót, rất mong
nhận được sự góp ý đến từ các quý thầy cô và các bạn độc giả theo Email:
hoặc số điện thoại 0984.333.030.
Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả


MỤC LỤC
1.

Đặc biệt hóa trong bài thi trắc nghiệm. ................................................................ 1

2.

Đại số hóa bài toán số phức. .................................................................................. 7

3.

2.1.

Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước. .................................................. 7

2.2.

Vấn đề về nghiệm phức của phương trình. ..................................................10

2.3.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Casio hay không Casio. ...................................15

Sử dụng tính chất về môđun số phức...................................................................17
3.1.

Sử dụng các đẳng thức môđun .....................................................................17

3.2.

Lấy môđun hai vế của một biểu thức. ...........................................................21

3.3.

Bất đẳng thức của môđun số phức. ..............................................................26

4.

Lượng giác hóa bài toán số phức. ........................................................................27

5.

Sử dụng hình học trong giải bài toán số phức. ...................................................35
5.1.

Sử dụng bình phương vô hướng. ..................................................................35

5.2.

Sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc...............................................50

5.3.

Sử dụng sự tương giao giữa các đường. ......................................................55

5.4.

Elip và không Elip? ....................................... Error! Bookmark not defined.


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

Ch 07. S PHC
1.

c bit húa trong bi thi trc nghim.

Th giỏ tr c bit l mt k thut n gin v d thc hin nh s dng linh hot vic gỏn
giỏ tr trờn mỏy tớnh b tỳi. Sau õy l mt vi im cn chỳ ý i vi k thut ny:
Mt mnh l mnh ỳng thỡ nú phi ỳng vi nhng trng hp c th, song mt
mnh ỳng vi mt s trng hp c th thỡ cha hn mnh ú ó ỳng. Vỡ vy khi
c bit húa bi toỏn chỳng ta cn xột tớnh ỳng- sai ca tt c cỏc phng ỏn.
K nng gỏn giỏ tr cho bin trờn mỏy tớnh b tỳi Casio thc s hiu qu v nhanh chúng
vi nhng biu thc tớnh toỏn phc tp. Sau õy l hng dn:

Vớ d. Tớnh giỏ tr T

zz
z 1 3i

khi z 3 4i.

T hp phớm
Chuyn v ch lm
vic trờn tp s phc.

w 2

Gỏn giỏ tr 3 4i cho
bin A.

3p4b
qJz

Kt qu hin th trờn Casio

3 - 4i A
A

aQz
+qcQz
Nhp

A A
A 1 3i

3 - 4i

Rq22Qz)
+1+3b

A+ A

A+ A

Conjg A
A+ A

Conjg A + 1 + 3i
A+ A

Tớnh kt qu ca T

=

Conjg A + 1 + 3i
4 72
i
65 65
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

Bi toỏn. Cho cỏc s phc z1, z2 khỏc nhau tha món z1 z 2 . t w

z1 z 2
z1 z 2

.

Khng nh no sau õy ỳng ?
A. w 0.

B. w l s thc.

C . w cú phn thc v phn o u khỏc 0.

D. w l s thun o.

z 1 i
z z2
1

w 1
i w l s thun o.
Li gii. Chn

z 2 1 i
z1 z 2

Vi kt qu ny ta cú nhn xột v tớnh ỳng-sai ca cỏc phng ỏn ó cho :
+) Phng ỏn A : Sai.
+) Phng ỏn B : Sai.
+) Phng ỏn C: Sai.
+) Phng ỏn D: ỳng.
Vy ỏp ỏn cn tỡm l D
Bi toỏn. Cho s phc z tha món z 1 . t A

2z i
. Khng nh no sau õy
2 iz

ỳng ?
A. A 1.

B. A 1.

C . A 1.

D. A 1.

Li gii.
+) Chn z i z 1 Khi ú A

2i i
2 i2

i A 1.

Vi kt qu ny ta cú nhn xột v cỏc phng ỏn ó cho :
+) Phng ỏn sai : Gm C v D.
+) Phng ỏn ỳng : Gm A v B.
+) Chn z

1 1
3 1
10
i A i A
1
2 2
5 5
5

Vi kt qu ny ta cú nhn thy phng ỏn A ỳng v B sai .
Vy ỏp ỏn cn tỡm l A
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

Bi toỏn. Cho s phc z

1 tha món iu kin

z 1
l s thun o. Khng nh no
z 1

sau õy ỳng ?
A. z 1.

B. z l s thun o.

C . z l s thc.

D. z 1 z 1 .

Li gii.
+) Chn

z 1
1 2i
3 4
2i z 1 2i z 1 z
i
z 1
2i 1
5 5

Vi kt qu ny ta cú nhn xột v tớnh ỳng sai ca cỏc phng ỏn nh sau:
+) Phng ỏn sai: Gm B, C v D.
+) Phng ỏn ỳng: A.

Vy ỏp ỏn cn tỡm l A



Bi toỏn. Cho s phc z tựy ý. Xột cỏc s phc z 2 z

2





v zz i z z .

Khng nh no sau õy l khng nh ỳng?
A. l s thc, l s thc.

B. l s thc, l s o.

C . l s o, l s thc.

D. l s o, l s o.

14
Li gii. Chn z 3 4i , s dng gỏn bin trờn Casio ta cú cỏc kt qu:

17

Vi kt qu ny ta cú nhn xột:
+) Phng ỏn ỳng: A

+) Phng ỏn sai: B, C, D.
Vy ỏp ỏn cn tỡm l A
Bi toỏn. Cho hai s phc z1, z2 bt k. Khng nh no sau õy l khng nh sai?
A. z1 z 2 z1 z 2 .

B. z1 z 2 z1 z 2 .

C . z1 z 2 z1 z 2 .

D. z1 z 2 z1 z 2 .
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

z 3 2i
1
Li gii. Chn
. S dng gỏn bin trờn CasiO ta cú nhn xột v cỏc kt qu

z 2 4 i

tỡm c:
+) Phng ỏn ỳng: A, B, C.
+) Phng ỏn sai: D.
Vy ỏp ỏn cn tỡm l D

0, z2

0 tha món iu kin z12 2z1z 2 2z22 0.
Bi toỏn. Cho cỏc s phc z1
Tớnh giỏ tr ca biu thc P

z1
z2



z2
z1

.

A. 2.

C.

B.

D.

2.

3 2
.
2
1
2

.

z 1 i
Li gii. Chn z 2 1, gii phng trỡnh z 2 2z 2 0
z 1 i
Chn z 1 1 i. Ta cú kt qu nhn c l P

3 2
.
2

Vy ỏp ỏn cn tỡm l B

0, z2
0 tha món iu kin z1 z2 z1 z2 .
Bi toỏn. Cho cỏc s phc z1
z 4 z 4


Tớnh giỏ tr ca biu thc P 1 2 .
z 2
z1
A. 2.

B. 0 .

C . 1.

D. 1.

Li gii. Chn z1

1
3
1
3

i v z 2 1 z1 z2
i
2
2
2
2

Khi ú z1 z 2 z1 z2 1 tha món yờu cu bi toỏn.
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

z 4 z 4


S dng gỏn bin trờn Casio ta tớnh c giỏ tr ca biu thc P 1 2 1.
z 2
z1
Bỡnh lun. Cú hai vn ny sinh khi c bit húa i vi bi toỏn ny:
+) Vn th nht: Lm sao chn c z1, z2 tha món yờu cu bi toỏn?

gii quyt vn ny ta cú th lm nh sau: chn z 2 1 , t z1 x yi x , y


x 1
x 2 y 2 1

2


khi ú ta d dng cú h

z1 ...
x 12 y 2 1
3
y

2

+) Vn th hai: Mỏy tớnh casio khụng tớnh c biu thc A4

1
?
A4

2

1

gii quyt vn ny ta vit lờn mỏy tớnh l: A2 2 .
A

2

Bi toỏn. Cho P z l mt a thc vi h s thc. Nu s phc z tha món P z 0
thỡ khng nh no sau õy ỳng?
A. P z 0.



1
B. P 0 .
z

1
C . P 0.
z

D. P z 0.



Li gii. Chn P z z 2 1, khi ú P z 0 z i
Chn z i v s dng chc nng gỏn giỏ tr cho bin trờn Casio, ta c:



+) P z 2 phng ỏn A l phng ỏn sai.
1
+) P 0 phng ỏn B ỳng.
z
1

+) P 0 phng ỏn C ỳng.
z



+) P z 0 phng ỏn D ỳng.
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuû ñeà 07 - SOÁ PHÖÙC

z  0
Chọn P z   z 2  z, khi đó P z   0  
.
 z  1
Chọn z  0 ta dễ thấy phương án B và C là các phương án sai, phương án D là phương án
đúng.
Vậy đáp án cần tìm là D

Bài tập tự luyện.
Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z 1z 2 
 1 và z1  z 2  1. Tìm phần ảo của
[1].

số phức w 

z1  z 2
1  z1z 2

A. 0.

.
C.  1.

B. 1.

D. 2.

Cho các số phức z1, z2 khác 0 thỏa mãn điều kiện

[2].

trị của biểu thức P 
A.

1
2

z1



z2

.

z2
z1

.

C. 2.

2.

B.

2
1
1


. Tính giá
z1 z 2
z1  z 2

D.

Cho số phức z 
 0 sao cho z không phải là số thực và
[3].

z

giá trị biểu thức T 

1 z

A.

1
.
5

B.

2

z
1  z2

3 2
.
2

là số thực. Tính

.

1
.
2

C. 2.

D.

1

.
3

Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
[4].

A. z  z .

2

B. z 2  z .

C.

2

z 

 z .

2

D. z .z  z .

Phạm Kim Chung – K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

2

Xột cỏc s phc z 2 z ,
[5].

z z



3

z z

3

, trong ú z l mt s phc tựy

ý sao cho , xỏc nh. Khng nh no sau õy l khng nh ỳng ?
A. l s thc,
l s thc.

B. l s thc,
l s o.

C. l s o,
l s thc.

D. l s o,
l s o.

Gi s A, B theo th t l im biu din ca s phc z1 , z 2 . Khi ú di ca


AB bng

[6].

A. z1 z 2 .

B. z 2 z1 .

C. z1 z 2 .

D. z1 z 2 .

Cho cỏc s phc z 1, z 2 tha món ng thi cỏc iu kin z1 1, z 2 1 v

z1 z 2 1 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P z1 z 2 .

[7].

A. P 3.

B. P 1.

D. P

C. P 2 3.

3
.
2

Cho hai s phc z, w khỏc 0 sao cho z w 2 z w . Tỡm phn thc ca s
phc

[8].

z
.
w

1
A. .
8

B.

1
.
4

C. 1.

D.

1

.
8

P N
[1].

[2].

[3].

[4].

[5].

[6].

[7].

[8].

A

D

B

C

B

B

A

D

2.

[9].

[10].

i s húa bi toỏn s phc.
2.1. Tỡm s phc tha món iu kin cho trc.

Vi nhng bi toỏn liờn quan n tỡm s phc tha món iu kin cho trc chỳng ta ỏp

A C
dng tớnh cht A Bi C Di
, vi A, B,C , D l cỏc s thc.

B D


Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

Bi toỏn . Cho s phc z a bi a, b tha món z 2 i z 1 i 0 v

z 1. Tớnh P a b.
A. P 1.

B. P 5.

C . P 3.

D. P 7.




Li gii. z z 2 z 1 i a bi a 2 b 2 2 a 2 b 2 1 i











b a 1
b a 1
a a 2 b 2 2

b a 2 b 2 1
b 1 a 2 b2
a 2 2b 1



b a 1

b a 1
a 3


2
a 1
, do z 1 .
a 2a 3 0

b 4



a 3


Vy P a b 7.
Bi toỏn . Cho s phc z a bi a, b tha món z 2 i z 1 i 0 v

z 1. Tớnh P a b.
A. P 1.

B. P 5.

C . P 3.

D. P 7.

Bi toỏn . Cho cỏc s phc z1, z2 tha món z1 2z 2 2 4i v z1 1 i

z 2 3 i

. Gi a1, a2 ln lt l phn thc ca s phc z1 v z2 . Tớnh a1 a2 .
A. 8
C.

B. 3.

14
.
3

D.



Li gii. Gi s z1 a1 b1i a1, b1

4
.
3


Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang

2 i


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

z 2 3 i

+) z1 1 i

2i

z1

z 2 3 i

2 i 1 i

z1 z 2 .

+) z1 2z 2 2 4i z1 2z1 2 4i a1 b1i 2 a1 b1i 2 4i

3a 2
4
1
a1 a2 2a1
b1 4
3

Bi toỏn.

Cú bao nhiờu s phc z 1, z 2 tha món ng thi cỏc iu kin
2

2

z1 1 i 5, z 2 2 i z 2 19 v z1 z 2 2 i.
A. 0.

B. 1.

C . 2.

D. Vụ s.

Li gii. Gi s z 1 x 1 y1i x1 , y1 v z 1 x 2 y2i x 2 , y2 .

z1 1 i 5 x1 1 y1 1 5
2

+)

2

1





+) z 2 2 i z 2 19 x 2 2 y2 1 x 22 y22 19
2

2

2

2

2x 2 y2 7 2

x1 x 2 2 2x1 2x 2 4

2x1 y1 2x 2 y2 5 3

+) z1 z 2 2 i

y1 y2 1 y1 y2 1


T 2, 3 ta cú y1 12 2x 1 thay vo 1 ta cú x 1 1 13 2x1 5
2

2

*

Do phng trỡnh * vụ nghim. Vy khụng tn ti cỏc s phc z1, z 2 tha món ng thi
cỏc iu kin ó cho.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

Bi toỏn . Xột s phc z tha món 1 2i z

10
2 i. Mnh no di õy
z

ỳng ?

A.

3
z 2.
2

C. z

B. z 2 .

1
.
2

D.



1
3
z .
2
2



Li gii. Gi s z a bi a,b ; z x 0.
Ta cú 1 2i z

10 a bi

10
2 i 1 2i a 2 b 2
2 i
z
a 2 b2


10a
2
2
2
10a 2 x x 2
a b 2



a b2


2


10b
10b 1 2x x
2 a 2 b 2 1 2
2

a b

10 a 2 b 2 x 4 2 x x 4 1 2x , vi x z a 2 b 2 .
2

2

10x 2 x 4 2 x x 4 1 2x
2

x4 x2 2 0 x 1

2

*

1
3
z .
2
2

2.2. Vn v nghim phc ca phng trỡnh.
Bi toỏn. Cho s phc z a bi a,b . Hi phng trỡnh no sau õy nhn z v

z lm nghim?
2
2
2

A. x 2ax a b 0.

2
2
2
B. x ax a b 0.

2
2
2
C . x 2ax a b 0.

2
2
2
D. x ax a b 0.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

z z 2a

Li gii. Vi z a bi z a bi do ú:

z .z a 2 b 2

2
2
2
Vy z v z l nghim ca phng trỡnh x 2ax a b 0.

Bi toỏn. Cho s phc w v hai s thc a,b. Bit rng w i v 2 w 1 l hai nghim
2
ca phng trỡnh z az b 0. Tớnh P a b.

5
.
9

A. P
C. P

5
B. P .
9

1
.
9

1
D. P .
9

3w 1 a i
w i 2w 1 a

Li gii. Theo bi ra ta cú

w i 2w 1 b
w i 2w 1 b



1 a i
1 a i
1 b

i 2


3
3



a 2
a 2 0


2a a 3 2 a 2 i 9b 2

2a a 3 9b
b 13

9





2

Vy P 2

13
5
.
9
9

Bi toỏn. Gi z1, z2 l cỏc nghim ca phng trỡnh z 2 2 2i z 3 2i 0. Tớnh
2

2

P z1 z 2 .

A. P 12.

B. P 11.

C . P 14.

D. P 13.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC
2

Li gii. Ta cú ' 1 i 3 2i 3 4i 4 4i 1
z 1 i 2i 1 2 3i
2
2
2i 4i 1 2i 1 1
z1 1 i 2i 1 i
2

2

Vy P 2 3i i 14.
Bi toỏn. Gi s z1, z 2 l cỏc nghim ca phng trỡnh z 2 7 i z 12 8i 0.
Gi A, B l im biu din cỏc s phc z1, z2 trờn mt phng ta . Hóy tớnh din tớch
tam giỏc OAB.
A. 5.

B. 6.

C . 3.

D. 2 13.

2



2

Li gii. Ta cú 7 i 4 12 8i 18i 9 1 2i i 2 9 1 i

7 i 3 1 i

2 2i
z 1
2
. T ú suy ra A 2;2 , B 5; 1

z 7 i 3 1 i 5 i
2
2







1 2
OA OB OAOB

OAOB
.
8; OA OB 4 13 . Do ú S
.

2



Bi

toỏn.

Gi

z1, z 2 , z 3

l

cỏc

nghim

ca



2

6.

phng

2z 3 5z 2 3 2i z 3 i 0. Bit z1 l s thc, hóy tớnh tng T z 2 z 3 .
A.

5 2.

C . 5 2.

B. 2 5.
D. 5 2.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang

trỡnh


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

Li gii. Do z1 l nghim ca phng trỡnh ó cho nờn:

2z13 5z12 3 2i z1 3 i 0
2z 3 5z 2 3z 3 0
1

1
1

2z13 5z12 3z1 3 2z1 1 i 0 1
z1
2z 1 0
2
1

T ú phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2z 1 0

2z 1 z 2 3z 3 i 0 z 2 3z 3 i 0


*
2

2

Xột phng trỡnh * , ta cú 9 4 3 i 3 4i 2i 4i 1 2i 1

3 2i 1

2i
z 2
2
Do ú cỏc nghim ca phng trỡnh * l:

z 3 2i 1 1 i
3
2

Vy T z 2 z 3 5 2.
Bi

Gi

toỏn.

z1, z 2 , z 3

l

cỏc

nghim

ca

phng

trỡnh

z 3 1 2i z 2 1 i z 2i 0. Bit z1 l s thun o. t P z 2 z 3 , hóy
chn khng nh ỳng?
A. 1 P 2.

B. 0 P 1.

C . 2 P 3.

D. 3 P 4.

Li gii. Do z1 thun o z1 mi m . Khi ú ta cú:
3

mi

2







1 2i mi 1 i mi 2i 0 m 2 m m 3 2m 2 m 2 i 0

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

m 2 m 0


m 1 . Vy z1 i
m 3 2m 2 m 2 0

T ú phng trỡnh ó cho tng ng vi
z i

z i z 2 1 i z 2 0 z 2


Xột phng trỡnh *

1 i z 2 0 *


z z 1 i
3
ta cú
.
2
2

z
z

2
2 3

2
2
1
Khi ú z 2 z 3 z 2 z 3 4z 2z 3 8 i.
2

Li cú z 2 z 3

2

257
z2 z 3
2

2

z 2 z 3

257
2 P 3.
2

Bi toỏn. Gi z 1 , z 2 , z 3 l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh z 3 3iz 1 0. t









w z12 8i z 22 8i z 32 8i . Tỡm phn o ca s phc w.

A. 0.

B. 1.

C . 10.

D. 200.

Li gii. t f z z 3 3iz 1 z z1 z z2 z z 3 .





2

Ta cú 8i 4 2i 4 i 2 2i 1 4 i 1

2
nờn z 8i z 8i z 4 i 1 z 2 i 1 z 2 i 1




Suy ra w z1 2 i 1 z1 2 i 1 ... z 3 2 i 1 z 3 2 i 1






Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

2i 2 z1 2i 2 z 2 2i 2 z 3 2 2i z 1 2 2i z 2 2 2i z 3
f 2i 2 .f 2 2i 9 10i 11 10i 1 200i.

Vy w cú phn o bng 200.

z 1 4
1. Tớnh
Bi toỏn. Gi z 1, z 2 , z 3 , z 4 l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh
2z i











giỏ tr biu thc P z12 1 z 22 1 z 32 1 z 42 1 .
A. P

1

.
3

B. P

17
.
9

C. P

15
.
9

D. P

17
.
3

z 1 4
4
4
1 2z i z 1 0 .
Li gii. Ta cú
2z i
4

4

t f z 2z i z 1







suy ra f z 15 z z1 z z 2 z z 3 z z 4





Li cú: P z12 1 z 22 1 z 32 1 z 42 1 z 1 i z 1 i ... z 4 i z 4 i



f i f i
5 85 17
.
.
.
15
15
15 15
9
2.3. Giỏ tr ln nht, nh nht - Casio hay khụng Casio.

Bi toỏn. (Trớch tham kho BGD 2018) Xột cỏc s phc z a bi a,b tha
món z 4 3i 5. Tớnh P a b khi z 1 3i z 1 i t giỏ tr ln nht.
A. P 10.

B. P 4.

C . P 6.

D. P 8.
Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

Cho hai s thc x , y tha món iu kin

Li gii. Ta phỏt biu li bi toỏn nh sau :
2

x 4
T

2

y 3 5. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
2

x 1

2

y 3

2

x 1

2

y 1

p dng bt ng thc B.C.S ta cú :
2
2
2
2

T 2 2 x 1 y 3 x 1 y 1 4 x 2 y 2 2y 6





2
2


4 x 4 y 3 8x 4y 19 8 4x 2y 7

1

2
2

Ta li cú : 100 16 4 x 4 y 3



2
2
4 x 4 2 y 3 4x 2y 22 4x 2y 32



T

1, 2

suy ra T 2 200 T 10 2

.

2

Vy maxT 10 2

t c

x 4 y 3
x 6


4

hay P x y 10.
2

y 4
4
x

2
y

32



Bỡnh lun. Vi cỏch ra trc nghim nh trờn, vic gii bi toỏn bng t lun (i s,
hỡnh hc hay lng giỏc) u mt mt khong thi gian khỏ lõu. Trong lỳc ú vic s dng
mỏy tớnh b tỳi tỡm ra giỏ tr ln nht ú ch tớnh bng giõy, vỡ vy khi ra cho nhng
dng toỏn ny ngi ra cn tớnh toỏn n hai phng ỏn : hc sinh s gii bng t lun
hay s th bng CasiO cú nhng iu chnh cõn bng gia hai cỏch lm ny ca thớ sinh.

Bi toỏn. Cho s phc z tha món z 4 3i m, trong ú 0 m 4 l tham s
thc. Khi z 1 3i z 1 i t giỏ tr ln nht bng 2 10 , hóy chn khng nh
ỳng ?
A. 0 m 1.

B. 1 m 2.

C . 2 m 3.

D. 3 m 4.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

3.

S dng tớnh cht v mụun s phc.
3.1. S dng cỏc ng thc mụun

Cho cỏc s phc z 1, z 2 v z. Khi ú ta cú nhng tớnh cht sau v mụun ca s phc:
[3]. z1.z 2 z1 . z2

[1]. z z
2

[2]. z .z z .

[4].

z1
z2



z1
z2

z

2


0

Bi toỏn . Tỡm phn o ca s phc z tha món ng thi cỏc iu kin

z 1
1 v
i z

z i
1?
2z

A. 1
C.

3
.
2

B. 1.

3
D. .
2

Li gii. Gi s z x yi x, y ta cú:
z 1

2
2

i z 1
z 1 i z
x y
x 1 y 2 x 2 y 1







z i
z i 2 z

x 2 y 1 2 x 2 2 y 2
4x 2y 3






1



2 z


x 3

2 z 3 3 i. Vy phn o ca s phc z cn tỡm l 3 .


3
2 2
2
y
2

Bi toỏn. Tỡm phn thc ca s phc z tha món ng thi cỏc iu kin

z 1
1 v

z i

z 3i
1.
z i

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

A. 0

B. 1.

C . 1.

D. 3.

Li gii. Gi s z x yi x, y ta cú:
z 1

2
2

z 1 z i
z i 1
x 1 y 2 x 2 y 1

z 3i
z 3i z i
x 2 y 3 2 x 2 y 1 2



1



z i

x y
x 1


z 1 i . Vy phn o ca s phc z cn tỡm l 1.
8y 8
y 1


Hi cú bao nhiờu s phc z

Bi toỏn .

z 1 2i
z 3 4i

1 v

z 2i
z i

tha món ng thi cỏc iu kin

l mt s thun o?

A. 0.

B. 1.

C . 2.

D. 4.

Li gii. Gi s z x yi x, y ta cú:
Gi s

z 1 2i
z 3 4i
2

1 z 1 2i z 3 4i
2

2

2

x 1 y 2 x 3 4 y x y 5 0 1

Li cú :

Suy ra

z 2i
z i

z 2i
z i



x y 2 i x 1 y i




2
2
x 1 y i
x 1 y

x y 2 i

l mt s thun o x 2 y 21 y 0 2

x y 5
12
23

T 1 , 2 ta cú h 2
x ;y
.
x y 21 y 0
7
7


Vy ch cú 1 s phc z tha món yờu cu bi toỏn.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

Bi toỏn . Hi cú bao nhiờu s phc z tha món ng thi cỏc iu kin z 1 v
z
z



z

3?
z

A. 8.

B. 1.

C . 2.

D. 4.

Li gii. Gi s z x yi x, y ta cú: z 1 x 2 y 2 1 1 .




z2 z
z
Gi s 3
z z
z .z
z

z z


2

z

2 z

z z 2 z.z
3
z.z

2

2



3

2



3 z z

2

z 1



2

2 3 4x 2 2 3 2

x 2 y 2 1
x 2 y 2 1
x 2 y 2 1

T 1 , 2 ta cú h 2
hoc
2
2
4x 2 3
4x 2 3
4x 2 3



Vy cú 8 s phc tha món yờu cu bi toỏn.
Bi toỏn . Cho cỏc s phc z tha món z 4. Bit rng tp hp cỏc im biu din





cỏc s phc w 3 4i z i l mt ng trũn. Tớnh bỏn kớnh r ca ng trũn ú.
A. r 4.

B. r 5.

C . r 20.

D. r 22.

Li gii. Ta cú w 3 4i z i z

T z 4

w i
3 4i

w i
w i
4
4 w i 20
3 4i
3 4i





Gi s w x yi x, y , ta cú :

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Chuỷ ủe 07 - SO PHệC

w i 20 x 2 y 1 20 x 2 y 1 202 . Suy ra bỏn kớnh ca
2

2

ng trũn tha món yờu cu bi toỏn l r 20.
Bỡnh lun. Vic s dng tớnh cht

z1
z2

z1



z

z2

2


0 ó giỳp chỳng ta thc hin li gii

bi toỏn ny mt cỏch n gin hn.
Bi toỏn . Cho z 1, z 2 l hai s phc liờn hp ca nhau ng thi tha món

z1
z 22

l s

thc v z1 z2 2 3. Tớnh mụun ca s phc z1.

A. z1 5.

B. z1 3.

C . z1 2.

D. z1

5
.
2

Li gii. Gi s z1 x yi x, y z 2 x yi .
Khi ú z 1 z 2 2yi nờn t z1 z 2 2 3 y 3 y 2 3 1

Li cú

Do ú

z1
z 22

z1
z 22

z1 .z12
2

z1.z2



z13
z1

2

3



x yi

x 2 y2



x

3

3xy 2 3x 2y y 3 i
x 2 y2

y0
l s thc 3x 2y y 3 0 2
2
2
3x y 0

y 2 3

z1 2.
T 1 , 2 suy ra
2
x 1

Bỡnh lun. Ta cú th thy phộp bin i

z1
z 22



z 1 .z 12
2

z1 .z 2

z 13
z1

2

ó giỳp cụng vic gii bi

toỏn tr nờn n gin hn.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang


Tệ DUY HAỉM TRONG ẹE THI TRAẫC NGHIEM

Bi toỏn . Cho s phc z

i m
1 m m 2i

tp hp tt c cỏc giỏ tr ca tham s m

, trong ú m l tham s thc. Gi Sm l

2 z i 1. Bit rng m 0 l phn t nh

nht ca tp Sm . Khng nh no sau õy ỳng?

m
0
m 0 .


m
0
m0 .


A.

B.

m
0
m 0 .


D. m0 .

C.

Li gii. Ta cú z

z i

Do ú

i m
1 m m 2i



i m
i m
1


2
2
2

m
i
i 2mi m
i m



1
mi
.
i
m i
m i

2 z i 1

mi
mi
1
1




m i
m i
2
2

m2
2

m 1



1
2

m
0
m0 .



2m 2 m 2 1 m 2 1 0 1 m 1 . Vy m0 1

3.2. Ly mụun hai v ca mt biu thc.
Ly mụun hai v ca mt biu thc s phc thc ra l vic s dng phộp kộo theo

z1 z2 z1 z 2 . Do vy chỳng ta ch thc hin c nú khi biu thc gi thit ca
bi toỏn c a v mt trong cỏc dng:


A Bi C Di, trong ú A, B,C , D l cỏc hng s.



a bi z A Bi



a bi
a bi
A Bi hoc
A Bi vi a, b, A, B const.
z
z

hoc a bi z A Bi vi a, b, A, B const.

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang

Chuỷ ủe 07 - SO PHệC









Bi toỏn . Cho s phc z tha món z 4 1 i z 4 3z i. Mnh no sau
õy ỳng?
A. 0 z 1.

B. 1 z 2.

C . 2 z 3.

D. 3 z 4.







Li gii. Ta cú z 4 1 i z 4 3z i z 1 3i z 4 z 4 i
Ly mụ-un hai v ta c:

z

z 4 z 4
2

10

2

2

2

10 z 2 z 32 z 2

Vy ỏp ỏn bi toỏn l B .
Bỡnh lun. Vic s dng tớnh cht z1 z 2 z1 z 2 ó giỳp chỳng ta thc hin li
gii bi toỏn ny mt cỏch n gin hn. Tuy nhiờn chỳng ta cn thn trng trong vic s
dng ly mụun hai v ca mt ng thc v s phc. V c bn vic ly mụun hai v ch





thc hin c khi ta a c ng thc ó cho v dng a bi z A Bi hoc

a bi z A Bi

vi a,b, A, B const.

0 tha món

Bi toỏn . Xột s phc z

1 i 2 3i z

2 i. Mnh no di
2
z
z

õy ỳng ?
A.

3
z 2.
2

C. z

B. z 2 .

1
.
2

Li gii . Ta cú

D.

1
3

z .
2
2



1 i z 2 3i z
1 i 2 3i z


2

i


2 i
2
2
2
B .1
z
z
z
z

1 i z 2 3i z 2 i z 1 2i z 2 i z
2

2

Phm Kim Chung K2pi.Net.Vn

Trang